close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Байесовский подход при оценке состояния искусственных и естественных систем.

код для вставкиСкачать
УДК 502.22:519.2
И.Г. Вовк
СГГА, Новосибирск
БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД ПРИ ОЦЕНКЕ СОСТОЯНИЯ
ИСКУССТВЕННЫХ И ЕСТЕСТВЕННЫХ СИСТЕМ
При оценке безопасности в техносфере часто приходится принимать
решения в условиях неопределѐнности и риска. Статистические процедуры
принятия решений предназначены для объективного устранения или хотя бы
уменьшения неопределѐнности. Необходимую для этого информацию
выявляют, используя специальные методы еѐ получения и обработки. Одним
из таких методов является метод принятия решения в условиях
неопределенности, основанный на теореме Байеса. Этот метод основан на
предположении, что задача сформулирована в терминах теории вероятностей
и известны все представляющие интерес вероятностные величины [1, 2].
Предположим, что лицу, отвечающему за безопасность системы, не
представляется возможным предсказать какое из двух происшествий 1 или
2 можно ожидать в ближайшем будущем, и он вынужден считать появление
того или иного происшествия случайным событием. Предположим, что
существует некоторая априорная вероятность P(1) того, что произойдѐт
первое происшествие, и P(2) того, что произойдѐт второе происшествие.
Эти априорные вероятности оценивают возможность появления каждого из
происшествий до их действительного появления. Если P(1) > P(2), то
следует предположить, что событие 1 появится раньше, чем событие 2, и,
наоборот, в противоположном случае. Вероятность ошибочности этого
решения равна меньшей из величин P(1) или P(2).
В большинстве случаев при выборе решения привлекают
дополнительную информацию – некоторые признаки x, которые
рассматривают как случайные величины, распределение которых зависит от
появления события 1 или 2. Пусть P(x/ωj) – условная плотность
распределения величины x при реализации события j (j = 1, 2). Допустим,
что известны и априорные вероятности P(j), и условные плотности P(x/ωj),
которые в количественной мере оценивают правдоподобие состояния j при
данном x.
Предположим, что имеется возможность измерить или узнать значение
величины x, и спрашивается, в какой мере эта информация влияет на наше
представление о появлении событий 1 или 2. Ответ на этот вопрос даѐт
теорема Байеса [3]
p ( x ω j )  P (ω j )
P (ω j x ) 
;
p( x )
p( x )   P( x ω j )  P(ω j ).
j
Эти формулы показывают, как знание величины признака x позволяет из
априорной вероятности P(j) получить апостериорную вероятность P(j/x).
При наличии апостериорных вероятностей байесовское решающее правило
состоит в выборе события 1, если P(1/x) > P(2/x), и в выборе 2 в
противоположном случае. Вероятность ошибки при таком решающем
правиле равна меньшей из величин P(1 /x) или P(2 /x).
Теорема Байеса позволяет оценивать риск из-за несоответствия
выполняемых мероприятий действительному событию
j. Если
осуществляется событие j, (j = 1, 2, …, s) и реализуются некоторые
мероприятия ai (i = 1, 2, …, m), то из-за ошибки в определении j возникают
потери (ai /j).
Пусть имеется возможность наблюдать некоторые признаки xi (i = 1, 2, …,
n). Так как P(j/x) – условная вероятность того, что произошло событие j, то
ожидаемые потери (условный риск), связанные с выполнением
мероприятий ai , равны
R (a i / x )   λ(a i / ω j )  P(ω j , / x ) .
i
Для минимизации общего риска требуется вычислить условный риск для
всех значений xi и выбрать то действие, при котором условный риск
минимален. Минимальный общий риск называют байесовским риском,
соответствующим возможному наилучшему образу действий.
Уточнение данных о событиях j за счѐт проведения опыта может быть
довольно значительным. Однако остаѐтся неясным, стоит ли новая
информация, полученная по результатам эксперимента, затрат на еѐ
получение?
Для ответа на этот вопрос сравнивают максимальный ожидаемый
выигрыш до эксперимента с максимальным ожидаемым выигрышем после
эксперимента.
Будем считать, что стоимость решения задана матрицей
__
___
A  ai j i 1  n j 1  m ,
каждая строка i которой соответствует какому то варианту решения, а
каждый столбец j – некоторому событию j, вероятности которых заданы
вектором
p = (p1, p2, …, pm).
Максимальный ожидаемый выигрыш M до эксперимента равен
максимальному значению математического ожидания выигрыша из всех
возможных вариантов решения
Предположим, что для уточнения состояния среды имеется
возможность провести эксперимент, стоимость которого S. Пусть после
эксперимента стало точно известно, что среда находится в состоянии j.
Максимальный выигрыш в состоянии j
mj
max ( a) i  j .
i
Максимальный ожидаемый выигрыш после эксперимента равен
μ  S   m j  p j  S   p j  max(a )i, j  S
j
j
i
и, следовательно, эксперимент выгоден лишь тогда, когда μ – S > M.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Энциклопедия кибернетики. – Киев: Гл. ред. Укр. сов. энцикл. 1975. – Т. 1. – 607
2.
Энциклопедия кибернетики. – Киев: Гл. ред. Укр. сов. энцикл. 1975. – Т. 2. – 622
с.
с.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и еѐ приложения. / В. Феллер. – Т. 1.
– М.: Мир,1967. – 498 с.
© И.Г. Вовк, 2007
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
361 Кб
Теги
оценки, искусственные, система, подход, состояние, естественной, байесовских
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа