close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вычисление компонентов хеджирующего портфеля для некоторых платежных обязательств заданных в финальный момент времени финансового рынка с бесконечным числом состояний.

код для вставкиСкачать
УПРАВЛЕНИЕ
Keywords: S&T reserves, Public-Private Partnership, federal target programs, program-oriented
planning, Government program of arms.
Karine Surenovna Khachaturian, Ph.D., Professor, Department of Finance and Credit,
Moscow Vitte University
Аlexsey Еvgenievich Nikolaev, Ph.D., Associate Professor, Department of Economic Theories and
Military Economy, Military University, Moscow
УДК 519.217
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ХЕДЖИРУЮЩЕГО ПОРТФЕЛЯ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПЛАТЕЖНЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ,
ЗАДАННЫХ В ФИНАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ
ФИНАНСОВОГО РЫНКА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СОСТОЯНИЙ
Виктория Викторовна Шамраева, к.ф.-м.н., зам. зав.
кафедрой математики и информатики
Тел.: 783-68-48 (доб. 4129), e-mail: vshamraeva@miemp.ru,
Московский университет им. С.Ю. Витте
http://www.muiv.ru
Определение самофинансируемого портфеля, реплицирующего некоторое платежное
обязательство f является одним из важнейших направлений исследования финансовых рынков. В данной работе на одной модели рынка с бесконечным числом состояний просчитаны
компоненты хеджирующего портфеля для некоторых платежных обязательств.
Ключевые слова: финансовый рынок, бесконечное число состояний, мартингальные меры, ослабленное свойство универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ),
ослабленное условие несовпадения барицентров (ОУНБ), самофинансируемый портфель, полный капитал, платежное обязательство.
Рассмотрим одношаговый (B,S)-рынок, заданный на стохастическом базисе (Ω,F ) . Здесь, B – детерминированные цены
банковского счета; S – цены акций;  – счетное пространство
элементарных событий; F  (F0 ,F1 ) – одношаговая фильтрация
(интерпретируется как «поток информаций», доступных на рынке в начальный и финальный момент времени). Отметим, что
начальная -алгебра тривиальна, то есть F0  {Ω} , а F1 порождена разбиением Ω на счетное число атомов Ai , i  1, 2, . (понимаемых как различные состояния рынка). Рассмотрим Fадаптированный случайный процесс Z  Z k ,Fk 1k 0 , который мы
мыслим
как
дисконтированную
стоимость
акции
( Z 0  a, Z1  Ai   bi , i  N ). Обозначим через P( Z , F ) множество
невырожденных мартингальных мер этого рынка, совпадающее с
множеством решений следующей системы:

 p i  1
 i 1

  bi pi  a
 i 1
 pi  0, i  N .


О стратегиях на финансовом рынке, приносящих прибыль при нулевых начальных затратах, говорят, что они имеют арбитражные стратегии. (B,S)-рынок, на котором отсутствуют такие стратегии, называется безарбитражным. Если любое платежное обязательство (п.о.) реплицируемо, то (B,S)-рынок называется полным. Будем
40
Вестник Московского университета имени С. Ю. Витте. Серия 1: Экономика и управление2014’1(7)
УПРАВЛЕНИЕ
предполагать, что inf bi  a  sup bi , что гарантирует безарбитражность и неполноту исi
i
ходного финансового рынка.
Рассмотрим на (, F) специальные хааровские фильтрации (с.х.ф.) Η  H n n 0 ,
где Η 0  F0 , Η   F1 и у которых каждая -алгебра Hn порождается разбиением  на
ровно n+1 атом, причем на каждом шагу дробится тот атом, который был получен в результате дробления на предыдущем шаге. Таким образом, каждая такая фильтрация Η
интерполирует фильтрацию F . На рисунке представлена типичная схема специальной
хааровской интерполяции ):
Если для любой специальной хааровской фильтрации Η фильтрации F соответствующий процесс Yn  E P Z1 H n  допускает единственную мартингальную меру, совпадающую с исходной мерой P, то будем говорить, что мера P P( Z , F) обладает ослаб-
ленным свойством универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ). Заметим, что
это свойство равносильно ослабленному условию несовпадения барицентров (ОУНБ)
[1]. В [2] для рассматриваемой модели финансового рынка найдены достаточные условия того, что рынок обладает мартингальными мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ.
Там же смоделирован рынок и мартингальная мера на нем с удобными для вычислений
значениями параметров.
Пусть мера P P( Z , F ) удовлетворяет ОСУХЕ. Покупатель и продавец платежного обязательства (п.о.) договорились исчислять его цену усреднением п.о. по этой мере.
n 1
Количество единиц банковского счета обозначим через  n    nk I A   nn I B , а количеk 1
k
n 1
n 1
ство акций в момент времени n через  n    nk I A   nn I B . Определим портфель  как
k 1
k
n 1
двумерную предсказуемую последовательность  n ,  n n 0 , где  n n0 и  n n 0 предсказуемые относительно Hn последовательности ([4], гл.II, §1b). При этом
 n   nn   nn 1  ... ,  n   nn   nn 1  ... , n  0,1,2,3,... Для канонического хеджа получены ([7])
следующие вычислительные формулы компонент самофинансируемого портфеля  :

 nk  0 , k=1,2,…,n-1,  nn 

cn  cˆn 1 cˆn  cˆn 1

bn  bˆn 1 bˆn  bˆn 1
и
Вестник Московского университета имени С. Ю. Витте. Серия 1: Экономика и управление2014’1(7)
41
УПРАВЛЕНИЕ
 nk  ck , k  1,2,..., n  1 ,  nn  cn   nnbn  cˆn   nnbˆn ,

, b̂n =  b p , а

 ck pk
где ĉn = k n1
k  n 1


p
Процесс



k  n 1
k
k
i 1
p
k
k  n 1

f   ci I Ai – ограниченное п.о.
k
есть полный капитал портфеля    n ,  n n 0 , где


X  X n , H n n 0
X n  E P f H n . Реплицирование п.о.
f и полноту интерполирующего рынка Y будет
обеспечивать выполнение P -п.н. равенства lim X n  f (последнее вытекает из общей
n 
теоремы 1.17 в [3]).
Возьмем в качестве меры P, bi и а значения из примера, построенного в [2]. А
именно, пусть P=(2/3; 1/4;1/16;1/64; …), b1=1 < a=5/3 <b2=2< b3=4 < b4=8 < b5=16 < …..
В [2] показано, что такая мера P, bi и а, обладает ОСУХЕ. Вычислим
Имеем,

b p
bˆ0 
k
k 1

p
k 1
bˆ2 
k 3

p
k 3
для n=0,1,2,…

k
a
5, ˆ
b 
3 1
b p
k 2

k
p
k
k 2
k

1
,
3
13
k


b p
k
b̂n
k
,
1
2  6 bˆ3 
1
12

k
b p
k 4

k
p
k 4
k
k

1
1
4  12 ,
48
….,

bˆn 
b p
k  n 1

k
k
p
k  n 1
k
1

2n 1  1  3  4n 1  3  2n 1 ,
1
2n 1
3  4n 1
Просчитаем компоненты самофинансируемого портфеля    n ,  n n  0 для некоторых п.о. (в [6, 7] компоненты таких п.о. приведены в окончательном виде без вспомогательных выкладок).
1. Пусть п.о. f  I A . Имеем, начальный капитал X0= pk=1/4k-1, Xn= I An , n=k,k+1,….

k
Рисковые и безрисковые составляющие портфеля имеют вид:
n 1
 n    nk I A   nn I B
k 1
42
k
n 1
pk

n 1
,

b1 p1

 p k 1 I B ,
n2
 b2 p1 1

 pk 2 I ,
n3
 b3 p1 B2

...

  p k  m 1 I , n  m ,
 bm p1 Bm 1

...
 p
2
I Bk  2 , n  k  1,

 bk 1 p1

1
I Bk 1 , n  k

3
b

k p1
0 ,
n  k 1

Вестник Московского университета имени С. Ю. Витте. Серия 1: Экономика и управление2014’1(7)
УПРАВЛЕНИЕ
n 1
 n    nk I A   nn I B
В частности, если п.о.
n 1
k
k 1
 pk
n 1
 p ,
1

 pk 1 I B ,
n2
 p1 1

 pk  2 I ,
n3
 p1 B2

...

  pk m1 I , n  m
Bm 1

p1

...
 p2
I Bk 2 , n  k  1

 p1
1
nk
 I Bk 1 ,
 p1
I A ,
n  k 1
 k
f  I A1 . Имеем,

cˆ0 
c
k
pk
k 1

p
 p1 
2
3
,
cˆ1  0 , значит
k
k 1
cˆ  cˆ
2 3
1
  1 0

ˆ
ˆ
5
2
b1  b0 3 
3
1
1
и 11  сˆ1   11bˆ1  0    1 3  3 . Поскольку cˆn  0 , n=2,3,…, то
 2
2
 nk  0 ,
k и  n1  c1  1 ,  nk  0 , для n=2,3,…, k=2,3,…. Окончательно,
 1
n 1
3
n 1

 n    nk I A   nn I B    2 , n  1 ,  n    nk I A   nn I B   2 , n  1 .
k
k 1
n 1
0,
n2
k 1
n 1
k
 I A1 , n  2
При этом начальный капитал X0=p1=2/3, Xn= I A1 , n=1,2,…
Для п.о.
f  I A2 , имеем:


cˆ0 
c
k 1

k
pk
p
k 1
k
1,
cˆ1 
 p2 
4
c
k
pk
k 2

p
k

p2 1 3 3 ,
  
1
4 1 4
3
cˆn  0 , n=2,3,…
k 2
Значит
3 1
3 3
69
3
cˆ1  cˆ0
4  1  3  3 , 11  сˆ1   11bˆ1   3 

 
 4
5
4 8
8
8
2 4 8
bˆ1  bˆ0
3
3
1
1
и
3
3 1
1
cˆ2  cˆ1 0  4
1
3
 

     ,  22  сˆ2   22bˆ2  0    6  .
ˆ
ˆ
63
4 3
4
2
b2  b1
 4
2
2
Таким образом,
3
2
 11  ,  2  
8
1
3
,  nk  0 , k<n, k=1,2,…., n=2,3,… и 11   3 ,  22  ,  n2  c2  1 ,
4
2
8
k
 n  0 , для n=3,4,…,  k<n, k2.
Окончательно,
Вестник Московского университета имени С. Ю. Витте. Серия 1: Экономика и управление2014’1(7)
43
УПРАВЛЕНИЕ
n 1
 n    nk I A   nn I B
n 1
k
k 1
3
 3
n 1
 8,
 8 , n 1
n1
 1
.
  I , n  2 ,  n    nk I A   nn I B   3
IB , n  2
k 1
 4 B1
2
0,
I , n  3
n
3


 A
n 1
k
1
2
При этом начальный капитал X0= p2=1/4, X1=3/4 I B1 , Xn= I A2 , n=2, 3, …
2. Рассмотрим опцион-call европейского типа с п.о.
Z  Z 0 , если Z1  Z 0
,
f  ( Z1  Z 0 )    1
если Z1  Z 0
0,
где контрактная цена K=Z0=5/3. Поскольку Z1(Ai)=bi=2i-1 > Z0=a=5/3, i≥2, а

Z1(A1)=b1=1<Z0=a=5/3, то f   (bi  a )  I A . В этом случае с1=0, ci=bi-a, i≥2,

cˆ0 
i
i 2

 c p  (b  a) p
i
i 1

i
p

i

p
i
i 1
i
i2
i
i 1



i 2
i2
i2
  (bi  a) pi   bi pi  a  pi 
 a  b1 p1  a (1  p1 )  a  b1 p1  a  ap1  p1 (a  b1 ) ,

cˆn 1 
 ci pi
in

p


 (bi  a) pi
in
i
in

p



in
i n

in

bˆ0 
b p
i 1

 11 
i
p
i 1
Значит,
i

p
i
i n

 bi pi  a pi
i
b p
in

i
i
p
in
a,
i

 a , bˆn 1 
i
b p
in

i
i
p
i n
.
i
c1  cˆ0 0  p1 (a  b1 )
 p1 ,

b1  a
b1  bˆ0
 nk  0 , k=1,2,…,n-1, n=2,3,…
 nn 
cn  cˆn 1
bn  bˆn 1

 

  bi pi
bn  a   i n
 a



  pi
  1 , n=2,3,…
 i n


bi pi

bn  i n
 pi
i n
a
11  c1   11b1  0  p1b1   p1b1 ,
k 1
 0,
, n=2,3,…,
bk  a, k  2,..., n  1
 nk  ck  
 nn  cn   nnbn  bn  a  bn   a .
Таким образом,
n 1
n  1,
 p1b1 ,
n 1
 p1 , n  1,

 n    nk I A   nn I B   n1
(b  a ) I A  aI B , n  2.
k 1
 I Bn1 , n  2,
  k
 n    nk I A   nn I B  
k 1
44
k
n 1
k
n 1

k 2
k
n 1
Вестник Московского университета имени С. Ю. Витте. Серия 1: Экономика и управление2014’1(7)
УПРАВЛЕНИЕ
При этом начальный капитал

X0  E
P
f
H0  
c
k 1

k
pk
p
k 1
k



k 2
k 2
k 2
  (bk  a) pk   bk pk  a  pk 
2 5
4
(  1)  .
3 3
9
Таким образом, с применением процедуры хеджирования платежного обязательства, использующей интерполяцию неполного безарбитражного рынка полным рынком
(метод хааровских интерполяций), определены эволюции капиталов некоторых финансовых обязательств и рассчитаны компоненты соответствующих реплицирующих самофинансируемых портфелей.
 a  b1 p1  a (1  p1 )  p1 ( a  b1 ) 
Литература
1. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской
единственности // ОПиПМ. – М.: ТВП, 2004. Т. 11. Вып. 3. С. 506-508.
2. Павлов И.В., Цветкова И.В., Шамраева В.В. Некоторые результаты о мартингальных
мерах одношаговых моделей финансовых рынков, связанные с условием несовпадения барицентров // Вестник РГУПС. 2012. № 3. С. 177-181.
3. Ширяев А.Н., Чёрный А.С. Векторный стохастический интеграл и фундаментальные
теоремы теории арбитража // Труды математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2002.
Т. 237. С. 7-11.
4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. – М:
ФАЗИС, 1998. Т. 1. – 512 с.
5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория. – М.: ФАЗИС,
1998. Т.2. – 544 с.
6. Цветкова И.В., Шамраева В.В. Расчёт компонентов хеджирующего портфеля с помощью процедуры хааровской интерполяции // Науковедение: Интернет-журнал. 2013. №3 (16).
7. Павлов И.В., Цветкова И.В., Шамраева В.В. Хеджирование одношаговых (В,S)рынков с бесконечным числом состояний с помощью хааровских интерполяций (научный доклад) // ОПиПМ, М.: ТВП, 2013, Т. 20. Вып. 2. С. 151-152.
The calculation of components of hedging portfolio for payment obligations fixed at final time
moment of financial market with infinite number of states
Finding the self-financing portfolio replicating some payment obligation f is one of important directions of financial market research. The method of the calculation of components of hedging portfolio
for several kinds of payment obligations for the model of financial market with infinite number of
states is presented in the article.
Ключевые слова: Financial market, martingale measure, the weakened property of the universal
Haar uniqueness, self-financing portfolios, capital of portfolio, contingent claim
Victoria Victorovna Shamraeva, Associate Professor, «Mathematics and Informatics» Chair, Moscow
Vitte University
Вестник Московского университета имени С. Ю. Витте. Серия 1: Экономика и управление2014’1(7)
45
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа