close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Pc-оценки функции распределения в модели доза-эффект по случайным планам эксперимента.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского университета им.
Н.И.
Лобачевского, 2012, № 1 (1), с. 138–143
М.С.
Тихов
138
УДК 519.2
PC-ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В МОДЕЛИ ДОЗА-ЭФФЕКТ ПО СЛУЧАЙНЫМ ПЛАНАМ ЭКСПЕРИМЕНТА
 2012 г.
М.С. Тихов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
tikhovm@mail.ru
Поступила в редакцию 02.12.2011
Рассмотрены непараметрические PC-оценки функции распределения по случайным планам эксперимента в модели доза-эффект. Показано, что РС-оценки являются состоятельными и асимптотически.
Предложена и исследована оценка предельной дисперсии.
Ключевые слова: доза-эффект-модель, непараметрические ядерные оценки, случайный план эксперимента.
Введение
В данной работе рассматривается проблема
построения оценки функции распределений в
модели доза-эффект, которая описывается следующим образом. Пусть последовательность
X ( n )  {( X i , U i ) , 1  i  n } независимых и одинаково распределенных с (X, U) пар случайных
величин (с.в.) имеет совместную плотность распределения f ( x) g (u )  0 и функцию распределения F ( x )G ( x ) , где
F ( x)  P( X  x), G(u )  P(U  u ) ,
F ( x)  f ( x ), G ( x)  g ( x ) ,
W  I ( X  U ) есть индикатор события (X < U).
В зависимости доза–эффект вместо выборки X(n)
наблюдается выборка (см. [1])
U ( n )  {(Wi , U i ) , 1  i  n} ,
где величина X интерпретируется как пороговая
доза (латентная случайная величина), являющаяся самой большой дозой, при которой не
наблюдается эффекта в эксперименте, а U есть
введенная доза. Биологическая суть вышеизложенного становится понятной из следующих
пояснений. Предположим, что речь идет о яде,
который попадает в биообъект. Например, при
биотестировании воды речь обычно идет о цериодафниях, которые чувствительны к загрязнению воды вредными веществами и для которых это загрязнение является ядом. Для каждого яда теоретически существует минимальная
доза, вызывающая у тест-объекта его гибель.
Оценить эту дозу для каждого биообъекта довольно трудно. Если биообъект в эксперименте
выжил, то он получил дозу, заведомо меньшую
минимальной летальной дозы. Для каждого
биообъекта эта доза будет различной, что определяется индивидуальной чувствительностью
особей биологического вида к тестируемому
препарату. Однако будем считать, что в однородной массе величина X является случайной
величиной с неизвестной функцией распределения F(x), плотность распределения g(U) случайной величины U также предполагается неизвестной. Требуется по выборке U(n) оценить неизвестную функцию распределения F(x) и её
квантили (называемые в токсикологии категориями эффективных доз) на всем интервале изменения переменной x. Медианная доза обозначается как ЕД50 и называется среднеэффективной дозой. Проблема осложняется тем, что сама
величина X ненаблюдаема, а наблюдаются индикаторы wi и уровни введенных доз ui. Если
вводимые дозы ut неслучайны, то мы называем
такую модель моделью с фиксированным планом эксперимента, если же величины ut случайны, то такая модель называется моделью
зависимости доза–эффект со случайным планом
эксперимента.
В [1] в качестве оценки неизвестной функции распределения использовались оценки Надарая [2] и Ватсона [3] (NW-оценки) вида
n
Fˆ NW
 W K (U  x) ,
( x) 
 K (U  x)
i 1
n
i 1
i
h
h
i
(1)
i
где K h ( x )  (1 / h) K ( x / h) – ядерная функция
(ядро), h = h(n) есть ширина окна просмотра
данных – неслучайная последовательность,
сходящаяся к нулю при n →∞, но при этом
nh →∞.
Обычно NW-оценки вида (1) используются в
следующей схеме наблюдений:
yt  m(ut )   t , t  1, 2, ...
(2)
где ε1, ε2,… – последовательность независимых
и одинаково распределенных с.в., а ut – случайные или фиксированные величины, m(x) – неизвестная функция.
PC-оценки функции распределения в модели доза-эффект по случайным планам эксперимента
Для неслучайных ut в схеме наблюдений (2)
Priestley и Chao (см. [4]) предложили оценки
для функции m(x) по выборке (u t , y t ) , 1  t  n ,
объема n следующего вида:
n 1
Fˆ PC ( x ) 
 (u
Fn(x) позволяет при достаточно больших n
строить доверительные интервалы на функцию
распределения F(x), используя квантили нормального распределения.
Именно, мы покажем, что
d
(3)
 u t ) y t K h (u t  x) .
t 1
nh (ˆ ( x)  K h * F ( x ))  N (0,2 2 ( x)) ,
t 1
n 
Мы будем называть их РС-оценками.
Если u t  t / n , t  0,1, ... , n , то РС-оценка
принимает вид:
n 1
Fˆ ( x )  n 1
y K (t / n  x ) .
(4)

PC
t
t 1
h
1. Основные результаты
Для дальнейшего изложения нам понадобится понятие порядковых и индуцированных порядковых статистик.
Пусть U (1)  U ( 2 )  ...  U ( n )  вариационный ряд, построенный по совокупности
(U 1 , U 2 , ... , U n ) . Тогда U (i ) называется i-й порядковой статистикой. Индуцированная порядковая статистика W [i ] определяется следующим
образом: если U ( i )  U j , W [ i ]  W j .
Будем рассматривать статистики
n 1
W
[i]
(U ( i 1)  U ( i ) ) K h (U n( i )  x )
i 1
и
n 1
W
Fn ( x) 
[i]
(U ( i 1)  U ( i ) ) K h (U n( i )  x )
i 1

n 1
 (U
( i 1)
(i)
 U ) K h (U
(i)
n
 x)
i 1

ˆ n ( x)
.
n 1
 (U
( i 1)
(i)
 U ) K h (U
d
nh ( Fn ( x)  K h * F ( x ))  N (0,2 2 ( x)) ,
n 
где ( K h * F )( x ) есть свертка функций K h (x ) и
F(x) на интервале (0,1), т.е.
1
Известно (см. [4, 5]), что как в схеме наблюдений (2), так и в зависимости доза–эффект для
фиксированных планов наблюдений оценки (3)
или (4) при некоторых условиях регулярности
являются асимптотически нормальными. Однако в зависимости доза–эффект довольно часто
планы эксперимента являются случайными, поэтому в данной работе мы изучим оценки вида
(3) для случайных планов эксперимента, т.е. мы
будем предполагать, что величины ut являются
случайными величинами, и докажем состоятельность и асимптотическую нормальность
PC-оценок в этом случае, используя методы
работы [6].
ˆ n ( x) 
139
(i)
n
 x)
i 1
Целью нашего исследования является доказательство асимптотической (при n → ∞) нормальности оценок ˆ n ( x ) и Fn(x). Свойство
асимптотической нормальности оценок ˆ ( x ) и
n
F * K h ( x)   F (u ) K h ( x  u ) du , 0  x  1 ,
0
2
а  ( x) 
F ( x )1  F ( x)  K
2
.
g ( x)
2. Условия
Условия (К)
(K1) K(x) ≥ 0 для любого x  R .

(K2)
 K ( x) dx  1 .

(K3) K(–x) = K(x) для любого x  R .
(K4) K(x) – финитная функция, т.е. K(x) = 0
для x   1,1 .
(K5) K(x) – ограниченная функция, т.е.
sup K ( x )  C   .
x[ 1,1]
Для ядерной функции K(x) определим следующие характеристики:

2
 

2
 x K ( x) dx ,

K
2

K
2
( x ) dx ,

которые нам понадобятся в дальнейшем.
В силу условий (K1) – (K5) они существуют.
Примерами ядерных функций, удовлетворяющих условиям (K1) – (K5), являются:
 ядро Епанечникова
3
K 0 ( x)  (1  x 2 ) I | x |  1 ;
4
 квартическое ядро
15
K 0 ( x )  (1  x 2 ) 2 I | x |  1 ;
16
где I(A) есть индикатор множества A.
1
3
2
Для ядра Епанечникова  2  , K  ,
5
5
1
5
2
2
для квартического ядра   , K  .
7
7
Условия (S)
(S1) Плотность g(x) > 0 есть непрерывная и
ограниченная функция, которая имеет ограниченные производные до третьего порядка включительно.
140
М.С. Тихов
(S2) Функция F(x) имеет ограниченные непрерывные производные до третьего порядка
включительно.
Примерами функций, удовлетворяющих условиям (S1), (S2), являются функции распределения и плотности нормального, логистического и логнормального распределений.
n 1
N3 
i 1


d[ i ] .
)

N 2  o p (nh) 1 2 ,

N 3  o p ( nh) 1 2 .
Рассмотрим слагаемое N 2 .
Из представления свертки
F * K h ( x)  
 F (u) K
h
(u  x) du
i 1 U ( i )
следует, что
n 1
N2 
  (U
(i)
)(U ( i 1)  U ( i ) ) 
i 1
( i 1)
U
 F (u ) K

h
(u  x ) du 
U (i)
n 1

n 
  (U
(i)

)   ( i ) (U (i 1)  U (i ) ) ,
i 1
d
nh ( Fn ( x )  K h * F ( x ))  N (0,2 2 ( x )) .
n 
Заметим, что дисперсия предельного распределения 12 ( x )  2 2 ( x) зависит от неизвестной
функции распределения F(x), и, следовательно,
σ2(x) также неизвестна, поэтому в качестве оценки σ2(x) мы предлагаем использовать статистику
n n 1 [ i 1]
ˆ 12 ( x ) 
(W
 W [ i ] ) 2 (U ( i 1)  U ( i ) ) 2 
4 i 1
(4)

 K h (U ( i 1)  x) K h (U ( i )  x ).
В следующей теореме утверждается, что
оценка ˆ 12 ( x ) является состоятельной оценкой
дисперсии 12 ( x ) .
Теорема 2. Пусть
i 1
( i 1 )
n 1 U
Следующая теорема 1 устанавливает асимптотическую нормальность оценок ˆ n ( x ) и
Fn(x).
Пусть M – заданная константа.
Теорема 1. Пусть h  Mn 1 / 5 и выполнены
условия (K), (S).
Тогда
d
nh ˆ n ( x)  K h * F ( x ) 

N (0, 2 2 ( x )),

[i]
(i )
Покажем, что при n  
3. Результаты


n 1
  g(UW

W[ i ] U ( i 1)  U ( i ) 
где  i  [U ( i ) ,U (i 1) ] .
Отсюда
n 1
  (U
N2 
условия
)   ( i ) (U (i 1)  U ( i ) ) 
i 1
n 1

  K U

 x  K h  i  x  
(i)
h
i 1



 K h  i  x  F (U ( i1) )  F (U (i ) ) U (i 1)  U ( i ) 
n 1
L2  (i 1)
2
1 2
 U ( i )  o p nh  .
U
h

i 1
Для слагаемого N 3 имеем оценки:

 L1
  h

2
N3 






  W
g (U
n 1
выполнены
(i)
n 1
[i]
W[ i ] U ( i 1)  U ( i ) 
i 1
(i)
i 1
)
d[i] 
p
(K), (S) . Тогда при n   ˆ 12 ( x )  12 ( x) .
4. Доказательства
Доказательство теоремы 1.
Пусть
(u )  F (u ) K h (u  x),


d [ i ]  G (U ( i 1) )  G (U ( i ) ) K h (U ( i )  x),


W[ i ]  W [ i ]  F (U (i ) ) K h (U (i )  x ) .
Представим разность ˆ n ( x )  F * K h ( x) в
следующем виде:
ˆ n ( x )  F * K h ( x)  N 1  N 2  N 3 ,
где
1 n 1 W[ i ]
N1 
nd [ i ] ,
n i 1 g (U (i ) )

n 1
N2 
  (U
i 1
(i)
)(U
(i 1)
(i)
 U )  ( F * K h )( x),
n 1

W[i ]
 g (U
(i)
i 1

)
(U ( i 1)  U ( i ) ) 

(i )
 g (U )  g ( i ) K h (U ( i )  x ) ,
где  i  [U ( i ) ,U (i 1) ] .
Значит, при n  
L
N3  3
h
1

n

W  
 g U  

2
n 1
12
[i]
2

(i )
i 1
12
 1 n 1 2 (i 1)
2
 
n U
 U (i )  
n
 i 1

1
 O p (1) O p ((nh) )  o p ((nh) 1 / 2 ) .
Поэтому
1 n 1 W[ i ]
ˆ n ( x)  F * K h ( x) 
K h (U ( i )  x ) 
n i 1 g (U ( i ) )
 


 n (G (U (i 1) )  G (U ( i ) ))  o p ((nh) 1 / 2 ) .
PC-оценки функции распределения в модели доза-эффект по случайным планам эксперимента
В работе [7] показано, что
W[i ] K h (U ( i )  x )
асимптотически независимы от
строенный по 1 ,  2 , ... ,  n , Di   ( i1)   (i ) ,
 ( 0)  0 ,  ( n 1)  1 , i  1, 2,..., n , { j }1 j n независимы и одинаково распределены с плотностью
n

j
d
n ( Fn ( x)  K h  F ( x ))  N (0,2 2 ( x )) .
g (U )
 G (U (i ) )) . Кроме того, известно, что G (U j )
имеет равномерное распределение на [0,1], поэтому G (U (i ) ) есть i-я порядковая статистика из
равномерного на [0,1] распределения.
Известно также (см., например, [8]), что если
1 ,  2 , ... ,  n есть независимые случайные величины из равномерного на [0,1] распределения
и { (ni ) , i  1, 2, ... , n}  вариационный ряд, по-
p( x)  e  x , x  0; T 
поэтому
(i)
(G (U (i 1) ) 
,
j 1
141
n
Оптимальное значение константы М, входящей в определение ширины окна h просмотра
данных (см. формулировку теоремы 1), определяется из условия минимума среднеквадратичного
отклонения, зависящего от интеграла (см. [10])
b 2  F ( x )1  F ( x) dx ,

который
необходимо
оценивать по выборке U(n). Для оценки величины b2 можно воспользоваться следующей статистикой
1 n
bˆ 2 
(W j  W j 1 ) 2 .
2n j  2

Статистика b̂ 2 асимптотически эквивалентна статистике
n
~
b 2  n 1 W j 1  W j 1  ,

j 2
то
( D1 , D 2 , ... , Dn )  d (1 / T ,  2 / T , ... ,  n / T ) .
i
T p
и
 1.
T /n
n n 
В таком случае при n  
(i)
(i)
1 n 1 W[i ] 
1 n W[ i ] 
N1 


n i 1 g (U (i ) )
n i 1 g (U (i ) )
Поэтому nDi  d


,
1 n W j  j

n j 1 g (U j )
и асимптотическая нормальность N1 получается
теперь из центральной предельной теоремы
Линдеберга-Леви (см. [9]).
Найдем дисперсию суммы N1, считая, что
величины ( X j , U j ,  j ) 1 j n независимы как
тройками, так и между собой. Для этого воспользуемся формулой для дисперсии произведения независимых величин Z1, Z2:
D( Z 1  Z 2 )  E( Z 12 )E( Z 22 )  E 2 ( Z 1 )E 2 ( Z 2 ) ,
принимая во внимание, что
 ( I ( X j  U j )  F (U j )) 2 

E
2


g
(
U
)
j


F (u )(1  F (u )) 2

K h (u  x ) du   2 ( x ) (1  o(1)),
g (u )


 I ( X j  U j )  F (U j ) 
  0 , E ( j )  2 ,
E


g (U j )


и учитывая возможность предельного перехода
под знак математического ожидания, получим
результат первой части теоремы 1. С небольшими изменениями показывается, что
p
1 n 1 (i 1)
(U
 U ( i ) ) K h (U ( i )  x)  1,
n 
n i 1

~
поскольку bˆ  b 2  O ( n 1 ) .
~
Покажем, что как b 2 , так и b̂ 2 являются состоятельными оценками b2.
Лемма 1. Для фиксированных планов экспеp
~ p
римента при n → ∞ bˆ 2  b 2 , b 2  b 2 .
Доказательство. В силу независимости величин Wj и Wj -1 получаем:
1 n

~
E(b 2 )  E
W j 1  W j 1  
 n j 2



n
n
1

1

 E
W j   E
W jW j 1  
n

n

 j 2

 j 2

2


1 n
1
F (u j ) 
n j 2
n
Кроме того, имеем:



n
 F (u ) F (u
j
j 1
j 2
1
)  b 2  O .
n

~
1  n
D b 2 = 2 D W j 1  W j 1  

n  j  2


1  n
 2  D W j 1  W j 1  +

n  j 1

 



1
n2


 CovWi (1  Wi 1 ),W j (1  W j 1 )  .


i j


Вычислим сначала
CovW 1W
i
i 1
,W j 1 Wj1   .
i j
Не нарушая общности, рассмотрим случай i < j.
Множество индексов разобьем на две части: 1) i=
= j – 1 < j и 2) i < j – 1. В первом случае
Wi 1  Wi 1 W j 1  W j 1  
 W j 1 1  W j 1 1  W j 2 W j  0 ,
поэтому здесь
142
М.С. Тихов
CovW j 1 1  W j 2 ,W j (1  W j 1 )  
sˆ 2  S1  R 1  R2 ,
  F (u j 1 )(1  F (u j 2 )) F (u j )(1  F (u j 1 )) .
Во втором случае, т.е. когда i < j – 1, величины Wi (1  Wi 1 ), W j (1  W j 1 ) независимы, откуда
CovWi 1  Wi 1 , W j (1  W j 1 )   0 .
Так как
D W j (1  Wj 1 )  E Wj (1  W j 1 )  E 2 W j (1  W j1 ) 

 



2
 F (u j )(1  F (u j ))(1  F (u j )  F (u j )) ,
то получаем, что при n  
~
D b 2  n 1 F ( x )1  F ( x)  
 

 1  2 F ( x)  2 F 2 ( x) dx  0 .
n


p
n 
2
1 n 1
(W [ i 1]  W [ i ] ) 2 .
n i 1
Лемма 2. Если выполнены условия (K), (S), то

p
sˆ 2  s 2  F (u )(1  F (u )) g (u ) du .
n 
2
Доказательство. Представим статистику ŝ
в следующем виде:
1 n
sˆ 2 
(w[ i 1]  w[ i ]  r[ i ] ) 2 ,
2n i 1
где
w[i ]  W [i ]  F (U ( i ) ) ,
поскольку F(x) удовлетворяет условию Липшица (так как плотность f(x) ограничена), то
| r[i ] | |W [ i 1]  W [i ]  ( w[i 1]  w[i ] ) | 


 | F (U (i 1) )  F (U ( i ) ) |  H 1 (U (i 1)  U ( i ) ) .
Тогда
 w[ i ] ) 2 , R 1 
i 1
1
n
1
2n
n 1
r
2
[i]
,
i 1
n 1
 ( w
[ i 1]
 w[ i ] ) r[ i ] .
i 1
H 12
2n 3

n
 (n(U
(i 1)
 U ( i ) )) 2  O p (n  2 )  o p (n  1 ) ,
i 1
| R 2 |
1
n
n
 | w
[ i 1]
 w[i ] | | r[i ] | 
i 1
H 1 n 1 (i 1)
H (U ( n )  U (1) )
(U
 U (i) )  1
 O ( n 1 ) .
n i 1
n
Рассмотрим теперь слагаемое S1 . Имеем:


S1 
1
2n
n

(w[ i 1]  w[ i ] ) 2 
i 1
1
2n
n 1
 (w
[i ]
)2 
i 2
1 n 1
1 n1
(w[i ] ) 2 
w[i 1] w[i ]  S11  S12  S13 .
2n i 1
n i1
Очевидно,
1 n
1 n 1
S11  S12 
(wi ) 2 , S13 
w[ i 1] w[i ] .
2n i 1
n i 1
Отсюда
s2
s2
E( S11 ) 
, E( S12 ) 
,
n  2
n 2
1 n 1
E( S13 ) 
E( w[ i 1] w[ i ] | U (i 1) , U ( i ) ) .
n i 1
В силу условной независимости индуцированных порядковых статистик (см. [13])
1 n 1
E( S13 ) 
E(w[ i 1] | U (i 1) )E( w[i ] | U ( i ) )  0 .
n i 1
Поскольку слагаемые Δw[i+1], Δw[i] ограничены, то дисперсии сумм S11, S12 сходятся к нулю.
p
s2
Из неравенства Чебышева следует S11 
,
n  2
p
p
s2
S12 
, поэтому sˆ 2  s 2 , что и требоваn  2
n
лось доказать.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим
оценку (4) или эквивалентную ей оценку
n n 1
ˆ 22 ( x) 
(W [i 1]  W [ i ] ) 2 (U ( i 1)  U ( i ) ) 2 
4 i 1







[ i 1]

.
Доказательство завершено.
Рассмотрим теперь случайные планы эксперимента, где будем считать, что P (0  U i 
 1)  1, и пусть
sˆ 2 
n 1
 ( w
Покажем, что R 1  o p ( n 1 ) , R 2  O p (n  1 ) .
Действительно,
1 n 2 1 n
R1 
r[ i ] 
H 12 (U (i 1)  U ( i ) ) 2 
2n i 1
2n i 1

ˆ 2 ( x )  F ( x) (1  F ( x)) K
1
2n
R2 

Из неравенства Чебышева теперь следует со~
стоятельность оценок b 2 и b̂ 2 .
Поскольку величины, входящие в сумму (1)
и (2), ограничены, то из [9, с. 291] следует также
асимптотическая нормальность статистик b̂ 2 и
~
1
b 2 с ожиданием b2 и дисперсией
F ( x )1 
n
 F ( x)  1  2 F ( x)  2 F 2 ( x ) dx .
Пусть
1 n 1
ˆ 2 ( x ) 
(W j 1  W j ) 2 K h2 (U j  x).
4n j  1
Аналогично предыдущему можно показать,
что

S1 



где

 K h2 (U ( i )  x ) .

PC-оценки функции распределения в модели доза-эффект по случайным планам эксперимента
C n 1
2
n (U ( i 1)  U ( i ) ) ,
4n i 1
то отсюда следует, что дисперсия статистики
Поскольку
n 1
n 1
 n (U
( i 1)

ˆ 22 ( x) 
 U (i) )

2
сходится к нулю, по-
этому D (ˆ 22 ( x))  0 .
n
Если мы покажем, что
E (ˆ 22 ( x ))  F ( x) (1  F ( x)) K
2
n
,
то результат теоремы 2 будет следовать из неравенства Чебышева.
Заметим, что
 n 1  n n 1 [ i 1]

E (ˆ 22 ( x ))  E
W  W [i ] 2 
 i 1  4 i 1


 

 (U ( i 1)  U ( i ) ) 2 K h2 (U (i )  x) |U ( i 1) ,U ( i ) ,
p
1
а n(U ( i 1)  U (i ) ) 
0
(i ) n  
n g (U )
для центральных членов вариационного ряда.
Известно (см. [13]), что индуцированные порядковые статистики условно независимы, и
поскольку величины W1, W2,…, Wn одинаково
распределены, то из предыдущих рассуждений
следует, что каждое слагаемое последней суммы
сходится
по
вероятности
к
F ( x ) (1  F ( x )) K
2
. Тогда из теоремы Коши
g ( x)
(см. [14, с.79]), примененной к последовательности рассматриваемых случайных величин,
будет следовать, что
E (ˆ 22 ( x)) 
F ( x) (1  F ( x)) K
2
.
g ( x)
Результат теоремы 2 следует теперь из неравенства Чебышева.
n
Список литературы

i 1
143
1. Тихов М.С., Криштопенко С.В. Попова Е.С.
Доза-эффект. М.: Медицина, 2008. 288 с.
2. Надарая Э.А. О непараметрических оценках
плотности вероятности и регрессии // Теория вероятн. и ее примен. 1965. Т. 10, в.1. С.199–203.
3. Watson G.S. Smooth regression analysis // Sankhya. 1964. V.26. P. 359–372.
4. Priestley M.B., Chao M.T. Nonparametric function fitting // Journal of the Royal Statistical Society.
1972. Ser.B. V.34. P. 385–392.
5. Тихов М.С., Криштопенко Д.С., Ярощук М.В.
Оценивание распределений в зависимости дозаэффект при фиксированном плане эксперимента //
Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. научных трудов. Пермь: Изд-во
Пермского ун-та, 2006. С. 66–77.
6. Lewbel A., Schennach S. Estimator for inverse
density weighted // Journal of Econometrics. 2007.
V.136, №1. P.189–211.
7. Barbe P. Joint approximation of process based on
spacing and order statistics // Stochastic Process and
Their Applications. 1994. V.53. P. 339–349.
8. Гаек Я., Шидак З. Теория ранговых критериев.
М.: Наука, 1971. 376 с.
9. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962.
719 с.
10. Тихов М.С. Построение и анализ статистических оценок для неполностью известных семейств
распределений: Дис. … д-ра физ.-мат. наук. Нижний
Новгород, 1993. 354 с.
11. Li J., Liu R.Y. Multivariate spacings based on
data depth: I. Construction of nonparametric multivariate
tolerance regions // Ann. Statist. 2008. V.36, No.3.
P. 1299–1329.
12. Pino G.E. On the asymptotic distribution of kspacings with applications to goodness-of-fit tests //
Ann. Statist. 1979. V.7, No.5. P. 1058–1065.
13. David H.A., Nagaraja H.N. Order Statistics. John
Wiley & Sons, 2003. 458 p.
14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. Т.1. М.: Физматлит, 2001.
680 с.
PC-ESTIMATORS OF DISTRIBUTION FUNCTION OVER RANDOM EXPERIMENT PLANS
IN A DOSE-EFFECT MODEL
M.S. Tikhov
Nonparametric PC-estimators of a distribution function over random experiment plans in a dose-effect model are
considered. PC-estimators have been shown to be consistent and asymptotically normal. We propose and investigate
an estimator of limiting variance.
Keywords: dose-effect model, nonparametric kernel estimators, random experiment plan.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
321 Кб
Теги
оценки, случайных, эксперимент, функции, модель, распределение, дозах, эффекты, плана
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа