close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотически линейчатый порядок.

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
2001, вып. 7, с. 5660
УДК 514.821
АСИМПТОТИЧЕСКИ ЛИНЕЙЧАТЫЙ ПОЯДОК
Н.Л. Шаламова
2
=S
Let an order in affine spae An ; n > ; satisfies the onditions: 1) x 62
Px n fxg, where Px fy x y g; 2) it is invariant with respet to the group
of parallel translations; 3) the one Cx
y2Px nfxg L x; y , where L x; y is
a ray with the origin x passing through y , is the one whih does not ontain
the line; 4) it is asymptoti lined. Then investigation order an be redued
to study of the onal order.
= :
( )
( )
Пусть семейство множеств P = fPx : x 2 An ; n > 2g задает порядок в n-мерном
аинном пространстве, то есть выполняются условия: (i) для любой точки
x 2 An имеем x 2 Px ; (ii) если y 2 Px , то Py Px ; (iii) если x 6= y , то Px 6= Py .
Назовем внешним конусом любого множества Px ; x 2 An , конус Cx , определяемый следующим образом:
Cx =
[
y2Px
L(x; y);
L(x; y) луч, выходящий из точки x и проходящий через точку y.
Здесь и далее в статье через A; int(A); A обозначаются соответственно
замыкание, внутренность и граница множества A по отношению к естественной
топологии в An .
оворим, что конус Cx является конусом с острой вершиной, если он не содержит прямой. Порядок P называется связным, если x 2 Px n fxg, и несвязным
в противном случае.
При рассмотрении несвязных порядков удобными являются следующие обозначения: Qx Px n fxg; Qe Pe n feg, которыми мы будем пользоваться в
дальнейшем. Здесь e иксированная точка в An .
Биекция f : An 7 ! An , для которой имеем f (Px ) = Pf (x) , называется порядковым автоморизмом или P -автоморизмом.
руппу порядковых P -автоморизмов обозначаем через Aut(P ), ее стабилизатор в точке e 2 An (то есть такую подгруппу группы Aut(P ), что f (e) = e)
через Aut(P )e .
Порядок P называется гранично однородным, если для любых точек
x; y 2 Pe n feg; x 6= y , найдется такой порядковый автоморизм f 2 Aut(P )e ,
что f (x) = y .
где
2001
Н.Л. Шаламова
E-mail: shalamuniver.omsk.su
Омский государственный университет
Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 7.
57
Итак, рассматриваем в n Sмерном аинном пространстве An , n > 2 несвязный порядок P = fPx = Qx fxg : x 2 An g, инвариантный относительно действия группы параллельных переносов, внешний конус которого имеет в каждой
точке x 2 An острую вершину.
Назовем порядок P асимптотически линейчатым, если существует число
R > 0 такое, что для открытого шара B (x; R) радиуса R с центром в точке
x 2 An множество Pe n B (x; R) будет линейчатым в смысле определения [1?.
Напомним это определение. Порядок P называется k -линейчатым, k = 1; 2; :::
(k 6 n), если существуют лучи L1 (e; x1 ); :::; Lk (e; xk ), не лежащие в одной (k 1)
мерной плоскости и удовлетворяющие условиям : (a) Li (e; xi ) CeT
; (b) для
любой прямой параллельной любому из лучей Li (e; xi ) множество Q либо
пусто, либо является лучом. Линейчатым или L-линейчатым порядком называем 1-линейчатый порядок относительно луча L.
Область воздействия Px называется максимально линейчатой, если она является линейчатой по отношению к любому лучу L из внешнего конуса Ce .
Порядок V = fVx : x 2 An g называется расширением порядка N = fNx : x 2
n
A g, если, во-первых, для любой точки x 2 An мы имеем Nx Vx ; во-вторых,
Aut(N ) Aut(V ).
Понятие асимптотически линейчатого порядка, очевидно, является ослаблением понятия линейчатого порядка. Обоснование естественности данного определения может быть следующим. Коль скоро изучение порядков связано с такими областями знаний, как, например, теория относительности и теория инормации, то мы вынуждены принять к сведению тот акт, что получение инормации о поведении той или иной совокупности объектов происходит всегда
по истечению какого-либо промежутка времени, иногда достаточно большого.
по отношению к тому моменту времени, когда интересующее нас событие произошло.
Переходя на язык порядковых структур, ту же самую идею можно сормулировать так: те или иные свойства или особенности строения областей влияния
Px нам известны, вообще говоря, только вне некоторого шара B (x; R) радиуса
R, где R некоторое положительное (возможно очень большое) число, то есть
на множестве Px n B (x; R).
Имеет место следующая
S
Пусть P = fPx = Qx fxg : x 2 An ; n > 2g несвязный
асимптотически L-линейчатый порядок, инвариантный относительно действия группы параллельных переносов. Тогда его можно расширить до Lлинейчатого связного порядка.
Доказательство. ассмотрим следующее семейство множеств, построенное
для некоторой иксированной точки e 2 An :
Теорема 1.
Te1 =
[
[
[
fQz : z 2 Qe g; Te2 = fTz1 : z 2 Qe g; ::: ; Ten = fTzn
1
: z 2 Qe g;
Здесь Tzi это множество, получающееся из Tei параллельным переносом ez ,
переводящим точку e в точку z . Очевидно, что найдется такое ko 2 N такое, что (e; Teko ) R, так как (e; Te1 ) = 2d > 0, где d = (e; Qe ) (под
58
Н.Л. Шаламова.
Асимптотически линейчатый порядок
(e; A) понимаем обычное евклидово расстояние от точки до множества, то есть
(e; A) = inf f(e; x) : x 2 Ag).
Если наш исходный порядок L-линейчатый, то теорема верна, так как используя конструкцию, предложенную в [2?, то есть переходя от семейства множеств P = fPx g к семейству множеств = fx g, где
x =
\
fQz : x 2 Qz g;
получаем уже связный L-линейчатый порядок.
Предположим
T теперь, что P не является L-линейчатым порядком, то есть в
множестве Pe B (e; R) найдется точка z0 2 Q
(z0 ; z1 ) S e такая, что часть луча
k
n
o
L0, L0 k L; z0 6= z1 , лежит в extPe A n (Pe Pe ). Так как (e; Te ) R, то
множество Teko попадает в Qe n B (e; R), то есть в заведомо L-линейчатую часть
множества Pe . Поэтому и множество Teko Qe n B (e; R); более того, в Qe n B (e; R)
содержится весь цилиндр
T=
[
fLw : w 2 Teko g:
Здесь и далее Lw луч, параллельный L и исходящий из точки w . Отсюда
следует, что для любой точки z 2 (z0 ; z1 ) множество Tek Qe n B (e; R).
Если теперь f любой порядковый автоморизм из Aut(P )e , то
[
[
[
fQz : z 2 Qe g) = fQf (z) : f (z) 2 Qe g = fQw : w 2 Qe g = Te1:
f (Te1 ) = f (
k
k
f (TS
z ) = Tf (z ) ; k = 1; 2; ::: Следовательно, если для некоторой точки
z 2 An n (Pe Pe ) Tzk Qe , то для любого f 2 Aut(P )e имеем
f (Tzk ) = Tfk(z) Qe .
Итак, на данный момент нами доказано следующее: если u0 любая точка из
Qe , в которой нарушается линейчатость порядка
P , то есть (u0; u1) Lu , но
S
k
(u2 ; u1 ) extPe , то Tu Qe для u 2 (u0 ; u1) и ff (Tuk ) : f 2 Aut(P )eg Qe .
Аналогично
0
0
0
0
0
0
Далее, строим множество
f
Pe
= fu : u 2 extPe ; Tuk
0
Qeg:
Очевидно, что для любого f 2 Aut(P )e f (f
Pe ) = f
Pe . Следует отметить, что
f
в Pe могут попасть и точки w0 , находящиеся, самое большое, в множестве Cp ,
где Cp конус, равный и параллельный Ce , p 2 Ce , (Ce ; Cp ) = (Ce ; Tek0 ).
e = fPex g состоит из L-линейчатых множеств.
Однако в любом случае семейство P
Построим
по
семейству
множеств
Pe семейство множеств
K = fKxg, где
Kx =
\
fPfz : x 2 Pfz g:
По построению видно, что Kx L-линейчатые множества, причем Kx Cpx , где
Cpx = (Cp ), параллельный перенос, переводящий точку e в точку x. Покажем, что Kx Cx ; x 2 An . Достаточно показать, что Ke Ce . Предположим
59
Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 7.
противное, пусть найдется
точка w0 2 Ke ; w0 2 Cp n Ce . Тогда либо w0 2 Ce ,
S
либо w0 2 Cp n (Ce Ce ).
Пусть w0 2 Ce . Возьмем произвольную точку v0 2 f
Pe и рассмотрим прямую
v0 , v0 2 v0 , параллельную лучу Lw0 e , проходящему через точки e и w0 . Очевидно, что эта прямая пересечет конус Cp в некоторой точке u1 (напоминаем,
что Ce конус с острой вершиной, то есть не содержит прямой). Обозначим
T
Pe g.
через v такую точку прямой v0 , что (u1 ; v ) = inf f(u1 ; v ) : v 2 v0 f
Если теперь это такой параллельный перенос, что (u1 ) = e, то, очевидно,
fx , где x = (e), содержит точку e, но не содержит точки w0 .
множество P
T
Поэтому и множество
Ke = fg
Pz : e 2 Pfz g не содержит точки w0 . Случай
S
w0 2 Cp n(Ce Ce ) исключается аналогичными рассуждениями. Поэтому всегда
имеем Ke Ce , Kx Cx .
Если семейство множеств K = fKx g не задает порядка в An , то по нему
e = fK
e x g, также L-линейчатое, но
можно построить новое семейство множеств K
которое уже будет задавать связный L-линейчатый порядок. Действительно,
справедлива следующая лемма [2?.
(А.К.уц) Пусть e некоторое неограниченное множество, содержащее точку e, лежащее внутри выпуклого замкнутого конуса Ke с острой
вершиной e. Тогда если f : An ! An гомеоморизм, сохраняющий семейство
fx : x 2 Ang, то есть f (x) = f (x) для любой точки x 2 An , то существует
множество 0e , содержащее точку e и лежащее внутри конуса Ke , такое, что
0e задает порядок в An и более того, f (0x) = 0f (x) , где x 2 An произвольная
точка, то есть f является порядковым 0 -автоморизмом.
Лемма 1.
Таким образом, мы расширили наш несвязный порядок
e = fK
e x g. Теорема доказана.
линейчатого связного порядка K
L
P
= fPxg до L-
P f g
Следствие 1. Изучение асимптотически -линейчатого порядка
= Px
в An можно свести к изучению конического
порядка
=
M
,
причем
если
x
T
гранично однородный порядок и e Qe = , то Mx = Cx для любого x An .
e x , построенное
Доказательство.
ассмотрим семейство множеств e = K
P
L
6 ;
M f g
K f g
2
по асимптотически L линейчатому порядку P = fPx g в доказательстве предыfe не является конусом. ассмотрим тогда
дущей теоремы. Предположим, что K
e x ; x) (напомиследующее семейство множеств M = fMx g, где Mx = Cont(K
наем, что Cont(Mx ; x) это контингенция множества Mx в точке x, то есть
конус, составленный из пределов лучей, выходящих из точки x и проходящих
через точки y 2 Mx , при стремлении y к x). Справедливы следующие теоремы,
доказанные А.Д.Александровым [6?.
(А.Д.Александров) Пусть P = fPx g задает предпорядок в An ,
n > 2, и Ee = Cont(Pe ; e). Тогда (1) Ee Pe и Ee замкнутый конус;T(2)
Pe
если Pe замкнутое множество такое, что для любой точки y 2 Pe Py
ограничено, то Ee конус с острой вершиной, совпадающий с объединением S
всех направленных кривых, исходящих из точки e.
Теорема 2.
60
Н.Л. Шаламова.
Асимптотически линейчатый порядок
(А.Д.Александров) Пусть f : An ! An , n > 2, непрерывный P автоморизм
и P = fPx g замкнутый предпорядок, для которого множество
T
Py Px ограничено для любой точки y 2 Px , тогда f (Ex) = Ef (x) , где Ee =
Cont(Pe ; e) для любой точки x 2 An .
Теорема 3.
Из этих теорем следует, что в нашем случае семейство M = fMx g задает
конический порядок в An , причем AutP AutM.
Предположим теперь, что P = fPx g гранично однородный порядок, но Ce n
Me 6= ;. Очевидно, что существует точка z 2 Qe такая, что z 2 Ce n Me (иначе
Qe Me и Ce Me , так как Ce наименьший замкнутый конус, содержащий
Qe ).
T
T
Поскольку Me содержит луч Le и Le Qe 6= ;, L Qe = fz0 g, то так как
любой f 2 Aut(P )e сохраняет и Me и Qe , то не найдется f 2 Aut(P )e такого,
что f (z0 = z ), что противоречит граничной однородности порядка.
Пусть выполняется одно из следующих условий:
гранично однородный асимптотически L линейчатый с
Le Qe 6= ;;
(2) P гранично однородный асимптотически (L1e , L2e )-линейчатый (то
есть асимптотически линейчатый по отношению к двум различным лучам
L1e и L2e; L1e; L2e Ce);
(3) P асимптотически максимально линейчатый и int(Qe ) 6= ;.
Тогда если для некоторой точки x0 2 ext(Pe ) множество
Следствие 2.
(1)
T
P
Oex
0
= ff (x0 ) : f
2 Aut(P )eg
содержит гиперплоскость с выколотой точкой e, то Aut(P )e группа Лоренца, а Ce эллиптический конус.
Доказательство. Из теоремы, доказанной выше, и следствия 1 следует, что
во всех трех случаях семейство M состоит из внешних конусов Cx множеств Px ;
наличие же в орбите некоторой точки x0 2 ext(Pe ) гиперплоскости означает,
что Ce не может быть ни квазицилиндром [1?, ни строго выпуклым конусом,
отличным от эллиптического, так как последние не являются гранично однородными.
Литература
1. уц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи математических
наук. 1982. Т.37, вып.2. N 3. С.52.
2. уц А.К. Изотонные отображения несвязно упорядоченного евклидова пространства // Сиб. мат. журнал. 1980. Т.21, С.85.
3. Александров А.Д.Отображения упорядоченных пространств // Труды МИАН.
1972. Т.128. С.321.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
427 Кб
Теги
асимптотическое, линейчатых, порядок
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа