close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вложения упорядоченных множеств в упорядоченные векторные пространства.

код для вставкиСкачать
Теорема 5. Алгебра (A, ·,
, ) типа (2, 1, 1) принадлежит многообразию V ar{?, ?1 , ?2 } если, и только если она удовлетворяет тождествам 1)-5), 9)-17) и следующим тождествам:
21) x? ? = x? ,
? ?
22) x? ? = x? ,
23) (xy ? )? = x? y ? ,
25) (x? yz ? )? = x? (yz ? )? ,
Теорема 6. Алгебра (A, ·,
24) (x? y ? )? = x? y ? ,
26) (xy ? z)? = (xy ? )? (y ? z)? .
, , ?) типа (2, 1, 1) принадлежит многообразию V ar{?, ?1 , ?2 , ?} если, и только если она удовлетворяет
тождествам 1)-5), 7), 10)-16), 18)-26).
Следующая теорема дает ответ на вторую проблему.
Многообразия V ar{?, ?1 }, V ar{?, ?1 , ?}, V ar{?, ?2 },
V ar{?, ?2 , ?}, V ar{?, ?1 , ?2 } и V ar{?, ?1 , ?2 , ?} не являются конечно
базируемыми.
? ?
Теорема 7.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн. 1997. ќ 1. С. 2941.
2. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Сиб.
мат. Докл. РАН 1998. С. 594595.
3. B
oner F., P
oschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions
to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 5070.
4. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с операцией идентификации неподвижной точки // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и
смежным вопросам : Межвуз. сб. науч. тр. Саратов 2010. С. 9098.
5. Бредихин Д. А., Попович А. В. Об частично упорядоченных полугруппах отношений с операцией идентификации неподвижной точки // Вестн. Сарат. гос. техн.
ун-та. 2011. Вып. 1. ќ 4. С. 5356.
6. Бредихин Д. А., Попович А. В. Тождества полугрупп отношений с операцией
двойной рефлексивной цилиндрофикации // Изв. вузов. Сер. Математика. 2014. ќ 8.
С. 9096.
УДК 519.4, 519.8
В. В. Розен
ВЛОЖЕНИЯ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ
В УПОРЯДОЧЕННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В данной работе рассмотрена проблема вложимости произвольного
(в общем случае бесконечного) частично упорядоченного множества в
49
упорядоченное векторное пространство. Используемый здесь метод ѕпогруженияї упорядоченного множества в упорядоченное векторное пространство состоит из двух этапов: первый этап вложение упорядоченного множества в упорядоченное множество вероятностных мер, определенных на специальным образом подобранной ? -алгебре, и второй расширение множества вероятностных мер до векторного пространства
счетно-аддитивных функций с продолжением упорядоченности, построенной на множестве вероятностных мер, до упорядоченности этого векторного пространства. При этом используется следующий критерий продолжимости упорядоченности, заданной на выпуклом подмножестве векторного пространства, до упорядоченности всего векторного пространства [1].
Пусть ? отношение порядка, заданное на выпуклом
подмножестве C векторного пространства V . Для того чтобы порядок ? был продолжимым до конического порядка на все пространство V ,
необходимо и достаточно, чтобы для него выполнялись следующие аксиомы.
(S1) При любых x, y, z ? C, ?, ? > 0, ? + ? = 1 имеет место равносильность:
Лемма 1.
x ?? y ? (?x + ?z) ?? (?y + ?z).
(S2) При любых x, y, z ? C, ?, ? > 0, ? + ? = 1 из условий
?
? x1 ?? y1 ,
x2 ?? y2 ,
?
?x1 + ?x2 = ?y1 + ?y2
(1)
(2)
следует x1 = y1 , x2 = y2 .
Вероятностные меры на бесконечном упорядоченном множестве hA, ?i вводятся следующим образом. Вначале необходимо зафикP
сировать некоторую ? -алгебру
на
? (A) измеримых подмножеств,
P
которых определяются вероятностные меры. В качестве
? (A) здесь
берется наименьшая ? -алгебра, содержащая все мажорантно стабильные
подмножества упорядоченного множества hA, ?i. Это условие обеспечиP
вает, во-первых, при любом a ? A включение {a} ? ? (A) и, во-вторых,
измеримость относительно указанной ? -алгебры любой функции, являющейся изотонным отображением упорядоченного множества hA, ?i в
числовую прямую.
Под вероятностной мерой на упорядоченном множестве hA, ?i будем понимать неотрицательную счетно-аддитивную
нормированную функцию множества, определенную на ? -алгебре
Определение 1.
50
? (A),
порожденной семейством мажорантно стабильных в hA, ?i
подмножеств.
Множество вероятностных мер на hA, ?i обозначается далее через P? (A).
Вырожденная вероятностная мера, сосредоточенная в точке a ? A, есть вероятностная мера ?a , которая определяется
P
следующим образом. Для произвольного подмножества B ? ? (A) полагаем:
(
1, если a ? B ;
?a (B) =
(3)
0, если a ?
/ B.
P
Определение 2.
При отождествлении вырожденной вероятностной меры ?a , сосредоточенной в точке a, с элементом a множество A можно рассматривать как подмножество множества P? (A).
Пусть C0 (?) множество всех изотонных отображений упорядоченного множества hA, ?i в действительную прямую R.
Для любой функции
R ? ? C0 (?) и вероятностной меры µ ? P? (A) существует интеграл ?dµ по множеству A.
A
R
Далее полагаем ?(µ) = ?dµ. Поставим в соответствие каждому
Лемма 2.
A
подмножеству S ? C0 (?) отношение квазипорядка ? S на P? (A), полагая
S
µ1 ?? µ2 ? (?? ? S)?(µ1 ) ? ?(µ2 )(µ1 , µ2 ? P? (A)).
(4)
Для квазипорядков вида ? S , где S ? C0 (?), существует наименьший им является квазипорядок ? C0 (?) . Так как множество изотонных отображений C0 (?) аппроксимирует квазипорядок ? , то расширение
? C0 (?) будет продолжением порядка ? ; будем называть его каноническим
продолжением порядка ? на множество вероятностных мер и обозначать через ?
e . Можно показать, что каноническое продолжение порядка
на множество вероятностных мер является отношением порядка. Основной результат данной работы представляет следующая теорема.
Всякое упорядоченное множество может быть изоморфно вложено в некоторое упорядоченное векторное пространство.
Пусть hA, ?i произвольное упорядоченное множество. В качестве искомого векторного пространства возьмем векторное пространство V? (A), элементами которого являются действительные
P
счетно-аддитивные функции, определенные на ? -алгебре ? (A), порожденной семейством мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества hA, ?i. Множество вероятностных мер P? (A) представляет собой выпуклое подмножество векторного пространства V? (A). Сле-
Теорема 1.
Доказательство.
51
дующий шаг в доказательстве данной теоремы состоит в продолжении
порядка ?
e на все векторное пространство V? (A). Для этого используется лемма 1: непосредственно проверяется, что каноническое продолжение ?
e удовлетворяет условиям (1) и (2) леммы 1. Таким образом,
согласно лемме 1 порядок ?
e продолжается до конического порядка ??
на векторном пространстве V? (A). Искомое изоморфное вложение упорядоченного множества hA, ?i в упорядоченное векторное пространство
hV? (A), ??i осуществляет отображение, которое каждому a ? A ставит в
соответствие вырожденную вероятностную меру ?a .
Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Розен В. В. Упорядоченные векторные пространства и их приложения. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. -216 с.
УДК 514.133
DOI: 10.13140/RG.2.1.4888.0801
Л. Н. Ромакина
АНАЛОГИ ФОРМУЛЫ ГЕРОНА ДЛЯ ТРЕХРЕБЕРНИКОВ
ТИПОВ eee(I), eee(III) ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
По типу ребер, типу углов и типу расположения на абсолюте несобственных точек сторон все трехвершинники гиперболической плоскоb положительной кривизны можно отнести к 22 типам [1], инвасти H
риантным относительно фундаментальной группы G данной плоскости.
Трехвершинники десяти типов обладают внутренностью и по этому свойству названы трехреберниками. В статье [2] доказана формула
S = ?2 (A + B + C ? i?)
(1)
b через величины A, B ,
выражения площади трехреберника плоскости H
C его внутренних углов, справедливая, в частности, и для трехреберников с неизмеримыми углами. В данной работе, применяя тригонометриb (см. [1]), получим формулы выражения
ческие соотношения плоскости H
площадей трехреберников с тремя эллиптическими ребрами через длины
ребер.
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
337 Кб
Теги
пространство, упорядоченных, векторных, множества, вложение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа