close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотика распределения числа восстановлении в процессе восстановления порядка (k 1 k 2).

код для вставкиСкачать
Математика, механика, информатика
УДК 519.248
И. И. Вайнштейн, Г. Е. Михальченко, В. И. Вайнштейн
АСИМПТОТИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА ВОССТАНОВЛЕНИЙ
В ПРОЦЕССЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОРЯДКА ( k1 , k2 )
Доказана сходимость распределения числа восстановлений в момент времени t к нормальному распределению для процесса восстановления порядка (k1 , k2 ) , обобщающего известные в теории надежности
простой и общий процессы восстановления.
Ключевые слова: процесс восстановления, число восстановлений, функции распределения, асимптотика
числа восстановлений.
В теории надежности процессом восстановления
называется последовательность взаимно независимых
неотрицательных случайных величин X i с функциями распределения Fi (t ), i  1, 2,  [1, 2]. Для восстанавливаемых элементов процесс восстановления моделирует ситуацию, когда после первого отказа ( X 1 –
наработка элемента от начала работы (t  0) до первого отказа) элемент восстанавливается или заменяется и работает до следующего отказа ( X 2 – наработка
элемента от первого до второго отказа), затем он восстанавливается или заменяется и работает до следующего отказа и т. д. Время восстановления не учитывается. Считается, что оно пренебрежимо мало по
сравнению со временем наработки элемента между
отказами.
Существуют различные модели процессов восстановления, отличающиеся разными предположениями
относительно функций распределения Fi (t ) случайных величин X i . Основной моделью, которая рассматривается в математической теории надежности,
является простой процесс восстановления, для которого
Fi (t )  F1 (t ), i  2, 3,  .
и общему (запаздывающему) процессам восстановления. Эти случаи хорошо изучены, особенно в том, что
касается асимптотического поведения их различных
характеристик [1; 2].
Пусть N (t ) – случайное число отказов (восстановk
лений) за время от нуля до t и Tk   X i , k  1 –
i 1
моменты отказов (восстановлений). Тогда
P  N (t )  k   P (Tk  t ).
(1)
Для асимптотического распределения N (t ) процесса восстановления порядка (2, 1) (общего процесса) имеет место теорема [2]: пусть случайные величины X 1 , X 2 имеют конечные дисперсии σ12 и σ 22 .
Тогда
t


x
2
 N (t )  μ

t
2
lim P 
 x    ( x),  ( x)  1  e 2 dt ,
2π
t  

σ tμ 23

 2



где μ 2  M ( X 2 ), здесь M ( X i ) – математическое ожидание случайной величины X i .
Рассмотрим аналог этой теоремы для процесса
восстановления порядка (k1 , k2 ).
Введем следующие обозначения: Yi  X k1  i 1 ,
Процесс восстановления называется общим (запаздывающим), если Fi (t )  F2 (t ), i  3, 4,  .
В данной статье мы будем рассматривать процесс
восстановления порядка (k1 , k2 ). В этом процессе
функции распределения удовлетворяют условию [3; 4]:
k2
i  1, 2,  , M (Yi )  M i , D (Yi )  Di  σi2 , D   Di ,
i 1
k2
A   Mi.
Fi (t )  F j (t ) при i  j (mod k2 ), i, j  k1 .
i 1
Для последовательности одинаково распределенных случайных величин имеет место центральная
предельная теорема [5]: если независимые случайные
величины ξ1 , ξ 2 , …, ξ n ,  одинаково распределены
и имеют конечную отличную от нуля дисперсию, то
при n   равномерно по x
Последовательность функций распределения для
данного процесса имеет вид
F1 , F2 ,  , Fk1 1 ,
Fk1 , Fk2 1 ,  , Fk1  k2 1 , Fk1 , Fk2 1 ,  , Fk1  k2 1 ,  ,


1
P
 Bn
где функции распределения Fk1 , Fk2 1 ,  , Fk1  k2 1 образуют повторяющуюся (периодическую) часть рассматриваемого процесса восстановления.
Процессы восстановления порядка (1, 1), (2, 1)
(в первом случае Fi (t )  F1 (t ), во втором –
Fi (t )  F2 (t ), i  2, 3, ) соответствуют простому
где Bn 
t
x
2

1
2 dt ,



(ξ
(ξ
))
M
x
e

 k
k


2
k 1


n
n
 D(ζ k ).
k 1
Докажем аналог этой теоремы для процесса восстановления порядка (1, k2 ).
16
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
Учитывая, что интегралы в правой части последнего равенства стремятся к нулю при n   (в силу
предположения о конечности дисперсий Di ) и
lim pn   , получим равенство (2).
Теорема 1. Пусть случайные величины Yi , задающие процесс восстановления порядка (1, k2 ), имеют
конечные дисперсии Di  σi2 , i  1, 2,  , k2 , хотя бы
одна из которых отлична от нуля. Тогда равномерно
по x
 k

  (Yi  M (Yi ))

lim P  i 1 k
 x   ( x).


k 


 Di
i 1


Д о к а з а т е л ь с т в о. При сделанных предположениях достаточно проверить, что выполняется условие Линдеберга: при любом τ  0
n
1
 |x  M | τB
n  B 2
lim
k
n k 1
n
( x  M k ) 2 dFk ( x)  0.
n 
Теорема 2. Пусть случайные величины X i имеют
конечные дисперсии, хотя бы одна из которых при
k1  i  k1  k2 отлична от нуля. Тогда в процессе восстановления порядка (k1 , k2 )
 N (t )  k2 t

A
lim P 
 x    ( x).
(3)
t 
 k Dt A3

 2

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что функции
распределения Fi (t ), i  1,  , k1  1 не влияют на
асимптотическое распределение случайной величины
N (t ). Запишем k в виде k  mk k2  qk , где qk – остаток от деления k на k2 . Тогда
(2)
n
Действительно, пусть Bn  D  Yi , n  pn k2  qn ,
qk
qk
 k  k
k  qk
M   Yi    M (Yi )  mk A   M i 
A   Mi ,
k2
i 1
i 1
 i 1  i 1
qk
qk
k
k


k  qk
D   Yi    D(Yi )  mk D   Di 
D   Di ,
k2
i 1
i 1
 i 1  i 1
i 1
где qn – остаток от деления n на k2 (qn  k2 ) . Тогда
qn
n
Bn  D  Yi 
pn D   Di . При n  k2
i 1
n
i 1
1
 B2
k 1

k
k
 (Yi  M (Yi ))  Yi 
i 1
( x  M k ) 2 dFk ( x ) 
 Di
n | x  M k | Bn

1

( x  M1 ) 2 dF1 ( x)  ... 


qn

pn D   Di | x  M1| τBn

| x  M k2 |Bn


qk
k  qk
D   Di
k2
i 1
Обозначим
k
Zk 
( x  M k2 ) 2 dFk2 ( x)  ... 
 Yi 
i 1
qk
k  qk
A   Mi
k2
i 1
qk
k  qk
D   Di
k2
i 1
По теореме 1 имеем
lim P ( Z k  t )   (t ).

( x  M n ) 2 dFn ( x )  

| x  M n | Bn

.
(4)
1
Рассмотрим P( N (t )  k ):
qn
tk2
tk

k 2
 N (t )  A
A
P ( N (t )  k )  P 

t
t


Учитывая (1), получим
 k

P ( N (t )  k )  P   Yi  t  
 i 1

i 1

 pn
| x  M k2 | τBn
qn

k 1
( x  M k2 ) 2 dFk2 ( x) 

( x  M k ) 2 dFk ( x)  

| x  M k | τBn


| x  M k2 | τBn
1
pn
qn

k 1


.


qk
qk
 k
  Yi  k  qk A   M i t  k  qk A   M i

k2
k2
i 1
i 1

= P  i 1
qk
qk


k
q
k
q

k
k


D
D
D
 i
 Di

k2
k2
i 1
i 1


2


 ( x  M1 ) dF1 ( x)  ... 
|x  M1| τBn
1 qn
D
 Di
pn i 1
1

.
k 

2
 pn
 ( x  M1 ) dF1 ( x)  ... 
 |x  M1| τBn
p   Di

i 1
i 1
i 1


k
qk
k  qk
A   Mi
k2
i 1
( x  M k2 ) 2 dFk2 ( x) 
qk

kA qk A


  Mi
t

k2
k2
i 1
 P  Zk 
qk
k
D

2


k
q
 Di
k

k2
D i 1


( x  M k ) 2 dFk ( x)  .

| x  M k |Bn

17



.



(5)







(6)
Математика, механика, информатика
Следуя доказательству теоремы об асимптотическом поведении распределения N (t ) для общего процесса восстановления [2; 6], рассмотрим при фиксированном t последовательность {zk }, определяемую
равенством
tk
k  2  t zk .
A
Из (5) и (6) получим
tk2


 N (t )  A

P
 zk  
t






zk A t qk A qk



  Mi


k2
k2
i 1
 P  Zk  
.
qk
tk2
k2
D


 qk   D 
zk t 

k
A
D
2
i 1


Таким образом, для процесса восстановления порядка (k1 , k2 ), обобщающего известные в теории надежности простой и общий процессы восстановления,
имеет место сходимость распределения числа восстановлений в момент времени t к нормальному распреk
делению M  N (t )   2 t и σ  N (t )   k2 tDA3 . Этот
A
результат можно использовать, например, для расчета
необходимого на данный период времени числа запасных элементов при эксплуатации технических
систем.
Библиографические ссылки
1. Вопросы математической теории надежности /
Е. Ю. Барзилович, Ю. К. Беляев, В. А. Каштанов и др. ;
под ред. Б. В. Гнеденко. М. : Радио и связь, 1983.
2. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход : пер.
с нем. М. : Радио и связь, 1988.
3. Вайнштейн И. И. Прикладная математика : сб.
индивидуал. заданий / Краснояр. политехн. ин-т.
Красноярск, 1993.
4. Вайнштейн И. И., Вайнштейн В. И., Вейсов Е. А.
О моделях процессов восстановления в теории надежности // Вопросы математического анализа : сб.
науч. трудов / под ред. В. И. Половинкина ; Краснояр.
гос. техн. ун-т. 2004. Вып. 6. С. 78–84.
5. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей :
учебник. 6-е изд., перераб. и доп. М. : Наука, 1988.
6. Кокс Д. Р., Смит В. Л. Теория восстановления :
пер. с англ. М. : Сов. радио, 1967.
Предполагая, что lim zk  z , из (4) имеем
k 


tk2




3 

 N (t )  A

zA
  1    z A .
 z 1  
lim P 


t 
 k2 D 
t
D k2




 k2



k
A
2


Обозначив x 
z A3
k2 D
, окончательно получим
tk2


 N (t )  A

 x   1   ( x).
lim P 
3
t 
 k2 tDA



Отсюда следует равенство (3).
I. I. Vainshtein, G. E. Mikhalchenko, V. I. Vainshtein
ASYMPTOTICS OF RENEWAL QUANTITY DISTRIBUTION IN THE PROCESS
OF RESTORATION ORDER ( k1 , k2 )
For the process of renewal of the order (k1 ,k2 ) , generalizing the acquainted simple and general processes
of restoration in the theory of reliability, there has been proved convergence of the renewal quantity distribution
at the t moment to the normal distribution.
Keywords: restoration process, number restorations, distribution function, restorations number, asymptotics.
© Вайнштейн И. И., Михальченко Г. Е., Вайнштейн В. И., 2012
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
321 Кб
Теги
восстановлен, процесс, асимптотики, распределение, порядке, числа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа