close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Быстрое преобразование Фурье-Хаара в двухпараметрической цветовой палитре.

код для вставкиСкачать
СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ
УДК 517.5
А. А. Барышев, Д. С. Лукомский,
С. Ф. Лукомский, Э. Х. Юзликеев
БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕХААРА
В ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦВЕТОВОЙ ПАЛИТРЕ
Введение
Пусть (G, +?) p-ичная компактная группа, X группа характеров,
(Gn )n?Z основная цепочка подгрупп в G, (G?
n ) основная цепочка в X ,
состоящая из аннуляторов, (gn )n?Z базисная последовательность в G,
(rn )n?N0 ) система Радемахера. Рассмотрим задачу разложения цветного
изображения в p-ичный ряд ФурьеХаара на группе G. Исходное изобра(n+1)
жение будем трактовать как массив (?a0 ,a1 ,...,an )aj =0,p?1 , состоящий из комплексных чисел. Векторы (a0 , a1 , . . . , an ) определяют положение точки,
(n+1)
(n+1)
?a0 ,a1 ,...,an цвет этой точки. Разложим изображение ?a0 ,a1 ,...,an в p-ичный
ряд Фурье Хаара, получим дискретный ряд Spn+1 (x) =
pn+1
P?1
cl Hl (x), в
l=0
котором cl коэффициенты ФурьеХаара,
Hl (x) = Hjpn +k (x) = rkj (x??q)1Gk +?q (x), j = 1, p ? 1, k = 0, pn ? 1
функции Хаара [1], число k и элемент q связаны соотношением
q = a0 g0 +?a1 g1 +? . . . +?am?1 gm?1 ? k = a0 + a1 p + · · · + am?1 pm?1 .
Мы рассмотрим две задачи:
(n+1)
1) как по массиву (?a0 ,...,an ) восстановить коэффициенты ФурьеХаара,
(n+1)
2) как задать палитру цветов, используя 2 параметра (Im ?a0 ,...,an и
(n+1)
Re ?a0 ,...,an ).
Быстрое p-ичное преобразование ФурьеХаара. Сначала рассмотрим
первую задачу. Запишем Spn+1 (x) в виде:
Spn+1 (x) =
n
pX
?1
l=0
cl Hl (x) +
pn+1
X?1
cl Hl (x) = Spn (x) +
l=pn
pn+1
X?1
l=pn
3
cl Hl (x).
(1)
В этом случае
Spn+1 (Gn+1 +?a0 g0 +? . . . +?an?1 gn?1 +?an gn ) = ?(n+1)
a0 ,a1 ,...,an ,
Spn (Gn +?a0 g0 +? . . . +?an?1 gn?1 ) = ?(n)
a0 ,a1 ,...,an?1 ,
Hl (Gn+1 +?a0 g0 +? . . . +?an?1 gn?1 +?an gn ) = ?jan cj,pn ,a0 .a1 ....,an?1 .
Подставляя эти значения в (1), получаем при каждом наборе
(a0 , a1 . . . . , an?1 ) систему уравнений
?a(n+1)
0 ,a1 ,...,an
=
?(n)
a0 ,a1 ,...,an?1
+
p?1
X
?jan cj,pn ,a0 ,...,an?1
(2)
j=1
(n)
относительно неизвестных ?a0 ,a1 ,...,an?1 , c1,pn ,a0 ,...,an?1 , . . . , cp?1,pn ,a0 ,...,an?1 .
2?i
В системе (2) ?an = e p an корни из (1) степени p. Найденным коэффициентам cj,pn ,a0 a1 ...an?1 присваиваем векторные номера (a0 , a1 , . . . an?1 , j)
и помещаем в n + 1-мерный массив коэффициентов Фурье Хаара
(n)
c(j0 , j1 , . . . , jn?1 , jn+ ). Значения ?a0 a1 ...an?1 помещаем в n + 1-мерный
массив ?(j0 , j1 , . . . , jn?1 , 0) с номерами (a0 , a1 , . . . an?1 , 0). Равенство (2)
можно записать в виде условной схемы
(n+1)
(n)
?a0 a1 ...an
HH
HH
j
?a0 a1 ...an?1 ,0
(n)
ca0 a1 ...an?1 ,j + .
Таким
образом,
после
1-го
шага
получаем
массив
+
c (j0 , j1 , . . . , jn?1 , j ), в котором элементы с номерами j0 , j1 , . . . , jn?1 =
= 0, p ? 1, j + = 1, p ? 1 есть найденные коэффициенты ФурьеХаара
и массив значений ?(n) (j0 , j1 , . . . , jn?1 , 0), в котором заданы элементы с
номерами (j0 , j1 , . . . jn?1 , 0). При этом множество векторов, с помощью
которых происходит нумерация, преобразуется по аналогичной схеме
(n)
({j0 , j1 , . . . jn })
HH
HH
j
{(j0 , j1 , . . . , jn?1 , 0)}
{(j0 , j1 , . . . , jn?1 , j + )}.
Повторяя эти рассуждения, получаем после n + 1-го шага схему для
коэффициентов ФурьеХаара
(n+1)
(n)
?a0 a1 ...an
HH
-
?a0 a1 ...an?1 ,0
HH
j
(n)
ca0 a1 ...an?1 ,j +
(n?1)
HH
HH
j
?a0 a1 ...an?2 ,0,0 . . .
(n?1)
ca0 a1 ...an?2 ,j + ,0
4
(0)
HH
HH
j
?0,0,...,0,0 = c0
(0)
cj + ,0,...0,0 .
и аналогичную схему преобразования векторов, по которым идет нумерация
({j0 , j1 , . . . jn })
-{(j0 , . . . , jn?1 , 0)} -{(j0 , . . . , jn?1 , 0)}
HH
HH
j
H
j
H
{(j0 , . . . , jn?1 , j + )}
...
{(j0 , . . . , jn?1 , j + )}
HH
j
H
{(0, 0, . . . , 0)}
{(j + , 0, . . . , 0)}.
Двухпараметрическая цветовая палитра. Цветное изображение задается
функцией ? : (x, y) 7? (C1 , C2 , C3 ), где (x, y) координаты пикселя,
x = 0, M , y = 0, N , (C1 , C2 , C3 ) числа, определяющие цвет пикселя. В
существующих палитрах обычно цвет определяется именно тремя числами. В палитре RGB: C1 интенсивность красного, C2 интенсивность
зеленого, C3 интенсивность синего. При использовании p-ичного преобразования ФурьеХаара значения функции есть комплексные числа,
т. е. пары (Re z, Im z) или (|z|, arg z). Поэтому напрямую применять преобразование ФурьеХаара невозможно и надо от трех параметрической
палитры перейти к двухпараметрической.
Считается, что для человеческого глаза наиболее естественной является палитра HSV (Hue,Saturation,Value). В палитре HSV: C1 = H оттенок, C2 = S насыщенность, C3 = V яркость. Причем H принимает целые значения H = 0, 360, S и V выражаются в процентах, т. е. S
и V ? [0, 100]. Будем считать, что S и V принимают целые значения.
Тогда отображение палитры HSV в двухпараметрическую можно задать формулой
?(HSV ) = a + bi, a = 360 ? S + H, b = V.
В этом случае 0 ? a ? 36000 ? 1, 0 ? b ? 100, H = a (mod 360) .
Если заменить a и b на значения
a=
360 ? S + H
V
,b =
,
100
100
то их можно трактовать как аргумент (в градусной мере) и модуль комплексного числа ?(HSV ). Рассмотренный алгоритм численно реализован в пакете Математатика.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект ќ 13-01-00102).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лукомский С.Ф. О рядах Хаара на компактной нуль-мерной группе// Изв.
Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т.9, вып. 1.
С.1419.
5
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
411 Кб
Теги
хаара, фурье, двухпараметрические, палитра, преобразование, цветовой, быстро
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа