close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вычисление гидравлических функций на решётчатой модели пористой среды в приближении среднего поля.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
Том 147, кн. 3
2005
УДК 532.546
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НА ЕШњТЧАТОЙ МОДЕЛИ ПОИСТОЙ СЕДЫ
В ПИБЛИЖЕНИИ СЕДНЕО ПОЛЯ
Б.Э. оголашвили, А.. Егоров
Аннотация
В приближении среднего поля изучены процессы влагопереноса на решјтчатой микромодели пористой среды. В рамках микромодели учтены капиллярная, пленочная и уголковая компоненты влагосодержания и основные механизмы изменения состояния отдельного капилляра (поршневое вытеснение, snap-o , кооперативное заполнение). На основе
предложенного подхода определены кривые дренажа/пропитки (главные и первичные) и
кривые азовых проницаемостей микромодели. За счет выбора параметров микромодели удалось добиться хорошего согласования построенных кривых с экспериментальными
данными для отсортированных лабораторных песков.
Введение
Явление пальцеобразования при пропитке сухих пористых сред известно достаточно давно. Повышенный интерес к этому еномену в последнее время вызван
экологическими проблемами и связан с потенциальной возможностью быстрого
переноса загрязнений с поверхности почвы к зеркалу грунтовых вод по системе
вертикальных пальцев [13?.
Теоретическое изучение процесса пальцеобразования во многом лимитируется
тем обстоятельством, что, с одной стороны, он критическим образом зависит от вида ункций капиллярного давления
K(s)
в области малых влажностей
ункций при малых
s
P (s) и относительной азовой проницаемости
s [4, 5?, а с другой стороны, определение этих
встречает известные экспериментальные трудности. Воз-
можным выходом из этой ситуации может стать микромоделирование процесса
перераспределения влаги в пористой среде с тем, чтобы получить гидравлические
кривые
P (s)
и
K(s)
во всјм диапазоне изменения насыщенности [6?.
Стандартным средством микромоделирования в последние годы стали решјтчатые модели пористой среды [714?. Они позволяют учесть как основные составляющие влагосодержания (капиллярную, уголковую, плјночную), так и основные
механизмы изменения состояния пор (узлов решјтки) и соединяющих их капилляров (связей решјтки). Анализ процесса перераспределения влаги на решјтке
проводится, как правило, с помощью прямого вычислительного эксперимента. Возможной альтернативой этому может служить рассматриваемый в данной работе
аналитический подход, опирающийся на известное приближение среднего поля [15?.
1.
1.1.
Микромодель
ешјтка. Пористая среда моделируется решјткой со связями цилин-
дрическими капиллярами различного поперечного сечения. Узлы решјтки являются простым пересечением капилляров. Объјм узлов игнорируется, перераспределяясь между соответствующими связями, а размер узла считается совпадающим
с максимальным размером выходящих из узла капилляров.
58
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
L
h
L
rmen
ис. 1. Типичные сечения капилляров
Двумя наиболее важными характеристиками решјтки являются координаци-
Z,
онное число
определяющее среднее число выходящих из одного узла связей,
и плотность распределения поперечных размеров связей (капилляров). Основной
интерес для данной работы представляют используемые в лабораторных экспериментах пористые засыпки из неконсолидированных серических частиц. яд
исследователей [7, 16? определяли среднее координационное число для таких сред
и нашли его равным
Z = 4.6 .
Поэтому в дальнейших расчетах величина
варьироваться вблизи указанного значения
Z
будет
Z ? [4, 6] .
Эмпирические модели для определения гидравлических характеристик пористых сред, наиболее известными из которых являются модели Брукса Кери [17? и
Ван-енухтена [18?, включают в себя два параметра. Естественно поэтому использовать двухпараметрические законы распределения пор по размерам. В данной
работе в качестве такого закона используется гамма-распределение
fn (L) = L?1
0 fN (L/L0 , ?),
Здесь
L0 , ?
fN (y, ?) =
параметры ункции распределения,
y?
exp(?y).
?(? + 1)
fn (L)
частичная плотность
вероятностей:
fn (L) dL =
число пор с размерами из интервала
Соответствующие данным плотностям
будем обозначать через
1.2.
[L, L + dL]
общее число пор
f
.
интегральные ункции распределения
F.
Капилляры. Ограничимся рассмотрением капилляров двух различных
типов: криволинейный треугольник и окружность (см. рис. 1). Их выбор в качестве
базовых, на наш взгляд, в большей степени отвечает внутренней геометрии серических упаковок, чем правильные многоугольники, используемые при моделировании консолидированных пористых сред [19, 20?. азмер капилляра
L
определялся
как радиус вписанной в него окружности. Доли капилляров первого и второго
типов ( ? и
от
L.
Степень
p<0
1??
S
соответственно) иксировались одними и теми же независимо
заполнения водой поры данного размера зависит от уровня давления
в системе. При низком давлении величина
S
определяется толщиной
h(p)
адсорбированных на твердой поверхности водных пленок и радиусом кривизны
rmen (p)
жидких менисков в углах поры (рис. 1). Толщина плјнок вычисляется
через константу амакера
натяжение
?
AH < 0
[21?, а радиус кривизны через поверхностное
на границе вода воздух по ормулам
h(p) =
s
3
AH
,
6?p
?
rmen (p) = ? .
p
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
Вклад
Slm
жидких плјнок в
где константа
Вклад
Smen
a1
S = Slm + Smen подсчитывался
h(p)
Slm (p) = a1
,
L
59
как
равна, соответственно, 3.014 и 2 для пор первого и второго типов.
менисков для треугольной поры вычисляется из простых геометри-
ческтх соображений. Соответствующая ормула может быть аппроксимирована
выражением
Smen(?) = a21 ?1.5 + a22 ?2 + a23 ?2.5 , ? = rmen /L = ??/pL,
a21 = 1.067, a22 = ?0.699, a23 = 0.173,
с относительной погрешностью не более 1.4% во всјм интервале
(1)
[0, 1] изменения ? .
p+ (L) величи-
С ростом давления вплоть до некоторого критического значения
на
S
непрерывно растјт. При
p = p+ (L)
граница раздела между водой и воздухом
в поре становится неустойчивой, и пора ѕмгновенної заполняется водой (так называемый механизм snap-o заполнения). Согласно [22?
?
p+ = ?a+ ,
L
а константа
a+
равна единице для обоих типов пор.
Аналогичным образом происходит и осушение поры при снижении давления.
Отличие состоит в том, что переход от режима полного заполнения поры к
плјночно-уголковому режиму идет по иному сценарию, за счет движения мениска
вдоль капилляра (режим поршневого вытеснения), и при ином значении критического давления
Величина
p?
?
p? = ?a? .
L
есть не что иное, как давление, при котором внутри поры су-
ществует равновесный мениск, разделяющий в поперечном направлении воздух
и воду. Сумма двух главных кривизн такого мениска, очевидно, должна совпадать с кривизной
1/r?
уголковых менисков. Следствием этого является простое
уравнение
A(r? ) = r? ?(r? )
для нахождения критического радиуса
тического давления
p? = ??/r? ).
r?
(2)
уголковых менисков (а, значит, и кри-
Здесь через
A
и
?
обозначены площадь и
периметр заполненной воздухом центральной части капилляра. Для треугольной
поры решение (2) дајт
a? = 1.75 , а для круглой поры a? = 2 .
S , другой важной характеристикой поры является
Помимо степени заполнения
k . При полном заполнении поры проницаемость пропорциональk(L) = a3 L2 . При частичном заполнении k складывается
3
проницаемости жидких плјнок klm = a5 h /L и проницаемости менисков в
еј проницаемость
на квадрату еј размера:
из
углах поры (для треугольной поры). Последняя вычислялась на основе решения
методом конечных элементов задачи стоксовского течения внутри жидкого мениска. На твјрдых границах задавались условия прилипания, на внешней границе
нормальная производная скорости принималась равной нулю, что отвечает контакту с невязкой средой (воздухом). езультаты расчјта оказалось возможным с
относительной погрешностью менее 1% аппроксимировать приближјнной ормулой
kmen = L2 A4 (p) = L2 (a41 ?3.5 + a42 ?4 + a43 ?4.5 + a44 ?5 ).
(3)
Коэициенты в представленных выше зависимостях равны a3 = 1/8 , a5 =
= 4/3 (для круглой поры); a3 = 0.134 , a5 = 2.01 , a41 = 0.1524 , a42 = ?0.2993 ,
a43 = 0.2534 , a44 = ?0.0857 (для треугольной поры).
60
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
2.
идравлические ункции при дренаже
Капиллярная кривая. Процесс осушения каждого капилляра зависит
2.1.
не только от общего давления в системе, но и от состояния соседних с ним капилляров. Если оба узла, на которые опирается данный капилляр, заполнены водой, то
капилляр тоже останется заполненным даже при снижении давления ниже критического. Осушение в этом случае произойдјт лишь тогда, когда воздух проникнет в
один из соседних узлов, иными словами, когда хотя бы один из
2(Z?1)
капилляров,
являющихся непосредственными соседями данного капилляра, осушится.
Обозначим далее через
?(p)
и
?(p, L)
числовую долю заполненных капилляров
при данном уровне давления среди всех капилляров образца и среди капилляров
размера
L
соответственно. Тогда вероятность того, что все
? 2(Z?1) , в силу чего
2(Z?1)
соседей данного
капилляра заполнены, равна
?(p, L) =
?
Для нахождения
?
?1,
p > p? (L),
(4)
?? 2(Z?1) , p < p (L).
?
достаточно заметить, что
?(p) =
Z
?
?(p, L)fn (L) dL.
(5)
0
L? (p) обратную к p? (L) ункцию L? (p) =
? следующее алгебраическое уравнение
Подставляя (5) в (4) и обозначая через
= ?a? ?/p ,
получим для нахождения
? = b + (1 ? b)? 2(Z?1) ,
Это уравнение имеет при
b(p) = Fn (L? (p)).
b < bZ = (2Z ? 3)/(2Z ? 2)
(6)
два корня. Один из них
равен единице; изический интерес представляет второй расположенный между нулјм и единицей. С превышением
b
критического значения
? = 1.
вещественным корнем уравнения (6) остајтся
?(b)
терпят излом в точке
ных значений
Z
bZ ,
единственным
продолжаясь правее неј прямой
? ? 1.
Для различ-
эти граики представлены на рис. 2. Отметим, что кривые
во всех случаях лежат выше предельной прямой
ют с ней при малых
b.
После определения величины
а полная водонасыщенность
s = s(p) =
Z
?
0
fv (L)
?(b) = b
?(b)
и практически совпада-
b ? 0 решение ?
b , вплоть до членов высокого порядка
Последнее есть следствие того, что при
уравнения (6) асимптотически эквивалентно
2(Z?1)
малости ? = b + O(b
), b ? 0 .
Здесь через
bZ
Соответственно, зависимости
s
?
ункция
?(p, L)
подсчитывается согласно (4),
находится осреднением по всем порам:
? + (1 ? ?)(?S (1) (p, L) + (1 ? ?)S (2) (p, L)) fv (L) dL.
(7)
обозначена объјмная плотность распределения пор по размерам,
L2 fn (L) . Соответ-
которая с точностью до нормирующего множителя совпадает с
ствующую данной плотности
FV
fv
ункцию распределения будем обозначать через
. Верхний индекс 1, 2 указывает на треугольные и круглые поры соответственно,
объјмная доля
?
треугольных пор выражается через их числовую долю
(1)
?=
Коэициент
типа.
(i)
a0
?a0
(1)
(2)
?a0 + (1 ? ?)a0
определяет площадь
,
(1)
a0 = 6.738,
(i)
a0 L 2
?
как
(2)
a0 = ?.
поперечного сечения капилляра
i -го
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
61
1
10
6
0.8
4
0.6
Z=?
?
Z=3
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
b
ис. 2. Зависимость доли заполненных пор
Z
?
от параметра
b
при различных значениях
для процесса первичного дренажа
Обозначая для простоты записи
1 ? ? 2(Z?1)
через
µ
и проводя интегрирование
в (7), получаем окончательную расчетную ормулу для определения капиллярной
кривой в виде
s(p) = sap (p) + smen(p) + slm (p),
(8)
sap = 1 ? µ(z) + µ(z)FV (a? z),
(9)
?
3
(1)
(2)
slm = (a1 ? + a1 (1 ? ?))µ(z) ?zG1 (a? z),
smen = ?µ(z)
3
X
(1)
a2k z 1+k/2 G1+k/2 (a? z),
(10)
(11)
k=1
?=
h3
,
rmen L20
Gk (z) =
Z
?
y ?k fV (y) dy,
z
fV (y) = L0 fv (L0 y) . Здесь и далее через z обозначается обратное безразмерное
(1)
давление z = ??/pL0 , коэициенты a2k определены согласно (1).
где
Структурно правая часть (8) представляет собой сумму вкладов от полностью
заполненных капилляров, уголковых менисков и плјнок. Типичные граики суммарной зависимости
s(p)
и еј структурных составляющих
sap , smen , slm
пред-
ставлены на рис. 3.
Наличие предельного pe значения давления, при превышении которого s ?
? 1 , т. н. air entry pressure, очевидным образом связано с критическим значением
bZ в уравнении (6): оно может быть найдено из условия b(pe ) = bZ . В терминах
безразмерного параметра z это условие запишется как
FN (a? ze ) =
2Z ? 3
.
2Z ? 2
(12)
Как видно из рис. 3, влияние адсорбированных пленок начинает сказываться лишь
?4
при очень низких насыщенностях s ? 10
, и в типичных ситуациях его можно
игнорировать. В то же время учјт наличия менисков в углах пор необходим, особенно при рассмотрении малых (менее 20%) влажностей. Ещј одной характерной
особенностью представленных граиков является резкое изменение вида зависимости
s(p)
при значениях насыщенности порядка 10%, связанное с переходом от
режима полного заполнения пор к уголковому режиму.
62
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
0
0
10
?1
10
?2
10
s
10
s(p)
s
cap
smen
sfilm
s(p)
s
cap
smen
?3
s
10
?1
10
?4
10
?5
10
pe
?6
10
?2
0
1
10
10
2
3
10
10
4
10
5
10
10
1
10
?p (cm)
a) Во всем диапазоне изменения насыщенности
2
10
?p (cm)
b) В области умеренных влажностей
ис. 3. Зависимость насыщенности от давления (в см водного столба) для грунта 20/30
2.2.
Относительная азовая проницаемость. Для вычисления относи-
K
тельной азовой проницаемости
решјтки капилляров можно воспользоваться
известной электрической аналогией, сводящей проблему отыскания азовой проницаемости к задаче нахождения эективной проводимости решјтки по заданному распределению проводимостей еј связей. В таком контексте проводимость
k?
каждой связи есть коэициент пропорциональности между объјмным потоком
влаги через соответствующий капилляр и перепадом давления в узлах, соединяемых данной связью. Следовательно, с точностью до несущественного множителя,
проводимость определяется через проницаемость капилляра и площадь его попе2
2
речного сечения a0 L как k? = a0 L k .
В свою очередь, проницаемость капилляра зависит от его ормы, размера и
состояния (заполнен он полностью или нет):
k=
?
?a3(i) L2 ,
капилляр заполнен,
?L2 A(i) (p) + a(i) h3 (p)/L,
4
Здесь верхний индекс
A4
(i)
5
в противном случае.
указывает на тип капилляра, коэициент
a5
и ункция
определяют, соответственно, плјночную и уголковую составляющие проницае-
мости.
Считая далее проводимости пор распределјнными независимо друг от друга и
пользуясь хорошо известной аппроксимацией среднего поля [15?, найдјм эективную проводимость решјтки
k?? (p)
как решение следующего алгебраического
уравнения
2
=
Z
*
k?
k? + k?? (Z/2 ? 1)
+
.
(13)
Под средним здесь понимается математическое ожидание относительно заданной
плотности
fn (L)
доли
fn (k?) ,
которая полностью восстанавливается по известным плотности
распределения пор по размерам, долям
?(p, L)
?, 1 ? ?
пор различных типов и
заполненных пор данного размера. С точностью до множителя, не
зависящего от давления (который не существенен и определяется на завершающей
стадии вычислений по условию нормировки
совпадает с искомой зависимостью
K(p) .
K(1) = 1 ),
найденная величина
k?? (p)
63
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
0
10
?5
K
10
?10
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s
ис. 4. Зависимость относительной азовой проницаемости от насыщенности
Переходя далее в правой части (13) к интегрированию по
L,
получим после
элементарных преобразований следующую безразмерную орму алгебраического
уравнения для нахождения
2
=
Z
Z
0
K(p)
?
F0 fN (y) dy ? µ(z)
Z
?
F0 fN (y) dy + µ(z)
a? z
a0 a3 y 4 + K
(1)
F1 = F1 (y; z, K) = ?
(1)
+ (1 ? ?)
(1)
a0 a3 y 4
(2) (2)
a0 a3 y 4 + K
(1) (1)
a0 y 4 A4 (z/y) + a0 a5 ?zy
(1)
F1 fN (y) dy,
(14)
(2) (2)
a0 a3 y 4
(1) (1)
?
a? z
(1) (1)
F0 = F0 (y; K) = ?
Z
(1) (1)
a0 y 4 A4 (z/y) + a0 a5 ?zy + K
,
(2) (2)
+ (1 ? ?)
a0 a5 ?zy
(2) (2)
a0 a5 ?zy + K
.
Численное решение этого алгебраического уравнения не вызывает трудностей. Типичная зависимость относительной азовой проницаемости
K(s)
представлена на
рис. 4 сплошной линией. На этом же рисунке штриховой линией показана та же
самая зависимость при игнорировании потока по адсорбированным жидким плјн(1)
(2)
кам ( a5
= a5 = 0 ). Обе кривые практически совпадают друг с другом вплоть
до достижения s некоторого порогового значения. Будем обозначать это пороговое
значение через
sres
и говорить о нјм как об остаточной насыщенности. Наличие
порогового значения
sres
обусловлено тем, что по его достижению система хоро-
шо проводящих капилляров (полностью заполненные капилляры и капилляры с
менисками) теряет связность. Поэтому в пренебрежении проницаемостью плохо
проводящих капилляров потоки влаги в среде оказываются вообще невозможными (штриховая линия на рис. 4), а с еј учјтом они определяются плјночной
составляющей проницаемости и чрезвычайно малы (сплошная линия на рис. 4).
?
?
Величина zres , отвечающая остаточной насыщенности sres при дренаже, может
быть найдена из уравнения (14), если положить в нјм
a5 = 0 , K = 0 :
2
?
?
= 1 ? (1 ? ?)µ(zres
) 1 ? FN (a? zres
) .
Z
Учитывая, что в силу (6)
1?FN (a? z) = (1??)/µ , получим имеющее очевидный
изический смысл соотношение
2
?
= 1 ? (1 ? ?) 1 ? ?(zres
) .
Z
(15)
64
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
40
10
30
10
0
?p (cm)
?1
?2
10
K
20
?3
10
10
?4
10
0
0
sair
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
s
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s
a) Зависимость давления от насыщенности;
сплошная линия дренаж, штрих-пунктирная
линия главная кривая пропитки, пунктирная линия кривая первичной пропитки, маркеры экспериментальные данные для дренажа [23?, sair остаточная по воздуху насыщенность
b) Зависимость азовой проницаемости от
насыщенности; сплошная линия дренаж,
штриховая линия пропитка, маркеры экспериментальные данные для дренажа [24?
ис. 5. Сравнение теоретических гидравлических ункций с экспериментальными данными для грунта 20/30
Его левая часть указывает на перколяционный порог решјтки, вычисленный на
основе приближения среднего поля. Правая часть подсчитывает этот порог как
долю хорошо проводящих пор (величина
(1??)(1??)
есть доля плохо проводящих
пор с исключительно плјночным режимом течения жидкости). Заметим далее,
что найденное из (15) значение ? мало, и, следовательно, хорошим приближением
?
?
?(zres
) (см. рис. 2) является величина b = FN (a? zres
) . Поэтому (15) можно
для
упростить, придав ему аналогичную (12) орму
?
FN (a? zres
)=
3.
2 ? ?Z
.
(1 ? ?)Z
(16)
Вериикация модели по экспериментальным данным для дренажа
Построенная микромодель вериицировалась по известным [23, 24? экспериментальным данным дренирования лабораторных засыпок 12/20, 20/30, 30/40 со
средним размером зерна 1.105, 0.713 и 0.532 мм соответственно. Код засыпки отвечает размерам сит, через которые просеивается песок при подготовке образца.
При заданном координационном числе решјтки микромодель полностью опре-
L0 и ?
L0 , ? , ?
деляется тремя параметрами: параметры
ункции распределения и доля
?
подбирались так, чтобы согла-
треугольных капилляров. Значения
совать наилучшим образом теоретические и экспериментальные кривые азовой
проницаемости и капиллярного давления. езультаты такого согласования для засыпки 20/30 при
Z=4
представлены на рис. 5 сплошными линиями. Как видно,
совпадение теоретических кривых с экспериментальными данными более чем удовлетворительно. Оно обеспечилось выбором
варьировании координационного числа
Z
L0 = 0.138 мм, ? = 33 , ? = 0.36 . При
[4, 5.5] параметры L0 , ? , ?
в диапазоне
микромодели изменялись незначительно.
Столь же хорошее согласование между теоретическими и экспериментальными
данными было получено и для двух других видов засыпок. При этом оптимальные
значения параметров микромодели составили
L0 = 0.198
мм,
? = 9 , ? = 0.205
для
65
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
засыпки 12/20 и
L0 = 0.096
мм,
? = 56 , ? = 0.33
для засыпки 30/40. Отметим,
что найденные в результате подбора параметров оптимальные значения среднего
размера пор
L0
хорошо коррелируют со средним размером зјрен. Первые из них со-
относятся между собой в пропорции 1:0.7:0.48, в то время как вторые в пропорции
?1/2
1:0.65:0.48. Кроме того, относительное среднеквадратичное отклонение (? + 1)
размеров пор от среднего значения растјт при переходе от песков 30/40 к 20/30 и
далее к 12/20, что также согласуется с увеличением разброса диаметров частиц,
составляющих указанные среды.
Для проверки чувствительности микромодели к выбору ункции распределения пор по размерам помимо гамма-распределения тестировалась и другая (логнормальная) двухпараметрическая ункция распределения. Средний размер зјрен, среднеквадратичное уклонение и доля треугольных капилляров при этом изменялись несущественно. Представленные акты дополнительно свидетельствуют
в пользу адекватности предложенной микромодели.
4.
4.1.
идравлические ункции при пропитке
Капиллярная кривая. Пропитка является более сложным процессом,
чем дренаж. Это связано с тем, что условия заполнения водой узлов при пропитке отличаются от условия проникновения в узел воздуха при дренаже. азличие
связано с тем, что размер узла не меньше размера выходящих из него капилляров. Поэтому при дренаже воздух автоматически проникнет в узел, как только
он окажется в одном из выходящих из него капилляров, а при пропитке узел может остаться незаполненным, даже если несколько выходящих из него капилляров
(меньшего размера) заполнены водой. Это обстоятельство ясно осознано, начиная, по-видимому, с работ [810?. В это же время введено понятие кооперативного
механизма заполнения узлов. Считается, что чем больше выходящих из узла капилляров заполнено водой, тем мениск меньшего радиуса способен проникнуть в
узел, а, значит, тем при меньшем уровне давления в системе произойдјт заполнение узла. Формализуя этот акт, вводят ранжированную последовательность
p1 < p2 < . . . < pZ?1 пороговых давлений, при которых происходит заполнение
Z ? i заполненных капилляров, выходящих из него (события
I1 , I2 , . . . , IZ?1 ). Величина p1 обычно определяется [11? условием существования
равновесного мениска в узле, p1 = ?a? ?/Lsite . В силу того, что размер Lsite узла
узла при наличии
в предлагаемой модели совпадает с максимальным размером выходящих из него
капилляров, имеем
p1 = max{p1? , . . . pZ
? },
(17)
i
где через p? обозначены критические значения p? давления для выходящих из узла капилляров. Инормация о последующих пороговых значениях давления носит
менее точный характер. Предлагаемые в различных работах [7, 11, 13? ормулы
для их вычисления вряд ли можно назвать строго обоснованными.
На их основе тем не менее ясно, что величина
поэтому во многих ситуациях события
I2 , I3 , . . .
p2
существенно выше, чем
p1 ,
и
разумно попросту игнорировать.
Применяя, например, соотношение из [11? к случаю однородных (с порами одного
размера) сред, получим в качестве оценки, что величина
p2
отличается от
в 2.74 раза. Это значение заметно превышает критическое давление
любой ормы. Ясно, что в этом случае событие
I2
p+
p1 = p?
для пор
попросту не может наступить,
так как значительно раньше с ростом давления сработает snap-o механизм заполнения пор. Учитывая изложенное, ограничимся в дальнейшем рассмотрением
лишь механизма
I1
кооперативного заполнения узла.
66
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
Ещј одним обстоятельством, которое будет приближјнно учтено в развиваемой
нами микромодели, является наличие в среде защемлјнного воздуха. В процессе
пропитки пора, или некоторая система связанных пор (кластер), может оказаться окруженной со всех сторон водой. Заполнение водой такой поры (кластера) в
дальнейшем оказывается невозможным. Полный учет эекта защемления воздуха является сложной задачей, которую можно решить, видимо, лишь на основе
непосредственного численного моделирования процесса пропитки на решјтке капилляров. Соответствующие численные эксперименты [13, 14? показывают, однако,
что для пористых сред с малой относительной дисперсией распределения пор по
размерам воздушные кластеры невелики, а большинство из них состоит лишь из
одной поры. Поэтому в первом приближении разумно учитывать лишь эту возможность защемления воздуха.
Дополнительный учет механизма
I1
кооперативного заполнения и наличия за-
щемлјнного воздуха приводит к следующему выражению для зависимости
доли полностью заполненных водой пор данного размера
?
?
1 ? ? 2Z?2 (p+ (L)),
?
?
?
?(p, L) = 2? Z?1 (p)(1 ? ? Z?1 (p)),
?
?
?
?
0,
?(p)
Здесь
L
от давления
?(p, L)
p
p > p+ (L),
p? < p < p+ ,
(18)
p < p? (L).
по-прежнему обозначает общую долю заполненных пор при данном
уровне давления
p
в системе.
Прокомментируем ормулу (18). Еј нижняя строка указывает, что при
< p? (L)
p <
соответствующий капилляр ни при каких условиях не может быть пол-
ностью заполнен. Средняя строка (с учјтом (17)) указывает на то, что необходимым и достаточным условием заполнения выделенной поры в диапазоне давлений
p ? [p? , p+ ]
является требование того, чтобы либо все
Z?1
либо все еј
Z ?1
еј ѕправыхї соседей,
ѕлевыхї соседей (но ни те и ни другие одновременно) оказались
заполненными водой. Под ѕправымиї и ѕлевымиї соседями здесь понимаются капилляры, входящие в один из двух узлов, на которые опирается выделенный капилляр. Указанное условие при этом есть ни что иное, как условие срабатывания
механизма
I1
кооперативного заполнения не блокированной со всех сторон водой
поры. Наконец, верхняя строка в (18) указывает на то, что
?
с переходом давления через критическое значение
все поры данного размера
L,
p+ (L)
заполненным будут
за исключением тех, в которых воздух заблокирован
непосредственными соседями;
?
p > p+ (L) нет механизмов, изменяющих состояние поры, в силу чего
? будет оставаться неизменной с дальнейшим ростом давления.
нахождения ?(p) по-прежнему можно воспользоваться соотношением (5),
при
величина
Для
получив в результате интегрирования (18) уравнение следующего вида
?(z) =
Z
z
0
Через
z
(1 ? ?
2Z?2
(y))fN (y) dy + 2?
Z?1
(z)(1 ? ?
Z?1
(z))
Z
a? z
fN (y) dy.
(19)
z
по-прежнему обозначается безразмерное обратное давление. При чис-
ленном решении удобно диеренцированием по
z
свести уравнение (19) к обык-
новенному диеренциальному уравнению первого порядка. езультаты такого
решения для
Z = 4
и значений параметра плотности распределения
? = 9,
33,
56, соответствующих лабораторным пескам 12/20, 20/30, 30/40, представлены на
рис. 6.
67
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
3
?p/? L
2.5
2
?=9
1.5
?=33
1
?=56
0.5
0
0.2
0.4
0.6
?
0.8
ис. 6. Зависимость доли полностью заполненных пор
различных значениях параметра
?
?
?air 1
от безразмерного давления при
плотности распределения пор по размерам
Как видно из этого рисунка, рассматриваемая микромодель предсказывает на-
?air < 1 , а значит, и остаточной по воздуху насыщенsair < 1 . При достаточно больших значениях ? (для достаточно однородных
сред) значение ?air зависит лишь от координационного числа Z решјтки. Это можно наблюдать на рис. 7 (для Z = 4 с изменением ? от 9 до 56 остаточное значение
личие предельного значения
ности
изменяется слабо, оставаясь равным приблизительно 0.89).
Обратимся к вычислению главной кривой пропитки
s = S(p) .
Будем игнориро-
вать при этом для простоты плјночную составляющую насыщенности, что вполне
?4
).
допустимо, если только не работать в области сверхмалых влажностей ( s < 10
азобьјм при данном давлении
p
всј множество капилляров на три класса: за-
полненные водой, неблокированные капилляры с уголковым режимом заполнения
S(p)
и блокированные капилляры. Представив
в виде суммы соответствующих
вкладов
s = S(p) = sap + smen + strap ,
(20)
подсчитаем их независимо друг от друга.
Первые два вклада вычисляются аналогично случаю дренажа:
sap =
Z
?
?(p, L)fv (L) dL,
0
Здесь через
?men
smen = ?
Z
0
?
?men (p, L)S (1) (p, L)fv (L) dL.
обозначена числовая доля неблокированных пор с уголковым
режимом заполнения. Она за вычетом доли блокированных пор
значением
1 ? ?:
?men = 1 ? ? ? ?trap ,
?trap (p, L) =
Вычисляя интегралы (21), получим
sap (z) =
Z
0
z
(21)
?trap
совпадает со
?
?? 2Z?2 (p+ (L)), p > p+ (L),
?? 2Z?2 (p),
p < p+ (L).
(1 ? ? 2Z?2 (y))fV (y) dy + 2? Z?1 (z)(1 ? ? Z?1 (z))(FV (a? z) ? FV (z)),
(22)
68
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
f
n
3
?=56
2
1
?=9
0
0
0.5
1
1.5
2
L/L0
ис. 7. аспределение по размерам остаточной доли пор с защемлјнным воздухом (заштрихована) для двух различных пористых сред
smen (z) = ?
Ч [(1 ? ?
3
X
k=1
Z?1
(1)
a2k z 1+k/2 Ч
(z))2 (G1+k/2 (z) ? G1+k/2 (a? z)) + (1 ? ? 2Z?2 (z))G1+k/2 (a? z)].
(23)
strap вызвана тем, что входящие в число
?
капилляры были блокированы при различных уровнях давления p < p ,
(1) ?
а значит, содержат различное количество влаги S
(p , L) . Поэтому strap зависит
Определјнная сложность подсчета
?trap (p, L)
p,
не только от текущего значения
strap = ?
Z
0
? Z
p
но и от всех предшествующих давлений
S (1) (p? , L)
??
d?trap (p? , L) ?
dp
fv (L) dL.
dp?
Переставляя здесь пределы интегрирования и подсчитывая интеграл по
(24)
L
явно,
получим
strap (z) = ?
3
X
k=1
(1)
a2k
Z
z
z 1+k/2 G1+k/2 (z)d? 2Z?2 (z).
(25)
0
езультаты проведјнных по ормулам (20), (22), (23), (25) расчјтов для грунта
20/30 представлены на рис. 5,
дели
L0 , ? , ?
a
штрих-пунктирной линией. Параметры микромо-
были определены ранее по данным дренажных испытаний.
В отличие от главной дренажной кривой (сплошная линия), кривая пропитки
имеет характерной особенностью наличие остаточной по воздуху насыщенности
sair < 1 .
В рассматриваемом случае
12/20 и 30/40 значение
sair
sair
sair = 0.85 ;
для других пористых засыпок
составляет 0.82 и 0.87 соответственно. Во всех случаях
несколько меньше, чем соответствующее значение
?air . Объјмная доля sair
пор
с защемлјнным воздухом оказывается меньше числовой доли в силу того, что воздух блокируется преимущественно в больших порах. Этот акт иллюстрируется
рис. 7, заштрихованная часть которого отвечает блокированным порам на момент
sair лежат
0.8 < sair < 0.9 .
окончания процесса пропитки. Отметим, что найденные значения
вестной (см., например, [25, 26?) экспериментальной вилке
Как видно из рис. 5,
a,
в из-
в области больших и умеренных насыщенностей имеет
место примерно двукратное отличие капиллярных кривых пропитки и дренажа, сохраняющееся и для других типов засыпок. Оно объясняется примерно двукратным
69
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
отличием в значениях
p+ , p?
критических давлений и находит свој подтверждение
в экспериментах [25?.
Обратим внимание, что ярко выраженный при умеренных
s
гистерезис капил-
лярных кривых становится пренебрежимо малым в области малых насыщенностей, где обе кривые оказывается возможным описать единой зависимостью. Этот
теоретический результат приобретает особое значение в связи с отсутствием достоверных экспериментальных данных по измерению капиллярных кривых при
s
малых
4.2.
[2729?.
Относительная азовая проницаемость при пропитке. После под-
счјта доли
?(p, L)
заполненных пор относительная азовая проницаемость при
пропитке определялась подобно тому, как это делалось для случая дренажа. В конечном итоге приходилось решать аналогичное (14) алгебраическое уравнение.
езультаты решения для среды 20/30 представлены штриховой линией на
рис. 5,
b. Как видно, характер зависимости K(s)
при пропитке аналогичен наблю-
даемому при дренаже (сплошная линия). Отличие проявляется в области малых
насыщенностей. Оно связано главным образом с иным (большим) значением оста+
?
+
точной насыщенности, sres > sres . В случае пропитки значение sres оказывается
возможным подсчитать по ормуле
+
FN (zres
)=
2 ? ?Z
,
(1 ? ?)Z
(26)
аналогичной ормуле (16). Из сравнения (26) и (16) следует, что
Простые оценки показывают, что капиллярная составляющая
+
?
zres
= a? zres
.
sap
предельной
насыщенности практически одна и та же в обоих случаях. Количество же smen
+
жидкости, содержащейся при z = zres в уголковых менисках, при пропитке заметно больше, чем при дренаже. Причина в сильной зависимости
+
?
существенной (в a? ? 2 раза) разнице между zres и zres .
smen
от
z
и
Как правило, в изике почв игнорируют различие между кривыми азовой
проницаемости для дренажа и пропитки. Представленные на рис. 5,
b
результаты
в целом оправдывают это упрощение вне области малых насыщенностей. Принципиально важным для ряда теорий (см., например, [30?) является, однако, то,
что гистерезис всј-таки есть, и кривая азовой проницаемости при пропитке лежит ниже соответствующей дренажной кривой. Именно такое поведение азовых
проницаемостей наблюдается и в тщательно проведјнных лабораторных экспериментах [25, 31?.
5.
Кривая первичной пропитки
Первичная пропитка характеризуется высоким темпом роста влажности изначально сухой пористой среды. В то же время увеличение плјночной и уголковой
составляющих насыщенности, а также механизм snap-o заполнения пор являются медленными процессами. Скорость их протекания лимитируется большим гидравлическим сопротивлением плјнок и менисков по сравнению с гидравлическим
сопротивлением заполненных пор. Естественно поэтому при описании первичной
пропитки пренебрегать указанными медленными механизмами повышения влажности, считая, что они не успевают проявиться в течение изучаемого процесса в
силу его высокого темпа. Единственными учитываемыми механизмами заполнения
капилляров и узлов решјтки при этом остаются поршневое вытеснение в капиллярах и кооперативное заполнение узлов.
В отличие от предыдущего, описание процесса при этом удобнее проводить,
рассматривая в качестве первичного элемента узел, а не капилляр. Функция
Fs (L)
70
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
распределения узлов по размерам строится, исходя из аналогичной ункции
Fn (L)
для капилляров:
Fs (L) = FnZ (L).
(27)
Подобно тому, как это было сделано ранее для капилляров, введјм в рассмотрение ункции
??(p)
и
??(p, L)
как численные доли заполненных узлов при данном
уровне давления среди всех узлов образца и среди узлов размера
но. Функции
??(p, L)
и
?(p, L)
рассуждениями. ассмотрим капилляр размера
L1 > L
и
L2 > L .
L
соответствен-
можно связать друг с другом следующими простыми
L . Он соединяет два узла размера
При этом
вероятность
{Lk < L? } =
?
?0,
L? < L,
?F Z?1 (L? ),
k = 1, 2.
(28)
L? > L,
n
В силу того, что заполнение узла эквивалентно заполнению всех пересекающихся в нјм капилляров, выделенный капилляр
L1 , L2
тогда, когда хотя бы один из узлов
L
будет заполнен тогда и только
заполнится. Отсюда, с учјтом (28)
следует, что
?(p, L) = 1 ? (1 ? x)2 ,
x = FnZ?1 (L)??(p, L) +
В свою очередь, ункция
?(p, L)
Z
?
L
??(p, L? ) dFnZ?1 (L? ).
(29)
определяет, как и прежде (см. (7)), насыщен-
ность образца при данном уровне давления
s = S(p) =
Z
?
?(p, L)fv (L) dL.
(30)
0
В ормуле (30) по сравнению с (7) пренебрежено дополнительно плјночной и
уголковой составляющими насыщенности.
Таким образом, для вычисления кривой первичной пропитки по (29), (30) остајтся определить
??(p, L) .
С этой целью обозначим через
fk (??) = CZk (1 ? ??)k ?? Z?k ,
CZk =
Z!
k!(Z ? k)!
Z ? k узлов, соседствующих с данным, заполнены
??(p, L) в виде
?
?
f1 + f2 + . . . + fZ?1 , p > pZ?1 ,
?
?
?
?
?
pk < p < pk+1 ,
?f 1 + f 2 + . . . + f k ,
??(p, L) = . . .
?
?
?f 1 ,
p1 < p < p2 ,
?
?
?
?0,
p < p1 ,
вероятность того, что
Ik ).
Представим
обозначив
pk = ?ak ?/L .
(31)
Воспользовавшись далее тем, что
??(p) =
и проинтегрировав (31) по
??(p) .
(событие
L,
Z
?
0
??(p, L)dFnZ (L),
(32)
получим алгебраическое уравнение для нахождения
В прежней безразмерной переменной
?? =
Z?1
X
k=1
z = ??/pL0
fk (??)FNZ (ak z).
оно записывается как
(33)
71
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
1
0.8
?
?
*
0.6
?
?
0.4
0.2
0
z
z**
*
40
50
60
70
z
ис. 8. Зависимость доли заполненных узлов
??
от безразмерного давления
z
Можно показать, что при любом значении Z и произвольном выборе a1 > a2 >
> . . . > aZ?1 > 0 решения этого уравнения устроены одинаково. Помимо тривиального решения ?? = 0 , имеющегося при любом значении z , уравнение (33) обладает
ещј одним решением при z > z? и двумя решениями на интервале z ? (z?? , z? ) .
Величину z? можно найти, устремив в (33) ?? к нулю. Учитывая, что fZ?1 =
= Z ?? + O(?? 2 ) и fk = O(?? 2 ) при k < Z ? 1 , получим следующее условие для
определения z? :
FNZ (aZ?1 z? ) = 1/Z.
Значение ??? можно найти, устремив в (33) z к бесконечности. При этом велиFNZ (ak z) в правой части (33) обращаются в единицу, сама правая часть после
Z
Z
суммирования оказывается равной 1 ? ?? ? (1 ? ??) . В результате ??? находится
чины
как решение уравнения
??? = 1 ? ???Z ? (1 ? ??? )Z .
???
z? ak .
Типичные результаты расчета ункции ??(z) представлены на рис. 8. Координационное число Z принималось равным 4, величины ak определялись согласно [12?:
a1 = 1.7 , a2 = 1.15 , a3 = 0.7 .
Насыщенность s выражается через решение ??(z) уравнения (33) по ормуЗаметим, что
определяется лишь координационным числом решјтки, а
дополнительно еще и наименьшей из величин
лам (29)(31).
Многозначность зависимости
??
от давления является чрезвычайно важным и
интересным актом. Она приводит к неоднозначной зависимости насыщенности
от давления, или, что то же самое, к немонотонности кривой
p = P (s)
первичной
пропитки. Соответствующая кривая, построенная для среды 20/30, представлена
на рис. 5,
a
штриховой линией. Очевидно, что возрастающая часть этой кривой
неустойчива и не может быть изически реализована. Переход из сухого во влажное состояние может осуществиться лишь скачком, переводящим изначально сухую
среду в состояние, близкое к полному насыщению. Насыщенность при этом вычис2
ляется явно через предельное значение ??? как s? = 1 ? (1 ? ??? ) . При Z = 4 имеем
s? = 0.923 ,
а с изменением координационного числа величина
щественно; так при
всех случаях
s?
Z =5
и
6
значение
s?
равно
0.94
и
0.95
s?
меняется несу-
соответственно. Во
заметно превышает остаточную по воздуху насыщенность
главной кривой пропитки.
sair
для
72
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
Характерная полка давления на кривой первичной пропитки, соединяющая состояние нулевой насыщенности с близким к полному насыщению состоянием отмечается практически всеми исследователями, работающими с лабораторными песками. азвитая здесь теория дајт этому акту изическое объяснение.
Авторы благодарны проессору . ДиКарло за представленный экспериментальный материал и проессору Дж.Л. ??иберу за плодотворные обсуждения результатов работы.
абота выполнена при инансовой поддержке ФФИ (проекты ќ 04-01-00484,
ќ 05-01-00516).
Summary
B.E. Gogolashvili, A.G. Egorov. Application of effective medium theory for obtaining
hydraulic functions on pore networks.
Effective medium theory on pore networks was employed for modeling hydraulic characteristics of porous media. Different flow regimes (flow in completely filled pores, corner and
film flow in partially filled pores) and different mechanisms of liquid displacement (piston-type
displacement, ?snap-off?, cooperative wetting) was taken into account in modeling of single
pore behavior at microlevel. Proposed micromodel was then upscaled to obtain macroscopic
hydraulic characteristics for typical laboratory silica sands. All calculated hydraulic functions (drainage curve, hydraulic conductivity, main wetting curve, and primary wetting curve)
showed good agreement with experimental data.
Литература
1.
Dautov R.Z., Egorov A.G., Nieber J.L., Sheshukov A.Y.
Simulation of two-dimensional
gravity-driven unstable ow // Pro. 14th Int. Conf. on Comp. Meth. in Wat. Res. Delft, The Netherlands, 2002. V. 1. P. 916.
2.
Egorov A.G., Dautov R.Z., Nieber J.L., Sheshukov A.Y.
Stability analysis of traveling
wave solution for gravity-driven ow // Pro. 14th Int. Conf. on Comp. Meth. in Wat.
Res. Delft, The Netherlands, 2002. V. 1. P. 120127.
3.
Егоров А.., Даутов .З. Моделирование процессов пальцеобразования при влагопереносе в ненасыщенных пористых средах // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 15. Модели механики сплошной среды. Обзорные доклады и лекции XVI сессии
Международной школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 27 июня 3 июля 2002 г. Казань: Изд-во Казан. матем. о-ва, 2002. С. 2860.
4.
Nieber J.L., Dautov R., Egorov A., Shehsukov A.
Dynami apillary pressure mehanism
for gravity-driven ows; review and extension to dry onditions // Transport Porous
Media. 2005. V. 58. P.147172.
5.
Cuesta C., van Duijn C.J., Hulshof J. Inltration in porous media with dynami apillary
pressure: travelling waves // Europ. J. Appl. Math. 2000. V. 11. P. 381397.
6.
оголашвили Б.Э.
Определение равновесных гидравлических ункций на основе
микромоделирования пористой среды // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 27. Модели механики сплошной среды. Материалы XVII сессии Межд. школы
по моделям механики сплошной среды, Казань, 410 июля 2004 г. Казань: Изд-во
Казан. матем. о-ва, 2004. С. 8895.
7.
Bakke S., Шren P.
3-D pore sale modelling of heterogeneous sandstone reservoir roks
and quantitative analysis of the arhiteture, geometry and spatial ontinuity of the pore
network // So. Pet. Eng. 1996. SPE paper 35479.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
8.
Lenormand R., Zarone C., Sarr A.
73
Mehanisms of the displaement of one uid by
another in a network of apillary duts // J. Fluid Meh. 1983. V. 135. P. 337353.
9.
Lenormand R., Zarone C.
Role of roughness and edges during imbibition in square
apillaries // Pro. of 59th SPE Annual Tehnial Conferene and Exhibition, Houston,
TX. 1984. SPE paper 13264.
10.
Lenormand R.
Liquids in porous media // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. V. 2. P. 7988.
11.
Patzek T.W. Veriation of a omplete pore network model of drainage and imbibition //
So. Pet. Eng. 2000. SPE paper 59312.
12.
Hughes R.G., Blunt M.J. Pore
sale modeling of rate eets in imbibition // Transport
Porous Media. 2000. V. 40(3). P. 295322.
13.
Blunt M.J., Sher H. Pore-level modeling of wetting // Phys. Rev. E. 1995. V. 52(6). P. 63876403.
14.
Панилов М.Б., Панилова И.В. Осреднјнные модели ильтрационных процессов с
неоднородной внутренней структурой. М.: Наука, 1996. 383 с.
15.
Kirkpatrik S. Perolation and ondution // Rev. Mod. Phys. 1973. V. 45. P. 574
588.
16.
Yanuka M., Dullien F., Enik D.
Perolation proesses and porous media // J. Colloid
Interfae Si. 1986. V. 112. P. 2441.
17.
Brooks R.H., Corey A.T.
Hydrauli properties of porous media // Hydrol. Pap. 3.
Colorado State Univ., Fort Collins. 1964.
18.
van Genuhten M.T. A losed form equation for prediting the hydrauli ondutivity of
unsaturated soils // Soil Si. So. Am. J. 1980. V. 44. P. 892898.
19.
Tuller M., Or D. Unsaturated hydrauli ondutivity of strutured porous media: A review
of liquid onguration-based models // Vadose Zone J. 2002. P. 1437.
20.
Mason G., Morrow N.R.
Capillary behavior of a perfetly wetting liquid in irregular
triangular tubes // J. Colloid Interfae Si. 1991. V. 141. P. 262274.
21.
Iwamatsu M., Horii K.
Capillary ondensation and adhesion of two wetter surfaes //
J. Colloid Interfae Si. 1996. V. 182. P. 400406.
22.
Alt W., Lukhaus S., Visintin A.
On nonstationary ow through porous media // Ann.
Math. Pura Appl. J. 1984. V. 136. P. 303316.
23.
Shroth M.H., Ahearn S.J., Selker J.S., Istok J.D.
Charaterization of Miller-similar
silia sands for laboratory hydrauli studies // Soil Si. So. Am. J. 1996. V. 60. P. 1331-1339.
24.
DiCarlo R.
Experimental measurements of saturation overshoot on inltration // Water
Resour. Res. 2004. V. 40(4).
25.
Ustohal P., Stauer F., Draos T. Measurement and modeling of hydrauli harateristis
of unsaturated porous media with mixed wettability // J. Cont. Hydrol. 1998. V. 33. P. 537.
26.
Stauer F., Kinzelbah W.
Cyli hystereti ow in porous medium olumn: model,
experiment, and simulations // J. Hydrology. 2001. V. 240. P. 264275.
27.
Ross P.J., Williams J., Bristow K.L.
Equation for extending water-retention urves to
dryness // Soil. Si. So. Am. J. 1991. V. 55. P. 923927.
28.
Morel-Seytoux H.J., Nimmo J.R. Soil water retention and maximum apillary drive from
saturation to oven dryness // Water Resour Res. 1999. V. 35(7). P. 20312041.
74
29.
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
Toledo P.G., Novy R.A., Davis H.T., Sriven L.E.
On the transport properties of porous
media at low water ontent, in Indiret methods for estimating the hydrauli properties
of unsaturated soils. U.S. Salinity Laboratory, Riverside, CA, 1992. P. 97114.
30.
Kaimov A.R.,Yakimov N.D.
Nonmonotoni moisture prole as a solution of Rihards'
equation for soils with ondutivity hysteresis // Adv. Water Resour. 1998. V. 21(8). P. 691696.
31.
Wong P-Z.
Flow in porous media: permeability and displaement patterns // MRS
Bulletin. 1994. V. 19(5). P. 3238.
Поступила в редакцию
12.09.05
оголашвили Булат Эдуардович
младший научный сотрудник НИИ математики
и механики им. Н.. Чеботарева Казанского государственного университета.
E-mail:
Bulat.Gogolashviliksu.ru
Егоров Андрей еннадьевич
доктор изико-математических наук, старший на-
учный сотрудник, заведующий каедрой аэрогидромеханики Казанского государственного университета.
E-mail:
Andrey.Egorovksu.ru
яра
L
определялся
как радиус вписанной в него окружности. Доли капилляров первого и второго
типов ( ? и
от
L.
Степень
p<0
1??
S
соответственно) иксировались одними и теми же независимо
заполнения водой поры данного размера зависит от уровня давления
в системе. При низком давлении величина
S
определяется толщиной
h(p)
адсорбированных на твердой поверхности водных пленок и радиусом кривизны
rmen (p)
жидких менисков в углах поры (рис. 1). Толщина плјнок вычисляется
через константу амакера
натяжение
?
AH < 0
[21?, а радиус кривизны через поверхностное
на границе вода воздух по ормулам
h(p) =
s
3
AH
,
6?p
?
rmen (p) = ? .
p
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
Вклад
Slm
жидких плјнок в
где константа
Вклад
Smen
a1
S = Slm + Smen подсчитывался
h(p)
Slm (p) = a1
,
L
59
как
равна, соответственно, 3.014 и 2 для пор первого и второго типов.
менисков для треугольной поры вычисляется из простых геометри-
ческтх соображений. Соответствующая ормула может быть аппроксимирована
выражением
Smen(?) = a21 ?1.5 + a22 ?2 + a23 ?2.5 , ? = rmen /L = ??/pL,
a21 = 1.067, a22 = ?0.699, a23 = 0.173,
с относительной погрешностью не более 1.4% во всјм интервале
(1)
[0, 1] изменения ? .
p+ (L) величи-
С ростом давления вплоть до некоторого критического значения
на
S
непрерывно растјт. При
p = p+ (L)
граница раздела между водой и воздухом
в поре становится неустойчивой, и пора ѕмгновенної заполняется водой (так называемый механизм snap-o заполнения). Согласно [22?
?
p+ = ?a+ ,
L
а константа
a+
равна единице для обоих типов пор.
Аналогичным образом происходит и осушение поры при снижении давления.
Отличие состоит в том, что переход от режима полного заполнения поры к
плјночно-уголковому режиму идет по иному сценарию, за счет движения мениска
вдоль капилляра (режим поршневого вытеснения), и при ином значении критического давления
Величина
p?
?
p? = ?a? .
L
есть не что иное, как давление, при котором внутри поры су-
ществует равновесный мениск, разделяющий в поперечном направлении воздух
и воду. Сумма двух главных кривизн такого мениска, очевидно, должна совпадать с кривизной
1/r?
уголковых менисков. Следствием этого является простое
уравнение
A(r? ) = r? ?(r? )
для нахождения критического радиуса
тического давления
p? = ??/r? ).
r?
(2)
уголковых менисков (а, значит, и кри-
Здесь через
A
и
?
обозначены площадь и
периметр заполненной воздухом центральной части капилляра. Для треугольной
поры решение (2) дајт
a? = 1.75 , а для круглой поры a? = 2 .
S , другой важной характеристикой поры является
Помимо степени заполнения
k . При полном заполнении поры проницаемость пропорциональk(L) = a3 L2 . При частичном заполнении k складывается
3
проницаемости жидких плјнок klm = a5 h /L и проницаемости менисков в
еј проницаемость
на квадрату еј размера:
из
углах поры (для треугольной поры). Последняя вычислялась на основе решения
методом конечных элементов задачи стоксовского течения внутри жидкого мениска. На твјрдых границах задавались условия прилипания, на внешней границе
нормальная производная скорости принималась равной нулю, что отвечает контакту с невязкой средой (воздухом). езультаты расчјта оказалось возможным с
относительной погрешностью менее 1% аппроксимировать приближјнной ормулой
kmen = L2 A4 (p) = L2 (a41 ?3.5 + a42 ?4 + a43 ?4.5 + a44 ?5 ).
(3)
Коэициенты в представленных выше зависимостях равны a3 = 1/8 , a5 =
= 4/3 (для круглой поры); a3 = 0.134 , a5 = 2.01 , a41 = 0.1524 , a42 = ?0.2993 ,
a43 = 0.2534 , a44 = ?0.0857 (для треугольной поры).
60
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
2.
идравлические ункции при дренаже
Капиллярная кривая. Процесс осушения каждого капилляра зависит
2.1.
не только от общего давления в системе, но и от состояния соседних с ним капилляров. Если оба узла, на которые опирается данный капилляр, заполнены водой, то
капилляр тоже останется заполненным даже при снижении давления ниже критического. Осушение в этом случае произойдјт лишь тогда, когда воздух проникнет в
один из соседних узлов, иными словами, когда хотя бы один из
2(Z?1)
капилляров,
являющихся непосредственными соседями данного капилляра, осушится.
Обозначим далее через
?(p)
и
?(p, L)
числовую долю заполненных капилляров
при данном уровне давления среди всех капилляров образца и среди капилляров
размера
L
соответственно. Тогда вероятность того, что все
? 2(Z?1) , в силу чего
2(Z?1)
соседей данного
капилляра заполнены, равна
?(p, L) =
?
Для нахождения
?
?1,
p > p? (L),
(4)
?? 2(Z?1) , p < p (L).
?
достаточно заметить, что
?(p) =
Z
?
?(p, L)fn (L) dL.
(5)
0
L? (p) обратную к p? (L) ункцию L? (p) =
? следующее алгебраическое уравнение
Подставляя (5) в (4) и обозначая через
= ?a? ?/p ,
получим для нахождения
? = b + (1 ? b)? 2(Z?1) ,
Это уравнение имеет при
b(p) = Fn (L? (p)).
b < bZ = (2Z ? 3)/(2Z ? 2)
(6)
два корня. Один из них
равен единице; изический интерес представляет второй расположенный между нулјм и единицей. С превышением
b
критического значения
? = 1.
вещественным корнем уравнения (6) остајтся
?(b)
терпят излом в точке
ных значений
Z
bZ ,
единственным
продолжаясь правее неј прямой
? ? 1.
Для различ-
эти граики представлены на рис. 2. Отметим, что кривые
во всех случаях лежат выше предельной прямой
ют с ней при малых
b.
После определения величины
а полная водонасыщенность
s = s(p) =
Z
?
0
fv (L)
?(b) = b
?(b)
и практически совпада-
b ? 0 решение ?
b , вплоть до членов высокого порядка
Последнее есть следствие того, что при
уравнения (6) асимптотически эквивалентно
2(Z?1)
малости ? = b + O(b
), b ? 0 .
Здесь через
bZ
Соответственно, зависимости
s
?
ункция
?(p, L)
подсчитывается согласно (4),
находится осреднением по всем порам:
? + (1 ? ?)(?S (1) (p, L) + (1 ? ?)S (2) (p, L)) fv (L) dL.
(7)
обозначена объјмная плотность распределения пор по размерам,
L2 fn (L) . Соответ-
которая с точностью до нормирующего множителя совпадает с
ствующую данной плотности
FV
fv
ункцию распределения будем обозначать через
. Верхний индекс 1, 2 указывает на треугольные и круглые поры соответственно,
объјмная доля
?
треугольных пор выражается через их числовую долю
(1)
?=
Коэициент
типа.
(i)
a0
?a0
(1)
(2)
?a0 + (1 ? ?)a0
определяет площадь
,
(1)
a0 = 6.738,
(i)
a0 L 2
?
как
(2)
a0 = ?.
поперечного сечения капилляра
i -го
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
61
1
10
6
0.8
4
0.6
Z=?
?
Z=3
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
b
ис. 2. Зависимость доли заполненных пор
Z
?
от параметра
b
при различных значениях
для процесса первичного дренажа
Обозначая для простоты записи
1 ? ? 2(Z?1)
через
µ
и проводя интегрирование
в (7), получаем окончательную расчетную ормулу для определения капиллярной
кривой в виде
s(p) = sap (p) + smen(p) + slm (p),
(8)
sap = 1 ? µ(z) + µ(z)FV (a? z),
(9)
?
3
(1)
(2)
slm = (a1 ? + a1 (1 ? ?))µ(z) ?zG1 (a? z),
smen = ?µ(z)
3
X
(1)
a2k z 1+k/2 G1+k/2 (a? z),
(10)
(11)
k=1
?=
h3
,
rmen L20
Gk (z) =
Z
?
y ?k fV (y) dy,
z
fV (y) = L0 fv (L0 y) . Здесь и далее через z обозначается обратное безразмерное
(1)
давление z = ??/pL0 , коэициенты a2k определены согласно (1).
где
Структурно правая часть (8) представляет собой сумму вкладов от полностью
заполненных капилляров, уголковых менисков и плјнок. Типичные граики суммарной зависимости
s(p)
и еј структурных составляющих
sap , smen , slm
пред-
ставлены на рис. 3.
Наличие предельного pe значения давления, при превышении которого s ?
? 1 , т. н. air entry pressure, очевидным образом связано с критическим значением
bZ в уравнении (6): оно может быть найдено из условия b(pe ) = bZ . В терминах
безразмерного параметра z это условие запишется как
FN (a? ze ) =
2Z ? 3
.
2Z ? 2
(12)
Как видно из рис. 3, влияние адсорбированных пленок начинает сказываться лишь
?4
при очень низких насыщенностях s ? 10
, и в типичных ситуациях его можно
игнорировать. В то же время учјт наличия менисков в углах пор необходим, особенно при рассмотрении малых (менее 20%) влажностей. Ещј одной характерной
особенностью представленных граиков является резкое изменение вида зависимости
s(p)
при значениях насыщенности порядка 10%, связанное с переходом от
режима полного заполнения пор к уголковому режиму.
62
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
0
0
10
?1
10
?2
10
s
10
s(p)
s
cap
smen
sfilm
s(p)
s
cap
smen
?3
s
10
?1
10
?4
10
?5
10
pe
?6
10
?2
0
1
10
10
2
3
10
10
4
10
5
10
10
1
10
?p (cm)
a) Во всем диапазоне изменения насыщенности
2
10
?p (cm)
b) В области умеренных влажностей
ис. 3. Зависимость насыщенности от давления (в см водного столба) для грунта 20/30
2.2.
Относительная азовая проницаемость. Для вычисления относи-
K
тельной азовой проницаемости
решјтки капилляров можно воспользоваться
известной электрической аналогией, сводящей проблему отыскания азовой проницаемости к задаче нахождения эективной проводимости решјтки по заданному распределению проводимостей еј связей. В таком контексте проводимость
k?
каждой связи есть коэициент пропорциональности между объјмным потоком
влаги через соответствующий капилляр и перепадом давления в узлах, соединяемых данной связью. Следовательно, с точностью до несущественного множителя,
проводимость определяется через проницаемость капилляра и площадь его попе2
2
речного сечения a0 L как k? = a0 L k .
В свою очередь, проницаемость капилляра зависит от его ормы, размера и
состояния (заполнен он полностью или нет):
k=
?
?a3(i) L2 ,
капилляр заполнен,
?L2 A(i) (p) + a(i) h3 (p)/L,
4
Здесь верхний индекс
A4
(i)
5
в противном случае.
указывает на тип капилляра, коэициент
a5
и ункция
определяют, соответственно, плјночную и уголковую составляющие проницае-
мости.
Считая далее проводимости пор распределјнными независимо друг от друга и
пользуясь хорошо известной аппроксимацией среднего поля [15?, найдјм эективную проводимость решјтки
k?? (p)
как решение следующего алгебраического
уравнения
2
=
Z
*
k?
k? + k?? (Z/2 ? 1)
+
.
(13)
Под средним здесь понимается математическое ожидание относительно заданной
плотности
fn (L)
доли
fn (k?) ,
которая полностью восстанавливается по известным плотности
распределения пор по размерам, долям
?(p, L)
?, 1 ? ?
пор различных типов и
заполненных пор данного размера. С точностью до множителя, не
зависящего от давления (который не существенен и определяется на завершающей
стадии вычислений по условию нормировки
совпадает с искомой зависимостью
K(p) .
K(1) = 1 ),
найденная величина
k?? (p)
63
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
0
10
?5
K
10
?10
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s
ис. 4. Зависимость относительной азовой проницаемости от насыщенности
Переходя далее в правой части (13) к интегрированию по
L,
получим после
элементарных преобразований следующую безразмерную орму алгебраического
уравнения для нахождения
2
=
Z
Z
0
K(p)
?
F0 fN (y) dy ? µ(z)
Z
?
F0 fN (y) dy + µ(z)
a? z
a0 a3 y 4 + K
(1)
F1 = F1 (y; z, K) = ?
(1)
+ (1 ? ?)
(1)
a0 a3 y 4
(2) (2)
a0 a3 y 4 + K
(1) (1)
a0 y 4 A4 (z/y) + a0 a5 ?zy
(1)
F1 fN (y) dy,
(14)
(2) (2)
a0 a3 y 4
(1) (1)
?
a? z
(1) (1)
F0 = F0 (y; K) = ?
Z
(1) (1)
a0 y 4 A4 (z/y) + a0 a5 ?zy + K
,
(2) (2)
+ (1 ? ?)
a0 a5 ?zy
(2) (2)
a0 a5 ?zy + K
.
Численное решение этого алгебраического уравнения не вызывает трудностей. Типичная зависимость относительной азовой проницаемости
K(s)
представлена на
рис. 4 сплошной линией. На этом же рисунке штриховой линией показана та же
самая зависимость при игнорировании потока по адсорбированным жидким плјн(1)
(2)
кам ( a5
= a5 = 0 ). Обе кривые практически совпадают друг с другом вплоть
до достижения s некоторого порогового значения. Будем обозначать это пороговое
значение через
sres
и говорить о нјм как об остаточной насыщенности. Наличие
порогового значения
sres
обусловлено тем, что по его достижению система хоро-
шо проводящих капилляров (полностью заполненные капилляры и капилляры с
менисками) теряет связность. Поэтому в пренебрежении проницаемостью плохо
проводящих капилляров потоки влаги в среде оказываются вообще невозможными (штриховая линия на рис. 4), а с еј учјтом они определяются плјночной
составляющей проницаемости и чрезвычайно малы (сплошная линия на рис. 4).
?
?
Величина zres , отвечающая остаточной насыщенности sres при дренаже, может
быть найдена из уравнения (14), если положить в нјм
a5 = 0 , K = 0 :
2
?
?
= 1 ? (1 ? ?)µ(zres
) 1 ? FN (a? zres
) .
Z
Учитывая, что в силу (6)
1?FN (a? z) = (1??)/µ , получим имеющее очевидный
изический смысл соотношение
2
?
= 1 ? (1 ? ?) 1 ? ?(zres
) .
Z
(15)
64
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
40
10
30
10
0
?p (cm)
?1
?2
10
K
20
?3
10
10
?4
10
0
0
sair
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
s
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s
a) Зависимость давления от насыщенности;
сплошная линия дренаж, штрих-пунктирная
линия главная кривая пропитки, пунктирная линия кривая первичной пропитки, маркеры экспериментальные данные для дренажа [23?, sair остаточная по воздуху насыщенность
b) Зависимость азовой проницаемости от
насыщенности; сплошная линия дренаж,
штриховая линия пропитка, маркеры экспериментальные данные для дренажа [24?
ис. 5. Сравнение теоретических гидравлических ункций с экспериментальными данными для грунта 20/30
Его левая часть указывает на перколяционный порог решјтки, вычисленный на
основе приближения среднего поля. Правая часть подсчитывает этот порог как
долю хорошо проводящих пор (величина
(1??)(1??)
есть доля плохо проводящих
пор с исключительно плјночным режимом течения жидкости). Заметим далее,
что найденное из (15) значение ? мало, и, следовательно, хорошим приближением
?
?
?(zres
) (см. рис. 2) является величина b = FN (a? zres
) . Поэтому (15) можно
для
упростить, придав ему аналогичную (12) орму
?
FN (a? zres
)=
3.
2 ? ?Z
.
(1 ? ?)Z
(16)
Вериикация модели по экспериментальным данным для дренажа
Построенная микромодель вериицировалась по известным [23, 24? экспериментальным данным дренирования лабораторных засыпок 12/20, 20/30, 30/40 со
средним размером зерна 1.105, 0.713 и 0.532 мм соответственно. Код засыпки отвечает размерам сит, через которые просеивается песок при подготовке образца.
При заданном координационном числе решјтки микромодель полностью опре-
L0 и ?
L0 , ? , ?
деляется тремя параметрами: параметры
ункции распределения и доля
?
подбирались так, чтобы согла-
треугольных капилляров. Значения
совать наилучшим образом теоретические и экспериментальные кривые азовой
проницаемости и капиллярного давления. езультаты такого согласования для засыпки 20/30 при
Z=4
представлены на рис. 5 сплошными линиями. Как видно,
совпадение теоретических кривых с экспериментальными данными более чем удовлетворительно. Оно обеспечилось выбором
варьировании координационного числа
Z
L0 = 0.138 мм, ? = 33 , ? = 0.36 . При
[4, 5.5] параметры L0 , ? , ?
в диапазоне
микромодели изменялись незначительно.
Столь же хорошее согласование между теоретическими и экспериментальными
данными было получено и для двух других видов засыпок. При этом оптимальные
значения параметров микромодели составили
L0 = 0.198
мм,
? = 9 , ? = 0.205
для
65
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
засыпки 12/20 и
L0 = 0.096
мм,
? = 56 , ? = 0.33
для засыпки 30/40. Отметим,
что найденные в результате подбора параметров оптимальные значения среднего
размера пор
L0
хорошо коррелируют со средним размером зјрен. Первые из них со-
относятся между собой в пропорции 1:0.7:0.48, в то время как вторые в пропорции
?1/2
1:0.65:0.48. Кроме того, относительное среднеквадратичное отклонение (? + 1)
размеров пор от среднего значения растјт при переходе от песков 30/40 к 20/30 и
далее к 12/20, что также согласуется с увеличением разброса диаметров частиц,
составляющих указанные среды.
Для проверки чувствительности микромодели к выбору ункции распределения пор по размерам помимо гамма-распределения тестировалась и другая (логнормальная) двухпараметрическая ункция распределения. Средний размер зјрен, среднеквадратичное уклонение и доля треугольных капилляров при этом изменялись несущественно. Представленные акты дополнительно свидетельствуют
в пользу адекватности предложенной микромодели.
4.
4.1.
идравлические ункции при пропитке
Капиллярная кривая. Пропитка является более сложным процессом,
чем дренаж. Это связано с тем, что условия заполнения водой узлов при пропитке отличаются от условия проникновения в узел воздуха при дренаже. азличие
связано с тем, что размер узла не меньше размера выходящих из него капилляров. Поэтому при дренаже воздух автоматически проникнет в узел, как только
он окажется в одном из выходящих из него капилляров, а при пропитке узел может остаться незаполненным, даже если несколько выходящих из него капилляров
(меньшего размера) заполнены водой. Это обстоятельство ясно осознано, начиная, по-видимому, с работ [810?. В это же время введено понятие кооперативного
механизма заполнения узлов. Считается, что чем больше выходящих из узла капилляров заполнено водой, тем мениск меньшего радиуса способен проникнуть в
узел, а, значит, тем при меньшем уровне давления в системе произойдјт заполнение узла. Формализуя этот акт, вводят ранжированную последовательность
p1 < p2 < . . . < pZ?1 пороговых давлений, при которых происходит заполнение
Z ? i заполненных капилляров, выходящих из него (события
I1 , I2 , . . . , IZ?1 ). Величина p1 обычно определяется [11? условием существования
равновесного мениска в узле, p1 = ?a? ?/Lsite . В силу того, что размер Lsite узла
узла при наличии
в предлагаемой модели совпадает с максимальным размером выходящих из него
капилляров, имеем
p1 = max{p1? , . . . pZ
? },
(17)
i
где через p? обозначены критические значения p? давления для выходящих из узла капилляров. Инормация о последующих пороговых значениях давления носит
менее точный характер. Предлагаемые в различных работах [7, 11, 13? ормулы
для их вычисления вряд ли можно назвать строго обоснованными.
На их основе тем не менее ясно, что величина
поэтому во многих ситуациях события
I2 , I3 , . . .
p2
существенно выше, чем
p1 ,
и
разумно попросту игнорировать.
Применяя, например, соотношение из [11? к случаю однородных (с порами одного
размера) сред, получим в качестве оценки, что величина
p2
отличается от
в 2.74 раза. Это значение заметно превышает критическое давление
любой ормы. Ясно, что в этом случае событие
I2
p+
p1 = p?
для пор
попросту не может наступить,
так как значительно раньше с ростом давления сработает snap-o механизм заполнения пор. Учитывая изложенное, ограничимся в дальнейшем рассмотрением
лишь механизма
I1
кооперативного заполнения узла.
66
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
Ещј одним обстоятельством, которое будет приближјнно учтено в развиваемой
нами микромодели, является наличие в среде защемлјнного воздуха. В процессе
пропитки пора, или некоторая система связанных пор (кластер), может оказаться окруженной со всех сторон водой. Заполнение водой такой поры (кластера) в
дальнейшем оказывается невозможным. Полный учет эекта защемления воздуха является сложной задачей, которую можно решить, видимо, лишь на основе
непосредственного численного моделирования процесса пропитки на решјтке капилляров. Соответствующие численные эксперименты [13, 14? показывают, однако,
что для пористых сред с малой относительной дисперсией распределения пор по
размерам воздушные кластеры невелики, а большинство из них состоит лишь из
одной поры. Поэтому в первом приближении разумно учитывать лишь эту возможность защемления воздуха.
Дополнительный учет механизма
I1
кооперативного заполнения и наличия за-
щемлјнного воздуха приводит к следующему выражению для зависимости
доли полностью заполненных водой пор данного размера
?
?
1 ? ? 2Z?2 (p+ (L)),
?
?
?
?(p, L) = 2? Z?1 (p)(1 ? ? Z?1 (p)),
?
?
?
?
0,
?(p)
Здесь
L
от давления
?(p, L)
p
p > p+ (L),
p? < p < p+ ,
(18)
p < p? (L).
по-прежнему обозначает общую долю заполненных пор при данном
уровне давления
p
в системе.
Прокомментируем ормулу (18). Еј нижняя строка указывает, что при
< p? (L)
p <
соответствующий капилляр ни при каких условиях не может быть пол-
ностью заполнен. Средняя строка (с учјтом (17)) указывает на то, что необходимым и достаточным условием заполнения выделенной поры в диапазоне давлений
p ? [p? , p+ ]
является требование того, чтобы либо все
Z?1
либо все еј
Z ?1
еј ѕправыхї соседей,
ѕлевыхї соседей (но ни те и ни другие одновременно) оказались
заполненными водой. Под ѕправымиї и ѕлевымиї соседями здесь понимаются капилляры, входящие в один из двух узлов, на которые опирается выделенный капилляр. Указанное условие при этом есть ни что иное, как условие срабатывания
механизма
I1
кооперативного заполнения не блокированной со всех сторон водой
поры. Наконец, верхняя строка в (18) указывает на то, что
?
с переходом давления через критическое значение
все поры данного размера
L,
p+ (L)
заполненным будут
за исключением тех, в которых воздух заблокирован
непосредственными соседями;
?
p > p+ (L) нет механизмов, изменяющих состояние поры, в силу чего
? будет оставаться неизменной с дальнейшим ростом давления.
нахождения ?(p) по-прежнему можно воспользоваться соотношением (5),
при
величина
Для
получив в результате интегрирования (18) уравнение следующего вида
?(z) =
Z
z
0
Через
z
(1 ? ?
2Z?2
(y))fN (y) dy + 2?
Z?1
(z)(1 ? ?
Z?1
(z))
Z
a? z
fN (y) dy.
(19)
z
по-прежнему обозначается безразмерное обратное давление. При чис-
ленном решении удобно диеренцированием по
z
свести уравнение (19) к обык-
новенному диеренциальному уравнению первого порядка. езультаты такого
решения для
Z = 4
и значений параметра плотности распределения
? = 9,
33,
56, соответствующих лабораторным пескам 12/20, 20/30, 30/40, представлены на
рис. 6.
67
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
3
?p/? L
2.5
2
?=9
1.5
?=33
1
?=56
0.5
0
0.2
0.4
0.6
?
0.8
ис. 6. Зависимость доли полностью заполненных пор
различных значениях параметра
?
?
?air 1
от безразмерного давления при
плотности распределения пор по размерам
Как видно из этого рисунка, рассматриваемая микромодель предсказывает на-
?air < 1 , а значит, и остаточной по воздуху насыщенsair < 1 . При достаточно больших значениях ? (для достаточно однородных
сред) значение ?air зависит лишь от координационного числа Z решјтки. Это можно наблюдать на рис. 7 (для Z = 4 с изменением ? от 9 до 56 остаточное значение
личие предельного значения
ности
изменяется слабо, оставаясь равным приблизительно 0.89).
Обратимся к вычислению главной кривой пропитки
s = S(p) .
Будем игнориро-
вать при этом для простоты плјночную составляющую насыщенности, что вполне
?4
).
допустимо, если только не работать в области сверхмалых влажностей ( s < 10
азобьјм при данном давлении
p
всј множество капилляров на три класса: за-
полненные водой, неблокированные капилляры с уголковым режимом заполнения
S(p)
и блокированные капилляры. Представив
в виде суммы соответствующих
вкладов
s = S(p) = sap + smen + strap ,
(20)
подсчитаем их независимо друг от друга.
Первые два вклада вычисляются аналогично случаю дренажа:
sap =
Z
?
?(p, L)fv (L) dL,
0
Здесь через
?men
smen = ?
Z
0
?
?men (p, L)S (1) (p, L)fv (L) dL.
обозначена числовая доля неблокированных пор с уголковым
режимом заполнения. Она за вычетом доли блокированных пор
значением
1 ? ?:
?men = 1 ? ? ? ?trap ,
?trap (p, L) =
Вычисляя интегралы (21), получим
sap (z) =
Z
0
z
(21)
?trap
совпадает со
?
?? 2Z?2 (p+ (L)), p > p+ (L),
?? 2Z?2 (p),
p < p+ (L).
(1 ? ? 2Z?2 (y))fV (y) dy + 2? Z?1 (z)(1 ? ? Z?1 (z))(FV (a? z) ? FV (z)),
(22)
68
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
f
n
3
?=56
2
1
?=9
0
0
0.5
1
1.5
2
L/L0
ис. 7. аспределение по размерам остаточной доли пор с защемлјнным воздухом (заштрихована) для двух различных пористых сред
smen (z) = ?
Ч [(1 ? ?
3
X
k=1
Z?1
(1)
a2k z 1+k/2 Ч
(z))2 (G1+k/2 (z) ? G1+k/2 (a? z)) + (1 ? ? 2Z?2 (z))G1+k/2 (a? z)].
(23)
strap вызвана тем, что входящие в число
?
капилляры были блокированы при различных уровнях давления p < p ,
(1) ?
а значит, содержат различное количество влаги S
(p , L) . Поэтому strap зависит
Определјнная сложность подсчета
?trap (p, L)
p,
не только от текущего значения
strap = ?
Z
0
? Z
p
но и от всех предшествующих давлений
S (1) (p? , L)
??
d?trap (p? , L) ?
dp
fv (L) dL.
dp?
Переставляя здесь пределы интегрирования и подсчитывая интеграл по
(24)
L
явно,
получим
strap (z) = ?
3
X
k=1
(1)
a2k
Z
z
z 1+k/2 G1+k/2 (z)d? 2Z?2 (z).
(25)
0
езультаты проведјнных по ормулам (20), (22), (23), (25) расчјтов для грунта
20/30 представлены на рис. 5,
дели
L0 , ? , ?
a
штрих-пунктирной линией. Параметры микромо-
были определены ранее по данным дренажных испытаний.
В отличие от главной дренажной кривой (сплошная линия), кривая пропитки
имеет характерной особенностью наличие остаточной по воздуху насыщенности
sair < 1 .
В рассматриваемом случае
12/20 и 30/40 значение
sair
sair
sair = 0.85 ;
для других пористых засыпок
составляет 0.82 и 0.87 соответственно. Во всех случаях
несколько меньше, чем соответствующее значение
?air . Объјмная доля sair
пор
с защемлјнным воздухом оказывается меньше числовой доли в силу того, что воздух блокируется преимущественно в больших порах. Этот акт иллюстрируется
рис. 7, заштрихованная часть которого отвечает блокированным порам на момент
sair лежат
0.8 < sair < 0.9 .
окончания процесса пропитки. Отметим, что найденные значения
вестной (см., например, [25, 26?) экспериментальной вилке
Как видно из рис. 5,
a,
в из-
в области больших и умеренных насыщенностей имеет
место примерно двукратное отличие капиллярных кривых пропитки и дренажа, сохраняющееся и для других типов засыпок. Оно объясняется примерно двукратным
69
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
отличием в значениях
p+ , p?
критических давлений и находит свој подтверждение
в экспериментах [25?.
Обратим внимание, что ярко выраженный при умеренных
s
гистерезис капил-
лярных кривых становится пренебрежимо малым в области малых насыщенностей, где обе кривые оказывается возможным описать единой зависимостью. Этот
теоретический результат приобретает особое значение в связи с отсутствием достоверных экспериментальных данных по измерению капиллярных кривых при
s
малых
4.2.
[2729?.
Относительная азовая проницаемость при пропитке. После под-
счјта доли
?(p, L)
заполненных пор относительная азовая проницаемость при
пропитке определялась подобно тому, как это делалось для случая дренажа. В конечном итоге приходилось решать аналогичное (14) алгебраическое уравнение.
езультаты решения для среды 20/30 представлены штриховой линией на
рис. 5,
b. Как видно, характер зависимости K(s)
при пропитке аналогичен наблю-
даемому при дренаже (сплошная линия). Отличие проявляется в области малых
насыщенностей. Оно связано главным образом с иным (большим) значением оста+
?
+
точной насыщенности, sres > sres . В случае пропитки значение sres оказывается
возможным подсчитать по ормуле
+
FN (zres
)=
2 ? ?Z
,
(1 ? ?)Z
(26)
аналогичной ормуле (16). Из сравнения (26) и (16) следует, что
Простые оценки показывают, что капиллярная составляющая
+
?
zres
= a? zres
.
sap
предельной
насыщенности практически одна и та же в обоих случаях. Количество же smen
+
жидкости, содержащейся при z = zres в уголковых менисках, при пропитке заметно больше, чем при дренаже. Причина в сильной зависимости
+
?
существенной (в a? ? 2 раза) разнице между zres и zres .
smen
от
z
и
Как правило, в изике почв игнорируют различие между кривыми азовой
проницаемости для дренажа и пропитки. Представленные на рис. 5,
b
результаты
в целом оправдывают это упрощение вне области малых насыщенностей. Принципиально важным для ряда теорий (см., например, [30?) является, однако, то,
что гистерезис всј-таки есть, и кривая азовой проницаемости при пропитке лежит ниже соответствующей дренажной кривой. Именно такое поведение азовых
проницаемостей наблюдается и в тщательно проведјнных лабораторных экспериментах [25, 31?.
5.
Кривая первичной пропитки
Первичная пропитка характеризуется высоким темпом роста влажности изначально сухой пористой среды. В то же время увеличение плјночной и уголковой
составляющих насыщенности, а также механизм snap-o заполнения пор являются медленными процессами. Скорость их протекания лимитируется большим гидравлическим сопротивлением плјнок и менисков по сравнению с гидравлическим
сопротивлением заполненных пор. Естественно поэтому при описании первичной
пропитки пренебрегать указанными медленными механизмами повышения влажности, считая, что они не успевают проявиться в течение изучаемого процесса в
силу его высокого темпа. Единственными учитываемыми механизмами заполнения
капилляров и узлов решјтки при этом остаются поршневое вытеснение в капиллярах и кооперативное заполнение узлов.
В отличие от предыдущего, описание процесса при этом удобнее проводить,
рассматривая в качестве первичного элемента узел, а не капилляр. Функция
Fs (L)
70
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
распределения узлов по размерам строится, исходя из аналогичной ункции
Fn (L)
для капилляров:
Fs (L) = FnZ (L).
(27)
Подобно тому, как это было сделано ранее для капилляров, введјм в рассмотрение ункции
??(p)
и
??(p, L)
как численные доли заполненных узлов при данном
уровне давления среди всех узлов образца и среди узлов размера
но. Функции
??(p, L)
и
?(p, L)
рассуждениями. ассмотрим капилляр размера
L1 > L
и
L2 > L .
L
соответствен-
можно связать друг с другом следующими простыми
L . Он соединяет два узла размера
При этом
вероятность
{Lk < L? } =
?
?0,
L? < L,
?F Z?1 (L? ),
k = 1, 2.
(28)
L? > L,
n
В силу того, что заполнение узла эквивалентно заполнению всех пересекающихся в нјм капилляров, выделенный капилляр
L1 , L2
тогда, когда хотя бы один из узлов
L
будет заполнен тогда и только
заполнится. Отсюда, с учјтом (28)
следует, что
?(p, L) = 1 ? (1 ? x)2 ,
x = FnZ?1 (L)??(p, L) +
В свою очередь, ункция
?(p, L)
Z
?
L
??(p, L? ) dFnZ?1 (L? ).
(29)
определяет, как и прежде (см. (7)), насыщен-
ность образца при данном уровне давления
s = S(p) =
Z
?
?(p, L)fv (L) dL.
(30)
0
В ормуле (30) по сравнению с (7) пренебрежено дополнительно плјночной и
уголковой составляющими насыщенности.
Таким образом, для вычисления кривой первичной пропитки по (29), (30) остајтся определить
??(p, L) .
С этой целью обозначим через
fk (??) = CZk (1 ? ??)k ?? Z?k ,
CZk =
Z!
k!(Z ? k)!
Z ? k узлов, соседствующих с данным, заполнены
??(p, L) в виде
?
?
f1 + f2 + . . . + fZ?1 , p > pZ?1 ,
?
?
?
?
?
pk < p < pk+1 ,
?f 1 + f 2 + . . . + f k ,
??(p, L) = . . .
?
?
?f 1 ,
p1 < p < p2 ,
?
?
?
?0,
p < p1 ,
вероятность того, что
Ik ).
Представим
обозначив
pk = ?ak ?/L .
(31)
Воспользовавшись далее тем, что
??(p) =
и проинтегрировав (31) по
??(p) .
(событие
L,
Z
?
0
??(p, L)dFnZ (L),
(32)
получим алгебраическое уравнение для нахождения
В прежней безразмерной переменной
?? =
Z?1
X
k=1
z = ??/pL0
fk (??)FNZ (ak z).
оно записывается как
(33)
71
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИДАВЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. . .
1
0.8
?
?
*
0.6
?
?
0.4
0.2
0
z
z**
*
40
50
60
70
z
ис. 8. Зависимость доли заполненных узлов
??
от безразмерного давления
z
Можно показать, что при любом значении Z и произвольном выборе a1 > a2 >
> . . . > aZ?1 > 0 решения этого уравнения устроены одинаково. Помимо тривиального решения ?? = 0 , имеющегося при любом значении z , уравнение (33) обладает
ещј одним решением при z > z? и двумя решениями на интервале z ? (z?? , z? ) .
Величину z? можно найти, устремив в (33) ?? к нулю. Учитывая, что fZ?1 =
= Z ?? + O(?? 2 ) и fk = O(?? 2 ) при k < Z ? 1 , получим следующее условие для
определения z? :
FNZ (aZ?1 z? ) = 1/Z.
Значение ??? можно найти, устремив в (33) z к бесконечности. При этом велиFNZ (ak z) в правой части (33) обращаются в единицу, сама правая часть после
Z
Z
суммирования оказывается равной 1 ? ?? ? (1 ? ??) . В результате ??? находится
чины
как решение уравнения
??? = 1 ? ???Z ? (1 ? ??? )Z .
???
z? ak .
Типичные результаты расчета ункции ??(z) представлены на рис. 8. Координационное число Z принималось равным 4, величины ak определялись согласно [12?:
a1 = 1.7 , a2 = 1.15 , a3 = 0.7 .
Насыщенность s выражается через решение ??(z) уравнения (33) по ормуЗаметим, что
определяется лишь координационным числом решјтки, а
дополнительно еще и наименьшей из величин
лам (29)(31).
Многозначность зависимости
??
от давления является чрезвычайно важным и
интересным актом. Она приводит к неоднозначной зависимости насыщенности
от давления, или, что то же самое, к немонотонности кривой
p = P (s)
первичной
пропитки. Соответствующая кривая, построенная для среды 20/30, представлена
на рис. 5,
a
штриховой линией. Очевидно, что возрастающая часть этой кривой
неустойчива и не может быть изически реализована. Переход из сухого во влажное состояние может осуществиться лишь скачком, переводящим изначально сухую
среду в состояние, близкое к полному насыщению. Насыщенность при этом вычис2
ляется явно через предельное значение ??? как s? = 1 ? (1 ? ??? ) . При Z = 4 имеем
s? = 0.923 ,
а с изменением координационного числа величина
щественно; так при
всех случаях
s?
Z =5
и
6
значение
s?
равно
0.94
и
0.95
s?
меняется несу-
соответственно. Во
заметно превышает остаточную по воздуху насыщенность
главной кривой пропитки.
sair
для
72
Б.Э. ООЛАШВИЛИ, А.. ЕООВ
Характерная полка давления на кривой первичной пропитки, соединяющая состояние нулевой насыщенности с близким к полному насыщению состоянием отмечается практически всеми исследователями, работающими с лабораторными песками. азвитая здесь теория дајт этому акту изическое объяснение.
Авторы благодарны проессору . ДиКарло за представленный экспериментальный материал и проессору Дж.Л. ?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
408 Кб
Теги
среднего, среды, вычисления, приближение, пористой, решетчатой, функции, гидравлический, модель, поля
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа