close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Визуально опознаваемые максимумы в формулах для синусоидальных электрических колебаний в контуре.

код для вставкиСкачать
УДК 621.3
ВИЗУАЛЬНО ОПОЗНАВАЕМЫЕ МАКСИМУМЫ В ФОРМУЛАХ ДЛЯ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КОНТУРЕ
Александр Николаевич Лузин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск,
Плахотного, 10, кандидат физико-математических наук, профессор, тел. (383)343-29-33
ул.
Виктор Николаевич Матуско
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск,
Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, тел. (383)343-29-55
ул.
К визуально анализируемому в окрестности максимумов преобразованы формулы,
описывающие электрические колебания в контуре.
Ключевые слова: визуально анализируемые функции, экстремум, резонанс, контур.
VISUALLY IDENTIFIABLE PEAKS IN FORMULASFOR SINUSOIDAL ELECTRICAL
OSCILLATIONS IN THE CIRCUIT
Alexander N. Luzin
Siberian state geodetic academy, 630108, Novosibirsk, Plakhotnogo St., 10, candidate of physical
and mathematical sciences, professor, ph. (383) 343-29-33
Victor N. Matusko
Siberian state geodetic academy, 630108, Novosibirsk, Plakhotnogo St., 10, Candidate of Technical
Sciences, assistant professor, ph. (383) 343-29-55
To visually analyzed in the vicinity of maximum mind transformed formulas describing the
electrical oscillations in the circuit.
Key words: visually analyzed by functions, extremum, resonance, circuit.
В электротехнике довольно часто один электротехнический параметр
немонотонно зависит от другого. В этих случаях наиболее интересны
экстремальные значения одного из параметров. Возникает необходимость
исследовать на экстремум функцию, описывающую эту немонотонную
зависимость.
В общем случае для нахождения экстремальных точек необходимо
продифференцировать функцию, результат приравнять нулю и решить
полученное уравнение. После этого исследуемую функцию можно
преобразовать к визуально анализируемой формуле. Из полученной формулы
можно увидеть, при каком значении аргумента функция имеет экстремальное
значение, чему равно это экстремальное значение.
Простейшим примером предлагаемых преобразований является выделение
полного квадрата из квадратичной функции
y( x)  ax 2  bx  d
Из элементарной математики известно, что после выделения полного
квадрата
2
b  b 2  4ad

(1)
y ( x )  a x   
2a 
4a

Видно, что это уравнение параболы, вершина которой имеет координаты
b
4ad  b 2
xm   , ym 
2a
4a
После выделения полного квадрата нет необходимости вычислять
производную квадратичной функции и выяснять, при каких значениях
аргумента производная равна нулю.
К визуально анализируемому в окрестности экстремума виду можно
преобразовать и многие другие более сложные функции.
Примеры таких преобразований приведены в докладе [1]. Там же приведен
общий метод такого преобразования для произвольной дробной рациональной
функции:
1. С помощью производной определятся экстремальное значение функции
и соответствующее значение аргумента,
2. Приводится к общему знаменателю разность y( x)  ym ,
3. Числитель полученной дроби делится без остатка на x  xm  ,
y ( x)  ym
4. После этого можно записать соотношение
 f ( x) ,
( x  xm ) 2
затем
2
y( x)  f ( x)x  xm   ym .
(2)
2
Из сравнения с формулой (1) видно, что формула (2) имеет большое
сходство с параболой.
2


y
(
x
)

f
(
x
)
x

x
 ym
m
m
Но настоящей параболой является функция
Это парабола, касательная к исследуемой функции y(x) .
Из формулы (2) видно, что при x  xm функция имеет экстремум.
Предложенный здесь метод преобразования применим к многочленам, так
как многочлен можно рассматривать как дробную рациональную функцию,
знаменатель которой равен единице. Следовательно, этот метод можно
применить и к преобразованию квадратичной функции.
Но здесь проще воспользоваться методом выделения полного квадрата - не
надо пользоваться понятием производной.
К визуально анализируемому в окрестности экстремума виду можно
привести формулы приведенные в учебнике [2]. В этом учебнике речь идет о
R  L C
гармонических колебаниях в последовательном
контуре,
подключенном к источнику синусоидального напряжения.
Значение напряжения на резисторе
RU
UR 
2
1 

R   L 

C 

где U - действующее значение напряжения источника питания,
 - угловая частота источника.
Экстремальные свойства напряжения U R становятся видимыми, если
второе слагаемое в подкоренном выражении умножить на дробь L2 /  2 , а
выражение ,стоящее в скобках , на  / L .
В этом случае
RU
UR 
2
L2  2 1 
2
R  2  

 
LC 
Видно, что подкоренное выражение имеет минимальное значение при
1
  РЕЗ 
LC
Максимальное значение напряжения U R max  U .
2
Для значения действующего напряжения на емкости в [2] приведена
формула
U
UС 
2
R 2 2C 2   2 LC  1
Для ее преобразования в подкоренном выражении полезно перейти к
новому аргументу x   2 и получим
y( x)  xR 2C 2  ( xLC  1) 2  L2C 2 x 2  (C 2 R 2  2LC) x  1  ax 2  bx  d ,
где a  L2C 2 , b  C 2 R 2  2LC , d  1 .
Для преобразования y(x) воспользуемся формулой (1) и получим
2
2
 1
R 2 
2
2 2 2
2  4L  R C 
y    L C   
 2   CR 
.
2
LC
2
L
4
L





U
После этого U c 

L C  
2
2
2
2

2
C
 4 L  R 2C 
 CR 

2
 4L

2
 1
R2 
где C  
 2  - угловая частота, при которой напряжение на
 LC 2 L 
ѐмкости максимально.
Из полученной формулы видно, что максимальная величина напряжения на
ѐмкости
U C max 
2 LU
R C 4 L  R 2C 

U
R 2C  R 2 C 
1 

L 
4 L 
Формула для действующего значения напряжения на индуктивном
элементе имеет вид
U
UL 
2
R2 
1 
 1 

L2 2   2 LC 
1
Если в формулу вместо аргумента  ввести новый аргумент x  2 , то

подкоренное выражение приобретѐт вид
2
R2
x 

2
y ( x)  2 x  1 
  ax  bx  d ,
L
 LC 
1
R2
2
где a  2 2 , b  2 
, d  1.
LC
L
LC
После использования формулы (1) и тех же математических операций, что
и в случае преобразования формул для U C формула для U L становится
визуально анализируемой в окрестности максимума
U
UL 
2
1 1
1  R 2C  R 2C 
1 

 
 
L2C 2  2  L 2 
L 
4 L 
1
- квадрат угловой частоты, при которой – напряжение
CR 2
1
2L
на индуктивности становится наибольшим.
Видно, что напряжение U L имеет максимальное значение при
где  L 2 
1
LC
1
1
LC 1  CR 2 / 2 L 
U
Причѐм U L max 
.
R 2C  R 2C 
1 

L 
4 L 
Здесь следует обратить внимание на то, что
U L max  U C max
Из приведенных в работе примеров следует то, что в учебниках и учебных
пособиях по электротехнике наряду с традиционными формулами
целесообразно приводить формулы, в виде визуально анализируемых в
окрестности экстремума. Это способствовало бы более эффективному
использованию полученных знаний в практических целях. Разностороннее
 2  L 2 
рассмотрение оного и того же учебного материала способствует более прочному
его освоению.
Студенты во время занятий по электротехнике, например, легко могли бы
проверять, эквивалентны ли между собой две приведенные рядом формулы.
Проверку легко осуществлять посредством очень простых алгебраических
преобразований, получая традиционную формулу из новой визуально
анализируемой формулы.
Чтобы успешно решать новые серьезные электротехнические проблемы,
будущий инженер должен и сам уметь преобразовывать исследуемые им
формулы к визуально анализируемому виду.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лузин А.Н. Приведение некоторых формул курса физики к виду, визуально
анализируемому вблизи экстремума. Физика в системе своевременного образования (ФССО2000). Матер. Междун. конф. Санкт-Петербург, 4-8июня 2007 г., том 2, с. 434-437.
2. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. - М.: Энергоатомиздат, 1983.
© А.Н. Лузин, В.Н. Матуско, 2012
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
386 Кб
Теги
опознаваемые, синусоидальный, формула, электрический, контур, визуальному, максимума, колебания
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа