close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Влияние единичной шероховатости на течение жидкости в пограничном слое.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
To.Af 11
удк
ЦАГИ
оМl
1971
532.526-2
532.527
ВЛИЯНИЕ ЕДИНИЧНОЙ ШЕРОХОВАТОСТИ
НА ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
А. В. Зубцов
Рассматривается обтекание тела потоком вязкой несжимаемой
жидкости для чисел
1 при условии, что на его поверхности
имеется единичная шероховатость, глубоко утопающая в пограничном
Re»
слое
«. о).
(h
Исследуется
случай,
Vhh
Reh = -,,- »1
когда
(h -
высота
шероховатости, V h - скорость в невозмущенном слое на уровне
шероховатости вдали от нее). Показано, что в окрестности шерохо­
ватости (г - h) течение жидкости имеет локально невязкую и локально
вязкую зоны. При определенных условиях в локально невязкой зоне
возникает рециркуляционное течение. Решение уравнений в локально
вязкой зоне показало, что за шероховатостью возникает отрыв по­
тока. Показано, что в окрестности шероховатости величина трения
(теплопередачи) по порядку в
ствующих
1.
величин
YReh
вневозмущенном
;r
(в
Reh)
раз выше соответ­
пограничном
слое.
Рассматривается плоское обтекание про филя потоком несжи-
V:b
I
маемой жидкости при Re ~ 1 (Re
мущенного
потока,
Ь
-
хорда
=
-;-,
крыла).
г де V:O -
скорость невоз-
Исследуется случай, когда
на контуре профиля имеется шероховатость высотой h ~
такая,
что
сательной
ее
характерные
к
размеры
по
направлениям
невозмущенному контуру
одинаковы и ~
линейные размеры шероховатости малы по
пограничного
вносимые
течение
ею
в
слоя,
в
то
поток
естественно
вдали
пограничном
слое
от
нее,
вдали
h.
Так как
сравнению с толщиной
полагать,
являются
от
b/VRe ~ о,
нормали и ка­
что
возмущения,
малыми,
шероховатости
и
в
поэтому
первом
приближении описывается уравнениями Прандтля.
Однако в окре­
стности
существенными,
причем
шероховатости
поперечная
величинами
одного
и
возмущения
становятся
продольная составляющие скорости являются
порядка.
Поэтому
в
этой области уравнения
Прандтля могут оказаться несправедливыми, и для описания тече-
9
нИя вблизи шероховатости следует обратиться к уравнениям Навье­
Стокса. Поставленная
возмущениями,
и
задача относится к классу задач с особыми
решение
и внешних раз.l0жениЙ
ее
будем
искать методом внутренних
[1], [2].
Проведем предварительные оценки, которые позволяют судить
о характере течения в окрестности шероховатости. За характерный
линейный размер в окрестности шероховатости примем величину h,
а за характерную скорость V h - продольную скорость в невозму­
щенном пограничном слое на уровне у = h. Уравнения Навье­
Стокса после приведения к безразмерному виду запишутся сле­
дующим образом:
-
-
1
(1.1)
(V\7) V +gradp = R-- AV,
eh
где
-Reh = Vhh
'i
р
-
'
безразмерная величина давления.
Далее будем рассматривать случай, когда Re h ~ 1. Полагая,
что безразмерные функции, входящие в уравнение (1.1), ЯВЛЯЮТСЯ
в окрестности шероховатости величинами ,-.....1, можно утверждать,
что течение в этой области при Re h ~ 1 описывается уравнениями
Эйлера. Но эти уравнения не могут удовлетворить условиям не­
протекания
поэтому
и
прилипания
необходимо
жидкости
на
контуре
ввести в рассмотрение
зону, где
шероховатости,
узкуЮ
вязкие
пристеночную
члены
в
уравне­
нии (1.1) становятся порядка инер­
ционных. Из этого условия не­
трудно ПОЛУЧИТЬ,что толщинаэтой
м
1/'
зоны А имеет порядок А ,-..... h/-VRе/t
с'
с'
,..c;--=:::::.-----:2~=.r:;::::==1~==-~c
СС-НМ/I.JМI(Щ~ННI1II; К/lкm#р
С'СL#/I.1N#Щ~ННbI.ri К/lнm#р
3
или, что то же, Ajb,-..... (Re)-4,-..... 03/2.
Течение в этой зоне описывается
уравнениями Прандтля. Внешние
граничные
Фиг.
Решение
1
ся
поставленной
h/O,-..... ( }~~: ) 1/2 ~ 1
из
кой
зоне.
задачи
для
Re h --
00,
но
,/
h
v Re
__
в
определяют­
локально невяз­
Re ~ 1,
Re h ~ 1
и
будем представлять как первое приближение
асимптотического решения уравнений Навье
Re
условия
решения
-
Стокса при
Re
--7
00,
О. Определим криволинейную систему коорди-
нат q] q2' связанную с гладким контуром С', следующим образом.
Проведем в точках контура С' нормали f{ С'. Пусть нормаль через
произвольную точку М', лежащую вблизи контура С', пересекает
этот контур в точке N'. Выбрав на контуре С' определенную
точку О' за начало отсчета дуг , будем определять положение
точки М' координатами q1
S, q2
n, где s и n суть взятые с над­
лежащими знаками длины дуг кривой О' N' и отрезка нормали N' М'.
Далее введем определенные таким образом две криволинейные
=
системы
координат
ху
и
sn,
=
связанные
соответственно
с
невозму­
щенным и возмущенным контуром профиля (фиг. 1). Разделим
условно всю область течения на четыре зоны: 1, 2 - локально
вязкая и локально невязкая зоны сильных возмущений; 3, 4-
10
вязкая и невязкая зоны слабых возмущений соответственно (фиг.
2).
Все переменные величины, относящиеся к этим зонам, будем отме­
чать
соответствующими
индексами
i
=
1, 2, 3, 4.
В каждой зоне
выберем свои безразмерные независимые переменные:
Х1 =
sjh,
Решение для функции тока в каждой зоне будем представлять
в
виде
(1.2)
(1.3)
Решение для функций ~i можно искать в виде асимптотического
ряда,
построенного на основе определенной асимптотической после­
довательности малых параметров,
Re
Re h •
и
зависящих
от
9-
Однако не бу­
~---t--------
дем выяснять общего ви­
да этой последователь­
____ _
J
J
ности, поскольку интере­
суемся решением в
вом
приближении.
пер­
Так
как ~езразмерные функ­
ЦИИ
'Jii
являются величи­
нами порядка единицы в
соответствующих' зонах,
то впервом приближении
Фиг. 2
ФУНКЦИИ tJii не зависят
от величин Re и Re h • Подставляя последовательно функции 'fi (1.2)
в уравнения Навье - Стокса, при Re h -'> 00 получим, что в первом
приближении
ФУНКЦИИ Фl и fz удовлетворяют следующим урав­
нениям:
-,
-"
,1,
,1 Уl .Jlт! Х 1 Уl
-,
-
-11
.1"11
,1 Х 1 '1
2 --
Уl
-
Р
-1f'
,
--1_
1 Х 1 -.
'1•1 1
( 1.4)
3·'
Уl
(1.5)
( 1.6)
ния
в первом приближении величина Reh не войдет в выраже­
(1.3), поэтому следует полагать, что течение в зонах 3 и 4
остается в первом приближении
считать
его
находятся
из
известным.
принципа
невозмущенным, и потому _бу дe~
Граничные
условия
асимптотического
для функций
сращивания
'Ji1
И
'Ji2
решений
11
в разных областях [1] и условий непротекания и прилипания жид­
кости на стенке. Эти условия имеют вид
-
~2
1 2
"""2 )/2
--+
2
+ У22
при Xz
---->-
00;
(1.7)
о при У2 -.j(x 2);
;Vz =
(1.8)
(1.9)
(1.10)
r де У2
=
/(х 2 ) -- уравнение контура шероховатости, а и2 е
касательная
уравнений
к
контуру
(1.6)-(1.8).
шероховатости,
ИЗ условия
(1.7)
что значение завихренности ш равно
и уравнения
скорость,
-
определяемая
из
(1.6)
решения
следует,
единице в той части зоны
2,
через которую проходят линии тока, берущие начало в бесконечно
удаленной точке (x~
в
которой
линии
+ y~ ~ (0).
тока
Если же в зоне 2 имеется область,
являются
замкнутыми,
то
на
основании
теоремы Бетчелора [3] в этой области (Jj = const. В работе [4] ука­
зывается условие, из которого эта константа может быть опреде­
лена. Далее для простоты исследования решения будем полагать,
=
что ш
1 во всей зоне 2. Если же при этом предположении ока­
жется, что в невязкой зоне 2 существует область с замкнутыми
линиями тока, то это будет доказательством существования рецир­
куляционного течения в исследуемой задаче. Однако в этом случае
течение с ш =
тину
1
во всей зоне
2
не будет описывать истинную кар­
течения.
2.
Решение уравнения
'Ji2
Тогда
функция
=
(1.6) представим
1 2
'"2 У2 + '~2
будет
1Ji2
(х 2 , У2)'
удовлетворять
-со следующими граничными условиями: 'Jiз
шероховатости, '~2
Пусть w (z) = ~
--+
в виде
уравнению
1
= -"""2/2 (х 2 )
Лапласа
на контуре
О при x~+ y~ ...... 00.
+
(х 2 , У2)
i~ (х 2 , У2) - конформное преобразование,
отображающее полубесконечную область z
Х2
iY2' ограниченную
+
=
снизу кривой У2 = /(х 2 ) на полуплоскость ~ >- О, и такое, что d~
z
при 1 1 --+ 00. Тог да решение для '~2 сведется
Дирихле для полуплоскости. Оно имеет вид
к
решению
--+
1
задачи
00
.
Ф=
<fI2
(Е, ~) + E~2 (~, ~)= -
1
2'1t
j•
/2(t)dt
t- w .
-00
Величина, сопряженная скорости,
тостью в зоне 2, выражается в виде
V_
2 -
Определим первый член
величины
при
12
при
IХ 2 ! ...... 00
1
z
1 ......
00.
сделаем
в
индуцированной
шерохова­
dФ dw
dw dz .
асимптотическом
Относительно
предположение,
разложении этой
затухания
что
функции
произведение
2
ЛХ 2 )
'
Х2 (/2)х.
удовлетворяет условию
удаленной точки. для
~2
.
чтобы ЛХ 2 ) ---1 х21а при
Гельдера [5] в окрестности бесконечно
выполнения ЭтогО условия достаТQЧНО.
I х 2 1 ~ 00,
где а>
1
а ~ - не которая кон-
2'
станта. Тогда можно показать [5], что величина
(/2 при I z 1--'> 00
00
J t (2)~ dt,
имеет асимптотику \12 ~ - 2 ;Z2 ' г де а =
откуда зна-
-00
чение и 2 на контуре
ближении имеет вид
шероховатости
а
-
112 --- ЛХ 2 ) -
2 7tX2
1х
~2
=
--'2
при
2
1 ~ 00
в
первом при-
а
(2.1)
--2'
-Ia -
-1
Х2 I
27tX2
ИЗ формулы (2.1) следует, что при а> 2 в локально невязкой
зоне 2 перед шероховатостью и за ней имеется область возвратных
течений, при ct = 2 наличие этой области зависит интегральным
образом (через а) ОТ формы шероховатоСти на всем
участке
00
Х2
00, при ct
2 возвратные течения в невязкой зоне 2
< <
<
.
отсутствуют.
Уравнения (1.4) и (1.5) являются уравнениями Прандтля, однако
в силу граничных условий (1.9) и (1.10) эти уравнения необходимо
интегрировать по Х) на бесконечно большом участке. В работе [6]
показано,
что
для
слоя и2 е ~ О при
1
случая,
x)l-+
00,
когда
скорость
на
внешней
границе
можно найти решение уравнения (1.4),
имеющее физический смысл. В работе
[6]
подробно изложен метод,
позволяющий найти такое преобразование координаты Х), которое
сводит бесконечный участок интегрирования к конечному. Для
случая,
когда
d
и 2е ----2
при
[x)l~oo(d>O),
преобразование
х)
имеет
вид
S
=
1
J и2 е (х)) dX
-3/4
T=~и2eY)·
_--:00'=-_ _ _ __
00
yd
(2.2)
1
-00
Нахождение профиля скорости
шению
уравнения
р'" + и е [-}рр" + 2(1
-
и1
=
~ е р' (S, Т) сводится к ре­
Р'2) ] =ие(Р' Р' -рр"),
(2.3)
где
р' ~ 1 при Т ~ 00
F = р' = О при Т = О
}
О ~S ~1
""
где ТОЧКОй обозначено дифференцирование
а
ие
имеет
"",
по
(2.4)
S, штрихом по Т,
вид
(2.5)
при этом функция и е ---
S
при
S
~ О.
13
Уравнения
и
(2.3)
(2.4)
имеют
вид,
свойственный
обычным
уравнениям пограничного слоя, и могут быть проинтегрированы
С использованйем хорошо разработанных аналитических или числен­
ных
методов.
В качестве примера расчета течения в окрестности шерохо­
3.
ватости рассматривался случай,
ставляется
в
У2 (х 2 ) = ЛХ 2 )
г де
когда контур шероховатости пред­
виде
k(
=
V 1 + 1+2k
X2+ k2
" (
2
,-
\
1) ,
,
(3.1)
k - положительный безразмерный параметр. В этом случае
1 +2k (z ik)2_ik. Из выражения (3.1) следует, что при
+ +
V
w =
I х 2 1 ~ 00
полная
I Х 2 / ~ 00
ордината
скорость
контура
шероховатости
локально
невязкого
k(I+2k)
----
так что
2'
2Х2
течения
на
контуре
при
имеет вид
d (k)
U z е ---- - - 2 - .
Х2
Величина d (k) может быть как
тельной. Расчеты показали,
что
положительной,
при
невязкой
f.'
k
~2=1l
1J.1l1ll...... ["'::: ~
-1l,1l1J2
-!l,IJIJJ
~
1/
::::-: t--- r-......
~ > f)(!'
,.dr'
1':,. .--:: ;;:::: 1.--:: ~ ~
:---- .........
.........
~
Фиг.
(2.3)
было
локально
возврат-
отсутству-
k<k o в
ществует
зоне
2
су-
рециркуляци­
онное течение. На фиг.3
построены линии тока
в
зоне рециркуляционного
1/.50
течения, на фиг.
4-
рас-
пределение скорости и 2 е
1425
для
различных значений
k. После преобразования
(2.2) и (2.5) получается
соответствующая
зави­
симость и е от S (фиг. 5).
Уравнение пограничного
3
просчитано
в
зоне
течения
ют, при
l!
1l.75
17
1,0
слоя
ные
~ §
/( =!l,1
так и отрица­
k>ko (k o ;;::;0,341)
численным
методом
[7]
для
случая,
когда в невязкой зоне 2 отсутствовали рециркуляционные течения
(k
0,5). Расчеты показали, что почти сразу за шероховатостью
наступает отрыв пограничного слоя (фиг. 6). Величина трения "s свя­
зана с величиной "os - поверхностным трением - в точке S = 1/2
=
в
отсутствие
шероховатости следующей зависимостью:
'ts = "о S VRe~
Из формулы
пающая
в
(3.2)
4.
слое, вызывает
можно
в
своей окрестности
VRe h (Re h ~ 1).
Исследование поставленной
течения,
(3.2)
S).
следует, что единичная шероховат()сть, уто­
пограничном
чение трения пропорционально
кого
7/ )1/4
( ~ е Р" (О,
задачи,
проведенное
увели­
для плос­
распространить на случай скользящего
крыла
при условии, что форма шероховатости не меняется вдоль размаха
крыла. Можно показать, что для составляющей скорости w, на-
14
правленной вдоль размаха крыла, в первом
приближении сущест­
вует локально
зоны сильных возму-
не вязкая
и
локально вязкая
щений. Уравнение для W = Wh W2 (Х 2 У2) в зоне 2 имеет вид
-
aW 2
-
Х2
где
wh -
значение скорости W
на уровне у =
aW 2
+V
и2 -д-
2
-а-=
О
:>'2
,
(4.1)
вневозмущенном пограничном слое
h.
Решение уравнения
(4.1)
имеет вид
W2 =
W2
(~2)·
Из
условия
асимптотическо­
го сращивания решения для функ­
ции w во 2 и 3 зонах и из выра­
жения (1.7) следует, что
2
Y2-~~.
W2 =
-
в локально
Irf
/(=2)
г"--
/,5'
IlS
1- 1-
"-
/
1'--,
J/
.......
. . . . t;.<
v
функция
;;к.
~
1
нии
-2
-.1
Фиг.
-1
ция
1/
w\
удовлетворяет
уравнению
составляющей
4
ленной вдоль
в переменных S и Т в виде
W\
обычному
пограничного слоя для
го крыла.
W\
(4.3)
Нетру дно показать, что функ_
j...- 1--"
.r/h
1
как
w h V2 (Re )\/4 W! (х!, Yl).
h
W=
j
зоне
первом приближе­
представляется,
V
t----.V
в
W
(4.2)
вязкой
скорости,
направ­
размаха скользяще-
Представляя
Функцию
= (du 2e )!/8 g (S, Т), можно полу­
чить уравнение для определения функции
g
(4.4)
со
следующими
граничными
при
g=O
g
Условие
условия
--?
получается
(4.6)
/(=
_l,o"
V
/l
~
/'
--?
}
0<:
00
11/,.1)
......
1,5
(4.5)
(4.6)
s <: 1.
/( =1/,5'
t-....
1,5
t- t- t-
1'-..
2,5'
1\
О:? 1--1---
\
8,5
~~
1/
из
сращи-
~~
~
Т= О
ут при т
асимптотического
1/,25'
условиями:
1\
\
~
1/,5
Фиг.
5
\
1/
Q,1
8,2
Q,J
Фиг.
8, ~
0,5 .5
6
J5
вания решений (4.2) и (4.3). Можно показать аналитически в пред­
положении, что F - Т
т (S) по экспоненциальному закону при
T~ 00, ~.TO по крайней мере II окрестности 5=0 уравнение (4.4)
имеет решение с асимптотикой (4.6). В самом деле, в окрестности
точки S
О и Т -+ 00 уравнение (4.4) с экспоненциально малой
+
=
ошибкой по Т переходит в уравнение
gll+{(T+т)g'
решение
= Т
которого
+ т (5).
можно
- {g=S(i-mg') ,
искать
в виде
g(5,
Т) =
(4.7)
g(Y),
где У =
Тогда
1
у
g"+2 g' - 4 g=O.
(4.8)
Уравнение (4.8) относится к классу гипергеометрических урав­
нений [8]. Решение уравнения (4.8), имеющее особенность при У - 00,
имеет следующее асимптотическое разложение [8]:
gу-+<ю~ уТ {1- 4~2
Составляющая
крыла
поверхностного
связана с соответствующей
-
~~
;4
+ ... } .
трения в направлении
величиной
размаха
в отсутствие
шеро­
ховатости следующим образом:
"z =
4
/-7 )1/8
"о z YRe h у Г 2" ( и; / g' (О,
(4.9)
S) .
=
Так как в несжимаемой жидкости и Рг
1 уравнение движе­
ния для w совпадает с уравнением энергии [9], то из формулы (4.9)
вытекает,
что единичная шероховатость
вызывает в своей окрест4
ности увеличение тепловых потоков примерно в
VRe
h раз по срав­
нению с величиной тепловых потоков вневозмущенном погранич­
ном
слое.
ЛИТЕРАТУРА
1.
М.,
В а н
Д а й к
М.
Методы
возмущений в механике
жидкости.
,Мир·, 1967.
2. Н е й л а н Д В.
Я., Сыч е в В. В. Асимптотические решения
уравнений Навье-Стокса в областях с большими локальными возму­
щениями. МЖГ N2 4, 1966.
З. В а t с h е 1 о r О. К. Оп steady laminar f10w Wlth closed streamlines at 1arge Reynolds number. Journal of F]uld Mechanics., У. 1, р. 2, 1956.
4. Н е й л а н Д В. Я., Сыч е в В. В. К теории течений в ста­
ционарных срывных зонах .• Ученые записки UАГИ', т. 1, .N2 1, 1970.
5. М У с х е л и ш в и л и Н. И. Сингулярные интегральные урав­
нения, М., Гостехиздат, 1946.
6. Н е й л а н Д В. Я. О решении уравнений ламинарного погра­
ничного слоя при произвольных' начальных условиях. ПММ, т. ЗО,
вып. 4, 1966.
7. П е т у х о в И. В. Численный расчет двумерных течений в
пограничном слое. Сб. ,Численные методы решения дифференциаль­
ных и интегральных уравнений и квадратурные формулы·. М.,
,Наука·,
]964.
К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. М., Физматгиз, 1965.
8.
9.
Л о й ця н с к и й
Физматгиз,
Л.
Г. Ламинарный
пограничный
слой. М.,
1962.
Рукопись поступила
17/1/1 1970
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
337 Кб
Теги
шероховатость, влияние, пограничного, единичного, слоев, жидкости, течение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа