close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгоритм разрешимости однородных систем линейных уравнений относительно положительной части произвольного подкольца строго линейно упорядоченного поля.

код для вставкиСкачать
Раздел I
Алгебра и геометрия
B Y⊂K
Если теперь S K, то S – инверсный клиффордов полугруппоид, в котором I – конгруенция.
Следовательно,
– идемпотентный коммутативный частичный группоид, а каждый I-класс есть
группоид Брандта. Остается доказать, что
– полугруппоид. Согласно теореме 1, достаточно
доказать 1˚-3˚. Условия 1˚, 3˚ выполнены в силу леммы, а условие 2˚ вытекает из условия (10) в
определении класса K. Теорема доказана.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Вагнер В.В. Диаграммируемые полугруппоиды и обобщенные группоиды // Изв. ВУЗов, мат. 1967.
№ 10 (65). С. 11–23.
Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. мат. ж., 8. 1967. № 2. С. 346–365.
Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972.
Ляпин Е.С. Полугруппы. Физматгиз. 1960.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.
Кожевников О.Б. Категорийные частично упорядоченные множества частичных группоидов. ДЕП.
2005.
Кожевников О.Б. Об одном классе инверсных полугрупп с нулем // Вестник ТГПИ № 1. Естественные
науки. 2007.
Кожевников О.Б. Вполне простые полугруппоиды // Вестник ТГПИ № 1. Естественные науки. 2008.
В.М. Кривенко
АЛГОРИТМ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОДКОЛЬЦА
СТРОГО ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛЯ
0
1 . Вопросы существования и отыскания неотрицательных и положительных решений однородной системы линейных уравнений с коэффициентами из некоторого упорядоченного поля в
полном объѐме изложены в монографии С.Н. Черникова [4].
При выяснении вопроса о том, какие конечные совокупности соотношений предшествования определяют строгие линейные порядки на полугруппах [2,3], автором настоящей статьи был
указан алгоритм, позволяющий установить, имеет ли нетривиальные неотрицательные целочисленные решения однородная система линейных уравнений с целыми коэффициентами.
В настоящей работе этот результат обобщается на случай, когда коэффициентами при неизвестных однородной системы линейных уравнений являются элементы произвольного подкольца
строго линейно упорядоченного поля, и выясняется вопрос о нетривиальной разрешимости системы относительно положительной части указанного подкольца.
0
2 . Пусть
P; , ,
- произвольное строго линейно упорядоченное поле и
произвольное подкольцо поля
P; , , , тогда M ; , ,
рядоченным кольцом. Обозначим через
M
( M )
-
также является строго линейно упо-
положительную часть этого кольца [3]. Тогда
0 M , операции сложения и умножения замкнуты на M , M
M
M; ,
( M )
0
M и
.
Заметим также, что если
а, в
M иа
в , то а в 0 , а это означает, что
а в M .
13
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Рассмотрим произвольную однородную систему линейных уравнений с коэффициентами из M :
а11 х1 ... а1n хn
0
(I)
...
...
...
аm1 х1 ... аmn хn 0
Назовѐм систему (I) разрешимой относительно положительной части
M; , ,
1
,
2
,...,
имеет
такое
ненулевое
M кольца
что
1 , 2 ,..., n ,
,
если
она
решение
n
M
0 , а указанное решение назовѐм нетривиальным неотрицательным ре-
шением. Отметим, что если в системе (I) хотя бы один вектор – столбец коэффициентов при неизвестных является нулевым, то система (I) разрешима относительно положительной части M .
Поэтому будем рассматривать далее такую систему (I), в которой все вектор-столбцы коэффициентов при неизвестных является ненулевыми.
0
3 . Наряду с хорошо известными преобразования системы (I), такими как:
1. перестановка уравнений;
2. умножение обеих частей произвольного уравнения на
0,
3. прибавление к одному уравнению другого, умноженного на
M или
1 ;
M ;
4. удаление нулевого уравнения;
5. перестановка столбцов
а1 j х j
а1i хi
и ...
...
аmi хi
,
аmj х j
будем рассматривать также преобразование 6. умножения всех элементов произвольного столбца
коэффициентов при неизвестных на
M
.
Отметим, что если система (II) получается из системы (I) путѐм конечного числа преобразований 1.-6., то системы (I) и (II) одновременно разрешимы или неразрешимы относительно положительной части кольца
M; , ,
.
Действительно, системы (I) и (II) равносильны над полем
P; , ,
в случае преобразова-
ний 1.-4.
В случае преобразования 5. решения системы (II) получаются из решений системы (I) путѐм
перестановки в них двух элементов и наоборот.
В случае преобразования 6. полагаем, что умножаются на
столбца. Тогда, если
темы (I), то
1
,..., i ,...,
,..., i ,...,
Наоборот, если
системы (II), то
1
1
,...,
1
является соответствующим решением системы (II).
n
,...,
является нетривиальным неотрицательным решением сис-
n
,..., i ,...,
i
все коэффициенты i -того
n
n
является нетривиальным неотрицательным решением
является соответствующим решением системы (I).
С помощью преобразований 1.-6. систему (I) можно привести к следующему трапецеидальному виду:
14
Раздел I
Алгебра и геометрия
в11 х1
0 х2
0 х3
... 0 хr
в1r 1 хr
1
... в1n хn
0
0 х1
в22 х2
0 х3
... 0 хr
в2 r 1 хr
1
... в2 n хn
0
0 х2 в33 х3
... 0 хr
в3r 1 хr
1
... в3n хn
0
0 х1
...
0 х1
где в11
0, в22
0 х2
0, в33
0 х3
0,..., вrr
(III)
...
... вrr хr
0, вij
вrr 1 хr
... вrn хn
1
0
M ( i, j ) . Умножая, в случае необходимости, обе
части уравнения на (-1) можно сделать так, чтобы в11 , в22 , в33 ,..., вrr
M . Отметим также, что
при указанных преобразованиях вектор-столбцы коэффициентов при неизвестных системы остаются ненулевыми, поэтому в системе (III) все вектор-столбцы коэффициентов при неизвестных
являются ненулевыми.
Обозначим через
любого s

вs вектор-столбец коэффициентов при неизвестной хs системы (III). Для
r , пусть
Es
i
1, 2,..., r | вis
M
0s
i
r
;
Es
i
1, 2,..., r | вis
1, 2,..., r | вis
0
M
;
.
r
вtt ,
Пусть также
вtt . Тогда
i
t 1
и
i
принадлежат
M и
i
вii . От-
t 1
t i
сюда получаем, что

вs
1
в1s
в11
1
в2 s
в22
2
...
вrs
...
вrr
в1s

в1
2
i

вis вi
i

вis вi
r
i 1
i Es
в1s
в2 s
вrs

в2 ...
r
в2 s
i

вis вi
i Es

вis вi
i
i
i
i

вrs вr
r
Es
i 0s

вis вi (т.к.
Es
i
i

вis вi

вis вi

0 ).
i 0s
Поэтому,

вs
i
i

вis вi
Es

вis вi .
i
(1)
i Es
Отсюда следует, что

вs
i
i

вis вi
Es
Если существует такое s s
i

вis вi
2 .
i Es
r , что Es
, то равенство (2) принимает вид:
15
Вестник ТГПИ
Естественные науки

вs
i
вis
Так как
ное относительно
M
i
M решение
,
2
, то система (III) имеет нетривиальное неотрицатель-
,...,
, где
n
вis
i

0.
Es
Es
1

вis вi
i
, если i
Es
.
, если i s
0
, в остальных случаях

Таким образом, если в системе (III) есть такой столбец вs s r , что все его элементы
i
принадлежат
M
0 , то система (III) разрешима относительно положительной части
M .
Рассмотрим теперь случай, когда указанного выше столбца не существует.
Если для любого
s s
r множество
E
, то каждый вектор
s

вs является нетри-
виальным неотрицательным относительно
M вектором, поэтому никакая их линейная комбина
ция с неотрицательными относительно M коэффициентами не обращается в 0 . Это и означает,
что система (III) неразрешима относительно положительной части M .
s s r , что
E s
Пусть теперь
. Умножим далее каждый вектор-столбец


вi (i
Es ) системы (III) на i
вis , каждый вектор-столбец вi (i Es ) системы (III) на

тый столбец на . Получим новую систему (IY), которая одновременно с системой
i вis и s
(III) разрешима или неразрешима относительно положительной части
M . Обозначая коэффици
енты этой системы через вij , а соответствующие вектор-столбцы через вi получим, что для вектор-столбцов системы (IY) выполняется соотношение:

вs

вi
i
0
4 . Обозначим через (IY i )
(IY) удалением i
Es

вi
(2 ) .
i Es
i 1, 2,..., n такую систему, которая получается из системы
того столбца
в1i хi
в2i хi
.
...
вmi хi
Отметим, что если система (IY i )
i 1, 2,..., n разрешима относительно положительной
части
M , то система (IY) также разрешима относительно положительной части M . Отметим
также, что система (IY i ) i 1, 2,..., n содержит на одну неизвестную меньше, чем система
(IY).
 

Теорема. Если для вектор-столбцов в1 , в2 ,..., в
16
n
системы (IY) выполняется равенство:
Раздел I
Алгебра и геометрия

вi

вj
i Х
где Х и
(3) ,
j У
У – произвольные непустые непересекающиеся подмножества множества 1, 2,..., n ,
то система (IY) разрешима относительно положительной части
разрешима относительно положительной части
i
(IY i )
M тогда и только тогда, когда
M , по крайней мере одна из систем
Х .
Доказательство необходимости от противного. Предположим, что ни одна из систем
i
(IY i )
1
,
2
Х
,...,
не разрешима относительно положительной части
n
M . Обозначим через
произвольное нетривиальное неотрицательное решение системы (IY). Оно суще-
ствует по условию. Тогда

в
i i
n

0,
i 1
но

в
i i
n

в
i i
i 1

в
i i
i Х

в
i i
i У

0 (3 ) .
i Х У
Покажем, что
i
X
i
i0
X
i0
0 .
Предположим, что
Тогда последовательность
ным
неотрицательным
i
X
,...,
решением
i0 1
,
i0 1
системы
сказанному
является, согласно ( 3 ), нетривиаль-
n
(IY i0 ).
Получаем
противоречие,
поэтому
– строго линейно упорядоченное поле, то в конечном множестве
P; , ,
X существует наименьший элемент
|i
,...,
0 .
i
Так как
i
1
0 .
i1
i1
, поэтому
i
i
i1
X . Согласно выше-
0.
Обращаясь к равенствам 3 и 3 , получаем, что

0

вi
i1
i X
i
j Y
i X \ i1
i
i1
Это означает, что система (IY i1 )
1
,...,
i1 1
,
i1 1
,...,
n
i1

вi
i
i Y
i Y

вi
i X \ i1

вi
i1
i X \ i1

вj
i1
i
i
i1

вi

i вi

вi
i Y

в
i i
i X Y
i X Y

вi

в.
i i
i X Y
i 1, 2,..., n
имеет неотрицательное решение
, где
17
Вестник ТГПИ
Естественные науки
i
i
i1
, если i
i
i1
, если i Y
i
Так как
i1
0и
i
, если i
X \ i1
X
Y
неотрицательно для любого
.
i Y , то указанное решение нетривиаль-
но. Получаем противоречие, которое и завершает доказательство необходимости теоремы.
Достаточность теоремы справедлива согласно замечанию, указанному перед теоремой.
20 40 получаем следующий алгоритм установления нетривиальной разрешимости системы (I) относительно положительной части M подкольца M ; , ,
:
Из сказанного в пунктах
1) с помощью преобразований 1.-6. (п.
п.
30 ;

2) если среди вектор-столбцов вs s
рого принадлежат
3) если указанного в п.
M
20 ) приводим систему (I) к виду (III), указанному в
r системы (III) есть такой столбец, все элементы кото-
0 , то система разрешима относительно M ;

20 вектор-столбца не существует, и все вектор-столбцы вs s
системы (III) состоят из элементов множества M
система не разрешима относительно
r
0 (или они вообще отсутствуют), то
M ;
20 вектор-столбца не существует, и не все вектор-столбцы
r системы (III) состоят из элементов множества M
0 , то найдѐтся такой

вектор-столбец вs s r , в который одновременно входят элементы M и
M , то-
4) если же указанного в п.

вs s
гда вопрос о разрешимости системы относительно M сводится к вопросу о разрешимости
конечного числа новых систем, содержащих на одну неизвестную меньше.
1.
2.
3.
4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Кривенко В.М. Соотношения предшествования, определяющие стабильные порядки на полугруппах // Междунар. конф. по алгебре, посвящѐнная памяти А.И. Мальцева (1909-1967): сб. научн. тр.
Новосибирск, 1989. С. 65.
Кривенко В.М. Алгоритм распознавания конечных совокупностей соотношений предшествования, определяющих стабильные порядки на свободных полугруппах // Междунар. конф. Математика в индустрии: сб. научн. тр. Таганрог, 1998. С. 209-212.
Нечаев В.И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975.
Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968.
В.Т. Фоменко
О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ЭКВИАРЕАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
ДВУМЕРНЫХ МЕТРИК
Известно [1], что всякая метрика Лиувилля ds
ласти D изменения параметров
u1 ,u 2 , g ij
2
g ij du i du j , заданная в односвязной об-
C 2 , допускает нетривиальную геодезическую де-
формацию, определяемую некоторым параметром
t , при которой геодезические линии остаются
2
геодезическими линиями деформируемой метрики ds t
18
g ij t du i du j . Если коэффициенты
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа