close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вывод уравнения векторного оптимального управления в задаче нелинейной оптимизации тепловых процессов.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №7
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.97
А.Керимбеков, Э.Сейдакмат кызы
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В
ЗАДАЧЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Кыргызско-Российский Славянский университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 24.04.2015 г.)
В статье исследованы вопросы однозначной разрешимости краевой задачи теплового процесса, описываемого вольтеррово интегро-дифференциальным уравнением в случае, когда управляющие параметры нелинейно входят как в уравнение, так и в граничное условие. Установлено, что
векторное оптимальное управление находится как решение системы нелинейных интегральных
уравнений и удовлетворяет дополнительным условиям в виде дифференциальных неравенств.
Ключевые слова: краевая задача – слабо обобщённое решение – функционал – принцип максимума.
1. Краевая задача управляемого процесса. Рассмотрим управляемый тепловой процесс
  t, x  ,  t, x   Q  0  x  1, 0  t  T  , описываемый краевой задачей [1,2]
t
 t   xx   K  t,   , x  d  g  t , x  f t ,  t   ,
t, x   Q ,
(1)
0
а на границе области Q удовлетворяет начальному условию
  0, x     x  , 0  x  1 ,
(2)
 x  t,0  0,  x  t,1    t,1  p t, u  t  , 0  t  T ,
(3)
и граничным условиям
где K (t, ) – известная ограниченная функция, то есть
K0  sup K  t,  ,
 t , D
g  t, x   H Q  ,   x   H  0,1 – заданные функции; f t,  t   H  0, T  , p t, u  t   H  0, T 
– функции внешних источников, нелинейно зависящие от функции управления   t   H  0, T  и
u  t   H  0, T  и по функциональным переменным   t  , u  t  удовлетворяют условию
f t ,  t  
p t , u  t  
 0,
 0 , t  0, T  ;

u
(4)
Адрес для корреспонденции: Сейдакмат кызы Эркеаим. 720000, Кыргызская Республика, г.Бишкек, ул. Киевская, 44, Кыргызско-Российский Славянский университет. E-mail: erkeai90@list.ru
570
Математическая физика
А.Керимбеков, Э.Сейдакмат кызы
 – параметр, постоянная   0 , T – фиксированный момент времени; H (Y ) – гильбертово пространство функций, определённых на множестве Y .
Слабо обобщённым решением краевой задачи (1) – (3) называется функция   t , x   H Q  ,
которая удовлетворяет интегральному тождеству [3]
t2 1
1


t




0


  t dx   t  xx   t, x      K t,   , x  d  g t, x  f t, t     t, x  dxdt 
t2
1
0
t1 0
t2
   p t , u  t     t,1    t,1 x  t,1    t,1     t ,0 x  t ,0  dt
t1
при любых t1 и t2
 0  t1  t  t2  T 
и для любой функции   t, x   C1,2 (Q ) , а начальному и гра-
ничным условиям в слабом смысле, то есть
1
1
0
0
lim    0, x  0  x  dx     x  0  x  dx ,
t 0
T
lim
x 10
T
   t,1    t,1   t  dt   p t, u t   t  dt ,
x
1
1
0
0
для любых функций 0  x   H (0,1) и 1  t   H  0, T  , где C1,2 (Q ) – пространство функций, имеющих производную первого порядка по переменной t и второго порядка по переменной x .
Это решение ищем в виде

  t, x    n  t  zn  x  ,
n 1
где
1
 n  t     t , x  , zn  x      t , x  zn  x  dx
0
– коэффициенты Фурье, а zn  x  определяется как решение краевой задачи [4]
z  x    2 z  x   0, z  0  0, z 1   z 1  0 .
Собственные значения  находятся как решения трансцендентного уравнения tg   и удовлетворяют условиям
n  n1,
n  1,2,3,,
lim n   и  n  1   n 
n
а соответствующие собственные функции краевой задачи имеют вид
571

2
 2n  1 ,
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №7
2  n2   2 
zn  x  
n2   2  
cos n x, n  1, 2,3, ,
и образует полную ортонормированную систему в гильбертовом пространстве H  0,1 .
Коэффициенты Фурье при каждом фиксированном n  1,2,3, определяются как решение
линейного интегрального уравнения
t
 n  t     Kn  t , s  n  s  ds  bn  t  ,
0
t
Kn  t, s    e
 n2  t  
K  , s  d ,
s
bn  t   e
t
 n   e
 n2t
2
n
 t  
 g   f  ,    z 1 p  , u    d
n
n
0
и находятся по формуле [5]
t
 n  t     Rn  t , s,   bn  s  ds  bn  t  ,
(5)
0
где

Rn  t , s,     i 1Kn ,i  t , s  , n  1,2,3,,
i 1
– резольвента ядра Kn  t, s   Kn ,1  t , s  , а повторные ядра Kn ,i  t , s  определяются по формуле [5]
t
Kn ,i 1  t , s    Kn  t ,  Kn ,i  , s  d , i  1,2,3, ,
s
при каждом фиксированном n  1,2,3,.
Резольвента Rn (t, s,  ) , как сумма абсолютно сходящегося ряда, является непрерывной функцией.
2. Постановки задачи оптимизации и уравнение оптимального управления. Рассмотрим
задачу оптимизации, где требуется минимизировать квадратичный интегральный функционал
1
T
J   t  , u  t      T , x     x   dx     2  t   u 2  t   dt ,   0 ,
2
0
(6)
0
где   x   H  0,1 – заданная функция, на множестве решений краевой задачи (1)-(3), то есть нужно
найти такие управления  0  t   H  0, T  и u0  t   H  0, T  , которые вместе с соответствующим им
572
Математическая физика
А.Керимбеков, Э.Сейдакмат кызы
решением  0  t , x  краевой задачи (1)-(3) доставляют наименьшее возможное значение функционалу
(6). При этом  0  t  и u 0  t  называется оптимальными управлениями, а  0  t , x  – оптимальным
процессом.


Поскольку в силу условия (4) каждое векторное управление  0  t  , u 0  t  единственным образом определяет управляемый процесс   t , x  , то управлениям   t     t  и u  t   u  t  соответствует решение краевой задачи (1)-(3) вида   t, x     t , x  , где   t , x  - приращение, соответствующее приращениям   t  и u  t  . Согласно методике вывода принципа максимума [4],
приращение функционала (6) можно представить в виде
J [, u]  J   , u  u  J [, u] 
T
1
0
0
    t,  t, x  ,   t, x  ,  t  , u  t   dt    2 (T , x )dx,
где
 t,  t, x  ,   t, x  ,  t  , u  t   
  t,  t, x  ,   t, x  ,  t     t  , u  t   u  t    t,  t, x  ,   t, x  ,  t  , u t  ,
 t,  t, x  ,   t, x  ,  t  , u  t  
1
  g  t , x   t , x  dxf t,  t      t ,1 p t , u  t      2  t   u 2  t   ,
0
функция   t , x  определяется как решение сопряженной краевой задачи
T
t  xx    K  , t    , x  d  0, 0  x  1, 0  t  T ,
t
 T , x   2  T , x     x   0, 0  x  1 ,
x  t,0  0, x  t,1    t,1  0, 0  t  T ,
(7)
и имеет вид


T
n 2

t
  t, x   2    J n  s, t,    n T   n  e 
2
n
где  n T  определяется по формуле
573
T  s 
ds   n T   n  e
 n2 T t 

zn  x  ,

(8)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №7
T
 n T     Rn T , s,   bn  s  ds  bn T  .
(9)
0
Согласно принципу максимума, для систем с распределенными параметрами [1], условия оптимальности векторного управления определяются соотношениями
1

1
2   t  f t ,  t     g  t , x    t , x  dx;
0

2  u t p 1 t , u t    t ,1 ,
  u     

 ,  t  , u  t   0 ,
(10)
 ,  t  , u  t   u ,  t  , u  t  
0,
 u ,  t  , u  t    uu ,  t  , u  t  

(11)

то есть векторное оптимальное управление  0  t  , u 0  t  находим согласно условиям оптимальности (10) и (11). Решение сопряженной краевой задачи (7), определяемое равенствами (8) и (9), подставим в (10). Сначала вычислим интеграл
1
1 
0
0 n 1


 g  t, x    t, x  dx    g t  z  x   t  z  x  dx  g t   t 
n
n
k
k 1
k
n
n
T  s 
ds  e
n 1
и равенство (10) перепишем в виде


T
n 1

t
  t  f1 t,  t     gn  t   n T   n     Ln  s, t ,   e  
2
n
 n2 T t 

,

2
2
 T

 u  t  p t , u  t    zn 1  n T   n     Ln  s, t ,   e  n T s ds  e  n T t   ,
n 1
 t

1
u

и учитывая (5), приводим их к виду
  t  


T
f t ,  t      g n  t  



 
G
t
,

Sn  ,    g n   , zn 1  



n

 n 1  z 1 

u t 
0
 n




 pu t , u  t   

 
f  ,    
 d 
p  , u    
  g t  
n
 
 Gn  t ,   hn ,

n 1  zn 1 
где
T
 2
 T
2
hn  n  n  e  n T    Rn T , s,   e  n s ds    Sn  t,   gn   d ;
0

 0
574
(12)
Математическая физика
А.Керимбеков, Э.Сейдакмат кызы
T
   2 T t

  2 s t
Sn  t ,     e n      Rn T , s,   e n  ds  ;
t


T
  n2 T t 

 2 T s
Gn  t ,     e
   J n  s, t ,   e n  ds  .
t


Таким образом, оптимальное управление определяется как решение системы нелинейных интегральных уравнений (12) и при этом должно выполняться условие (11).
Поступило 24.04.2015 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. – Тр. МИАН,
1961, т.61, с.3-158.
2. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. –
М.: Наука, 1982, 304 с.
3. Плотников В.И. Энергетическое неравенство и свойство переопределенности системы собственных функции. – Изв. АН СССР, сер.мат., 1968, т.32, №4, с.743-755.
4. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. – М.: Наука,
1978, 500 с.
5. Краснов М.В. Интегральные уравнения. – М.: Наука, 1975, 303 с.
А.Керимбеков, Э.Сейдакмат ќизи
ИСБОТИИ МУОДИЛАИ ИДОРАКУНИИ ОПТИМАЛИИ ВЕКТОРЇ ДАР
МАСЪАЛАИ ОПТИМИЗАТСИЯИ ЃАЙРИХАТИИ ПРОЦЕССЊОИ
ГАРМИГУЗАРОНЇ
Донишгоњи Киргизистону Русия (Славянии)
Дар маќола масъалањои њалшавандагии якќиматаи масъалаи канории гармигузаронї
омўхта шудаанд, ки тавассути муодилаи интегродифференсиалии Вольтера дар њолатњои
ѓайрихатти шомил будани параметрњо ба муодила ва шарти канорї тасвир карда мешаванд.
Исбот карда шудааст, ки идоракунии оптималии векторї њамчун њалли системаи муодилањои
интегралии ѓайрихаттї ёфта мешавад ва он шартњои иловагиро дар намуди нобаробарињои
дифференсиалї ќаноат мекунад.
Калимањои калидї: масъалаи канорї – њалли умумикардашудаи суст – функсионал – принсипи максимум.
575
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №7
A.Kerimbekov, E.Seidakmat kizi
DERIVATION OF EQUATIONS OF VECTOR OF THE OPTIMAL-CONTROL IN
THE PROBLEM OF NONLINEAR OPTIMIZATION OF THERMAL PROCESSES
Russian-Kyrgyz (Slavonic) University
In the paper, we investigated the questions of unique solvability of the boundary value problem of
the thermal processes described by Volterra integro-differential equations when the control parameters are
nonlinearly included into the equation as well as into the boundary condition. It is established that vector
optimal control is defined as the solution of the system of nonlinear integral equations and satisfy the additional condition in the form of the system of inequalities.
Key words: boundary problem – weak generalize solution – functional – the maximum principle.
576
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
479 Кб
Теги
нелинейные, оптимальное, процессов, уравнения, векторное, вывод, оптимизация, тепловых, управления, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа