close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аналитическое решение задачи о вычислении изотермического потока тепла в плоском канале.

код для вставкиСкачать
ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА
УДК 533.72
ТЕСТОВА Ирина Вячеславовна, старший преподаватель кафедры информатики, вычислительной техники и методики преподавания информатики Поморского государственного университета
имени М.В. Ломоносова. Автор 15 научных публикаций
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЫЧИСЛЕНИИ
ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПОТОКА ТЕПЛА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
В рамках кинетического подхода для произвольных значений числа Прандтля построено аналитическое (в виде
ряда Неймана) решение задачи о вычислении потока тепла в плоском канале с параллельными бесконечными
стенками при наличии параллельного стенкам градиента давления. В качестве основного уравнения используется
эллипсоидально-статистическая модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия –
модель диффузного отражения. В качестве приложения вычислен изотермический поток тепла в канале.
Течение разреженного газа в канале, течение Пуазейля, кинетическое уравнение
Больцмана, модельные кинетические уравнения, модели граничных условий, точные
аналитические решения
Введение. Задача о вычислении потока
тепла в плоском канале с бесконечными параллельными стенками при наличии параллельного
стенкам градиента давления (изотермическом
потоке тепла) неоднократно рассматривалась
ранее различными авторами с использованием
как численных, так и аналитических методов,
обзоры которых можно найти в [1–2]. Однако
полученные в этих работах результаты относятся к газам, число Прандтля которых близко
к 2 / 3 , в то время как для ряда реальных газов
это значение существенно отличается от приведенного выше [3]. Целью представленной
работы является построение решения задачи о
вычислении потока тепла в канале, справедливого для произвольных значений числа Прандтля.
1. Постановка задачи. Построение функции распределения молекул газа. Рассмотрим течение разреженного газа в плоском канале толщиной D ' , стенки которого расположены в плоскостях x'   d ' прямоугольной декартовой системы координат ( d '  D ' / 2 ).
Предположим, что в канале поддерживается
постоянный градиент давления, параллельный
его стенкам. Направим ось Oz ' декартовой системы координат вдоль градиента давления.
Запишем в выбранной системе координат ЭС
модель кинетического уравнения Больцмана
f
f
p
vx
 vz

Pr  eq  f .
(1)
x '
z '  g
Здесь f (r ' , v ) – функция распределения
молекул газа по координатам и скоростям, p и

© Тестова И.В., 2011
122

Тестова И.В. Аналитическое решение задачи о вычислении изотермического потока...
 g – давление и коэффициент динамической
вязкости газа, v и r ' – скорости поступательного движения и размерные радиус-векторы
координат центров масс молекул газа,
Z
1

 Z ( x,  )  1 
x


 exp(
)[

)[1  2(1  Pr 1 )  ] Z ( x,  ) d .
 eq (r ' , v )  n( z )  3 / 2 (det A)1 / 2 
2
(3)
Общее решение (3) имеет вид [5]


 exp   Aij (C i  U i )(C j  U j ) ,
 i , j 1

Z ( x,  )   x 2  2  x  2  2  A0  A1 ( x   1 ) 
3
A || Aij ||  ij  (1  Pr 1 )
p ij


1
C   1 / 2 v и U   1 / 2 u – безразмерные
скорость молекул газа и массовая скорость
газа;   m / 2k BT ; m – масса молекулы газа;
k B – постоянная Больцмана; p ij – температура газа; T – компоненты бездивергентногоо
тензора вязких напряжений [4].
Будем считать малым относительный перепад давления на длине свободного пробега
молекул газа l g . Тогда задача допускает линеаризацию и функцию распределения молекул
газа по координатам и скоростям можно представить в виде:
f (r ' , v )  n( z )  3 / 2 3 / 2 


 exp(C 2 ) 1  C z Gn Z ( x, C x ) .
(4)

,
p
x
 exp(  ) F ( ,  ) a( ) d .
(2)
Здесь Gn  (1 / p ) ( dp / dz ) – безразмерный
градиент давления в направлении оси Oz ' ;
Z ( x, C x ) – линейная поправка к локально-равновесной функции распределения; x  Pr x ' / l g
и z  Pr z ' / l g – безразмерные координаты;
Здесь A0 , A1 и a ( ) – неизвестные параметры и функция, подлежащие дальнейшему
определению:
F ( ,  ) 
1
1
P
 exp( 2 )  ( )  (   ),



1
exp(  2 ) d
 ( z)  1 
z
,
z
 

P (1/ z ) – распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от 1 / z ,
 (z ) – дельта-функция Дирака,   Pr 1 . В
качестве модели граничного условия на стенках канала используем модель диффузного отражения. С учетом этого на верхней и нижней
стенках канала для функции Z ( x,  ) должны
выполняться условия
Z (  d ,  )  0 ,   0 .
(5)
С учетом симметрии задачи Z (d ,  ) 
 Z (d ,  ) [4]. В силу этого необходимо положить A1  0 , a( )  a ( ) . Тогда, подставляя (4) в (5), приходим к интегральному уравнению:
l g   g  1 / 2 / p . Подставляя (2) в (1) и лине-
1


 0
аризуя  eq (r ' , v ) относительно локального
 b( ,d ) d
 exp(  2 ) b(  ,d )  (  )  f (  ) ,
 
максвеллиана, приходим к уравнению для на-
  0,
хождения Z ( x,  ) (   C x )
123
(6)
ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА
f (  )  d 2  2  2  A0  2d 
1



 0
 b( , d ) d
,
 
(7)
 x
b( , x)  exp   a ( ) .
(8)
 
Решение (6) ищем с использованием теории
краевых задач функции комплексного переменного [2]. С этой целью введем вспомогательную функцию, заданную интегралом типа Коши:
N ( z) 
1



0
 b( ,d ) d
.
z
N  (  )  (  )  N  (  )  (  ) 
 2  i f (  ) exp(   ) ,   0 .
Общее решение (10) имеет вид
N ( z) 
1
1
X ( z) 


0
(10)
X  ( )
d .
 f ( ) exp( 2 )

z
 ( )
X ( ) 
 ( ) 

0
 ( )

.
 arctg
2
  exp( 2 )


1

X ( )
 f ( ) exp( 2 )


 0  ( )

0
1

 d
  X ( ) a( ) exp    d .
 0
(13)
Коэффициенты a (  ) в разложении (4) найдем по формулам Сохоцкого. Учитывая (8) и
(9), находим
 d
N  (  )  N  (  )  2  i a (  ) exp   . (14)
 
Отсюда приходим к интегральному уравнению
a(  ) 

1
2 


0
exp(  2 ) X (  )
[Q1    d 
|  (  ) |2
 X (  ) a( )
 d
 d
exp  d ] exp   ,
 
 
 
  0.
(15)
Решение (15) ищем в виде ряда по степеням 
Раскладывая (11) в окрестности бесконечно
удаленной точки, приходим к условию разрешимости краевой задачи (10):


X  ( )  exp( 2 ) d
,
 
 ( )
A0   d 2  2Q 2  2dQ1 
[ ( )   ] d 
,
 z

d 2  2Q2  A0  2dQ1 

1
находим
(11)

(12)
Здесь Qn – интегралы Лойалки [2], в частности Q1  –1,01619, Q2  –1,26632. Изменяя
в (12) порядок интегрирования и учитывая (8) и
интегральное представление:
Здесь
1
1
X ( z )  exp 
z

b( , d )
d  0 .

 0  
(9)
С учетом граничных условий на верхнем и
нижнем берегах разрезов для функций N (z ) и
 (z ) сведем интегральное уравнение (6) к краевой задаче Римана на действительной положительной полуоси:
2

1
 d

a( ) 
  a ( ) ,    2 1 .
k
k
(16)
k 0
Подставляя (16) в (15) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  , приходим к системе рекуррентных соотношений, из
которых находим:
124
Тестова И.В. Аналитическое решение задачи о вычислении изотермического потока...
a0 ( )  h( )[Q1    D / 2] ,

a1 ( )  h( )

0
g ( )[Q1    D / 2]d
,
 

a 2 ( )  h( )

0


0
h( ) 
(18)
A0  
D

exp   2   ,
2 

|  ( ) |
 X 2 (  )
I0 
1
I1 

 g ( ) d

0
0
I2 


0
q z ( x) 
1
J 0 ( x) 

 D / 2] d ,
J 1 ( x) 
0

1


g ( )[Q1    D / 2] d
,
 

 g ( ) d 
0
0
q z ( x)
1 dp
p dz ,
1
) C z2 Z ( x, C x ) d 3 C .(20)

1 1  k
1    J k ( x)  ,

2  2 k 0



  ( x,  )[Q    D / 2] d ,
1
0

 ( x,  )d
0
1



0
 ( x,  ) 
g ( ) [Q1    D / 2] d
,


 ( x,  ) d

 
0
g (  )[Q1    D / 2] d
.
 

0

(21)


J 2 ( x) 
g ( ) d 

 
Таким образом, неизвестные параметры
A0 , A1 и функция a ( ) , входящие в (4), найдены и функция распределения молекул газа по
координатам и скоростям построена.
2. Вычисление потока тепла. С учетом
построенной функции распределения вычислим
z-компоненту вектора плотности потока тепла
q z' ( x' ) и величину потока тепла в направлении
2
Здесь q z (x ) есть безразмерная z-компонента вектора плотности потока тепла. Подставляя (4) в (20), после интегрирования получаем:
2
 g ( )[Q1  


 exp(C



q z ( x )   3 / 2

D 2
 2Q2  DQ1    k I k ,
4
k 0
1
nk B T
(19)
2

2
 2 [v  u(r' )] | v  u(r' ) | 
3
 f (r ' , v) d v 
D

exp   2   .
 

|  ( ) |
Подставляя далее (16)–(19) в (14), находим:
g ( ) 
m
q z' ( x' ) 
X ( )

оси Oz ' , приходящуюся на единицу ширины
канала Q 'p . Исхходя из статистического смысла
функции распределения и учитывая (2), находим [2]
g ( )d

 
g (  )[Q1    D / 2]d
,
 

(17)
0
g ( ) d


g ( ) [Q1    D / 2] d
,
 
  x  D /2
X (  )
exp  2 exp
 

2

|  ( ) |

 
 x  D / 2 
 exp 
 .



Величину потока безразмерного тепла Q p в
направлении Oz ' , приходящуюся на единицу
ширины канала, вычислим согласно [1]:
125
ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА
D/2

2
Qp   2
q( x ) dx .
(22)
D
D / 2
Подставляя (21) в (22) и выполняя интегрирование, получаем:

Qp  
K0 
K1 
1
1



1 
D

k K k  ,

2 
D 
k 0


  ( )[Q    D / 2] d ,
1
0


 (  )d

 
0
K2 
0
1
(23)
g ( ) [Q1    D / 2] d
,



 (  ) d

 
0
0
g ( ) d




0
 ( ) 
g ( ) [Q1    D / 2] d
,
 

 X ( )
 D 
exp  2 1  exp   .

2
|  ( ) |
  

Выражение (23) описывает изотермический
поток тепла, приходящийся на единицу ширины
канала.
Заключение. Итак, в работе в виде
ряда Неймана построено решение ЭС модели кинетического уравнения Больцмана в
задаче об изотермическом потоке тепла в
плоском канале с параллельными стенками.
В качестве приложения получено выражение, описывающее поток тепла в газе, приходящийся на единицу ширины канала, справедливое при произвольных значениях числа Прандтля.
Список литературы
1. Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург, 2008.
2. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитические решения граничных задач для кинетических уравнений. М.,
2004.
3. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М., 1963.
4. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М., 1973.
5. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий // ЖТФ. 1998. Т. 68, № 11. C. 27–31.
Testova Irina
ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM
OF SCALING ISOMETRICAL FLOW OF HEAT IN THE DUCT
Under the kinetic approach for arbitrary values of Prandtl number analytical (in terms of Neumann series)
solution of the problem of scaling heat flow in flat duct with parallel perpetual sides is build with barometric gradient
being parallel to the sides of duct. Ellipsoidal statistical model of Boltzmann kinetic equation is used the basic
equation, the model of direct reflection being used in the capacity of a boundary condition. Isothermal flow of heat
in the duct is scaled as a supplement.
Контактная информация:
e-mail: testovairina@mail.ru
Рец енз е нт – Попов В.Н., доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
126
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
367 Кб
Теги
решение, аналитическая, вычисления, канал, изотермический, тепла, плоское, задачи, поток
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа