close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гарантированное оценивание параметров процесса Arch(p).

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 4(13)
УДК 519.2
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
ГАРАНТИРОВАННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ПРОЦЕССА ARCH(p)1
Предложена последовательная процедура оценивания параметров процесса
ARCH(p), основанная на методе наименьших квадратов. Выбор весовых коэффициентов и правила остановки гарантирует точность оценивания. Исследованы асимптотические свойства оценки. Работоспособность процедуры подтверждена численным моделированием.
Ключевые слова: процесс ARCH(p), метод наименьших квадратов, гарантированное оценивание.
Процессы с условной неоднородностью (ARCH- и GARCH-модели) находят
широкое применение при обработке эконометрических данных, например при
описании волатильности финансовых индексов. Задача оценивания параметров
таких моделей является сложной задачей, поскольку эти процессы являются существенно нелинейными. Особый интерес представляет построение оценок, обладающих гарантированным среднеквадратическим уклонением. Возможность построения таких оценок появляется при переходе к последовательным планам оценивания. В данной работе предлагается метод получения оценок неизвестных параметров процесса ARCH(p) и исследуются их асимптотические свойства.
1. Постановка задачи
Рассматривается случайный процесс ARCH(p)
xl = σl εl ;
σl2 = λ 0 + λ1 xl2−1 + … + λ p xl2− p .
(1)
Здесь {εl }l ≥1 – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Параметры
Λ = [λ 0 ,… , λ p ] неизвестны. Ставится задача по наблюдениям за процессом {xl }
оценить вектор неизвестных параметров Λ с гарантированной точностью.
2. Последовательная оценка параметров
Для процесса (1) при p = 1 в [1] была предложена гарантированная последовательная процедура гарантированного оценивания параметров, основанная на идее,
предложенной в [2] для классификации процессов авторегрессии с неизвестной
дисперсией. Модифицируем процедуру для процесса произвольного порядка.
Представим процесс (1) в виде
xl2 = σl2 + σl2 (εl2 − 1).
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-08-00595-а.
Гарантированное оценивание параметров процесса ARCH(p)
41
Введем обозначения B 2 = M (εl2 − 1) 2 , ηl = (εl2 − 1) /B и, учитывая (1), получим
(
)
xl2 = λ 0 + λ1 xl2−1 + … + λ p xl2− p + λ 0 + λ1 xl2−1 + … + λ p xl2− p Bηl .
(2)
Здесь {ηl }l ≥1 – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с M ηl = 0 , M ηl2 = 1 . Процесс (2) является процессом авторег-
(
рессии первого порядка, дисперсия шумов которого λ 0 + λ1 xl2−1 + … + λ p xl2− p
)
2
B2
неизвестна и, более того, не ограничена сверху. Преобразуем далее процесс (2).
Введем обозначения
yl2−1
= max
{
1, xl2−1 ,… , xl2− p
},
zl =
xl2
yl2−1
T
, al −1
⎡ 1 x2
xl2− p ⎤
= ⎢ 2 , l2−1 ,… , 2 ⎥ .
yl −1 ⎥⎦
⎢⎣ yl −1 yl −1
(3)
Перейдем теперь к случайному процессу {zl } вида
zl = Λal −1 + Λal −1 Bηl .
(4)
Так как Λal −1 ≤ λ 0 + … + λ p , данный процесс обладает ограниченной дисперсией
шумов.
Поставим задачу оценки вектора параметров Λ процесса (4). Используем для
построения оценки модифицированный метод наименьших квадратов. Оценка параметров строится в два этапа.
На первом этапе на интервале [ p + 1, n] вычисляется статистика Γ n , затем она
используется для компенсации неизвестной дисперсии помех. Для определения
вида Γ n преобразуем процесс (2). Введем обозначения
2
y l −1 =
min
{
1, xl2−1 ,… , xl2− p
},
xl2
T
⎡ 1 x2
xl2− p ⎤
= 2 , a l −1 = ⎢ 2 , l2−1 ,… , 2 ⎥ .
y l −1
y l −1 ⎦⎥
⎣⎢ y l −1 y l −1
xl2
В этом определении требуется, чтобы наблюдения xl −1 ,… , xl − p на промежутке
[1, n] были отличны от нуля, иначе можно выбрать первый промежуток, для кото-
{ }
рого верно это условие. Случайный процесс xl2 имеет вид
xl2 = Λal −1εl2 .
(5)
Очевидно, что Λal −1 ≥ λ 0 + … + λ p . Тогда Γ n можно выбрать в одной из двух
форм:
−2
2
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
⎜
⎟
a) Γ n = Cn ⎜ ∑ x l2 ⎟ , Cn = B 2 M ⎜ ∑ εl2 ⎟ ;
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ l = p +1 ⎠
⎝ l = p +1
⎠
b ) Γ n = Cn
n
∑
l = p +1
4
xl ,
Cn = B
2
⎛ n
⎜
M⎜
εl4
⎜ l = p +1
⎝
∑
⎞ −1
⎟
⎟ .
⎟
⎠
(6)
Плотность распределения шумов {εl } должна быть такова, чтобы существовала
константа Cn в (6). Типы таких плотностей рассмотрены в [2].
42
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
Пример. Если случайные величины {εl }l≥1 имеют стандартное нормальное
распределение и множитель Γ n выбирается в форме a) , то сумма
n
∑
l = p +1
εl2 имеет
2
распределение хи-квадрат с n − p степенями свободы и B = 2 . Тогда константа
Cn имеет вид
+∞
2
Cn = ( n − p ) / 2
x( n − p ) / 2−3e− x / 2 dx =
∫
2
Γ (( n − p ) / 2) 0
2
2
=
Γ (( n − p ) / 2 − 2) =
4Γ ( ( n − p ) / 2 )
( n − p − 2 )( n − p − 4 )
и определена для n − p ≥ 5 .
Из соотношений (6) следует, что
1
1
M
≤
.
2
Γ n B ( λ + … + λ )2
p
0
(7)
На втором этапе строится собственно оценка параметров, которая имеет вид
⎛
Λ∗ ( H ) = ⎜⎜
τ
∑
⎜
⎝ l = n +1
⎞
vl zl +1alT ⎟⎟ A−1 (τ),
⎟
⎠
A(k ) =
k
∑
l = n +1
vl al alT ,
(8)
где τ – случайный момент остановки, определяемый следующим образом:
τ = min{k ≥ n + 1 : ν min (k ) ≥ H },
(9)
ν min (k ) – минимальное собственное значение матрицы A(k ) . Определим веса vl .
Пусть m – минимальное значение k, при котором матрица A(n + k ) не вырождена. На интервале [n + 1, n + m − 1] веса имеют вид
1
⎧
, если al линейно независим с {an +1 ,…, al −1};
⎪
vl = ⎨ Γ n alT al
⎪
0,
иначе.
⎩
(10)
На интервале [n + m, τ − 1] веса vl определяются из условия
k
ν min (k )
= ∑ vl2 alT al .
Γn
l =n+ m
(11)
Вес в момент τ определяется из условий
τ
ν min (τ)
≥ ∑ vl2 alT al , ν min (τ) = H .
Γn
l =n+ m
(12)
Теорема 1. Если существует константа Cn в (6), то момент остановки τ( H )
конечен почти наверное, среднеквадратическое отклонение оценки Λ∗ ( H ) от истинного значения параметров оценивается сверху величиной
2
H+p
M Λ∗ ( H ) − Λ ≤
.
(13)
H2
Гарантированное оценивание параметров процесса ARCH(p)
43
Доказательство. Согласно [2], момент остановки τ( H ) (9) конечен почти наверное, если
∞
∑ vl2 alT al = ∞ п.н.
(14)
l =1
Для сходимости почти наверное ряда в (14) необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие [3]
⎧∞
⎫
∀ε > 0 : P ⎨∑ vl2 alT al ≥ ε ⎬ ⎯⎯⎯
→ 0.
k →∞
⎩l = k
⎭
Так как alT al > 1 , это условие может выполняться только при vl → 0 по вероятности. Перепишем уравнение для определения весовых коэффициентов (11) в виде
[4]
ν min (k ) 1
ν (k − 1) 2 T
=
min xT A ( k − 1) + vk ak akT x = min
+ vk ak ak .
Γn
Γ n x: x =1
Γn
(
)
Отсюда получаем, что для собственного вектора bk : bk = 1 матрицы A ( k ) , соответствующего собственному значению ν min ( k ) , верно
(
vk2 Γ n akT ak − vk akT bk
) − ( bkT A ( k − 1) bk − ν min (k − 1) ) = 0 .
2
Решая квадратное уравнение, получаем, что оно имеет два корня, один из которых
не положителен, а второй – не отрицателен. Коэффициент vk равен большему
корню и имеет вид
vk
( akT bk )
=
2
+
( akT bk )
4
(
+ 4Γ n akT ak bk T A ( k − 1) bk − ν min ( k − 1)
2Γ n akT ak
) ≥ ( akT bk )
2
Γ n akT ak
.
(15)
Из соотношения (15) видно, что vk → 0 , если косинус угла между векторами bk и
ak стремится к нулю, т.е. когда вектор наблюдений ak ортогонален собственному вектору матрицы A ( k ) . Учитывая, что при vk → 0 матрица A ( k ) меняется
незначительно и малые изменения матрицы приводят к малым изменениям собственных векторов [4], то ak в этом случае стремится к определенному вектору, что
противоречит (1) – (3).
Рассмотрим среднеквадратическое отклонение оценки Λ∗ ( H ) от истинного
значения вектора параметров. Используя (4), неравенство Коши – Буняковского,
соотношение || A(k ) ||≥ ν min (k ) и (12), получаем
*
M Λ (H ) − Λ
2
=M
τ
∑(
l = n +1
≤M
τ
∑(
l = n +1
Λvl al alT Bηl +1
)
Λvl al alT Bηl +1
2
−1
A ( τ)
2
≤
1
H2
M
)A
2
−1
τ
∑
l = n +1
( τ) ≤
2
Λvl al alT Bηl +1
Рассмотрим второй множитель, учтем, что Λal ≤ λ 0 + … + λ p .
.
(16)
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
44
2
τ
∑
M
l = n +1
Λvl al alT Bηl +1 ≤
τ
τ
l −1
⎛
⎞
2
(17)
≤ ( λ 0 + … + λ p ) B 2 ⎜ M ∑ vl2 alT al ηl2+1 + 2M ∑ ∑ vk vl akT al ηk +1ηl +1 ⎟ .
⎝ l = n +1
⎠
l = n + 2 k = n +1
Оценим первое слагаемое. Для этого введем усеченный момент остановки
τ( N ) = min{τ, N } . Очевидно, что τ( N ) → τ при N → ∞ . Рассмотрим случайную
величину
τ( N )
∑
l = n +1
vl2 alT al ηl2+1 ,
отличающуюся от суммы в первом слагаемом в (17) только верхним пределом.
Пусть Fl = σ(ε1 ,…, εl ) – σ -алгебра, порожденная случайными величинами
{ε1 ,…, εl } , тогда τ , определенный в (9) – марковский момент относительно {Fl } .
Используя свойства условных математических ожиданий, получаем
τ( N )
M
∑
l = n +1
vl2 alT al ηl2+1 = M
=M
N
∑
l = n +1
N
∑
l = n +1
vl2 alT al χl ≤τ ηl2+1 = M
{
}
N
∑
l = n +1
τ( N )
vl2 alT al χl ≤τ M ηl2+1 Fl = M
{
}
M vl2 alT al χl ≤τ ηl2+1 Fl =
∑
l = n +1
vl2 alT al .
Так как τ( N ) → τ при N → ∞ , отсюда с учетом (10) – (12) получаем
τ( N )
M
∑
l = n +1
vl2 alT al ηl2+1 ⎯⎯⎯
→M
N →∞
n + m −1
τ
∑
l = n +1
vl2 alT al =
τ
⎛ p H ⎞
⎛H + p⎞
= M ∑ vl2 alT al + M ∑ vl2 alT al ≤ M ⎜
+
⎟=M⎜
⎟.
⎝ Γn Γn ⎠
⎝ Γn ⎠
l = n +1
l =n+m
Аналогично можно показать, что второе слагаемое в (16) равно нулю. Подставляя полученные результаты в (17), а затем в (16) и используя (7), получаем
M Λ∗ ( H ) − Λ
2
≤
H+p
H
2
⎛ B 2 (λ 0 + … + λ p ) 2
M⎜
⎜
Γn
⎝
⎞ H+p
⎟≤
⎟
H2
⎠
(18)
Теорема доказана.
3. Асимптотические свойства оценки
Рассмотрим свойства предложенной оценки при больших значениях параметра H.
Теорема 2. Если шумы εl в (1) имеют конечный четвертый момент M εl4 < ∞ ,
то для квадрата отклонения оценки (8) от истинного значения имеет место неравенство
2 ⎞
⎛
⎧
⎜
B 2 ( λ1 + … + λ p ) ⎪⎫ ⎟
⎛ xH ⎞
2
⎪
P Λ∗ − Λ > x ≤ p ⎜⎜1 − 2Φ ⎜⎜
P
(19)
+
Γ
<
⎟
⎨ n
⎬ ⎟⎟ ,
pb 2 ⎟⎠
b2
⎜
⎟
⎝
⎪
⎪
⎩
⎭⎠
⎝
{
}
где Φ (⋅) – функция стандартного нормального распределения, b 2 > 1 .
Гарантированное оценивание параметров процесса ARCH(p)
45
Доказательство. Рассмотрим оценку (8). Используя (4), имеем
2
Λ∗ − Λ =
⎛ τ
⎜
vl
⎜
⎜
⎝ l =n+1
∑
2
⎞
τ
⎞
⎝ l =n+1
⎠
⎛
2
( Λal −1 + Λal −1 Bηl ) alT ⎟⎟⎟ A−1 (τ) − Λ = ⎜⎜⎜ ∑ vl Λal alT Bηl ⎟⎟⎟ A−1 (τ) .
⎠
Воспользовавшись
неравенством
Коши – Буняковского,
соотношениями
||A(k ) || ≥ ν min (k ) и (12), а также соотношением Λal ≤ λ 0 + … + λ p , получаем
Λ∗ − Λ
2
≤
B2 ( λ0 + … + λ p )
H2
2
τ
∑
l = n +1
vl .alT ηl +1 .
Отсюда
⎧⎪ B 2 ( λ 0 + … + λ p )
> x ≤ P⎨
H
⎩⎪
2
⎫⎪
T
η
v
a
∑ l. l l +1 > xH ⎬ =
l = n +1
⎭⎪
2
2
p
τ
⎧⎪ B ( λ 0 + … + λ p ) ⎛
⎫⎪
⎞
k
⎜
⎟
= P⎨
∑
⎜ ∑ vl . al ηl +1 ⎟ > xH ⎬ ≤
⎜
⎟
H
⎠
k =1 ⎝ l = n +1
⎩⎪
⎭⎪
2
p
⎧⎪ B 2 ( λ 0 + … + λ p ) ⎛ τ
⎞
xH ⎫⎪
k
⎜
⎟
≤ ∑ P⎨
η
>
v
a
⎬,
⎜ ∑ l . l l +1 ⎟
⎜
⎟
H
p ⎭⎪
⎝ l = n +1
⎠
k =1 ⎩
⎪
{
2
P Λ∗ − Λ
}
τ
где alk – k-я компонента вектора al .
Введем обозначение
τ
1
Xτ = Xτ (H ) =
H
∑
l = n +1
vl alk ηl +1 .
Найдем характеристическую функцию величины X τ . Здесь используется доказательство центральной предельной теоремы для мартингалов, приведенное в [5].
Введем обозначения
ζl = ζl ( H ) =
1
H
vl alk ηl +1χ[l ≤τ] ,
XN =
N
∑
l = n +1
ζl .
(20)
Очевидно, X N → X τ при N → ∞ почти наверное. Следовательно, для нахождения характеристической функции X τ требуется найти предел характеристической
функции X N . Для этого введем обозначение
E N (λ ) =
N
∏
(
)
M eiλζl Fl .
l = n +1
Лемма [5]. Если (для данного λ ) E N (λ) ≥ c(λ) > 0 , N > 1 , то для сходимости
(
(
)
)
M ⎜⎜⎝ eiλX N ⎟⎟⎠ → M eiλX достаточно сходимости по вероятности E N (λ) → M eiλX .
⎛
⎞
Проверим условия леммы.
E N (λ ) =
N
∏
l = n +1
M ⎡⎢⎣ eiλζl Fl ⎤⎥⎦ =
N
∏
k = n +1
1 + M ⎡⎢⎣ eiλζl − 1 − iλζ l Fl ⎤⎥⎦ .
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
46
Используя неравенство eiλx − 1 − iλx ≤ (λx) 2 / 2 , получаем
E N (λ ) ≥
=
N
∏ (1 − M ⎣⎢⎡ eiλζ
l = n +1
2
⎛
N ⎜
λvl alk χ[l ≤τ]
⎜
⎜1 −
2H
k = n +1 ⎜⎜
⎝
(
∏
)
l
N
) ∏ ⎜⎜⎝1 − 12 M ⎣⎢⎡( λζl )2 Fl ⎦⎥⎤ ⎟⎟⎠ =
l = n +1
− 1 − iλζ l Fl ⎦⎥⎤ ≥
⎛
⎞
(
)
2
⎧ N
⎛
λvl alk χ[l ≤τ] ⎞⎫
⎪
⎜
⎟⎪ .
= exp ⎨ ∑ ln ⎜ 1 −
⎟⎟ ⎬
2
H
⎪l = n +1 ⎜
⎪
⎩
⎝
⎠⎭
⎞
⎟
M ηl2+1 ⎟⎟
⎟⎟
⎠
Поскольку 0 ≤ alk ≤ 1 , то (λvl alk ) 2 χ[l ≤τ] /H → 0 при H → ∞ . Используя неравенство ln(1 − x) ≥ −2 x , где x ∈ (0,1/ 2] , для всех H ≥ H 0 (λ ) получаем
(
⎧ min( N ,τ) λv a k
l l
⎪
E (λ ) ≥ exp ⎨− ∑
H
⎪ l = n +1
⎩
N
)
2
⎫
2
⎧
⎪
⎪ λ
⎬ ≥ exp ⎨⎪ −
⎪
⎩ H
⎭
τ
∑ ( vl alk )
l = n +1
2 ⎫⎪
⎬.
⎪
⎭
Учитывая (12), окончательно имеем
⎧⎪ λ 2 H ⎫⎪ −λ 2 / Γn
.
E N (λ ) ≥ exp ⎨−
⎬=e
⎪⎩ H Γ n ⎪⎭
Исследуем теперь асимптотическое поведение E N (λ ) . Представим эту величину в виде
⎧
E N (λ ) = exp ⎪⎨
N
∑
⎪
⎩ k = n +1
N
⎧
× exp ⎨⎪ −
M ⎡⎢⎣ eiλζl
⎪
⎩ l = n +1
∑
⎫
M ⎡⎣⎢ eiλζl − 1 − iλζ l Fl ⎤⎦⎥ ⎪⎬ ×
⎪
⎭
⎫ N
− 1 − iλζ l Fl ⎤⎥⎦ ⎬⎪
⎪
⎭ l = n +1
∏ (1 + M ⎡⎢⎣ eiλζ
)
− 1 − iλζ l Fl ⎤⎥⎦ .
l
(21)
Рассмотрим произведение последних двух множителей и покажем, что оно стремится к единице. Введем обозначение α l = M ⎡⎢⎣ eiλζl − 1 − iλζ l Fl ⎤⎥⎦ . Воспользовавшись неравенством | e x − 1 |≤ e| x| | x | , имеем
N
∏
l = n +1
N
⎧
⎪
(1 + αl ) e −αl − 1 = exp ⎪⎨⎪ln
⎪⎩
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎩⎪
≤ exp ln
N
∏
(1 + αl ) e
l = n +1
⎫
−αl ⎪⎪
⎬
⎪
⎭⎪
∏
⎫
⎪
(1 + αl ) e−αl ⎪⎬⎪ − 1 ≤
⎪⎭
l = n +1
N
ln
∏
(1 + αl ) e−αl .
l = n +1
2
Используя неравенство | ln(1 + x) − x |≤ 2 | x |
для | x |< 1/ 2
e iλ x − 1 − i λ x ≤
и
≤ (λx) 2 / 2 , для H > H 0 (λ) , получаем
N
ln
∏
(1 + αl ) e−αl ≤
l = n +1
N
=2
∑ ( M ⎡⎢⎣eiλζ
l = n +1
l
N
∑
l = n +1
ln (1 + αl ) − αl ≤ 2
N
∑
l = n +1
)
2
− 1 − iλζ l Fl ⎤⎥⎦ ≤
λ4
H
2
M
τ
| α l |2 =
∑ ( vl alk )
l = n +1
4
.
Гарантированное оценивание параметров процесса ARCH(p)
(
Так как vl alk
)
2
≤ 1 , учитывая (12), получаем, что
N
ln
∏
47
(1 + αl ) e−αl ≤
k = n +1
λ4
H2
τ
M
∑ ( vl alk )
2
λ4 ⎛ 1 ⎞
0.
M⎜
⎟ ⎯⎯⎯→
H →∞
H
⎝ Γn ⎠
≤
l = n +1
Значит, произведение двух последних множителей в представлении E N (λ ) (21)
стремится к единице по вероятности при N → ∞ , H → ∞ .
Рассмотрим первый множитель:
⎧ N
∑
⎪
exp ⎪⎨
⎩ l = n +1
⎧
= exp ⎪⎨ −
⎪
⎩
N
⎫
M ⎡⎣⎢ eiλζl − 1 − iλζ l Fl ⎤⎦⎥ ⎪⎬ =
⎪
⎭
⎧ N
⎫
2
⎪
⎡
Fl ⎤⎥ ⎪⎬ exp ⎨
M
⎢⎣ λζ l
⎦⎪
⎪
⎭
⎩ l = n +1
1
∑M (
2 l = n +1
∑
)
⎡
⎢ iλζl
⎢e
⎢
⎣
− 1 − iλζ l +
( λζl )2
⎤⎫
⎥⎪
(22)
Fl ⎥ ⎬ .
2
⎥⎪
⎦⎭
Воспользовавшись неравенством eiλx − 1 − iλx + (λx) 2 / 2 ≤| λx |3 / 6 , получаем
N
∑
l = n +1
⎡
⎢
( λζ l )2
⎢
⎣
2
M ⎢ eiλζl − 1 − iλζ l +
=
⎤
⎥
6H H
⎥
⎦
| λ |3 M | ηl +1 |3
6H H
N
1
Fl ⎥ ≤
N
∑
∑
3
⎡
l = n +1
⎤
M ⎢ λvk alk ηl +1 χ[l ≤τ] Fl ⎥ =
⎣⎢
⎦⎥
3
l = n +1
vl alk χ[l ≤τ] .
(
Последнее выражение стремится к нулю, что следует из неравенства vl alk
)
2
≤1 и
соотношений (12), а значит, второй множитель в (21) стремится к единице при
H → ∞ . Рассмотрим первый множитель:
⎧
exp ⎪⎨ −
⎪
⎩
2
⎧
⎫
1 N
⎪ λ
2
⎡
⎤⎪
(
)
exp
λζ
=
−
M
F
⎬
⎨
∑ ⎢ l l ⎦⎥ ⎪
⎪ 2H
2 l = n +1 ⎣
⎭
⎩
min{τ, N }
∑ ( vl alk )
l = n +1
2 ⎪⎫
⎬
⎪
⎭
⎧ 1
= exp ⎪⎨ − λ 2 X N
⎪⎩ 2
⎪⎫
⎬
⎪⎭
Отметим сначала, что, согласно (12), X N является ограниченным субмартингалом, следовательно, по теореме Дуба [5] с вероятностью 1 существует предел
X ∞ = lim N →∞ X N , причем X ∞ ≤ 1/ Γ n . С другой стороны, X N → X τ при
N → ∞ . Следовательно, X τ можно представить как α 2 / Γ n , где α ∈ (0,1] –
случайная величина. Окончательно имеем
2 2
⎪⎧ α λ ⎪⎫
lim lim E N (λ ) = exp ⎨−
⎬.
H →∞ N →∞
⎪⎩ 2Γ n ⎪⎭
Отсюда получаем, что случайная величина B ( λ1 + … + λ p ) | X τ | при H → ∞
имеет
асимптотически
2
нормальное
( λ1 + … + λ p ) / Γ n , причем,
P { B ( λ1 + … + λ p ) | X τ || X τ |> x} :
2
2
d =α B
2
распределение
дисперсией
согласно (7), Md ≤ 1 . Оценим теперь
lim P { B ( λ1 + … + λ p ) X τ > x} = 2 M
H →∞
с
2
1
2πd 2
∞
∫e
x
−t 2 / 2 d 2
dt.
Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков
48
Так как для любых d12 ≤ d 22 ≤ t
1
e−t
2πd12
2
/ 2 d12
≤
1
2πd 22
e−t
2
/ 2 d 22
,
то для любых значений 1 ≤ b 2 ≤ x
2M
1
2πd
∞
e
2 ∫
−t 2 / 2 d 2
∞
1
dt ≤ 2
2πb
x
2
∫e
− t 2 / 2b 2
{
}
dt + P d 2 > b 2 ≤
x
2
⎧
B 2 ( λ1 + … + λ p ) ⎫⎪
⎪
⎛x⎞
≤ 1 − 2Φ ⎜ ⎟ + P ⎨Γ n <
⎬.
⎝b⎠
b2
⎪⎩
⎪⎭
Отсюда получаем (19). Теорема доказана.
Пример. Если случайные величины {εl }l≥1 имеют стандартное нормальное
распределение и множитель
n
χ2 ( n − p ) =
∑
l = p +1
Γn
выбирается в форме (6а), то сумма
εl2 имеет распределение хи-квадрат с n − p степенями свободы.
2
Тогда B = 2 , а константа Cn = 2 ( n − p − 2 )( n − p − 4 )
n − p ≥ 5 , а искомая вероятность имеет вид
{
P Λ∗ − Λ
2
}
⎛
⎛
⎜
> x ≤ p ⎜1 − 2Φ ⎜⎜
⎜
⎝
⎝
и определена для
( n − p − 2 )( n − p − 4 ) ⎪⎫ ⎞⎟
xH ⎞
⎪⎧ 2
+
χ
−
<
P
n
p
(
)
⎟
⎨
⎬⎟ .
2b
pb 2 ⎟⎠
⎪⎩
⎪⎭ ⎟⎠
Для n − p ≥ 5 и b 2 ≥ 1,1 последнее слагаемое в скобке не превосходит 0,1. В частности, для
n− p = 6
и
b 2 = 1,5
эта величина минимальна на области
2
5 ≤ n − p ≤ 10; 1,1 ≤ b ≤ 2 и равна 0,033.
4. Результаты моделирования
Предложенный алгоритм был реализован на ЭВМ. Для каждого параметра H
проводилось 100 реализаций процедуры оценивания параметров процесса (1). В
следующей таблице приведен пример оценивания параметров процесса порядка
p = 2 при λ 0 = 0,9 , λ1 = 0,5 и λ 2 = 0,3 . Нормирующий множитель Γ n полагался равным единице.
H
20
40
60
80
100
λ̂ 0
λ̂1
λ̂ 2
0,9468
0,9969
0,9514
0,9954
0,9217
0,5921
0,5314
0,4613
0,4081
0,5192
0,1972
0,2362
0,2824
0,2967
0,3282
∆ˆ
1,0670
0,3835
0,2148
0,2098
0,1478
τ̂
τmax
72
131
193
253
309
137
210
313
410
424
Здесь λˆ i – средние оценки параметров, ∆ˆ – среднеквадратическое отклонение
вектора оценок от истинных значений параметров, τ̂ и τmax – среднее и максимальное время оценивания. Моделирование показало работоспособность проце-
Гарантированное оценивание параметров процесса ARCH(p)
49
дуры. Среднеквадратическое отклонение оценки от истинного значения параметра обратно пропорционально Н, что соответствует теоретическим результатам.
Кроме того, среднее и максимальное число наблюдений, необходимое для оценивания, растет линейно относительно Н, что говорит о хорошем качестве процедуры оценивания. Максимальное число наблюдений отличается от среднего не более чем в два раза и эта величина уменьшается с ростом Н.
В следующей таблице приведен пример оценивания параметров процесса порядка p = 3 при λ 0 = 0,9 , λ1 = 0,5 λ 2 = 0,3 и λ 3 = 0,1 . Нормирующий множитель Γ n полагался равным единице.
H
20
40
60
80
100
λ̂ 0
λ̂1
λ̂ 2
λ̂ 3
1,1525
0,8636
0,9578
0,9712
0,9515
0,4793
0,4724
0,5071
0,5223
0,4967
0,1836
0,3368
0,3230
0,2635
0,2605
0,0967
0,0888
0,0902
0,0647
0,1133
∆ˆ
1,3623
0,5805
0,4399
0,2859
0,2025
τ̂
τmax
87
144
212
282
339
166
227
356
432
422
Из таблицы видно, что среднеквадратическое отклонение вектора оценок от
истинных значений параметров, как и в предыдущем случае, обратно пропорционально параметру процедуры Н. Среднее и максимальное число наблюдений
лишь незначительно (не более чем на 22 %) превышает аналогичные показатели в
случае процесса второго порядка, что показывает применимость процедуры оценивания и для процессов более высоких порядков.
ЛИТЕРАТУРА
1. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Взвешенный метод наименьших квадратов гарантированного оценивания параметров процесса ARCH(1) // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009.
№3(8). C. 27–32.
2. Дмитриенко А.А., Конев В.В. О последовательной классификации процессов авторегрессии с неизвестной дисперсией помех // Проблемы передачи информации, 1995. Т. 31.
Вып. 4. C. 51–62.
3. Vorobeychikov S.E., Meder N.A. On guaranteed estimation of parameter of random processes
by the weighted least square method // Preprints of the 15th Triennial World Congress of the
International Federation of Automatic Control. Barcelona. Spain, 21-26 July 2002, N 1200.
4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, Главная редакция физикоматематической литературы, 1969.
5. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
Буркатовская Юлия Борисовна
Томский политехнический университет
Воробейчиков Сергей Эрикович
Томский государственный университет
Е-mail: burkatovskaya@sibmail.com sev@mail.tsu.ru
Поступила в редакцию 20 сентября 2010 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
434 Кб
Теги
оценивания, процесс, гарантированное, arch, параметры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа