close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Взвешенный метод наименьших квадратов гарантированного оценивания параметров процесса Arch(1)1.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 3(8)
УДК 519.2
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
ВЗВЕШЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ПРОЦЕССА ARCH(1)1
Предложена последовательная процедура оценивания параметров процесса
ARCH(1), основанная на методе наименьших квадратов. Выбор весовых коэффициентов и правила остановки гарантирует точность оценивания. Работоспособность процедуры подтверждена численным моделированием.
Ключевые слова: процесс ARCH(1), метод наименьших квадратов, гарантированное оценивание.
Некоторым типам данных, в частности финансовым индексам, бывает присущ
эффект кластерности, т.е. чередования групп значений с большой и малой дисперсией. Для описания случайных процессов такого типа Р. Энглом была предложена
модель авторегрессии с условной гетероскедастичностью (ARCH), в которой дисперсия наблюдений представляет собой случайный процесс авторегрессионного типа. В данной работе рассматривается задача оценивания параметров такого процесса и предлагается последовательный метод, гарантирующий ограниченность среднеквадратического отклонения оценки от истинного значения параметров.
1. Постановка задачи
Рассматривается случайный процесс ARCH(1):
xl = σl εl ;
σl2 = μ + λxl2−1 .
(1)
Здесь {εl }l≥1 – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Параметры μ и λ
неизвестны. Ставится задача по наблюдениям за процессом {xl } оценить вектор
неизвестных параметров Λ = [μ, λ] с гарантированной точностью.
2. Последовательная оценка параметров
Для оценки параметров процесса (1) применим подход, предложенный в [1]
для классификации процессов авторегрессии с неизвестной дисперсией. Чтобы
иметь возможность использовать эти результаты, представим процесс (1) в виде
xl2 = σl2 + σl2 (εl2 − 1).
Введем обозначения B 2 = M (εl2 − 1) 2 , ηl = (εl2 − 1) /B и, учитывая (1), получим
xl = μ + λxl2−1 + (μ + λxl2−1 ) Bηl .
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 09-01-00172а.
(2)
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
28
Здесь {ηl }l≥1 – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с M ηl = 0 , M ηl2 = 1 . Процесс (2) является процессом авторегрессии первого порядка, дисперсия шумов которого (μ + λxl2−1 ) B неизвестна и,
более того, не ограничена сверху. Преобразуем далее процесс (2). Введем обозначения
yl2−1
=
max{1, xl2−1},
zl =
xl2
yl2−1
T
, al −1
⎡ 1 x2 ⎤
= ⎢ 2 , l2−1 ⎥ .
⎣ yl −1 yl −1 ⎦
(3)
Перейдем теперь к случайному процессу {zl } вида
zl = Λal −1 + Λal −1 Bηl .
(4)
Так как Λal −1 ≤ μ + λ , данный процесс обладает ограниченной дисперсией
шумов.
Поставим задачу оценки вектора параметров Λ процесса (4). Используем для
построения оценки модифицированный метод наименьших квадратов. Оценка параметров строится в два этапа.
На первом этапе на интервале [1, n] вычисляется статистика Γ n , затем она используется для компенсации неизвестной дисперсии помех. Для определения вида
Γ n преобразуем процесс (2). Введем обозначения
y l2−1 =
min{1, xl2−1},
T
⎡ 1 xl2−1 ⎤
x l = 2 , a l −1 = ⎢ 2 , 2 ⎥ .
y l −1
⎢⎣ y l −1 y l −1 ⎥⎦
xl
В этом определении требуется, чтобы наблюдения xl −1 на промежутке [1, n]
были отличны от нуля, иначе можно выбрать первый промежуток, для которого
верно это условие. Случайный процесс {x l} имеет вид
x l = Λ a l −1εl .
(5)
Очевидно, что Λ a l −1 ≥ λ + μ . Тогда Γ n можно представить как
n
Γ n = Cn ∑
l =1
x l2,
Cn = B
2
−1
⎛ n
⎞
2⎟
⎜
M ⎜ εl ⎟ .
⎜
⎟
⎝ l =1
⎠
∑
(6)
На плотность распределения шумов {εl } наложим условие [1]
(
)
f ε (u ) = O | u |−γ при u → 0 для некоторого 0 ≤ γ < 1,
которое достаточно для обеспечения конечности множителя
n ≥ [2/ (1 − γ )] + 1 .
На втором этапе строится собственно оценка параметров:
⎛
Λ∗ ( H ) = ⎜⎜
τ
∑
⎜
⎝ l = n +1
⎞
vl zl +1alT ⎟⎟ A−1 (τ),
⎟
⎠
A(k ) =
k
∑
l = n +1
(7)
Cn
vl al alT ,
при
(8)
где τ – случайный момент остановки, определяемый следующим образом
τ = min{k ≥ n + 1 : ν min (k ) ≥ H },
(9)
ν min (k ) – минимальное собственное значение матрицы A(k ) . Определим веса vl .
Взвешенный метод наименьших квадратов гарантированного оценивания параметров
29
Пусть m – минимальное значение k , при котором матрица A(n + k ) не вырождена. На интервале [n + 1, n + m − 1] веса имеют вид
1
⎧
, если al линейно независим с {an +1 ,…, al −1};
⎪
vl = ⎨ Γ n alT al
⎪
0,
иначе.
⎩
На интервале [n + m, τ − 1] веса vl определяются из условия
(10)
k
ν min (k )
= ∑ vl2 alT al ,
Γn
l =n+ m
(11)
τ
ν min (τ)
≥ ∑ vl2 alT al , ν min (τ) = H .
Γn
l =n+ m
(12)
а в момент τ – из условий
Теорема 1. Если выполнено условие (7), то момент остановки τ( H ) конечен
почти наверное, среднеквадратическое отклонение оценки Λ∗ ( H ) от истинного
значения параметров оценивается сверху величиной
2
H +1
.
(13)
M Λ∗ ( H ) − Λ ≤
H2
Доказательство. Согласно [2], момент остановки τ( H ) (9) конечен почти наверное, если
∞
∑ vl2 alT al = ∞ п.н.
(14)
l =1
Для сходимости почти наверное ряда в (14) необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие [3]
⎧∞
⎫
∀ε > 0 : P ⎨∑ vl2 alT al ≥ ε ⎬ ⎯⎯⎯
→ 0.
k →∞
⎩l = k
⎭
Так как alT al > 1 , это условие может выполняться только при vl → 0 по вероятности. Коэффициент vl является одним из положительных корней уравнения
(
(
2 a12 + a22
(
)
2
(
v3 − 2 a12 + a22
)
)
2
2
v 2 − 2 ( A11 − A22 )2 + 4 A12
v+
(
2
+ ( A11 − A22 ) a22 − a12 − 4 A12 a1a2 + ( A11 − A22 )2 + 4 A12
a12 + a22
) ) = 0.
Здесь a1 , a2 – компоненты вектора al , а A11 , A12 и A22 – элементы матрицы
A ( l − 1) . Нижняя граница положительных корней этого уравнения стремится к
нулю, если его свободный член стремится к нулю. Но так как, согласно (3), одна
из компонент вектора al равна 1, а вторая может принять любое значение на интервале [ 0,1] , получаем, что свободный член уравнения больше нуля с положительной вероятностью.
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
30
Рассмотрим среднеквадратическое отклонение оценки Λ∗ ( H ) от истинного
значения вектора параметров. Используя (4), неравенство Коши – Буняковского,
соотношение || A(k ) ||≥ ν min (k ) и (12), получаем
M Λ* ( H ) − Λ
2
τ
∑(
=M
l = n +1
2
τ
≤M
∑ ( Λvl al alT Bηl +1 )
2
)
Λvl al alT Bηl +1 A−1 ( τ )
A−1 ( τ )
2
l = n +1
≤
H2
∑
M
(15)
2
τ
1
≤
l = n +1
Λvl al alT Bηl +1 .
Рассмотрим второй множитель, учтем, что Λal ≤ λ + μ , тогда
2
τ
M
∑
l = n +1
Λvl al alT Bηl +1 ≤
τ
τ
l −1
⎛
⎞
(16)
≤ (λ + μ) 2 B 2 ⎜ M ∑ vl2 alT al ηl2+1 + 2M ∑ ∑ vk vl akT al ηk +1ηl +1 ⎟ .
⎝ l = n +1
⎠
l = n + 2 k = n +1
Оценим первое слагаемое. Для этого введем усеченный момент остановки
τ( N ) = min{τ, N } . Очевидно, что τ( N ) → τ при N → ∞ . Рассмотрим случайную
величину
τ( N )
∑
l = n +1
vl2 alT al ηl2+1 ,
отличающуюся от суммы в первом слагаемом в (18) только верхним пределом, и
найдем ее математическое ожидание. Пусть Fl = σ(ε1 ,…, εl ) – σ -алгебра, порожденная случайными величинами {ε1 ,…, εl } , тогда τ , определенный в (9), – марковский момент относительно {Fl } . Используя свойства условных математических ожиданий, получаем
τ( N )
M
∑
l = n +1
vl2 alT al ηl2+1 = M
=M
N
∑
l = n +1
N
∑
l = n +1
vl2 alT al χl ≤τ ηl2+1 = M
{
}
N
∑
l = n +1
τ( N )
vl2 alT al χl ≤τ M ηl2+1 Fl = M
{
}
M vl2 alT al χl ≤τ ηl2+1 Fl =
∑
l = n +1
vl2 alT al .
Так как τ( N ) → τ при N → ∞ , то отсюда с учетом (10) – (12)
τ( N )
M
∑
l = n +1
=M
n + m −1
∑
l = n +1
vl2 alT al ηl2+1 ⎯⎯⎯
→M
N →∞
vl2 alT al + M
τ
∑
l = n +1
vl2 alT al =
τ
⎛ 1
H ⎞
⎛ H +1⎞
vl2 alT al ≤ M ⎜
+
⎟=M⎜
⎟.
⎝ Γn Γn ⎠
⎝ Γn ⎠
l =n+m
∑
Аналогично можно показать, что второе слагаемое в (16) равно нулю. Подставляя полученные результаты в (16), а затем в (15), получаем
M Λ∗ ( H ) − Λ
2
≤
H +1
H
2
⎛ B 2 (λ + μ ) 2 ⎞
M⎜
⎟
Γn
⎝
⎠
(17)
Взвешенный метод наименьших квадратов гарантированного оценивания параметров
(
31
)
Покажем теперь, что M B 2 (λ + μ) 2 /Γ n ≤ 1 . Согласно (5), имеем
⎧n
⎫
⎧n
⎫
⎧n
⎫
t
.
P ⎨∑ x l2 ≤ t ⎬ = P ⎨∑ (Λ a l −1) 2 εl2 ≤ t ⎬ ≤ P ⎨∑ εl2 ≤
2⎬
(λ + μ ) ⎭
⎩ l =1
⎭
⎩ l =1
⎭
⎩ l =1
Пользуясь этим результатом, получаем
⎛ B 2 ( λ + μ )2 ⎞ B 2 ( λ + μ )2 ⎛ n 2 ⎞
M ⎜⎜
M ⎜ ∑ xl ⎟
⎟⎟ =
Γn
Cn
⎝ l =1 ⎠
⎝
⎠
≤
B (λ + μ)
Cn
2
2 +∞
∫
0
−1
B 2 ( λ + μ )2
Cn
=
+∞
⎧
n
xl
∫ P ⎩⎨∑
l =1
2
0
1⎫
< ⎬ dt ≤
t⎭
−1
⎛ n
⎞
B
1
⎪⎧ n
⎪⎫
P ⎨∑ εl2 <
dt =
M ⎜ ∑ εl2 ⎟ .
2 ⎬
C
( λ + μ ) t ⎭⎪
⎝ l =1 ⎠
n
⎩⎪ l =1
2
Отсюда и из (6) следует, что
⎛ B 2 ( λ + μ )2 ⎞
M ⎜⎜
⎟⎟ ≤ 1.
Γn
⎝
⎠
Подставляя этот результат в (19), получаем (13). Теорема доказана.
3. Результаты моделирования
Предложенный алгоритм был реализован на ЭВМ. Для каждого параметра H
проводилось 1000 реализаций процедуры оценивания параметров процесса (1)
при μ = 0, 7 и λ = 0,5 . Результаты моделирования приведены в таблице.
H
10
20
40
μ̂
Dμ
Δμ
0,7073
0,7062
0,7032
0,0179
0,0093
0,0048
0,6670
0,3736
0,2581
λ̂
0,4993
0,5033
0,5005
Dλ
Δλ
0,0327
0,0172
0,0110
0,6698
0,4254
0,3075
τ̂
160
313
617
τmax
221
415
761
Здесь λ̂ и μ̂ – средние оценки параметров, Dλ и Dμ – среднеквадратические
отклонения оценок от истинных значений параметров, Δ λ и Δ μ – максимальные
отклонения оценок от истинных значений параметров, τ̂ и τmax – среднее и максимальное время оценивания. Среднеквадратическое отклонение оценки от истинного значения параметра убывает с ростом H , что соответствует теоретическим результатам. Кроме того, среднее и максимальное число наблюдений, необходимое для оценивания, растет линейно относительно H , что говорит о хорошем качестве процедуры оценивания. Максимальное число наблюдений отличается от среднего не более чем на 40 %, и эта величина уменьшается с ростом H .
Заключение
В работе предложена последовательная процедура оценивания параметров
процесса ARCH(1). Использование взвешенного метода наименьших квадратов
со специальным выбором весовых коэффициентов и момента окончания наблюдений позволяет получать оценки с гарантированным среднеквадратическим
уклонением.
32
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
ЛИТЕРАТУРА
1. Дмитриенко А.А., Конев В.В. О последовательной классификации процессов авторегрессии с неизвестной дисперсией помех // Проблемы передачи информации. 1995. Т. 31.
Вып. 4. С. 51 – 62.
2. Воробейчиков С.Э., Медер Н.А. On guaranteed estimation of parameter of random processes
by the weighted least square method // Preprints of the 15th Triennial World Congress of the
International Federation of Automatic Control. Barcelona. Spain, 21 – 26 July 2002. Nо. 1200.
3. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.
Буркатовская Юлия Борисовна
Воробейчиков Сергей Эрикович
Томский государственный университет
E-mail: burkatovskaya@sibmail.com; sev@mail.tsu.ru
Поступила в редакцию 19 мая 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
431 Кб
Теги
оценивания, метод, взвешенном, процесс, гарантированное, наименьших, arch, квадратов, параметры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа