close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

K-контактные структуры на группах Ли.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 514.76
Я.В. Славолюбова
K-КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ НА ГРУППАХ ЛИ
В данной статье рассматрены левоинвариантные K-контактные структуры на
группах Ли. Основной результат статьи – теорема 1, устанавливающая выражения тензора Риччи группы Ли G через тензор Риччи фактор-пространства M = G / F0 , где F0 – однопараметрическая подгруппа поля Риба ξ, и
теорема 2, устанавливающая связь между тензором N(1) контактной метрической структуры на G и тензором Нейенхейса N соответствующей почти
комплексной структуры на M = G / F0 .
Ключевые слова: контактные группы Ли, контактные метрические
структуры, структура Сасаки, К-контактные структуры.
1. Предварительные сведения
2n+1
Пусть G = G
– группа Ли размерности 2n+1 и L(G) – ее алгебра Ли, отождествляемая с касательным пространством TeG к G в единице e. Левоинвариантная
дифференциальная 1-форма η на G является контактной формой, если
η ∧ (d η) n ≠ 0 всюду на G. В этом случае (G, η) (соответственно (L(G), η)) называется контактной группой Ли (соответственно контактной алгеброй Ли). Векторным полем Риба называется единичное векторное поле ξ на G, удовлетворяющее
условиям: d η(ξ, X ) = 0 для всех X и η(ξ) = 1 . Если (G, η) – контактная группа Ли,
то контактной метрической структурой называется четверка (η, ξ, φ, g), где φ – левоинвариантный аффинор на G и g – левоинвариантная риманова метрика, для которой имеют место следующие свойства:
ϕ2 = − I + η ⊗ ξ , g ( X , Y ) = g (ϕX , Y ) , g (ϕX , ϕY ) = g ( X , Y ) − η( X )η(Y ) ,
где I – тождественный эндоморфизм L(G) [1]. Риманова метрика g контактной
метрической структуры называется ассоциированной. В работе [2] приведены
способы построения семейств ассоциированных метрик, определяемых аффинором φ. На контактном метрическом многообразии определены два тензора: N(1) и
N(3) следующими выражениями [1]:
N (1) ( X , Y ) = [ϕ, ϕ]( X , Y ) + d η( X , Y )ξ , N (3) ( X ) = ( Lξ ϕ) X .
Контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) называется K-контактной, если
поле Риба ξ порождает группу изометрий метрики g, т.е. поле Риба ξ является
киллинговым относительно метрики g. Таким образом, для K-контактной структуры Lξ g = 0 . Поскольку Lξ η = 0 для любой контактной структуры и
g ( X , Y ) = d η( X , ϕY ) + η( X )η(Y ) , то контактная метрическая структура является
K-контактной тогда и только тогда, когда Lξ ϕ = 0 , т.е. когда тензор N(3)(X) обраща-
Я.В. Славолюбова
48
ется в нуль [1]. Отметим также, что контактная метрическая структура является
1
K-контактной тогда и только тогда, когда ∇ X ξ = ϕX [1].
2
В случае левоинвариантных структур на группе Ли можно получить следующее условие K-контактности:
( Lξ g )( X , Y ) = ξ g ( X , Y ) − g ( Lξ X , Y ) − g ( X , LξY ) = − g ([ξ, X ], Y ) − g ( X ,[ξ, Y ]) = 0 .
Таким образом, контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) является Kконтактной, если оператор ad ξ на алгебре Ли L(G) является кососимметрическим,
g ([ξ, X ], Y ) = − g ( X ,[ξ, Y ]) .
Пусть at – однопараметрическая подгруппа, порожденная полем Риба ξ,
at = exp(t ξ) . Она действует на группе Ли G справа. При этом действии форма η
сохраняется, Lξ η = 0 . Поскольку форма η является еще и левоинвариантной, то из
Lξ η = 0 следует, что ad ξ*η = 0 и Ad a*t η = η .
Рассмотрим замкнутую подгруппу F, которая сохраняет контактную форму η:
F = {g ∈ G : Ad g* (η) = η} .
В работе [3] показано, что подгруппа F является одномерной, контактная форма η является формой связности главного расслоения π : G → G / F и dη – форма
кривизны. При этом форма dη опускается на однородное пространство G / F и является там симплектической формой ω, π* (ω) = d η .
Однопараметрическая подгруппа at, порожденная полем Риба ξ, является связной компонентой F0 группы изотропии F и поэтому также является замкнутой
подгруппой группы Ли G. Следовательно, фактор-пространство M = G / F0 является гладким дифференцируемым многообразием.
Поскольку Lξ g = 0 и Lξ ϕ = 0 , то при проекции π : G → M = G / F0 метрика g и
аффинор φ опускаются на M и образуют там почти кэлерову структуру (gM, ω, J).
Почти комплексная структура J определяется следующим образом:
J (d π( X )) = d π(ϕX ), X ∈ Tg G .
Другими словами,
J (V ) = d π(ϕ(d π−1 (V ))), V ∈ Tx M ,
где отображение d π−1 : Tx M → Tg G вектору V ∈ Tx M ставит в соответствие вектор
d π−1 (V ) из площадки контактного распределения D = ker(η). Проекция
π : G → M = G / F0 является тогда римановой субмерсией. Поэтому свойства контактной метрической структуры (η, ξ, φ, g) тесно связаны со свойствами почти кэлеровой структуры (gM, ω, J) на базе M = G / F0 .
2. Тензор Риччи
В данном разделе мы приведем явные формулы для вычисления элементов
римановой субмерсии π : G → M = G / F0 в случае левоинвариантной Kконтактной структуры (η, ξ, φ, g) на группе Ли G2n+1. Напомним, что на M имеется
K-контактные структуры на группах Ли
49
почти кэлерова структура (gM, ω, J), такая, что π* ( g M ) = g на горизонтальных
векторных полях, π* (ω) = d η и π* ( J ) = ϕ . В качестве горизонтального распределения возьмем контактное распределение, образованное векторами E1,…,E2n. Вертикальное распределение порождено полем Риба ξ. Для единообразия будем обозначать его символом E2n+1. Базис E1,…,E2n+1 предполагается ортонормированным.
В данном базисе выразим условие K-контактности Lξ g = 0 :
( Lξ g )( Ei , E j ) = ξ g ( Ei , E j ) − g ( Lξ Ei , E j ) − g ( Ei , Lξ E j ) =
= − g ([ξ, Ei ], E j ) − g ( Ei ,[ξ, E j ]) = −C2jn+1,i − C2i n+1, j = 0 .
Получаем условие K-контактности:
C2jn+1,i + C2i n+1, j = 0, i, j = 1,..., 2n + 1 .
В частности, если i = 2n + 1 , то
C22nn++1,1 j = 0,
j = 1,..., 2n .
Для вычисления тензора Риччи римановой субмерсии π : G → M = G / F0 используются следующие инварианты: A и T на G [4], значения которых на векторных полях P1 и P2 задаются формулами
TP1 P2 = Η∇ νP1 νP2 + ν∇ νP1 Η P2 , AP1 P2 = Η∇ ΗP1 νP2 + ν∇ ΗP1 Η P2 .
Найдем их выражения в нашем случае.
Инвариант T. Из формулы TP1 P2 = Η∇ νP1 νP2 + ν∇ νP1 Η P2 [4] мы видим, что
TX Y = 0, TX ξ = 0, Tξ ξ = 0 ,
где X, Y – горизонтальные поля, а ξ – вертикальное поле. Последнее вытекает из
свойства ∇ξ ξ = 0 . Поэтому единственная ненулевая компонента тензора T может
быть только в случае Tξ X .
1
Из свойства K-контактности имеем ∇ X ξ = ϕ( X ) . Далее, ∇ ξ X − ∇ X ξ = [ξ, X ] .
2
1
Поэтому ∇ ξ X = ∇ X ξ + [ξ, X ] = ϕ( X ) + [ξ, X ] . Тогда
2
Tξ X = ν[ξ, X ] .
Для выбранного базиса получаем
TE2 n +1 E j = ν[ E2 n+1 , E j ] = C22nn++1,1 j E2 n+1 = 0,
j = 1,..., 2n .
Инвариант A. Из формулы AP1 P2 = Η∇ ΗP1 νP2 + ν∇ ΗP1 Η P2 [4] видно, что
Aξ X = 0,
Aξ ξ = 0 .
1
Из свойства K-контактности имеем ∇ X ξ = ϕ( X ) . Поэтому
2
1
AX ξ = Η∇ X ξ = ϕ( X ) .
2
Я.В. Славолюбова
50
В случае двух горизонтальных векторных полей получаем
AX Y = ν∇ X Y .
В базисе {Ei}, i = 1,..., 2n , имеем
AEi E j = ν∇ Ei E j = Γij2 n+1E2 n+1 , i, j = 1,..., 2n .
(1)
Окончательно получаем следующие ненулевые компоненты тензора A:
1
Aij2 n+1 = Γij2 n+1 , Ais,2 n+1 = ϕis , i, j , s = 1,..., 2n .
2
Найдем тензор Риччи для нашего случая римановой субмерсии. При вычислениях будем использовать, что слои римановой субмерсии являются геодезическими линиями. Поэтому вектор средней кривизны слоев N, определяемый как
N = Tξ ξ , равен нулю.
Теорема 1. Если левоинвариантная контактная метрическая структура (η, ξ,
φ, g) на группе Ли G2n+1 является K-контактной, то в ортонормированном базисе
E1,…,E2n+1, первые 2n векторов которого лежат в контактном распределении D,
а вектор E2n+1 есть поле Риба ξ, тензор Риччи Ric имеет следующую структуру:
n
1
Ric2 n+1,2 n+1 = , Ricij = RicM ij − δij , i, j = 1,..., 2n,
2
2
Rici ,2 n+1 = −
1
4
2n
∑ (2Csjj Csi2n+1 + (C sji + Csji + Csij )C 2jsn+1 ),
i = 1,..., 2n,
j , s =1
где RicM – тензор Риччи фактор-пространства M = G / F0 .
Доказательство. Найдем выражения всех компонент тензора Риччи Ric(ξ, ξ) ,
Ric(ξ, X ) и Ric( X , Y ) прямыми вычислениями. Как всегда, символами X, Y мы
обозначаем горизонтальные векторы.
Вычисление Ric(ξ, ξ) . Поскольку для K-контактных структур кривизна Риччи
n
n
, то Ric(ξ, ξ) = .
2
2
Вычисление Ric( X , Y ) . Поскольку N = 0 , то выражение кривизны Риччи [4]
в направлении ξ равна
1
Ric( X , Y ) = RicM ( X , Y ) − 2( AX , AY ) − (TX , TY ) + ((∇ X N , Y ) + (∇Y N , X ))
2
принимает вид
Ric( X , Y ) = RicM ( X , Y ) − 2( AX , AY ) − (TX , TY ) .
Найдем компоненты ( AX , AY ) и (TX , TY ) для базисных векторов.
( AEi , AE j ) = ( AEi ξ, AE j ξ) =
1
1
(ϕ( Ei ), ϕ( E j )) = ( Ei , E j ) .
4
4
(TEi , TE j ) = (ν[ξ, Ei ], ν[ξ, E j ]) = Ci2,2nn++11C 2j ,2n+n1+1 .
Учитывая, что Ci2,2nn++11 = 0 получаем следующую формулу:
1
Ricij = RicM ij − δij .
2
K-контактные структуры на группах Ли
51
Вычисление Ric( X , ξ) . В базисе {Ei}, i = 1,..., 2n + 1 , формула [4]
Ric( X , ξ) = ((δˆ Е )ξ, X ) + (∇ ξ N , X ) − ((δA) X , ξ) − 2( AX , Tξ ) ,
где δA = −∑ (∇ X i A) X i относительно базиса {Xi} горизонтального распределения и
i
δˆ T = −(∇ ξT ) ξ , примет вид
Ric( Ei , E2 n+1 ) = ((δˆ T ) E2 n+1 , Ei ) − ((δA) Ei , E2 n+1 ) − 2( AEi , TE2 n +1 ), i = 1,..., 2n .
Найдем выражения всех трех слагаемых в правой части.
Вычисление (δˆ T ) E2 n+1 .
(δˆ T ) E2 n+1 = −(∇ E2 n +1T ) E2 n +1 E2 n+1 = −(∇ E2 n +1 (Tξξ) − T∇ξξ E2 n+1 − TE2 n+1 (∇ ξξ)) = 0 .
Вычисление (δA) Ei . Будем использовать формулу (1):
AEi E j = ν∇ Ei E j = Γij2 n+1E2 n+1 , i, j = 1,..., 2n .
2n
2n
j =1
j =1
(δA) Ei = −∑ (∇ E j A) E j Ei = −∑ (∇ E j ( AE j Ei ) − A∇ E
2n
j
E j Ei
− AE j (∇ E j Ei )) =
2n
=−∑(∇ E j (Γ 2jin+1 E2 n+1 ) − AΓ s E Ei − AE j (Γ kji Ek )) =−∑(Γ 2jin+1∇ E j ξ−Γ sjj AEs Ei −Γ kji AE j Ek ) =
jj s
j =1
j =1
2n
2n
2n
1
= −∑ ( Γ 2jin+1ϕ( E j ) − Γ 2jjn+1 Aξ Ei − ∑ Γ sjj AEs Ei − Γ 2jin+1 AE j ξ − ∑ Γ sji AE j Es ) =
j =1 2
s =1
s =1
2n
2n
2n
1
1
= −∑ ( Γ 2jin+1ϕ( E j ) − ∑ Γ sjj Γ 2sin+1ξ − Γ 2jin+1ϕ( E j ) − ∑ Γ sji Γ 2jsn+1ξ) =
2
j =1 2
s =1
s =1
=
2n
∑ (Γ sjj Γ2sin+1 + Γ sji Γ 2jsn+1 )ξ .
j , s =1
Вычисление третьей компоненты.
2n
2n
2n
j =1
j =1
j =1
( AEi , TE2 n +1 ) = ∑ ( AEi E j , TE2 n +1 E j ) = ∑ (Γij2 n+1E2 n+1 , C22nn++1,1 j E2 n+1 ) = ∑ Γij2 n+1C22nn++1,1 j = 0 .
Таким образом,
2n
Ric( Ei , E2 n +1 ) = −((δA) Ei , E2 n +1 ) = −( ∑ (Γ sjj Γ 2sin +1 + Γ sji Γ 2jsn +1 )ξ, ξ) =
j , s =1
2n
.
= − ∑ (Γ sjj Γ 2sin +1 + Γ sji Γ 2jsn +1 ).
j , s =1
В последнем равенстве выразим символы Кристофеля через структурные константы:
1
1
Γ 2sin+1 = (Csi2 n+1 + C2i n+1,s + C2sn+1,i ) = Csi2 n+1 ;
2
2
Я.В. Славолюбова
52
1
1
Γ 2jsn+1 = (C 2jsn+1 + C2sn+1, j + C2jn+1,s ) = C 2jsn+1 ;
2
2
1
1
Γ sjj = (C sjj + Csjj + Csjj ) = Csjj ; Γ sji = (C sji + Csji + Csij ) .
2
2
Таким образом,
Rici ,2 n+1 = −
1
4
2n
∑ (2Csjj Csi2n+1 + (C sji + Csji + Csij )C 2jsn+1 ) .
j ,s =1
Теорема доказана.
3. Связь между тензорами N(1) и N
При римановой субмерсии π : G → M = G / F0 контактной метрической структуре (η, ξ, φ, g) соответствует почти кэлерова структура (gM, ω, J) на базе
M = G / F0 . В этом разделе найдем связь между тензором кручения контактной
структуры N(1) на группе Ли G и тензором Нейенхейса N почти комплексной
структуры J на G / F0 . Тензор N(1) выражается формулой
N (1) ( X , Y ) = [ϕ, ϕ]( X , Y ) + d η( X , Y )ξ .
Здесь кручение Нейенхейса [ϕ, ϕ] тензорного поля φ типа (1,1) является тензорным полем типа (1,2), заданным формулой
[ϕ, ϕ]( X , Y ) = ϕ2 [ X , Y ] + [ϕX , ϕY ] − ϕ [ϕX , Y ] − ϕ [ X , ϕY ] .
Напомним также выражение тензора Нейенхейса:
N ( X , Y ) = [ JX , JY ] − [ X , Y ] − J [ JX , Y ] − J [ X , JY ] .
Хорошо известно [1], что почти комплексная структура J интегрируема, т.е.
является комплексной структурой, если ее тензор Нейенхейса равен нулю,
N(X,Y) = 0.
Как известно, левоинвариантное векторное поле X на группе G отождествляется с его значением в единице, X ≡ X (e) ∈ TeG ≡ L(G ) . При проекции
π : G → M = G / F0 левоинвариантные векторные поля на группе G не проектируются в векторные поля на M = G / F0 , поскольку группа F0 действует справа на G.
Однако с каждым левоинвариантным векторным полем X можно ассоциировать
правоинвариантное векторное поле, порожденное элементом X (e) ∈ TeG . Будем
обозначать такое поле символом Xr. Как известно [5], [ X r , Y r ] = −[ X , Y ]r . Правоинвариантное векторное поле Xr опускается до векторного поля на M = G / F0 .
Обозначим X M = d π( X r ) . Очевидно, что
[ X M , Y M ] = d π([ X r , Y r ]) = − d π([ X , Y ]r ) .
Лемма 1. Для K-контактной метрической структуры на группе Ли G для любых касательных векторов X, Y ∈ TgG,∀ g ∈ G имеет место следующая формула:
d π( N (1) ( X , Y )) = N (d π( X ), d π(Y )) .
K-контактные структуры на группах Ли
53
Доказательство. Для вычисления тензоров N(1)(X,Y) и N(X,Y) продолжим векторы X, Y ∈ TgG до правоинвариантных векторных полей X r, Y r на G. Вычислим
тензор N(1)( X r, Y r),
N (1) ( X r , Y r ) = ϕ2 [ X r , Y r ] + [ϕX r , ϕY r ] − ϕ[ϕX r , Y r ] − ϕ[ X r , ϕY r ] + d η( X r , Y r )ξ =
= ϕ2 [ X r , Y r ] − η([ X r , Y r ])ξ + [ϕX r , ϕY r ] − ϕ[ϕX r , Y r ] − ϕ[ X r , ϕY r ] =
Из свойства ϕ2 = − I + η ⊗ ξ контактной метрической структуры мы получаем
далее:
= −[ X r , Y r ] + [ϕX r , ϕY r ] − ϕ[ϕX r , Y r ] − ϕ[ X r , ϕY r ] .
Векторное поле X r правоинвариантно, а аффинор φ левоинвариантен. Поэтому
пока ничего нельзя сказать о типе поля φX r. Однако можно заметить, что оно проектируется в поле J ( X M ) :
d π(ϕX r ) = J (d π( X r )) = J ( X M ) .
Поэтому можно применить проектирование dπ к тензору N (1) ( X r , Y r ) :
d π( N (1) ( X r ,Y r )) = −d π([ X r ,Y r ]) + d π([ϕX r ,ϕY r ]) − d π(ϕ[ϕX r ,Y r ]) − d π(ϕ[ X r , ϕY r ]) =
= −[ X M , Y M ] + [d π(ϕ X r ), d π(ϕY r )] − J (d π([ϕ X r , Y r ])) − J (d π([ X r , ϕY r ])) =
= −[ X M , Y M ] + [ JX M , JY M ] − J [d π(ϕ X r ), d π(Y r )] − J [d π( X r ), d π(ϕY r )] =
= −[ X M , Y M ] + [ JX M , JY M ] − J [ JX M , Y M ] − J [ X M , JY M ] = N ( X M , Y M ) .
Мы получим следующий результат:
d π( N (1) ( X r , Y r )) = N ( X M , Y M ) ,
из которого и вытекает утверждение теоремы.
Лемма 2. Для любых касательных векторов X, Y ∈ TgG,∀ g ∈ G значения тензора кручения N(1)(X,Y) контактной метрической структуры лежит в контактном распределении, т.е. η(N(1)(X,Y)) = 0.
Доказательство. Найдем проекцию тензорного поля N(1) на направление Rξ.
Для этого достаточно вычислить η( N (1) ( X , Y )) . Поскольку
N (1) ( X , Y ) = ϕ2 [ X , Y ] + [ϕX , ϕY ] − ϕ [ϕX , Y ] − ϕ [ X , ϕY ] + d η( X , Y )ξ ,
то
η( N (1) ( X , Y )) = η([ϕX , ϕY ]) + d η( X , Y ) = − d η(ϕX , ϕY ) + d η( X , Y ) = 0 .
Для доказательства последнего равенства воспользуемся свойствами контактной
метрической структуры: d η( X , Y ) = g (ϕX , Y ) и g (ϕX , ϕY ) = g ( X , Y ) − η( X )η(Y ) .
Получаем
d η(ϕX , ϕY ) = g (ϕ(ϕX ), ϕY ) = g (ϕX , Y ) − η(ϕX )η(Y ) = g (ϕX , Y ) = d η( X , Y ) .
Таким образом, вертикальная Rξ-компонента тензора N (1) ( X , Y ) всегда равна
нулю. А поскольку горизонтальная D-компонента тензора N (1) ( X , Y ) , согласно
лемме 1, проектируется в тензор Нейенхейса, то получаем теорему:
54
Я.В. Славолюбова
Теорема 2. Тензор кручения N (1) ( X , Y ) K-контактной метрической структуры (η, ξ, φ, g) равен нулю тогда и только тогда, когда тензор Нейенхейса
N ( X , Y ) почти комплексной структуры многообразия (G / F0 , g M ,ω, J ) равен нулю. Поэтому контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) является сасакиевой (нормальной) тогда и только тогда, когда многообразие ( M = G / F0 , g M ,ω, J )
является кэлеровым.
ЛИТЕРАТУРА
1. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1976.
2. Смоленцев Н.К. Пространства римановых метрик // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2003. Т. 31. С. 69−146.
3. Khakimdjanov, Yu., Goze M., Medina A. Symplectic or Contact Structures on Lie Groups //
arXiv.org/ math.DG/0205290, 2002, 18 p.
4. Бессе. А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. Т. II: пер. с англ. М.: Мир, 1990. 384 c.
5. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 и Т. 2. М.: Наука,
1981. 344 с.
Статья принята в печать 30.12.2010г.
Slavolyubova Y. V. K-CONTACT STRUCTURES ON LIE GROUPS. In this paper, left invariant
K-contact structures on Lie groups are considered. The main results are Theorem 1 expressing the
Ricci tensor of a Lie group G by the Ricci tensor of a quotient space M = G / F0 , where F0 is a
one-parametrical subgroup of the Reeb field ξ, and Theorem 2 establishing the connection between the tensor N(1) of a contact metric structure on G and the Nijenhuis tensor N of the corresponding almost complex structure on M = G / F0 .
Keywords: contact Lie groups, contact metric structures, Sasakian structure, K-contact structures.
SLAVOLYUBOVA Yaroslavna Viktorovna (Kemerovo institute (branch) of Russian state university of trade and economics)
E-mail: jar1984@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
444 Кб
Теги
структура, группа, контактные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа