close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Актуарные функции со случайной процентной ставкой.

код для вставкиСкачать
УДК 519.233.5
Ю.Д. Григорьев
АКТУАРНЫЕ ФУНКЦИИ СО СЛУЧАЙНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКОЙ
Рассматриваются модели актуарных функций со случайной процентной ставкой. Исследуются аннуитеты из единичных
выплат в случае дискретного времени в предположении, что процентная ставка является случайной величиной или последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин.
В своих вычислениях актуарии обычно используют детерминированный подход. Традиционным, в частности, является предположение, что процентная ставка является постоянной. Изредка используются процентные ставки, которые медленно меняются в течение продолжительного периода времени в незначительных пределах, скажем, от пяти
до семи процентов. В настоящее время предложено много
моделей, учитывающих стохастическую природу процентных ставок. В частности, для описания соответствующих
моделей используются временные ряды, стохастические
дифференциальные уравнения, статистическое моделирование и другие методы [1 – 13].
Пионерской работой по использованию стохастических
методов в теории инвестиций была работа Марковица [14].
Основная идея его статьи состояла в том, что ставку возврата по ценным бумагам предлагалось рассматривать как случайную величину. Поэтому представляется удивительным,
что эта идея так долго не эксплуатировалась в области актуарных исследований.
В настоящей статье мы исходим из предположения, что
процентная ставка описывается случайным процессом с
дискретным временем, для которого предполагается, что
ставки возврата независимы для каждого из n периодов, а
их распределение не меняется со временем. Основная задача состоит в вычислении моментных характеристик соответствующих актуарных функций. Статья организована
следующим образом. В п. 1 вводятся определения наращивающего и дисконтирующего множителей. В п. 2 изучается
однопериодная модель накопления со случайной процентной ставкой. В п. 3 рассматриваются n-периодная модель
накопления с процентными ставками, образующими последовательность независимых случайных величин (с.в.). В
Приложении вынесены доказательства теорем 1 и 2. Основные концепции рассматриваемого подхода, близкие к содержанию статьи, излагаются в работах Pollard (1971), Boyle
(1976), Wilkie (1976), Waters (1978) и др.
1. НАРАЩИВАЮЩИЙ
И ДИСКОНТИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛИ
Во многих моделях накопления денежных сумм
процентная ставка предполагается постоянной. Заёмная процентная ставка (ставка возврата) зависит как
от момента t займа, так и от даты T его погашения, т.е.
на финансовых рынках процентные ставки зависят от
срока действия контракта. Лицо, занимающее в момент t на срок T – t сумму в размере одной денежной
единицы, получит обратно в момент погашения займа
T сумму F (t , T ) , эквивалентную процентной ставке
R (t , T ) , определяемой из уравнения
F (t , T ) = e(T −t ) R (t ,T ) .
(1.1)
Если рассматривать будущее как полностью определенное, т.е. если предполагать, что все процентные
ставки ( R (t , T ))t ≤T заранее известны, то при отсутствии арбитража функция F должна удовлетворять условию
∀t < u < s : F (t , s ) = F (t , u ) F (u , s ) .
(1.2)
Легко построить арбитражную схему, когда это
уравнение
не
выполняется
[4, 5].
Функция
f : [0, ∞) [1, ∞) называется наращивающим множителем, если для нее выполняются условия:
1. f (0) = 1 ,
2. ∀t < u < s : f ( s − t ) = f (u − t ) f ( s − u ) ,
3. f ∈ C (1) (0, ∞) ,
df dt > 0 .
Из определения наращивающего множителя и равенства (1.2) следует, что f (t ) = F (0, t ) . Равенством
(1.2) наращивающий множитель f (t ) определяется
однозначным образом. Действительно, сделав в
функциональном уравнении f ( s − t ) = f (u − t ) f ( s − u )
замену x = u − t , y = s − u , получим уравнение Коши
[15]
f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) ,
(1.3)
являющееся определением показательной функции
f ( x) = a x . Поскольку f (1) = a , то наращивающий
множитель является возрастающей функцией при
a > 1 , при этом согласно (1.1) имеем R (0, t ) > 0 .
В финансовой математике наращивающий множитель обычно записывают в виде
f (i ) = (1 + i )T −t ,
где i – эффективная процентная ставка; T − t – горизонт инвестирования. Функция d (i ) = (1 + i ) − (T −t ) называется дисконтирующим множителем и представляет собою размер инвестиций под ставку возврата i ,
необходимых для получения единичной выплаты через время T − t с момента инвестирования.
2. ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
КАК СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Положим
T − t = n , An = eδn = (1 + ξ) n .
Пусть Lp (0, ∞) – пространство положительных
случайных величин с конечным моментом p-го порядка, ξ ∈ L2 (0, ∞) – положительная случайная величина с конечным вторым моментом. Случайная величина An является стохастическим эквивалентом функции сложного процента f (i ) = (1 + i ) n .
Данная модель описывает ситуацию, когда страховщик размещает среди страхователей пакет полисов, погашаемых через n лет. Нетто-премия P, т.е.
стоимость полиса, инвестируется в некоторый фонд и
возрастает до величины P (1 + ξ) n при условии, что
эффективная процентная ставка ξ в течение всего
221
срока действия договора фиксирована. Эта процентная ставка неизвестна до момента t = 0 и принимает
некоторое случайное значение в момент t = 0 , сохраняя свое значение в течение всего срока действия договора.
Пусть P – нетто-премия, рассчитанная страховщиком и получаемая им от страхователя, согласно договору страхования сроком на n лет, по которому при
погашении полиса последнему выплачивается страховая сумма S = 1 . В соответствии с принципом эквивалентности обязательств (отсутствие рисковой прибыли какой-либо из сторон) можем записать
n
P (1 + ξ) − 1 = 0 .
(2.1)
Обозначим
X = P (1 + ξ) n − 1 , Y = (1 + ξ) −1 − P
– прибыль страховщика и текущая нетто-стоимость
полиса соответственно. Каким образом следует выбирать P, чтобы гарантировать неотрицательность ожидаемой прибыли MX и текущей нетто-стоимости полиса MY?
Рассмотрим следующие три возможности для выбора P:
−1
Средние значения прибыли MX
и текущей нетто-стоимости полиса MY
P = P1
(P1 – P1)/P1 = 0
P3 – P1
P = P2
(P2 – P1)/P1
P3 – P2
P = P3
(P3 – P1)/P1
P3 – P3 = 0
Из таблицы следует, что ответ на поставленный
вопрос зависит от знака разностей Pi − Pj , i, j = 1, 2,3 .
Теорема 1. Если ξ ∈ Ln (a, b) , (a, b) ⊂ [0, ∞) , то
P3 ≥ P2 ≥ P1 .
δ ∈ N (μ, σ2 ) – гауссовская случайная величина. Тогда
η ∈ L(μ, σ2 ) – логнормальная случайная величина со
средним Mη = αβ , где α = e , β = e
−1
2
n
σ2 2
. Поскольку
2 2
η ∈ L(−μ, σ ) , η ∈ L(nμ, n σ ) ,
то
P3 P2 = β
n ( n +1)
, P2 P1 = β
n ( n −1)
.
x p −1 ( x − 1) q −1
, p > 0 , q > 0,
B ( p, q )
p[ k ]
, y[ k ] = y ( y + 1)...( y + k − 1) .
( p + q)[ k ]
Из определения Pi , i = 1, 2 следует, что вычисление разности P2 − P1 не представляет трудности. Разность же P3 − P2 вычисляется труднее. Ее можно записать в виде
∞
P3 − P2 = ∑ (−1)k
k =1
n[ k ]
d ,
k! k
т.е. ее вычисление сводится к отысканию величин d k .
Из определения моментов mk следует, что
d k = pDk ( p + q )[ k ] ( p + k ) k −1 ,
Dk = ∑ i =1 σi (k − 1) p k −i −1 ( p + q ) k −i −1[( p + q )i − p i ] ,
а σi (n) ≡ σi (1, 2,..., n) – симметрические многочлены
относительно переменных xi = i , i = 1, 2,..., n .
Первые четыре многочлена σi (n) имеют вид
σ1 (n) =
σ 2 ( n) =
σ3 ( n ) =
σ 4 ( n) =
(2.4)
n(n + 1)
,
2
(n − 1)n(n + 1)(3n + 2)
,
24
(n − 2)(n − 1)n 2 (n + 1) 2
,
48
(n − 3)(n − 2)(n − 1)n(n + 1)
×
5760
×(15n3 + 15n 2 − 10n − 8) .
Отметим, что корни многочлена третьей степени
15n3 + 15n 2 − 10n − 8 в выражении для σ4 (n) хотя и
являются вещественными, но не рациональны. Вычисление последующих многочленов σi (n) можно
продолжить, используя формулы Ньютона [17. С. 331].
3. ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
КАК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть T − t = n и
Равенства (2.4) показывают, что с ростом n финансовые показатели страховщика улучшаются.
П р и м е р 2. (Бета-распределение). Логнормальное распределение очень удобно в расчетах, но связанное с ним предположение, что ξ ∈ (−1, ∞) , не
222
mk =
(2.3)
Из теоремы 1 и табл.1 следует, что при любом выборе нетто-премии P согласно (2.2) средняя прибыль
и средняя текущая нетто-стоимость полиса неотрицательны.
П р и м е р 1. (Логнормальное распределение).
Обозначим 1 + ξ = η = eδ , и пусть сила процента
μ
f ( x) =
k −1
(2.2)
Соответствующие этим вариантам значения MX и
MY представлены в таблице.
MX
MY
менты mk = Mξk которой имеют вид
где
P1 = ⎡⎣M (1 + ξ) n ⎤⎦ , P2 = (1 + Mξ) − n ,
P3 = M (1 + ξ) − n .
вполне соответствует действительности. Пусть
ξ ∈ Be( p, q ) ( 0 ≤ ξ ≤ 1 ) – бета-распределенная случайная величина, плотность f ( x) и начальные мо-
Bn = f (n) = exp
{∑
} =∏
n
δ(t )
t =1
Sn = ∑ k =1 F (k , n) = ∑ k =1
n
n
n
t =1
n
t =k
(1 + ξt ) ;
(1 + ξt ) ,
(3.1)
(3.2)
где (ξt )t =1,n – последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.) случайных величин;
Bn – сумма, накопленная в фонде к моменту погашения договора в результате единственной инвестиции
размера P = 1 в момент его заключения; S n – сумма,
накопленная в фонде к моменту погашения договора в
случае, если в начале каждого года в фонд инвестируется сумма P = 1 . Предполагаем, что случайная величина ξ1 обладает всеми моментами необходимого
порядка.
В этом разделе мы исследуем моментные характеристики стохастических актуарных функций (3.1) и
(3.2). При определенных обстоятельствах интерес для
актуария могут представлять не только математические ожидания, но и моменты более высоких порядков этих функций, в частности их дисперсии, асимметрия и эксцесс. Для логнормального распределения
процентной ставки r = 1 + ξ1 такая задача рассматривалась в [10]. Моменты с.в. Bn легко вычисляются
[4], три первых момента с.в. S n найдены в [1].
Следуя [4], мы находим моменты Bn и, продолжая
процесс вычислений, начатый в [1], вычисляем четыре начальных момента с.в. S n , при этом в обоих случаях предполагаем, что с.в. ξt , t = 1,..., n независимы
в совокупности. Отметим также, что наша схема вычислений и соответственно схема доказательства теоремы 2 отличны от [1].
Пусть Ft – доход, накопленный к моменту t ; Pt –
размер инвестиций, сделанных к моменту t . Тогда
Ft = (1 + ξt )( Ft −1 + Pt −1 ) .
(3.3)
Из (3.3) следует, что однократная инвестиция, сделанная в момент t = 0 , обратится к моменту t = n в
величину
Bn = (1 + ξ1 )(1 + ξ2 )...(1 + ξ n ) =
n
t =1
(1 + ξt ) .
Если обозначить mk = M (1 + ξ1 )k , то отсюда следует, что MBnk = mkn . В частности, если
r = m1 , σ2 = m2 − m12 ,
то
MBn = r n , DBn = (r 2 + σ2 ) n − r n .
n
n
t =k
bn =
cn =
+
dn =
+
(1 + ξt ) .
Положим
an = MSn , bn = MSn2 , cn = MSn3 , d n = MSn4 ,
n
независимых одинаково распределенных случайных
величин, ξt ∈ L4 (0, ∞) . Тогда первые четыре начальных момента случайной величины S n имеют вид
(3.6)
t 2 + 2t (r + s ) + rs
t +
(t − s )(t − r ) n
(3.7)
u 3 + (3t + 5s + 3r )u 2 + (3rs + 5tr + 3ts )u + tsr
un +
(u − t )(u − s )(u − r )
4u[t 2 + 2t (r + s ) + rs ]
6u ( s + r )( s + t )
t +
s +
(t − u )(t − s )(t − r ) n ( s − u )( s − t )( s − r ) n
4u[r 2 + 2r ( s + t ) + st ]
r .
(r − u )(r − t )(r − s ) n
(3.8)
Sn = ( Sn − an ) σ n , σn = (bn − an2 )1 2
сходится по распределению к нормальной случайной
величине N (0,1) , то разность между α-квантилью
x = xα распределения S n и соответствующей α-кван-
тилью u = uα нормального распределения N (0,1) ,
α ∈ (0,1) аппроксимируется выражением [16. С. 232]
1
1
xα − uα = γ1 ( xα2 − 1) + γ 2 ( xα3 − 3xα ) −
6
24
−
n −1
Теорема 2. Пусть (ξt )t =1,n – последовательность
(3.5)
Для приложений интерес представляет нижний
хвост распределения с.в. Sn, в частности та его часть,
где Sn < n , т.е. область распределения, где наращенный объем единичных платежей, осуществляемых в
начале каждого периода, остается меньше самой суммы сделанных платежей.
Введем Gn как величину, наибольшую из n − Sn и
нуля, т.е. Gn = max(n − Sn , 0) . По определению, Gn
изменяется от 0 до n. Таким образом, величина Gn –
это размер той выплаты, которую должен гарантировать страховщик при условии, что Sn не превышает n.
В частности, представляет интерес вероятность осуществления страховщиком некоторой выплаты, т.е.
P {Gn > 0} = P {Sn < n} .
Функция распределения F ( x) = P {Sn < n} нам неизвестна. Однако выражения (3.5) – (3.8) позволяют
вычислить четыре первых кумулянта с.в. Sn и тем самым дают возможность получить аппроксимацию
Корниша – Фишера распределения случайной величины S n [16]. Именно, если случайная величина
и пусть для краткости r = a1 , s = b1 , t = c1 , u = d1 .
Воспользуемся следующими принятыми в актуарной
математике обозначениями для суммы членов геометрической прогрессии:
qn = ∑ k =1 q k , qn = ∑ k =0 q k .
s+r
2s
s +
r ;
s−r n r−s n
3t ( s + r )
3t (r + s )
s +
r ;
( s − t )( s − r ) n (r − t )(r − s ) n
+
(3.4)
Рассмотрим случайную величину
Sn = ∑ k =1
an = rn ;
где
1 2
γ (4 xα3 − 7 xα ) + ... ,
36 1
(3.9)
γ1 = κ3 κ −2 3 2 , γ 2 = κ 4 κ 2−2
и κ r – r-й кумулянт с.в. S n . Таким образом, положив в (3.9) x = (n − an ) σn и определяя u из (3.9),
получаем
P {Sn < n} = P {Sn < x} ≅ Φ −1 (u ) .
223
bn = s (1 + 2an −1 + bn −1 )
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство теоремы 1. Последовательно
рассмотрим каждое из двух неравенств в (2.3), а
именно: (а) P3 ≥ P2 и (в) P2 ≥ P1 .
а) Неравенство Йенсена утверждает, что если g –
функция, вогнутая относительно распределения с.в.
ξ (т.е. g ( x) вогнута в каждой точке множества B ,
P (ξ ∈ B) = 1 ), то Mg (ξ) ≤ g (Mξ) . Функция
n−2
= s + 2srn −1 + s ⎡ sn −1 + 2∑ k =1 sk r n − k −1 ⎤ =
⎣
⎦
n−2
(
)
= 2 srn −1 + sn + 2∑ k =1 sk +1 − s r n − k −1 =
n −1
n −1
= sn + 2 srn −1 + 2∑ m = 2 sm r n − m −2s ∑ m = 2 r n − m =
n −1
= sn + 2∑ m = 2 sm r n − m +
(
)
g ( x) = −1 (1 + x) n , n ≥ 1
+2s r + r 2 + ... + r n −1 − r n − 2 − r n −3 − ... − r =
вогнута при x > −1 . Поскольку в рассматриваемом
случае ξ ≥ 0 , то отсюда и из неравенства Йенсена за-
= sn + 2∑ m =1 sm r n − m ,
что совпадает с (П.3).
Теперь преобразуем (П.3) к требуемому виду (3.6).
Разворачивая (П.3) и перегруппировывая слагаемые, с
учетом тождества
ключаем, что − P3 ≤ − P2 , т.е. P3 ≥ P2 .
в) Числитель разности P2 − P1 имеет вид
M (1 + ξ) n − (1 + Mξ) n = ∑ k =0 Cnk d k ,
n
k
n −1
a n − b n = (a − b) (a n −1 + a n − 2b + ... + ab n − 2 + b n −1 )
k
где d k = Mξ − (Mξ) . Вновь применяя неравенство
Йенсена к функции g ( x) = − x k и случайной величине
получаем
∑ m=1 sm r n −m = s − r ( sn−1 − rn−1 ) .
ξ ∈ L (0, ∞) , получаем, что d k ≥ 0 , откуда следует
требуемое неравенство P2 ≥ P1 .
Заметим, что неравенство P3 ≥ P1 может быть доказано непосредственно с помощью неравенства Коши – Буняковского
Отсюда
= sn +
Для этого достаточно положить P1 = MX 2 , P3 = MY 2 ,
= sn +
−1
где X = (1 + ξ)
иY=X .
Доказательство теоремы 2. Из (3.1) и определения случайной величины S n следует, что
Sn = (1 + ξ n )(1 + Sn −1 ) .
(П.1)
Поскольку Sn −1 зависит только от ξ1 ,..., ξn−1 , то
ξn и Sn −1 независимы. Следовательно, (3.5) определяет рекуррентную зависимость, из которой может
быть найдена величина an . Усредняя обе части (3.5),
получаем an = ran −1 + r , a0 = 0 . Следовательно,
an +1 = (1 + r )an − ran −1 ,
a0 = 0 , a1 = r , n ≥ 1 .
n −1
n−2
bn −1 = sn −1 + 2 ∑ sm r n − m −1.
(П.4)
m =1
Из (П.1), (П.4), применяя формулу повышения
qqn −1 = qn − q , получаем
224
)
( )
2r
2s
sn − s ) −
(
(r − r ) =
s−r
s−r n
s+r
2s
s +
r ,
s−r n r−s n
что и требовалось доказать.
Доказательство равенств (3.7) и (3.8) проводится
аналогично, хотя оно более громоздко. В качестве
промежуточных результатов, соответствующих (П.3),
в этом случае используются соотношения
cn = tn + 3(r + s )tn −1 +
+3
s + r n−2
tm s n − m − r n − m ;
s − r m∑
=1
(
)
d n = un +(4r + 6 s + 4t )un −1 +
n−2
(
)
+ ∑ um At n − m + Bs n − m + Cr n − m ,
(П.3)
При n = 1 имеем b1 = s , т.е. равенство (П.3) выполняется. Пусть формула (П.3) выполняется для
n − 1 , т.е.
(
2r
2s
−
=
ss
rr
s − r n −1 s − r n −1
=
(П.2)
m =1
)
2r ⎞
2s
= ⎛⎜1 +
⎟ sn − s − r rn =
s
r
−
⎝
⎠
Отсюда, разрешая (П.2) относительно an [18. С. 25],
приходим к (3.5).
Равенство (3.6) докажем индукцией по n. Для этого сначала покажем, что
bn = sn + 2 ∑ sm r n − m .
(
sr
⎤=
bn = sn + 2 ⎡⎢
s −r
⎣ s − r n −1 n −1 ⎥⎦
M XY ≤ (MX 2 )1 2 (MY 2 )1 2 .
−n 2
sr
n −1
k
m =1
где
A=
4 ⎡⎣t 2 + 2t (r + s ) + rs ⎤⎦
(t − s )(t − r )
B=
,
6( s + r )( s + t )
,
( s − r )( s − t )
4 ⎡r 2 + 2r ( s + t ) + ts ⎤⎦
C= ⎣
.
(r − s )(r − t )
ЛИТЕРАТУРА
1. Boyle P.P. Rates of return as random variables // The Journal of Risk and Insurance. 1976. V. 53. P. 693 – 713.
2. Boyle P.P. Risk-based сapital for financial institutions // Financial Risk in Insurance / G. Ottaviani (Editor). Berlin Heidelberg: Springer Verlag,
1995. P. 47 – 62.
3. Bühlman H. Life Insurance with Stochastic Interest Rates // Financial Risk in Insurance / G. Ottaviani (editor). Berlin Heidelberg: Springer Verlag, 1995. P. 1 – 24.
4. Hull J. Options, Futures, and Other Derivative Securities. Prentice Hall International, Inc., 1993.
5. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. Charman & Hall, 1996.
6. McCutcheon J.J., Scott W.F. An Introduction to the Mathematics of Finance, Heinemann: London, 1986.
7. Oksendal B. Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications. Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 1995.
8. Panjer H.H., Bellhouse D.R. Theory of stochastic mortality and interest rates // Actuarial Research Clearing House, Society of Actuaries. 1978.
V. 2. P. 123 – 153.
9. Parker G. Two stochastic approaches for discounting actuarial functions // Proceedings 24th ASTIN Colloquium. Vol. 2. 25 – 29 July 1993.
Cambridge. P. 368 – 387.
10. Pollard A.H., Pollard J.H. A stochastic approach to actuarial functions // Journal of the Institute of Actuaries. 1969. V. 95(1). P. 79 – 113.
11. Pollard J.H. On fluctuating interest rates // Bulletin de l'Association Roale des Actuairies Belges. 1971. V. 66. P. 68 – 97.
12. Waters H.R. The moments and distributions of actuarial functions // Journal of the Institute of Actuaries. 1978. V. 105(1). P. 61 – 75.
13. Wilkie A.D. The rate of interest as a stochastic process – Theory and applications // Proceedings 20th Int. Congress of Actuarias. Tokyo, 1976.
V. 1. P. 325 – 338.
14. Markowitz H.M. Portfolio selection // The Journal of Finance, VII. No. 1. P. 77 – 91.
15. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997. 158 с.
16. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. 588 с.
17. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. 432 с.
18. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. 48 с.
Статья представлена кафедрой математического обеспечения и применения ЭВМ факультета компьютерных технологий и информатики
Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета (ЛЭТИ), поступила в научную редакцию «Кибернетика»
20 мая 2005 г.
225
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
375 Кб
Теги
случайное, ставкой, функции, процентного, актуарные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа