close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ регулярных и хаотических колебаний в нелинейных упругих системах.

код для вставкиСкачать
(r )
(p)
sign q r rr | q r |2 h r h r
fr
(? )
b1ri §Ё sign q i ri | q i |2 h i ·ё ©
№
iЏM1
<0k <1k | q k | ¦
(7)
( p)
<2c k q k | q k | 0, r Џ L 2 , k Џ K1;
¦
H ??1 H BXr fr
signq k <0k <1k | q k | <2c k q k | q k | kЏK1
(?)
(a ) (8)
b1ri §Ё signq i ri | q i | 2 h i ·ё 0, r Џ L 2 ;
©
№
iЏM1
qi
¦
¦ b1ri qr ¦x k qk Qi ,
rЏM2
kЏK2
i Џ M1 * L1 * K1 ,
(9)
где <2c k
<2k Dk / Dck 2 n k / n ck 2 rk1 rk3 O k ,
k Џ K1 * K 2 , x i
xi
Q i
I, если i-й насос включен,
0, если i-й насос выключен,
¦
b1ki q k
kЏN *L 2
i Џ K1 * K1 ;
const; H ??1 , H ??k ? давле-
ние на входе соответственно 1-й и к-й НС; b1ri ?
элемент цикломатической матрицы В1 [2]. Величина, помеченная индексом ?+? ? задана. В приведенной математической модели СПРВ предполагается, что фиктивные участки с потребителями
направлены от сети к нулевой фиктивной точке, а
участки с насосами и соответствующие им фиктивные участки ? наоборот.
УДК 531,534
АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНЫХ И
ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В
НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ
СИСТЕМАХ
ШМАТКО Т.В.
Предлагается новый критерий устойчивости для анализа нелинейных упругих систем, который позволяет
находить области регулярных и хаотических форм
колебаний системы.
Многие задачи динамики упругих систем так же,
как и некоторые задачи радиотехники могут быть
сведены к анализу одного или двух связанных
нелинейных осцилляторов.
Задача о вынужденных колебаниях нелинейного
стержня может быть дискретизирована путем применения метода Бубнова-Галеркина. Если учесть
только одну гармонику ряда Фурье-разложения по
56
Проанализируем условия разрешимости системы
уравнений матема-тической модели водопроводной сети совместно с активными источниками и
регулирующими емкостями. Она может быть решена, если заданы граничные условия функционирования СПРВ в виде комбинации значений переменных расходов и давлений на ее входах и
выходах.
Математическая модель установившегося потокораспределения в системе водоснабжения, содержащей насосные станции и регулирующие емкости,
используется для анализа качества функционирования СПРВ при реализации управляющих воздействий на НС, оценки эффективности решения
задачи оперативного планирования режимов функционирования СПРВ на всем рассматриваемом
интервале времени, а также для контроля правильности принимаемых решений по управлению технологическими процессами подачи и распределения воды.
Литература: 1. Абрамов Н.Н. Теория и методика расчета
систем подачи и распределения воды. М.: Стройиздат,
1985. 288с. 2. Евдокимов А.Г. Оптимальные задачи на
инженерных сетях. Харьков: Вища шк., 1976. 153с. 3.
Дядюн С.В. Выбор оптимальных комбинаций агрегатов
насосной станции городского водопровода// Коммунальное хозяйство городов. К.: Техніка, 1992. Вып.1.
С.63-70.
Поступила в редколлегию 09.06.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Бодянский Е.В.
Дядюн Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доцент
кафедры прикладной математики и вычислительной
техники Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: математическое моделирование, оптимизация, автоматизированное управление в больших системах энергетики. Увлечения и хобби: рок-музыка, спорт. Адрес: Украина,
61024, Харьков, ул. Ольминского, 15, кв. 12, тел. 45-9031, 45-50-86.
пространственным координатам, то можно получить неавтономное уравнение Дуффинга. В работах
[1,2 и др.] исследовано поведение упругой системы,
которая описывается неавтономным уравнением
Дуффинга. Было отмечено, что при малых значениях амплитуды внешней силы наблюдаются периодические колебания, близкие к одному из двух
положений равновесия. А с увеличением амплитуды могут появляться хаотические движения.
Учитывая две гармоники ряда Фурье для пространственных координат, можно получить систему с
двумя степенями свободы, связанную только нелинейными членами. В этом случае возможна ?перекачка? энергии из одной формы колебаний в
другую. Таким образом, можно сформулировать
задачу устойчивости периодических или хаотических форм колебаний в пространстве с большей
размерностью. В работе предлагается новый критерий устойчивости, который позволяет компьютеризировать процесс нахождения зон устойчивости
РИ, 2000, № 4
и неустойчивости системы на конечном временном
интервале.
2. Критерий устойчивости колебаний и его
применение
1. Постановка задачи
Рассмотрим критерий устойчивости периодичес-
Рассмотрим нелинейные изгибные колебания стержня длиной l. В рамках гипотез Кирхгоффа уравнения движения стержня имеют вид [3]:
кой или хаотической формы колебаний y 2 0
системы (4) с одной степенью свободы в пространстве большей размерности. Неустойчивость формы
колебаний y 2 0 означает ?перекачку? энергии из
одной гармоники ряда Фурье в другую. Переменные y 2 , y 2 рассматриваются в качестве вариаций.
P
w 2u
w Єw u 1 § w w ·
«
ES
Ё
ё
w x « wx 2 © w x №
w t2
¬
2є
»
»ј
0,
2 є
Є
w 2w
w 4w
w « w w Є« w u 1 § w w · є»»
ё
P 2 EI
ES
Ё
w x « w x « w x 2 Ё© w x ё№ »»
wt
w x4
¬
*
w2w
wx
¬
јј
(1)
F x ,t ,
2
где x ? пространственная координата; w x ,t прогиб стержня; P ? плотность материала стержня;
E ? модуль упругости; S ? площадь поперечного
сечения стержня; I ? момент инерции; * ? сжимающая сила; F ( x, t ) ? распределенная внешняя
нагрузка.
Предположим, что на концах стержень свободно
оперт , т.е. при x 0 и x l выполняются условия:
w2w
0.
wx
Рассмотрим закритическое поведение стержня, т.е.
w
случай, когда * !
2
S EI
2
l
нагрузку F ( x, t ) в виде
. Представим внешнюю
§ Sx ·
F ( x, t ) f1 cosZt sin Ё ё; .
(2)
© l №
Разложим функцию прогиба w в ряд Фурье по
синусам, ограничиваясь двумя гармониками ряда:
nSx
.
(3)
l
l
Подставив равенства (2) и (3) в уравнение (1) и
применив процедуру Бубнова-Галеркина, получим
нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения y1 t и y 2 t
следующего вида:
w
y1 t sin
Sx
y 2 t sin
y1 G y1 Dy1 Ey13 cy1 y2 2
f cos Z t;
y2 G y 2 ay 2 by 2 3 cy 2 y12
0,
где G ? коэффициент трения,
4
2
1 Є §S ·
§S · є
D « EI Ё ё Ё ё * »; E
P« ©l№ ©l№ »
¬
ј
4
c
ES § S · 2
Ё ё n ; a
4Pl © l №
4
1 Є § nS
« EI Ё
P« © l
¬
(4)
4
ES § S ·
Ё ё ;
4P l © l №
4
2
·
§ nS · є
ё Ё
ё * »;
№
© l № »ј
ES § nS ·
1
f
f1.
Ё
ё ;
4P l © l №
P
Уравнения (1) описывают динамику закритического состояния упругих систем.
b
РИ, 2000, № 4
Предположим, что значения вариации y2 значительно меньше значения переменной y2 (в области
устойчивости формы колебаний y 2 0 ). Предлагается следующий критерий устойчивости:
Неустойчивость формы колебаний y2 0 (в системе (4)) фиксируется, когда вариация y 2 превышает начальное значение
y 2 (0) ?на порядок?:
y 2 t d U y 2 (0) 0 d t d T , U
O 10 .
(5)
Сравним предложенный критерий устойчивости с
хорошо известным критерием устойчивости по
Ляпунову [6]: решение y 0 является устойчивым,
если для всех H ! 0 существуют такие G ! 0 , что для
всех y0 Џ N G 0 и t t 0 можно получить y t Џ N H 0 .
Здесь NG ( 0) и NH ( 0) означают G - и H окрестности
y 0.
фор мы
кол ебаний
Наприме р,
y Џ R n y d J (окрестности могут быть опре-
NJ
делены по-другому). Пусть H
Ut
U y0 d UG , тогда
H
H
? верхний предел дроби G . Таким образом,
G
предложенный критерий является следствием критерия Ляпунова в случае, когда постоянные G и H
связаны между собой, и G не может быть сколь
угодно малой величиной. Постоянная U может
быть выбрана, например, следующим образом:
H
dU
G
2 10 . В этом случае мы фиксируем неус-
тойчивость, если текущие значения вариаций (возмущений) превышают начальные значения ?на
порядок?, как это часто используется в инженерных расчетах. Предложенный критерий может быть
использован для числового расчета устойчивости на
ПЭВМ в точках некоторой сетки на плоскости
параметров системы. Время T выбирается таким
образом, чтобы границы областей устойчивости и
неустойчивости на плоскости параметров стабилизировались в выбранном масштабе сетки.
Проанализируем зависимость (или независимость)
устойчивости колебаний от начальных условий.
Результаты, полученные при анализе линейной
устойчивости, свидетельствуют о независимости
57
области устойчивости от начальных условий, что
является свойством линейных вариационных уравнений. Известно [7,8], что дополнительные области
неустойчивости, полученные при учете нелинейных членов, имеют меньшую размерность на плоскости параметров, чем область неустойчивости,
полученная при исследовании линеаризованных
уравнений в вариациях (если вариации достаточно
малы). Рассматриваемые в дальнейшем примеры
подтверждают независимость области устойчивости от начальных условий.
Для проверки достоверности предложенного критерия и разработанного программного обеспечения,
которое его реализует, было решено несколько
тестовых задач. В частности, рассматривалось уравнение Матье. Полученные результаты хорошо совпадают с известными результатами и не зависят от
начальных условий [4].
В качестве примера, где может быть применен
предложенный метод, рассмотрим нелинейный
осциллятор, который описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя
степенями свободы:
­ w3
0,
° x1 wx
°
1
®
(6)
° x w3 0 ,
°Ї 2 wx2
a2 x12 a4 x14 e0 x22 e2 x12 x22 .
где 3
Исследуется устойчивость формы колебаний x2
0.
Если a 4 0 и связующий член в первом уравнении
системы (6) отсутствует, то второе уравнение преобразуется в уравнение Матье [5]. Отметим, что это
второе уравнение определяет устойчивость рассматриваемой формы колебаний.
Если a 4 z 0 и связующие члены присутствуют в
двух уравнениях системы (6), то тогда функция
x1 t является негармонической и второе уравнение
преобразуется в более сложное уравнение Ламе.
Выберем следующие параметры системы: a 2
a4
0.005;
e2
0.5;
3.2. Пусть начальное значение
функции x1 t и параметр e0 варьируются, причем
x1 0 X , где X Џ 0;1 и e0 Џ 1.6;2.5 . Анализируются два варианта различных начальных условий.
Вариант I: x1 0 X , x1 0 0, x2 0 0.005 X ,
x 2 0
0.
Вариан т
II:
x1 0
X,
x1 0
0,
x2 0 0.005 X , x 2 0 0.005. Результаты выводятся на плоскость варьируемых параметров (X,a),
где X x1 0 , a 2 e0 e2 . Границы областей устойчивости и неустойчивости, полученные при
численном расчете системы (6) с использованием
критерия устойчивости (5), представлены на рис.1.
Область неустойчивости находится внутри отмеченных границ. Значения параметров изменялись
на интервалах 0 d X d 0.2 и 0 d a d 5 , задаваемый
шаг расчета 'X 0.1, 'a 0.1 . Было выявлено, что
границы областей устойчивости и неустойчивости
на плоскости параметров (X,a) стабилизируются на
временном интервале 0 d t d T 700 .
Как и было предположено, результаты исследования не зависят от выбранных начальных условий
при небольших начальных значениях вариации
x 2 0 . Интересно отметить, что в рассматриваемом
случае границы областей устойчивости и неустойчивости близки к известным границам, соответствующим решению уравнения Матье [5].
3. Численные примеры динамики устойчивости
нелинейных упругих систем
X
Теперь вернемся к системе (4), описывающей
нелинейную динамику стержня и оболочки. Выполним преобразования
y1 o P1 y1 ,
y 2 o P 2 y 2 , t o P 3t
с помощью масштабных коэффициентов Pi так,
чтобы D 10 , E 100 , G 1 , Z 3.76 . Полученные
значения соответствуют системе с одной степенью
свободы
y2
0 , рассмотренной в [1]. Таким
образом, неустойчивость формы колебаний y 2
a
Рис. 1. Границы областей устойчивости и неустойчивости, полученные при решении уравнения Ламе с
помощью критерия (5)
58
0
означает неустойчивость первой гармоники укороченного ряда Фурье по отношению к другой
гармонике.
Рассмотрим следующие значения параметров в
разложении (3): n 2 , b 1600 , c 400 (вариант
А); n 3 , b 8100 , c 900 (вариант В); n 4 ,
b 25600 , c 1600 (вариант С). Пусть параметр a
РИ, 2000, № 4
варьируется на интервале a Џ 200;200 . Другие
значения параметров системы соответствуют реальным характеристикам стержня и оболочки.
f
G 0
x G 0.5
o G
1
f
G 0
x G 0.5
o G 1
a
Рис.4. Границы устойчивости и неустойчивости
(вариант С)
a
Рис.2. Границы устойчивости и неустойчивости
(вариант А)
f
G 0
x G 0.5
o G 1
Численный эксперимент позволил определить, что
границы областей устойчивости и неустойчивости
стабилизируются на временном интервале
0 d t d T 100 . Результаты вычислений не зависят
от начальных условий. Из графиков видно, что при
увеличении коэффициента трения область неустойчивости уменьшается.
Предложенный критерий устойчивости регулярной и хаотической формы колебаний и его компьютерная реализация могут быть использованы для
других типов упругих систем, например, арки,
пологой оболочки и других.
Основное уравнение движения пологой арки может
быть представлено в виде:
As U
w2w
wt 2
T
a
Рис.3. Границы устойчивости и неустойчивости
(вариант В)
Значения амплитуды внешнего воздействия f изменяются на интервале f Џ 0;2 , коэффициент
трения учитывается при трех различных значениях
G 0 , G 0.5 , G 1 . Задаются следующие начальные условия: y1 0 0.3, y1 0 0, y 2 0 0.001,
y 2 0 0 , однако результаты не зависят от начальных условий. Плоскость варьируемых параметров
a, f , задаваемый шаг сетки 'a 2 , 'f 0.05 .
Результаты приведены на рис.2, 3, 4.
РИ, 2000, № 4
EI
EAs
2l
w 4 ( w w0 )
wy 4
T
Є§ ww · 2 § ww
0
і «ЁЁ wy ёё ЁЁ wy
«
№
©
0 ©
l
w2w
wy 2
·
ёё
№
q(t , y ),
2є
(7)
» dy ,
»
ј
где w w(t , y ) и w0 w0 ( y ) ? координаты соответственно деформированной и первоначальной центральной линии арки; U ? массовая плотность;
q q(t , y ) ? функция поперечной нагруз-
ки; Т ? величина распора; EI и EAs ? жесткости на
изгиб и растяжение-сжатие соответственно.
Для удобства в дальнейших преобразованиях вводится параметр е, характеризующий высоту арки,
а также безразмерные величины:
e
O
2 l
§ Sy ·
w 0 sin Ё ё dy ,
і
l 0
© l №
EI
2
e EAs
, W W (W ,K )
W
§S ·
Ё ё
©l №
2
E
U
et ,
w
, W 0 W 0 (K )
e
K
Sy
l
,
w0
,
e
59
4
§l · q
P P(W ,K ) Ё ё
.
(8)
© S № eEI
Для определенности рассмотрим двухшарнирную
арку при следующих начальных условиях:
1
O 2W
wW
wW W 0
, WW 0
W (0,K )
(9)
0 d t d T | 2000 . На рис.5 представлена стабилизация границ областей устойчивости и неустойчивости при различных значениях Т. Показаны результаты при Т=1700, Т=2000 и Т=2200. Как видно из
рис.5, границы областей устойчивости и неустойчивости при Т=2000 и Т=2200 полностью совпадают.
q
и краевых условиях:
w 2 (W W0 )
wK 2
K 0
T=1700 ---
w 2 (W W0 )
wK 2
0
K S
W (W ,0) W (W , S ) 0 .
,
(10)
--- T=2000, 2200
Для решения поставленной задачи зададим функции W0 и P в виде
W0
sin K , P
p sin K ,
(11)
а уравнение траектории W представим в виде
следующего Фурье-разложения:
W W1 (W ) sin K W2 (K ) sin 2 K .
(12)
Применив метод Бубнова-Галеркина для задачи
(7), (9), (10) с учетом соотношений (10),(11),
получим следующую систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
O
Рис.5. Стабилизация границ областей устойчивости и
неустойчивости пологой арки
2
d W1
dW 2
O (W1 1) f [W ]W1
d 2W 2
dW 2
16 O W 2 4 f [W ]W 2
Op,
(13)
0,
где f [W ] 0.25 (W1 2 4 W22 1).
В работе [9] было показано, что в случае действия
внешней статической нагрузки (p=const) симметричная форма W0
На рис.6 изображена граница областей устойчивости и неустойчивости для Т=2000. Интересно
отметить, что с помощью предложенного алгоритма
может быть изображена не только зона статической
неустойчивости для малых значений параметра O ,
которая получена в работе [9], но и достаточно
большая область динамической неустойчивости.
q
0 является неустойчивой при
O 1 / 22 . В настоящей работе рассматривается динамическая внешняя нагрузка p q cos ZW .
С помощью критерия (5) найдены области устойчивости и неустойчивости для рассматриваемой
пологой арки. При этом начальные условия были
заданы следующими: y1 (0)=0.02, y 1 (0)=0,
y 2 (0)=0.002, y 2 (0)=0. Области неустойчивости
представлены на плоскости варьируемых параметров O , q . Параметр O изменялся на промежутке
0.01 d O d 035 , параметр q ? на промежутке 0 d q d 2 .
Был выбран соответствующий шаг сетки по выводимым параметрам 'O 0.085 , 'q 0.05 .
На основании проведенного вычислительного эксперимента было установлено, что границы областей устойчивости и неустойчивости стабилизируются на плоскости параметров O , q на интервале
60
O
Рис.6. Граница области устойчивости и неустойчивости пологой арки при Т=2000
РИ, 2000, № 4
В качестве еще одного примера рассмотрим задачу
о вынужденных нелинейных колебаниях цилиндрической оболочки. Разрешающая система динамических уравнений движения оболочки имеет вид
[10]:
D 4
’ w
h
L w, ? 1 4
’ ?
E
1 w ? q
w w
U
,
2
R wx
h
wt 2
wx 2 wy 2
J1
(14)
(15)
w 2 w w 2?
2
,
2
2
wxwy wxwy
wy wx
Полный динамический прогиб зададим в виде :
f 1 cos sy sin rx f 2 sin sy sin rx , (16)
w
n
mS
, n, m ? целые положительные
иr
R
l
числа. А внешнюю нагрузку зададим как
p f cos ZW .
здесь s
Как показано в работе [10], после решения уравнения (15) и применения процедуры метода БубноваГалеркина к уравнению (14) получим систему
уравнений для определения обобщенных функций
f 1 и f2 :
2
d 2 f1
§ df ·
� 1 2Ѓf12 Z02 f1 2Ѓf1 Ё 1 ё 2
dt
© dt №
J 1 f13 gf15
f cos Zt ,
2
2 ·
§
·
§
Ё Z 2 2ЃЁ § df1 · f d f1 ё J f 2 gf 4 ё
f
2
�
Ё
ё
0
1
1
1
1
Ё
ё
Ё © dt №
dt 2
dt 2 ё№
©
©
№
df 2
где
Z 02
Є
є
2
1 «D 2
Er 4
»
s r2 U «h
2 2
2 2 »,
R
s
r
¬
ј
РИ, 2000, № 4
g
1 Є E 4 Dn 4 r 4
Er 4 s 4 є
« r »
U « 16
2
2 2»,
hR 2
s r ј
¬
Є
є
3E 2 4 6 «
1
1
»
n r s
« 2
16 U
2 2
2
2 2».
s
r
s
9
r
¬
ј
Полученная система аналогична (13) и может быть
исследована с помощью разработанных программ и
алгоритмов, в основе которых лежит предложенный критерий устойчивости.
w 2 w w 2?
2є
Є 2
w w w 2 w §Ё w 2 w ·ё »
«
2
« wx 2 wy 2 Ё wxwy ё » .
©
№ »ј
«¬
L w, w
2Ѓ
2
1
1 w2w
- L w, w ,
2
R wx 2
w 2 w w 2?
где L w, ?
2
2
2 §Ё n 2 ·ё
,
3 Ё© 2 R ё№
Литература: 1. Holmes P.J. A nonlinear oscillator with a
strange attractor// Philos.Trans.Royal Soc.London, 1979.
A292. Р. 419-448. 2. Moon F.C. Chaotic Vibrations.
NewYork:Wiley, 1987. 312 p. 3. Kauderer H. Nichtlinear
Mechanik. Berlin: Springer-Verlag, 1958. 778 p. 4. Mikhlin
Yu.V. Stability of periodical and chaotic vibrations in
systems with more than one equilibrium positions. //
Proc.of MATHMOD, Vienna, 1994. Р. 903-905. 5. Shmatko
T.V. Stability of periodic and chaotic vibration modes in
nonlinear systems with several equilibrium positions //
Сборник трудов VII научно-технической конференции MicroCad?99. Информационные технологии: наука, техника, технология, образование , здоровье. 1999.
C.396-400. 6. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.:Л.: ОНТИ, 1935. 386с.7. Siegel C.L. and
Moser J.K. Lectures on Celestical Mechanics. Grundlehrem:
Springer-Verlag, 1971. 288 p. 8. Pecelli G. and Thomas E.S.
Normal modes, incoupling, and stability for a class of
nonlinear oscillators // Quart.of Appl. Math, 1979. № 37.
Р. 281-301. 9. Маневич Л.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н.
Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. М.: Наука, 1989. 215 с. 10. Кубенко В.Д.,
Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек. К.: Наук. думка. 1984. 219 с.
Поступила в редколлегию 14.07.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Горбенко И.Д.
0,
Шматко Татьяна Валентиновна, аспирантка кафедры
прикладной математики Харьковского государственного политехнического университета. Научные интересы: математическое моделирование процессов, описывающих переход от регулярных движений к хаотическим. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Дружбы
Народов, 267, кв. 181, тел. 16-55-94, 40-09-41.
61
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
410 Кб
Теги
анализа, нелинейные, система, упругие, хаотическая, колебания, регулярные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа