close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Базисность Рисса собственных функций интегральных операторов с разрывными ядрами.

код для вставкиСкачать
Таким образом, у первого игрока существуют стратегии, обеспечивающие ему получение выигрыша, не меньшего
max(K13 , M13 , L1 ).
Легко
показать, что больший выигрыш он гарантированно получить не может.
Следовательно, верно равенство
?(?) = max(K13 , M13 , L1 ),
что и требо-
валось доказать.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Меньшиков И. С. Игра трјх лиц с фиксированной последовательностью ходов
// ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15, ќ 5. С. 11481156.
2. Кукушкин Н. С. Бескоалиционные игры трјх лиц с фиксированной иерархической структурой // ЖВМ и МФ. 1979. Т. 19, ќ 4. С. 896911.
3. Кузнецова И. А. Иерархические игры трјх лиц с коалициями // Математика.
Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 4143.
4. Кузнецова И. А. Об одном классе бескоалиционных иерархических игр трјх
лиц // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008.
Вып. 10. С. 3436.
УДК 517.984
В. П. Курдюмов, А. П. Хромов
БАЗИСНОСТЬ РИССА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С РАЗРЫВНЫМИ ЯДРАМИ
В настоящей статье рассматривается вопрос о базисах Рисса в
L2 [0, 1]
из собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) интегрального оператора
Z
Af = ?
x
Z
(1)
1?x
k+l
1, ?x? k ?tl A1 (x, t)
? 6=
k + l = 2, то k = l = 1,
= A2 (x, x + 0) = 1.
где
A2 (1 ? x, t)f (t)dt,
A1 (x, t)f (t)dt +
0
2
1
? k+l
A (x, t)
?xk ?tl 2
0 ? k + l ? 2 , причем, если
t ? x (t ? x), A1 (x, x ? 0) =
при
непрерывны при
Оператор (1) и более общего вида интегральные операторы, допускающие разрывы самих ядер или их производных, впервые рассматривались одним из авторов в [1]. В дальнейшем исследованию таких операторов было посвящено много работ (например, [2 4]). В частности, в [4]
был рассмотрен вопрос о базисности Рисса в
Z
L2 [0, 1]
1?x
A(1 ? x, t)f (t)dt.
Af =
0
c.п.ф. оператора
51
(2)
В этой статье разработан метод, основанный на представлении резольвент сопутствующих интегродифференциальных операторов через
специальные интегральные операторы простой структуры, называемые
элементарными. Оператор (1) существенно более сложный, чем (2), и
базисность Рисса его с.п.ф. доказывается за счет дальнейшего развития
метода из [4].
Сведем оператор (1) к оператору в пространстве вектор-функций размерности 2. Введем оператор
A?f? =
1
Z
A?(x, t)f?(t)dt,
(3)
0
f?(x) = (f1 (x), f2 (x))T (T знак транспорирования),
??(x, t)A1 (x, t) ?(x, t)A2 (1 ? x, 1 ? t)
A?(x1 t) =
,
?(t, x)A2 (x, t) ??(t, x)A1 (1 ? x, 1 ? t)
?(x, t) = 1
x ? t, ?(x, t) = 0
x < t.
Теорема 1. Если y = Af , то y? = A?f?, где f?(x) = (f1 (x), f2 (x))T ,
f1 (x) = f (x), f2 (x) = f (1 ? x), y?(x) = (y1 (x), y2 (x))T , y1 (x) = y(x),
y2 (x) = y(1 ? x). Обратно, если y? = A?f? и f1 (x) = f2 (1 ? x), то y1 (x) =
= y2 (1 ? x) и y1 = Af1 .
где
при
при
Представление (3) важно тем, что
линии
A?(x, t)
терпит разрыв лишь на
t = x.
Теорема 2. Имеет место представление
?1
?1
1
Z
0
A? y?(x) = B y? (x) + a1 (x)y?(0) + a2 (x)y?(1) + a3 (x)y?(x) +
a(x, t)y?(t)dt,
0
где y?(x) удовлетворяет краевому условию
M?0 y?(0) + M?1 y?(1) = 0;
(4)
0
? 1
B = A?(x, x ? 0) ? A?(x, x + 0) =
; ai (x)(i = 1, 2, 3), a3 (x) ?1 ?
непрерывные матрицы-функции; матрица a(x, t) непрерывна по x и t,
где могут быть разрывы первого рода, a(x, x+0), a(x, x?0) непрерывны;
1 0
0 0
M?0 =
, M?1 =
.
0 0
0 1
52
Теорема 3. Если ? таково, что при f?(x) ? 0 интегро-дифференциальная система
A??1 y?(x) ? ?y?(x) = f?(x)
с условием (4) имеет только нулевое решение, то R? (A) = (E??A)?1 A
(E единичный оператор) существует и R? (A)f = y1 (x), где y1 (x) первая компонента y?(x).
?1
Введем обозначения: Pi (x) = D? ai (x)?(i = 1, 2, 3), где D =
?
1
?1
?
?
= diag(?, ??), ? = ?2 ? 1, ? =
;
?2 ? 1 ? ?
?2 ? 1 + ?
H(x, ?) = RH0 (x) + ??1 H1 (x), где H0 (x) = diag(h1 (x), h2 (x)), hi (x) =
x
= exp ?
0 pii (t)dt , pii (x) диагональные элементы матрицы P3 (x),
0
r2 (x)
H1 (x) =
кодиагональная матрица, являющаяся решеr1 (x)
0
нием матричного уравнения
0
H0 (x) + P3 (x)H0 (x) + (H1 (x)D ? DH1 (x)) = 0;
Pi (x, ?) = H ?1 (x, ?)Pi (x)H(i ? 1, ?)(i = 1, 2);
h 0
i
?1 ?1
P3 (x, ?) = ? H (x, ?) H1 (x) + P3 (x)H1 (x) ;
N? (x, t) = H ?1 (x, ?)N (x, t)H(t, ?),
где
N (x, t) = D??1 a(x, t)?;
m(x, ?) = H ?1 (x, ?)m(x),
где
m(x) = D??1 f?(x);
M0? = M0 H(0, ?), M1,? = M1 H(1, ?),
где
M0 = M?0 ?, M1 = M?1 ?.
Теорема 4. Если v(x, ?) = (v1 (x, ?), v2 (x, ?))T решение системы
0
v (x) + P1 (x, ?)v(0) + P2 (x, ?)v(1) + P3 (x, ?)v(x)+
Z 1
+
N? (x, t)v(t)dt) ? ?Dv(x) = m(x, ?),
0
U (v) = M0? v(0) + M1? v(1) = 0,
то
R? (A)f =
2
X
?1
hj (x)vj (x, ?) + ?
j=1
2
X
j=1
53
rj (x)vj (x, ?).
?0 = (? + ?)h2 (1), ?1 = (? ? ?)h1 (1). Тогда ?0 ?1 6= 0.
Обозначим через S? область, получающуюся из комплексной ?-плоскости
2??
удалением всех нулей функции ?0 + ?1 e
вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса ? . Представим
R? (A)f при ?, принадлежащих границам кружков ?k из определения
S? , в виде конечной линейной комбинации с ограниченными по ? коэфОбозначим
фициентами простейших интегральных так называемых элементарных
операторов.
Лемма 1. Пусть J любой конечный набор достаточно больших,
по модулью целых чисел. Тогда
X Z
R? d? ? C,
?k
k?J
где k · k норма в L2 [0, 1], постоянная С не зависит от набора J .
Лемма 2. Все характеристические числа оператора A, достаточно
большие по модулю, простые.
Лемма 3. Система с.п.ф. оператора A? полна в L2 [0, 1].
Стандартными рассуждениями с помощью лемм 1 3 получается
следующий основной результат.
Теорема 5. Система с.п.ф. оператора A образует базис Рисса в
L2 [0, 1].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными
на диагоналях // Мат. заметки. 1988. Т. 64, ќ 6. С. 932942.
2. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным
функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, ќ 10. С. 3350.
3. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных
линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, ќ 11. С. 115142.
4. Курдюмов
В. П., Хромов А. П.
О базисах Рисса из собственных функций инте-
грального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004.
Т. 76, ќ 1. С. 97110.
54
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
376 Кб
Теги
ядрами, интегральная, базисность, оператора, функции, рисса, разрывных, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа