close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотические свойства множества -решений дифференциального включения с импульсными воздействиями.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет им.
Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: aib@tsu.tmb.ru.
Малютина Елена Валерьевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail:
zont85@mail.ru.
Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет им.
Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры алгебры и геометрии,
e-mail: aib@tsu.tmb.ru.
УДК 517.93
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ? -РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ
ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
c А. И. Булгаков, В. В. Скоморохов, О. В. Филиппова
Ключевые слова
: дифференциальные включения с импульсными воздействиями; ап-
проксимирующее отображение; радиус внешних возмущений; модуль непрерывности
отображения;
? -решение.
В работе дано определение приближенного решения (
? -решения)
дифференциально-
го включения с импульсными воздействиями, установлены ассимптотические свойства
множеств решений аппроксимирующих дифференциальных включений с внешними
возмущениями. Найдено необходимое и достаточное условие устойчивости аппроксимации дифференциальных включений относительно внешних возмущений.
Пусть Rn n -мерное векторное пространство с нормой | |, comp[Rn ] множество
всех непустых компактов пространства Rn .
Пусть X нормированное пространство с нормой : . Обозначим BX [x, ?] открытый шар пространства X с центром в точке x ? X и радиусом ? > 0. Пусть
U ? X. Тогда U замыкание множества U ; co U выпуклая оболочка множества U ;
sup ?: [x, U ] полуотклонение по Хаусдорфу множества U1 ? X от множеh+
: [U1 ; U ] ? x?U
ства U в пространстве X; h: [U1 ; U ] = max{h+ [U1 ; U ]; h+ [U ; U1 ]} расстояние по Хаусдорфу между множествами U1 и U в пространстве X.
Пусть U ? [a, b] измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ln (U) пространство
суммируемых по Лебегу функций x : U ? Rn с нормой xL (U) = |x(s)|ds.
U
Пусть
tk ? [a, b] (a < t1 < . . . < tm < b) конечный набор точек. Обозначим через C n [a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t1 ], (t1 , t2 ], . . . ,
(tm , b] ограниченных функций x : [a, b] ? Rn , имеющих пределы справа в точках tk ,
k = 1, 2, . . . , m, с нормой x+
[a,b] = sup{|x(t)| : t ? [a, b]}.
Рассмотрим задачу
1
n
n
x?(t) ? F (t, x(t)),
t ? [a, b],
?(x(tk )) = Ik (x(tk )), k = 1, . . . , m,
(1)
(2)
1039
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
x(a) = x0 ,
(3)
отображение F : [a, b] Ч Rn ? comp[Rn ] удовлетворяет условиям Каратеодори. Отображения Ik : Rn ? Rn , k = 1, 2, ..., m, непрерывны, ?(x(tk )) = x(tk + 0) ? x(tk ),
k = 1, 2, ..., m.
n
Под решением задачи (1)(3) будем понимать функцию x ? [a, b], для которой
существует такое q ? Ln [a, b], что при почти всех t ? [a, b] выполняется включение
q(t) ? F (t, x(t)) и при всех t ? [a, b] имеет место представление
+
t
x(t) = x0 +
q(s)ds +
m
?(tk ,b] (t)?(x(tk )),
(4)
k=1
a
где ?(x(tk )), k = 1, ...m удовлетворяют равенствам (2).
Обозначим через K([a, b]ЧRn Ч[0, ?)) множество всех функций ? : [a, b]ЧRn Ч[0, ?) ?
? [0, ?), обладающих следующими свойствами:
1) при каждых (x, ?) ? Rn Ч [0, ?) функция ?(·, x, ?) измерима;
2) при почти всех t ? [a, b] и всех ? ? [0, ?) функция ?(t, ·, ?) непрерывна;
3) для каждых U ? comp[Rn ] и ? ? [0, ?) существует такая суммируемая функция
mU,? : [a, b] ? [0, ?), что при почти всех t ? [a, b] и всех x ? U и ? ? [0, ?] выполняется
неравенство ?(t, x, ? ) mU,? (t);
4) при почти всех t ? [a, b] и каждого x ? Rn выполняются равенства lim z?x ?(t, z, ?)
??0+0
= 0, ?(t, x, 0) = 0.
Заменим в определении множества K([a, b]ЧRn Ч[0, ?)) условие 3 на более сильное требование, в котором функция mU,? (·) есть константа. Соответствующее этому требованию
b] Ч Rn Ч [0, ?)).
подмножество множества K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)) обозначим через K([a,
n
n
P ([a, b] Ч R Ч [0, ?)) множество всех функций ? : [a, b] Ч R Ч [0, ?) ? [0, ?), обладающих всеми свойствами из множества функций K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U ? comp[Rn ] и ? ? (0, ?) найдутся такие
числа r(U, ?) > 0 и ?(U, ?) 0, что при почти всех t ? [a, b] всех x ? U число r(U, ?)
удовлетворяет неравенству r(U, ?) ?(t, x, ?), а для числа ?(U, ?) при почти всех t ? [a, b]
и всех x ? U и ? ? [0, ?] имеет место оценка ?(t, x, ? ) ?(U, ?).
Пусть ?(·, ·, ·) ? K([a,
b] Ч Rn Ч [0, ?)). Определим функцию ?(?) : [a, b] Ч Rn Ч [0, ?) ?
? [0, ?) равенством
?(?)(t, x, ?) =
sup
y?B[x,?(t,x,?)]
h[F (t, x), F (t, y)].
(5)
Значения функции ?(?)(·, ·, ·) в точке (t, x, ?) будем называть модулем непрерывности
отображения F : [a, b] Ч Rn ? comp[Rn ] в точке (t, x) по переменной x в шаре
B[x, ?(t, x, ?)], функцию ?(·, ·, ·) функцией радиуса модуля непрерывности или просто
радиусом непрерывности, а саму функцию ?(?)(·, ·, ·) функцией модуля непрерывности
или просто модулем непрерывности отображения F : [a, b] Ч Rn ? comp[Rn ] относительно
радиуса непрерывности ?(·, ·, ·) [17].
Будем говорить, что многозначное отображение F : [a, b] Ч Rn Ч [0, ?) ? comp[Rn ]
аппроксимирует отображение F : [a, b] Ч Rn ? comp[Rn ], если найдется такая функция
?(·, ·, ·) ? K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)), что при почти всех t ? [a, b] и всех (x, ?) ? Rn Ч [0, ?)
выполняется оценка
h[F (t, x), F(t, x, ?)] ?(t, x, ?).
(6)
Отображение F (·, ·, ·) будем называть аппроксимирующим отображение F (·, ·) или просто
аппроксимирующим. Функция ?(·, ·, ·) ? K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)) в неравенстве (6) определяет степень близости значения F(t, x, ?) в точке (t, x) ? [a, b] Ч Rn к значению F (t, x)
1040
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
для каждого фиксированного ? ? [0, ?). Эту функцию ?(·, ·, ·) будем называть
степенью
степенью
функцией
Rn
comp[Rn ]
: [a, b] Ч Rn Ч
отображением F
?
Ч [0, ?) ? comp[Rn ] или просто степенью аппроксимации.
Пару (F(·, ·, ·), ?(·, ·, ·)) будем называть аппроксимацией отображения F (·, ·) или просто аппроксимацией. Пару (F(·, ·, ·), ?(·, ·, ·)) будем называть аппроксимацией вложением, если при почти всех t ? [a, b] и всех (x, ?) ? Rn Ч [0, ?) выполняется включение
F (t, x) ? F(t, x, ?).
Значения аппроксимирующего отображения F(·, ·, ·) могут вычисляться с некоторой
аппроксимации отображения F : [a, b] Ч
точности,
которую
?(·, ·, ·) ? K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)).
можно
задать
некоторой
В связи с этим рассмотрим отображение Q? : [a, b] Ч Rn Ч [0, ?) ? comp[Rn ], определенное равенством
Q? (t, x, ?) = F(t, x, ?)?(t,x,?) ,
(7)
где функция ?(·, ·, ·) ? K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)) в каждой точке (t, x) ? [a, b] Ч Rn при каждом
фиксированном ? ? [0, ?) определяет погрешность вычисления значений аппроксимирующего отображения F(·, ·, ·). Далее, функцию ?(·, ·, ·) будем называть радиусом внешних
(·, ·, ·) или просто радиусом внешних возвозмущений аппроксимирующего отображения F
мущений.
Пусть ?(·, ·, ·) ? K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)) и пусть пара (F(·, ·, ·), ?(·, ·, ·)) аппроксимирует
отображение F (·, ·). Рассмотрим при каждом фиксированном ? ? [0, ?) дифференциальное включение
x?(t) ? Q? (t, x(t), ?),
t ? [a, b],
(8)
где отображение Q? : [a, b] Ч Rn Ч [0, ?) ? comp[Rn ] задано равенством (7). Дифференциальное включение (8) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение
(1) с внешними возмущениями.
Каждое решение x : [a, b] ? Rn дифференциального включения (8) с импульсными воздействиями (2) и начальным состоянием (3) будем называть ? -решением (приближенным
решением) включения (1).
Пусть отображение F : [a, b] Ч Rn ? comp[Rn ] удовлетворяет условиям Каратеодори.
Рассмотрим задачу Коши
x?(t) ? co F (t, x(t)),
t ? [a, b],
(9)
?(x(tk )) = Ik (x(tk )), k = 1, . . . , m,
(10)
x(a) = x0 ,
(11)
где co F (·, x(·)) выпуклая оболочка множества F (·, x(·)), отображения Ik : Rn ? Rn ,
k = 1, 2, ..., m, непрерывны, ?(x(tk )) = x(tk + 0) ? x(tk ), k = 1, 2, ..., m.
Обозначим через H(V ), Hco (V ) множества решений задач (1)(3) и (9)(11), соответ n [a, b], а через H?(?) (V ) множество всех
ственно, принадлежащих множеству V ? +
n [a, b].
? -решений задачи (9)(11) при заданном ? > 0, принадлежащих множеству V ? +
n [a, b], через V ? будем
Замыкания этих множеств будем рассматривать в пространстве +
n [a, b].
обозначать замкнутую ? -окрестность множества V в пространстве +
Пусть пара (F(·, ·, ·), ?(·, ·, ·)) аппроксимирует отображение F co lon[a, b]ЧRn ? comp[Rn ]
вложением.
n [a, b],
Т е о р е м а 1. Пусть V ограниченное замкнутое множество пространства +
(·, ·, ·), ?(·, ·, ·)) аппроксимируи пусть ?(·, ·, ·) ? P ([a, b]ЧRn Ч[0, ?)). Далее, пусть пара (F
ет
отображение
F (·, ·)
вложением.
Тогда
для
любой
функции
1041
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
?(·, ·, ·) ? K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)), для которой существует такое число ? > 0, что при
почти всех t ? [a, b] всех x ? (U (V ))? и ? ? [0, ?) выполняется оценка
?(?)(t, x, ?) ?(t, x, ?),
и справедливо равенство
Hco (V ) =
H?(?) (V ? ),
(12)
?>0
+
n
где H?(?) (V ? ) замыкание в пространстве [a, b] множества H?(?) (V ? ), V ? за-
+
n
мкнутая в пространстве [a, b] ? -окрестность множества V.
Пусть V ограниченное замкнутое множество пространства n[a, b].
+
Будем говорить,
что аппроксимация дифференциального
включения (1) устойчива на ограниченном замкнуn
V ?
Ч [0, ?)),
том множестве
? ? K([a, b] Ч
Rn
+
[a, b]
относительно внешних возмущений из класса
если для любой функции
H(V ) =
?(·, ·, ·) ? ?
выполняется равенство
H?(?) (V ? ).
(13)
?>0
+n
Т е о р е м а 2. Пусть V
ограниченное замкнутое множество пространства [a, b].
Далее, пусть пара (F (·, ·, ·), ?(·, ·, ·)) аппроксимирует отображение F (·, ·) вложением. Тогда для того, чтобы для любой функции ?(·, ·, ·) ? K([a, b] Ч Rn Ч [0, ?)) аппроксимация
дифференциального включения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для задачи (1)?(3) на множестве V выполнялось равенство
H(V ) = Hco (V ).
ЛИТЕРАТУРА
Hajek O. Discontinuous dierential equations. I, II. // Journ. of Dif. Equat. 1979. V. 32. T. 2. С. 149185.
Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
3. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений // Мат. сб. 2002. Т.
1.
2.
193. ќ 2. С. 3552.
4.
Толстоногов А.А.
Дифференциальные
включения
в
банаховом
пространстве.
Новосибирск
:
Наука, 1986.
5.
Булгаков А.И. Интеграьные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым зада-
чам дифференциальных включений // Мат. сб. 1992. Т. 183. ќ 10. С. 6386.
6.
7.
Завалищин C. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.
Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 480.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проекты ќ 090197503, ќ 110100645, ќ 110100626),
ФЦП ѕНаучные и научно-педагогические кадры инновационной России на 20092013 годыї.
Bulgakov A.I., Skomorochov V.V., Filippova O.V. Asymptotic properties of the set of ? solutions to dierential inclusion with impulses. In the work there is given the denition of the
? -solution to dierential inclusion with impulses. The asymptotic properties of solutions sets to
approximating dierential inclusions with external disturbance are derived. The necessary and
sucient condition of stability of approximations of dierential inclusions respect to external
disturbances is found.
1042
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Key words
: dierential inclusion with impulses; approximating mapping; radius of external
disturbance; modulus of a continuity of mapping;
Булгаков
Александр
Иванович,
? -solution.
Тамбовский
государственный
университет
имени
Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: aib@tsu.tmb.ru.
Скоморохов Виктор Викторович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: uaa@nnn.tstu.ru.
Филиппова
Ольга
Викторовна,
Тамбовский
государственный
университет
имени
Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры алгебры и геометрии,
e-mail: aib@tsu.tmb.ru.
УДК 517.988.6
О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
И НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ
c Е. О. Бурлаков
Ключевые слова
: операторы Volterra; непрерывная зависимость решений уравнений от
параметров; локально липщицевы операторы.
Для уравнения Volterra в произвольном функциональном пространстве получены условия существования единственного глобального или предельно продолженного решения
и его непрерывной зависимости от параметров уравнения.
Y = Y ([a, b], Rn ) банахово пространство функций, определенных на [a, b], со
n и нормой · ; L ([a, b], ?, Rn ) пространство измеримых существенно
значениями в R
?
Y
n с нормой y
ограниченных функций y : [a, b] ? R
L? = vrai supt?[a,b] |y(t)|.
О п р е д е л е н и е 1. Оператор ? : Y ? Y называется вольтерровым [1], если для
всякого ? ? (0, b?a) и любых y1 , y2 ? Y из того, что y1 (t) = y2 (t) на [a, a+?], следует
(?y1 )(t) = (?y2 )(t) на [a, a+?].
Всюду ниже предполагается, что в пространстве Y выполнено V -условие [2]: для произвольных y ? Y, {yi } ? Y, таких что yi ? yY ? 0, и любого ? ? (0, b?a), если yi (t) = 0
на [a, a+?] при всех i = 1, 2, . . . , то y(t) = 0 на [a, a+?].
n
Для каждого ? ? (0, b?a) обозначим Y? = Y ([a, a+?], R ) линейное пространство сужений y? на [a, a+?] функций y ? Y. Зададим норму в этом пространстве равенством
y? Y [a,a+?] = inf yY , где нижняя грань вычисляется по всевозможным продолжениям
y ? Y функции y? . Тогда, в силу V -условия, пространство Y? становится банаховым.
Положим, Yb?a = Y.
произвольным обраВозьмем любое ? ? (0, b?a). Пусть отображение P? : Y? ? Y
зом доопределяет каждый y? ? Y? на весь отрезок [a, b]. Далее зададим отображение
E? : Y ? Y? , (E? y)(t) = y(t), t ? [a, a+?]. При ? = b ? a эти отображения Pb?a , Eb?a :
Y ? Y считаем тождественными. Для вольтеррова оператора ? : Y ? Y определим
оператор ?? : Y? ? Y? , ?? y? = E? ?P? y? .
Пусть
1043
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
376 Кб
Теги
асимптотическое, решение, дифференциальной, включение, множества, воздействия, свойства, импульсные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа