close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вывод уравнений медленных течений смесей газов из уравнения Больцмана.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
!
То м
удк
, 1974
V
,м4
533.6.011
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ СМЕСЕЙ
Г АЗОВ ИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
В.С. Галкин
Метод Гильберта асимптотического
решения
уравнения Больц­
мана применен для вывода уравнений, описывающих
ния смесей одноатомных газов как сплошной среды
Кнудсена 1<0 -7- О), В условиях, когда относительные
ратуры и концентраций в потоке порядка единицы.
зультаты
щего
вается
совпадают с
переразложения
вопрос
о
результатами,
ряда
Чепмена
следующими
-
Энскога.
медленные тече­
(т. е. при числе
перепады темпе­
Полученные ре­
из
соответствую­
Кратко
рассматри­
граничных условиях.
1. Медленные течения газа как сплошной среды реализуются
при числе Кп::::::; M/Re ~ О, числе М ~ О и фиксированных значениях
числа
Re
и характерных перепадах температуры и концентраций.
В силу последних условий уравнения Навье - Стокеа здесь непри­
менимы, ибо в уравнении импульса необходимо учитывать темпе­
ратурные и концентрационные напряжения [1--3]. Этот вывод был
получен из уравнений Барнетта, иначе говоря,
жения результатов метода Чепмена - Энскога*.
Необходимость
конкретных
классов
такого
течений
пере разложения
и
задачи
путем
при
переразло­
рассмотрении
кнудсеновского слоя выз­
вана тем, что отдельные приближения метода Чепмена-Энскога
содержат внепорядковые по Кп члены. В то же время прямой
метод решения уравнения Больцмана - метод Гильберта, позво­
ляющий избежать появления таких членов, в своем первоначальном
виде пригоден только для течений, близких к невязким (см.,
например, [5, 6]). Для применения этого метода к вязкимлечениям
необходимо учесть некоторую дополнительную информацию. Для
случая М = О (1), Re -+ 00, ког да реализуется концепция погранич­
ного слоя, это проделано в работе [7]. Модифицированный метод
Гильберта в основном - первом - приближении сразу же дает
*
Выписацное в [3] выражение для концентрационных напряжений полу­
чено из уравнений кинетических моментов методом Максвелла. Уравнения
Барнетта для смесей одноатомных газов выведены в [4] в первом приближении
по полиномам Сонина для коэффициентов переноса, т. е. в том же приближе­
нии, что и в [3].
40
уравнения Прандт ля, в следующем - уравнения пограничного слоя
второго порядка. Важно отметить, что в работе [8], посвященной
тому же вопросу, сделан ошиБочныIй вывод о несправедливости
уравнений пограничного слоя второго порядка.
В рассматриваемом в настоящей
информация
состоит
>скорость газа и ~ Кп, а характерное
работы - демонстрация применения
"Этой информации и доказательство
работе случае указанная до­
том,
что среднемассовая
время
~ Кп- 1 • Цель данной
метода Гильберта с учетом
того, что получаемые с его
полнительная
помощью
результаты
совпадают с
в
t
результатами
соответствующего
переразложения
ряда Чепмена - Энскога.
Предполагается,
что
отношения масс молекул mrт./m~фиксированы, поэтому справедливо
однотемпературно'е приближение (а, ~ = 1, 2, ... , N, N - число
ffомпонентов смеси).
2. При сформулированных условиях уравнения Больцмана
в безразмерном виде запишем
(2.1)
где I(fa. f~) - интеграл столкновений молекул сортов а и~. При­
ведение к безразмерному виду проведено для того, чтобы выявить
порядок
построения
внешнего
асимптотического
разложения урав­
нения Больцмана.В дальнейшем будем пользоваться его размерной
формой, не изменяя обозначений входящих в (2.1) величин. Для
сокращения записи асимптотические степенные ряды по КП будем
Qбозначать так: а ~
L. а(г),
где а И = а , кп г , а , не зависит от Кп.
r
Ищем указанное разложение в виде
R.
f' ._ ~ [(г)
~
Ja -
а,.
j(r) _
(J.
/(0) ф(г) _
-
(J.
(J.
-
/(0) ( ,.(г)
'rcx.
ct
+
(г»
(2.2)
Ха.·
г=О
Здесь ф~О) = 1 - собственные
решения
интегральных
уравнений
для ЛО)cf<:)
(2.3)
где коэффициенты а""
этих
интегральных
ваются
условия
bj ,
с не зависят от
~"j; на частные
ЛО ) x~), как
уравнений
"однозначности":
обычно
они не дают
[5],
решения
наклады-
вкладов в и, пар­
циальную численную плотность nа. и температуру Т (или давление
р= nkT, n = ~nrт.). т. е. для r> 1
Sx~) ЛО) d~a. =
В отличие от метода
макроскопические
О, ~ mи. Jх<;) ЛО) (~~/2) i€rт. = О.
Чепмена
переменные
-
Энскога
газа,
R.
R.
г=1
г=О
в ряды
(2.1)
разлагаются все
например,
R.
ul::::::~u~r), nrт.:::::::;L.n~), p:::::::Ip(r).
В нулевом приближении из
(2.4)
(2.5)
г=О
следует
(2.6)
41
В следующем приближении
д/(О)
~"j' д;
Чтобы получить из
нить операции
=
~ 1 ((~O) Аl)
(2.7)
уравнения сохранения, нужно
с заменой X~) ЛО ) на
(2.4)
(2.7)
а
виальным результатом при этом будет
р(О)
Это является
+ f~O) fГ».
i
следствием
выпол­
(2.7). Единственным
'Ур(О) =0, т. е.
нетри-
= р(О) (/).
того, что
(2.8)
ЛО) не входят Uj • Используя
в
обычные определения и~I), n~1) и т(l) через f~l>, найдем
,1.(1) _ n~1)
'1''' -
+
n~O)
та
(1)
kT(O)
~"l и;
+ (2
w" -
3) -ТТОГ.
т(!)
(2.9)
2
Для x~l) будем иметь уравнение
[ д Inдх;ау<0)- + w; - 25
(
J~O) ~ai.
где
концентрация
д In Т(О)
)
---ах--
;
Уа = nа/n,
"навье-стоксовского"
]
=
которое
приближения
~ I[f~O) I?) (x~!)
следует
из
+ хъ »],
1
(2.10)
уравнения
метода Чепмена -
для
Энскога [5],.
если в нем отбросить величины О (КП) и выше по сравнению с
единицей. Условия однозначности также совпадают с приведен­
ным в
(5],
поэтому можнd воспользоваться известным решением
(1)
Ха
= -
•
А а ~a;
д lп Т(О)
д'
Х;
~
+ n(О) ~
C~~) ~,,;
~
дy~
(2.11 )
-- •
дх;
Здесь коэффициенты А"" C~) зависят от т(О), n~O) и
11. 1.
с помо­
q)l) и
ЩЬЮ x~l) можно вычислить напряжения p~]>, тепловые потоки
диффузионные скорости
't'P),
воспользовавшись соотношениями
]
(2.12)
- 1 t ki
Uk
+ ри l и 2 -
+
Pu j ;
р = ~ тап,,;
а
jai- Па 't'a; =
SCal/ad 'fa= Seaifa d~ -
n CII Ul ·
Укажем на одно из неудобств метода Гильберта: в уравнения
сохранения входят центральные мо менты функции р~пределения,
вычисляемые через собственные
42
скорости
молекул
Са.
Согласно
методу
Чепмена Энскога функция распределения также вы­
ражается через собственные скорости. В данном
же варианте
метода Гильберта f« представляется через С(в обычном варианте
этого метода - через ~ - t;(0» и необходимо учитывать соотноше­
ния
(2.12).
Подставляя
u 2 ,-,,-Кп 2 ,
в
(2.12)
получаем p~y
q(l)
i
-
Л1 ), видим, что 1C~})=0.
=. О.
ft
~ та
2
t 2 X(l) /.(0)
~al "а а.
!Z
~
Учитывая
оценку
Аналогично находим, что
d;"а,
f
J·(l) «i -
t . x(l)
Gi(и а
/.(С)
d;
а
"а.
.
~.
даются навье-СТОJ{СОВСКИМИ формулами, выраженными через T(O)~
y~O), например, для
однокомпонентного
газа q~l)
л (Т(О») 'УТ(О).
=-
Во втором приближении
дj~О)
дt
дj~l)
+ eai
дх l
~
Отсюда, используя
уравнения для
~ J{J~) AI»
_
n<:,),
дn(О)
--iГ
дj~О) =
дt
(2.12),
получим указанным
+ j~l» = О, р(!) =
_3_ д_р_(О) + '"'. . + _5_ р(О) At;(1) - О
2
v
2
.
-..
u(!)
(2.14)
-+
p(l)
(t),
(2.14)
вычисляем
3
а
(_1 '"'. .
р(О) V
q(1)
+ ,",;(1)
_ ~2 t;(l) '"'v lп n(О)_
У.
~ 'У}(1)) _ '_1 v (n~O) ~(l)
2n(О) ~«n(O)
~
Соотношения
I
выше способом
q(l)
l-с ~ W2)
_3_
(2.13)
~
импульса и энергии
+ v (n~O)
j(O) [ (
~
-
L/{J~O) Л 2) + А2 ) f~O».
.
дt
С помощью
=
(2.13), (2.15)
...L
j~l»
l
1
(2.15)
'
са
позволяют найти Л2 ) и, следовательно~
p~~. Этим можно было бы ог~аничиться, однако с целью получения
уравнений, справедливых с погрешностью О (Кп 2 ) по сравнению с
единицей, нужно рассмотреть третье приближение
дj(l)
дj(2)
т+ ~~i-да.
хl
--
~ J(f~l)j?) + fP) fJl»
~
= LJ{J~O) АЗ) + f~3) АО».
(2.16)
~
Из этого соотношения имеем
t2.17)
(2.18)
43
Уравнения
систему
(2.14), (2.17) и
уравнений
главного
жения. Решения (2.18) и уравнения для
ди<,2)
ди(1)
дt
дt
р(О) _ _
' _ +p(l) - - ' _ +
дают
('
ди· )
ри'-д
~
(/<2)
довательно, уравнение
(2)
д
+ _Р_+
дх!
(3)
дp\~)
-_'J_=O
дХj
(2.19)
в этом "первом" приближении.
и ~2) известны,
(2.16)
замкнутую
("первого") прибли-
[;(2)
Х]
J
поправку О(Кп) к решению
Входящие в (2.18)
образуют
p(O)=n(O)kT(O)
асимптотически
нужно
1{0.l1b
скоро известна Л 2 ). Сле­
только для
определения 1t~~),
что можно сделать, не вычисляя Л3 ), так же как это делается при
()пределении переносных свойств в приближении Барнетта
1t<'3)
']
= ~т
..,;;...
'"
f (t .t .__3 о. t2) ф(3)
1
~'" ~"']
l]
~"
'"
1'(0)
J '"
[91, так как
dt ~
,,'"
,
~~m"S BtI.(~~)( ~"i~tl.j-+Oij~~)o"ii.. ,
[' де
о",
-
левая
часть
уравнения (2.16), В'" -
(2.20)
коэффициент перед
слагаемым с градиентом скорости в функции распределения навье­
стоксовского приближения метода Чепмена - Энскога, причем в
этом коэффициенте отброшены члены О (КП) и выше по сравнению
с единицей. Отметим сразу, что в силу (2.20)afP)Jat не дает вклада
в 1t~~, ибо это слагаемое уравнения (2.16) является суммой скалярных
и
линейных
по ~ членов, для которых интеграл в
Как показано в п. 3,
q(2)
(2.20)
равен нулю.
и Л2 ) получаются путем переразложе­
ния навье-стоксовских формул (в которых, конечно, пренебрегается
бародиффузией), например,
;;2)
Л(Т(О»vТ(I) -
= -
1..(1)
vT(O);
p)~ и
p~~ получаются аналогичным переразложением формул [1-3], вклю­
чающих как навье-стоксовские напряжения, так и те члены барнет­
товского тензора напряжений, ~OTopыe содержат вторые и произ­
ведения первых производных от Т И У",. Следовательно, складывая
(2.14) и (2.17)-(2.19), получим систему уравнений [3], справедливую
с погрешностью О (Кп 2) по сравнению с единицей. Подчеркнем, что
в общем случае в P ij входят не только производные от Т и Уа, но
И слагаемые вида
ViY"VjT.
3. Уравнения метода Гильберта менее удобны для решения,
чем аналогичные уравнения метода Чепмена - Энскога. К тому же
вряд ли имеет смысл находить их решение при наличии известных
решений уравнений метода Чепмена
и "барнеттовском"
-
Энскога в "навье-стоксовском"
приближениях Л~ и Л2J.
Поэтому, складывая
уравнения для f~~ и Л2J и разлага'я их по Кп, покажем, что из них
следуют
уравнения
и
(2.7), (2.13)
"ответственная"
за
1t~~) часть
уравнения (2.16). Это будет означать, что и данный метод и пере­
разложение уравнений Барнетта по Кп дают одинаковые уравнения
медленных течений смеси газов. В барнеттовском приближении
метода Чепмена - Энскога
l' ___ 1'(0)
J <х .--.. J <хН
44
+
j(l)
tl.Н
+
1'(2)
=
J <хЕ -
;(0)
<хН
[1
+ ф(l) + ф(2)] •
"Е
<хН
(3.1)
r
<: 3, запишем
Ф~~::::; ~ c;~,
(3,2)
Удерживая в разложениях лишь члены порядка Кп!Г),
3
3
A~::::; J~O) ~ 1j>~1
Ф~~ ::::; ~ Х~Й,
Г=О
где .1.(0)
'fa.E
= 1"
и
как
3
г=l
можно
видеть ,ra;E
,1,(1)
= ,1,(1)
la·
Г=
2
нений ~ l(f~~f~~) = о следует
~
Ll[f~n)f~o)(Ij>~~+ 'f~~)]= - ~/[f~n)ЛО)IjI~l)'f~l)];
~
~
~ lff~O) fJO) ('f~~+ ф~~)]
=
~
+ ф~l) + ф~2) + Ф~3»,
равны
разложения отрезка ряда
X~) = х~1й,
ф(3) _
а -
,1,(3)
'(<1.Е
Используя
(3.1)
ф~2) = 1jI~2J.
первым
т. е.
с помощью
а
Е
а
, r(3).1
}
(3.4,
(3)
аН ·т '-аН ·т ХаН'
можно показать, что приняты е в методе Чеп­
Энскога условия однозначности
Сложим уравнения
дo/~~
дt
Тогда
(3.2).
+ ф~l) x~l) + х~2й +. c~k,
+ ,1,(2) х(1) + ф(l).. 1'(2)
+ ,1;(1)
'-..
, х(2)
'(аЕ
четырем членам пере­
(3.4) и соотношения для определения Ф~l (например~
Sf~О)ф~J dE..),
-
(2.2),
~
f<1.::::; f~O) (1
n~) =
(3.3)
L 1 [f~O) fJO) (,~~1) 1jI~2t+ 1jI~~ ф~l»].
-
Предположим, что четыре первых члена разложения
мена
I
Кроме того , из ура в-
метода
+ Еа ; д/~Y
переходят в условия
[51
Чепмена - Энскога для f~Y и J~~
+ дo/~~ + д ! /~~ + ~,,; !!~~
дх;
дt.
дt
=
дх;
= ~ 1 (J~0J.J~~ + f~~f~~) + ~ [1 (t~IJA~) + 1 (f~°J.A~ + f~~Л)J.)I.
~
t,
(2.4).
(3.5)
~
Применяя известные [9] правила исключения "производных" по
входящих в (3.5), найдем
",;;"J ""/."/- n;" v(nJ"ii"')+ (fw:- 1)(+,;'" v1п n(О) Vи(11) J+Р.; ]
-
'1'
дl/~~~J"
~ 1'(0) { _ _
1 -;1) + (~ 2 _ 1)[~ _1 ~.., -;1) __1_
(1)11 + Qа,
(О) VJ a
3Wa
2 (О) V ~J..
(О) Vq
-+
дt
n
Па
дo/~Y
-дt- ::::; R.. ;
1
..
2
Р .. = Р .. (еа)
р
+ P al (Ц e"l,
11
2
(3.6)
J
где через Р а , Q", R.. обозначены группы членов порядка Кп 2 тои
же структуры, что и Р ... Из (3.6) и (2.15) имеем
д /(0)
д /(0)
д /(1)
д/(О)
~+~+~::::;-"-+Гw
дt
дt
дt
дt
-,
Га
=..
Р +Q а; +R".
(3.7)
Используя (3.2--3.4) и (3.7), приравнивая нулю' ко~ффициенты
при одинаковых степенях Кл, из (3.5)получим последовательно уравне­
JIИЯ (2.7), (2.13) и уравнение для Ф~), отличающееся от (2.16) некото­
рыми членами из Га И слагаемыми левой части
_
е,,;
д/(О) ~(2)
~ "н
xt
,
.
+ ~/[j~О)ЛО)(х~l)с~~+Д)ci~)].
(3.8)
~
Однако все эти члены не дают вклада в 7rf..;~ [входящий в
(2.20)
интеграл от них будет равным нулю] и их можно просто отбросить,
45
что и оправдывает сделанное выше предп-?ложение. Действительно,
r
ot
состоит из скалярных и линейных по ~ членов; анализ уравнения
для /~2) показывает, что зависймость C~2J. от ~ квадратичная. Поэ­
тому (3.8) может состоять
только из членов нечетной степени
.....
относительно еа.
Таким образом, путем переразложения отрезка ряда Чепмена­
Энскога во втором (барнеттовском) приближении получаем
бертовы функции ф~l), ф~2) И ответственную за 1t~~) часть Ф~).
гиль­
Следовательно, описывающие медленные течения смесей газов
уравнения
могут
быть
непосредственно
получены
из уравнений
Барнетта, как это было сделано в работах [1-3]. При этом
даются навье-стоксовскими формулами, а
выше барнеттовские слагаемые.
4.
Чтобы
найти
кнудсеновского
внешним /". = /~O) (1
производные
граничные
слоя,
от
т.
е.
условия,
срастить
+ ф~l) + ф~2) + ... ).
температуры
R Pij
входят
нужно
решить
внутреннее
q и 7а.
указанные
задачу
разложение
с
в ф~l) входят только первые
и концентраций. поэтому в первом
приближении по КП задача сводится к известным задачам о скорости
u~1) температурного и диффузионного скольжения и температурном
скачке.
Здесь
нормали
n=
по
к
и
далее
'с,
поверхности
n-
тела,
координаты
граничные
вдоль
касательной и
условия
О. Когда температура стенки Т w или концентрации
поверхности тела,
диффузионного
Т(n = 0)= Tw и
(2.14), (2.17). В
поправку О (КП)
то
граничные
условия
ставятся
Yaw
при
переменны
температурного
и
скольжения нужно учитывать [вместе с условием
т. п.] В основном приближении, т. е. для уравнений
то же время учет температурного скачка дает
к основному решению.
Для полного
учета
таких
поправок
необходимо,
во-первых,
решить задачу о скорости скольжения второго порядка и~2), иначе
говоря, использовать Фi2 ) во внешнем
учесть
разложении, и, во-вторых,
изменения напряжений и тепловых
сеновского
слоя
теплообмена
[1].
при
Это
-
вычислении
потоков
действующих
поперек
на
тело
кнуд­
сил
и
весьма сложные проблемы, поэтому ограни­
чимся только некоторыми качественными соображениями. Так как
U~l) и характерная толщина кнудсеновского слоя порядка Кп, то из
уравнения неразрывности получаем и n
--
=
Кп 2 , т. е. во втором прибли­
жении и n (n
О) /: О. в ф~2) И во внутренние разложения функций
/~O) и ф~l) входят вторые и произведения первых производных от
Т И у".; это свидетельствует
поперечным
градиентом
о том, что и~2) вызывается
скорости,
но
и указанными
не только
производными.
Такой вывод можно сделать и из приближенных граничных условий
Грэда для уравнений 13 моментов, отку да и~2) - - p~n.
Детальный
анализ
и~2)
для
случая
простого
газа
проведен
в работах [10, 11]. В отличие от данной постановки задачи предпо­
лагалось, что характерный перепад т~мпературы fJ - О, поэтому
используемое в этих работах уравнение Крука линеаризовалось.
После этого его решение искалось методом сращивания внут­
ренних и внешних асимптотических разложений по Кп. Естественно,
что в этом случае в и~2) не входят произведения первых производ­
ных, но
46
входят
вторые
производные
от Т. Последние являются
источником
термострессовой
конвекции
другого
типа, чем уста­
новленная в [1, 2]. Установленное в (1,2] движение около равномерно
.нагретых тел вызывается барнеттовсю/ми температурными напря­
жениями, входящими в уравнение импульса (при этом u --- 63 КЛ,
~ ,-.., 1). Здесь же оно обусловлено "температурным скольжением
второго порядка", т. е. температурными напряжениями, фигурирую­
щими в граничном условии для скорости (при этом
Аналогичные эффекты должны
вызывать
.напряжения.
Иными словами,
граничное
второго
порядка
при
определенных
u -- 6Кп 2 , 6« 1).
и
концентрационные
условие
скольжения
условиях
может
определять
движение газа и поэтому являться сильным граничным усло'вием
в терминологии [12] наряду с известными температурным и диффу­
зионным
скольжениями.
Прuм,еч..ан,uе. После направления работы в печать вышла статья
113], посвященная выводу уравнений медленных течений методом
Гильберта. Однако рассматривался только простой газ (а не их
.смесь, как выше); автор ограничивался вторым приближением для j.
что сужает постановку задачи и в значительной степени упрощает
.задачу; полученные для нестационарного случая уравнения неверны:
.не учтена приведенная выше оценка характерного времени течения.
ЛИТЕРАТУРА
1.
о
Га л к и н
некоторых
В. С., К о г а н
кинетических
М. Н.,
эффектах
Фри Д л е н д е р
в
О. Г.
течениях сплошной
среды .• Изв. АН СССР, МЖГ", J970, .N'2 3.
2. Г а л к и н В. С., К о г а н М. Н., Фри Д л е н д е р О. Г.
о свободной конвекции в газе в отсутствие внешних сил .Изв.
АН СССР, МЖГ", 1971, М 3.
3. Г а л к и н В. С., К о г а н М. Н., Фри Д л е н Д ер О. Г.
о концентрационно-стрессовой конвекции и некоторых свойствах
медленных течений смесей газов. .Изв. АН СССР, МЖГ",
1972, N! 2.
4. Ш а в а л и е в
М.
Ш.
Барнеттовское
приближение
.
в
многокомпонентных
газовых
смесях. В сб.
.Кинетическая
теория газов и плазмы", Новосибирск, СО АН СССР, 1971.
5. К о г а н М. Н. Дннамика разреженного газа. М.,
.Наука", 1967.
.
6. С т р у м и н с к и й В. В. О методе Гильберта решения
уравненяя Больцмана. ДАН СССР, т. 158, М 1, 1964.
7.
Ж и г у л е в В. Н. Об уравнениях движения неравновесной
среды с учетом излучения. Инженерный журнал, вып. 3, 1964,
8. D а r r о z е s J. S. ApproxJmate sоlUllопs of the Воltzmап
equatlon for f10w past bodies of moderate curvature. Rarefied Gas
Dynamics, уоl. 1, New York - Lопdоп, Acad. Press, 1969.
9. Ч е п м е н С., К а у л и н г т,. .Математическаятеория
неоднородных газов·. М., изд. иностр. лит., 1960.
10. S о п е У. Asymptotic Theory of Flow of Rarefied Gas oyer
а Smooth Воuпdаrу. Rarefled Gas Dynamics, yol. 1, New YorkLопdоп, Acad. Press, 1969.
11. S о n ~ У. Flow induced Ьу therma1 stress ill rarefied gas.
Phy~. Fluids, 1972, No 8.
12. К о g а n М. N. Molecular Gas Dynamics. Аппuаl Reyiew
of F1uid Mechanics, 1973, УО!. 5.
13. Р У д я к В. Я. О выводе уравнений движения слабо
разреженного
газа
Больцмана. ПМТФ,
около
сильно
нагретых
тел
из
уравнения
1973, N! 5.
Рукопись поступила
5/IX 1973
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
381 Кб
Теги
газов, уравнения, вывод, медленных, течение, смесей, больцмана
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа