close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гиперболические уравнения дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы.

код для вставкиСкачать
Вестникуравнения
Нижегородского
университета
Н.И. Лобачевского,
2012, № на
4 (1),
с. 183–192
Гиперболические
дивергентного
вида сим.
разными
краевыми условиями
разных
частях границы 183
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95:517.97
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНОГО ВИДА
С РАЗНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ НА РАЗНЫХ ЧАСТЯХ ГРАНИЦЫ
 2012 г.
В.С. Гаврилов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
vladimir.s.gavrilov@gmail.com
Поступила в редакцию 18.11.2011
Доказывается существование и единственность решения, принадлежащего энергетическому классу,
начально-краевой задачи для полулинейного уравнения дивергентного вида. Рассматривается случай,
когда на одной части боковой поверхности цилиндра, в котором исследуется уравнение, задано неоднородное третье краевое условие, а на другой части боковой поверхности – однородное краевое условие Дирихле. Также доказывается существование и единственность в том же функциональном классе
решения линейного уравнения с мерой Радона в правой части уравнения.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, начально-краевые задачи,
меры Радона.
Введение
Гиперболическим уравнениям посвящено
достаточно большое число работ (см., например, [1–7] и библиографию к ним). Несмотря на
это, насколько нам известно, полулинейным
гиперболическим уравнениям дивергентного
вида посвящены лишь работы [3, 4], в которых
рассматривалась начально-краевая задача с
третьим краевым условием. Что же касается
гиперболических уравнений дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных
частях границы, то нам известны лишь работы
[5, 7]. Однако в работах [5, 7] рассматривался
лишь вопрос существования и единственности
решения линейного гиперболического уравнения и притом в уравении отсутствовали слагаемые с младшими производными. Аналогичные
результаты для эллиптических уравнений можно найти в [8] (см. также библиографию к этой
работе).
В настоящей же работе (в первом разделе)
рассматривается вопрос существования и единственности решения полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида для случая, когда на одной части боковой поверхности
цилиндра, в котором рассматривается уравнение, задано неоднородное третье краевое условие, а на другой части – однородное краевое
условие Дирихле.
Необходимость изучения подобных вопросов
возникает при исследовании задач оптимально-
го управления, динамика которых описывается
гиперболическими уравнениями с начальнокраевыми условиями (см., например, [9–17]).
Отметим также, что при получении необходимых условий оптимальности для задач оптимального управления с поточечными фазовыми
ограничениями множитель Лагранжа, отвечающий оператору, задающему поточечные фазовые ограничения, является мерой Радона, и эта
мера Радона появляется в правой части сопряжённого уравнения, отвечающего оператору
поточечных фазовых ограничений (см. работы
[11–17]).
В связи с этим представляется важным изучение свойств решений линейных гиперболических уравнений дивергентного вида с присутствующей в правой части уравнения мерой Радона. Из результатов в этом направлении нам известны лишь работы [12, 13]. В отличие от них,
в данной работе (а именно во втором разделе)
рассматривается более общее уравнение и более
общий вид граничного условия.
Отметим, что решение как полулинейного
уравнения без меры, так и линейного уравнения
с мерой в правой части ищется в энергетическом классе. При этом можно доказать, что на
самом деле решение полулинейного уравнения
без меры в правой части обладает несколько
более хорошими свойствами, нежели решение
уравнения с мерой. Для линейных уравнений
подобная регулярность доказана в [5, 7].
184
В.С. Гаврилов
Настоящая работа состоит из введения и
двух разделов.
В первом разделе доказывается существование и единственность решения полулинейного
гиперболического уравнения дивергентного
вида, а во втором разделе – существование и
единственность решения линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с мерой
Радона в правой части.
1. Полулинейное уравнение
без меры Радона
Здесь и ниже используются следующие обозначения.
Через Lp(П), где Π  R m , обозначено банахово пространство суммируемых с p-й степенью (существенно ограниченных при p = )
функций ξ: П → R, с нормой
1/ p


p
ξ p ,Π   ξ ( x ) dx  , 1  p  ;


Π

ξ ,Π  vrai sup ξ ( x) ,
p  .

xΠ
Рассмотрим следующую начально-краевую
задачу:

ztt 
(aij ( x, t ) z x j  ai ( x, t) z)  a( x, t, z( x, t)) 
xi
(1.1)
Под H1(П), где Π  R m — ограниченная область, понимается банахово пространство
функций ξ  L2 ( Π) , все первые обобщённые
производные которых суммируемы с квадратом. Норма в H1(П) определяется формулой
1/ 2
 bi (x, t) z xi  c( x, t) zt  0, ( x, t) QT ;


2
2
ξ 2 ,Π   [ ξ ( x)  ξ ( x) ]dx  .


Π

Через L2,1(QT) обозначено банахово пространство измеримых по Лебегу на QT функций
ξ с конечной нормой
(1)
z ( x,0)  ( x ), z t ( x,0)  ( x), x  ; z ( s, t )  0,
z
 ( s, t ) z  f ( s, t ), ( s, t )  S T1 .
N
Здесь и ниже Ω  R n –– ограниченная область
с кусочно-гладкой границей S  S 0  S 1 , ST ≡ S
× (0,T), QT ≡ Ω×(0,T), S Ti  S i  (0, T ) , i = 0,1, S0
z
и S1 не пересекаются,
 ( aij ( x, t ) z xi 
N
+ ai ( x, t ) z ) cos  i , αi(x,t) – угол между внешней
( s, t )  ST0 ;
нормалью к S T1 и осью Oxi, площади частей S0 и
S1 положительны.
Считаем, что выполнены следующие условия на исходные данные задачи (1.1):
а) функции aij, ai, bi, c, aijt, ait, bit, ct, i, j  1, n ,

1/ 2
T


2
ξ 2,1,Q   ξ ( x, t ) dx  dt .
T


0 Ω

1
Обозначим через L2 ,1 ( ST ) банахово про-

странство измеримых по Лебегу на ST1 функций
ξ с конечной нормой
1/ 2
T


2
ξ 2,1,S 1   ξ ( s, t ) ds  dt .
T


0  S1

0 ,1
1
Пусть W2 ,1 ( ST ) ––– банахово пространство
 
определены на QT, причём aij, ai, bi, c, i, j  1, n ,
измеримы по Лебегу на QT;
б) функция ς определена и измерима в смысле Лебега на ST1 ;
в) справедливы условия и оценки
aij  a ji ,   H 01 ( | S 0 ),   L2 (), f  W20,1,1 ( ST1 );
измеримых по Лебегу функций ξ : ST1  R , та-
1 |  |2  aij ( x, t ) i  j   2 |  |2
измеримых по Лебегу функций ξ  L ( ST1 ) , у
 ( x, t )  QT ,   R n (1 ,  2  0);
которых ξ t  L ( ST1 ) . Норма в W0 ,1 ( ST1 ) задаётся
соотношением
a ij
 aijt
 ,1,QT
 ,QT
 ai
 ,QT
 bi
 ,QT
 bit
 a it
 ς
 , ST1
 ςt
 ,QT
 , ST1
 ,QT
 c
 ,QT
 ct

 ,QT
ких, что ξ , ξ t  L2 ,1 ( ST1 ) . Норма в W20,1,1 ( ST1 ) задаётся формулой
ξ
 ν3 ;
г) при всех z  R функция a(,, z ) измерима
по Лебегу и a(,,0)  L2,1 (Q T ) ; существует
 ( x, t , z i )  QT  R, i  1, 2.
 ξ
2,1,ST1
 ξt
2 ,1, ST1
.
( 0,1)
 ,ST1
 ξ
 ,ST1
 ξt
 ,ST1
.
Пусть W0 ,1 (QT ) ––– банахово пространство
измеримых по Лебегу функций ξ  L (QT ) , у
которых ξ t  L (QT ) . Норма в W0 ,1 (QT ) задаётся равенством
функция k  L1 [0, T ], такая, что
a( x, t , z 1 )  a ( x, t , z 2 )  k (t ) z 1  z 2
2,1,ST1
Пусть W0 ,1 ( ST1 ) ––– банахово пространство
ξ

( 0 ,1)
ξ
1
0
( 0 ,1)
 ,QT
0
 ξ
 ,QT
 ξt
 ,QT
.
Под H (Ω | S ) понимается замыкание в норме H1(Ω) пространства бесконечно дифференци-
Гиперболические уравнения дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы 185
руемых в Ω финитных вблизи S0 функций. Норма
в пространстве H 01 (Ω | S 0 ) определяется так:
1/ 2


(1)
2
2
ξ 2 ,Ω   [ ξ ( x)  ξ ( x) ]dx  .


Ω

1
0
Через W2 , 0 (QT | ST ) обозначено замыкание в
норме H1(QT) множества бесконечно дифференцируемых в QT финитных в окрестности ST0

функций. Норма в W21, 0 (QT | ST0 ) задаётся равенством
1/ 2


2
2
2
ξ 2,Q   [ ξ  ξ  ξ t ]dxdt  .
T


 QT

1
0
Через H 0 (Ω | S ) обозначено пространство,
(1)

сопряжённое к H 01 (Ω | S 0 ) .
Через Lp([0,T],X), где X – сепарабельное банахово пространство с нормой ||∙||X, а 1 ≤ p ≤ ∞,
обозначено банахово пространство слабо измеримых на [0,T] функций ξ: [0,T] → X, для которых функция t  [0, T ]  ||ξ(t)||X является элементом банахова пространства Lp[0,T]. Норма в
Lp([0,T],X) задаётся следующим образом:
1/ p
ξ
T

 ξ (t ) p dt  , 1  p  ;

p ,[ 0,T ], X
X


0

ξ  ,[ 0 ,T ], X  vrai sup ξ (t ) , p  .

t[ 0 ,T ]
Следуя [7], через Cs([0,T],X), где X — банахово пространство, обозначим пространство
функций ξ: [0,T] → X, слабо непрерывных на
[0,T], т.е. таких, что при всех x*  X * и всех
τ  [0, T ]
*
*
lim ξ (t ), x  ξ ( τ ), x ,
t τ
*
где X обозначает сопряжённое к X пространство, а x, x* – значение линейного непрерывного
функционала x*  X * в точке x  X .
Через C([0,T],X), где X – банахово пространство с нормой ||∙||X, обозначено банахово пространство функций ξ: [0,T] → X, сильно непрерывных на [0,T], т.е. таких, что при любом
τ  [0, T ] имеет место равенство
функция t  [0, T ]  ξ(, t) H01 (Ω | S 0 ) – элемент
класса
t τ
X
 0.
Норма в C([0,T],X) задаётся формулой
(0)
ξ [ 0 ,T ], X  max ξ (t ) X .
t[ 0,T ]
Наконец, обозначим через V21,,01 (QT | ST0 ) «энергетический класс», состоящий из измеримых по
Лебегу на QT функций ξ, удовлетворяющих следующим условиям: при всех t  [0, T ] справедливы включения ξ(,t) H01 (Ω | S 0 ) , ξt (, t )  L2 (Ω ) ;
функция
t [0, T ]  ξ t (, t)  L2 (Ω ) – элемент пространства L∞([0,T],L2(Ω)). Норма в пространстве
V21,,01 (QT | ST0 ) задаётся равенством
ξ Q  sup ξ (, t )
T
t[ 0 ,T ]
(1)
2 ,Ω
 vrai sup ξ t (, t )
t[ 0 ,T ]
2,Ω
.
Наделённое этой нормой V21,,01 (QT | ST0 ) представляет собой банахово пространство.
Дадим следующее
Определение 1.1. Функцию z назовём решением задачи (1.1) из энергетического класса,
если z является элементом данного класса и
удовлетворяет интегральному тождеству

QT
[  zt ηt  aij z x j η xi  ai zη xi  bi z xi η 
 czt η  a( x, t , z ( x, t ))η]dxdt 


ST1

ST1
ςzηdsdt  (1.2)

fηdsdt  ψ( x) η( x,0) dx
Ω
   Vˆ (QT | S ); z ( x,0)  ( x), x  .
1,1
2, 0
0
T
Здесь Vˆ21,,01 (QT | ST0 )  {η  V21,,01 (QT | ST0 ) : η(, T )  0} .
Основным результатом данного раздела является
Теорема 1.1. Задача (1.1) имеет единственное решение из энергетического класса, причём
найдётся константа B > 0, определяемая лишь
числами T, ν1, ν2, ν3 > 0, функцией k  L1[0, T ] ,
размерностью n и областью Ω, такая, что
(1)
z Q  B[  2,   2,  f
T
(0,1)
2,1, ST1
 a(,,0)
2,1,QT
]. (1.3)
Для доказательства данной теоремы нам потребуется ряд вспомогательных результатов, и
прежде всего следующая лемма, вытекающая из
теорем 1–3 работы [18].
Лемма 1.1. У любой функции f W20,1,1 ( ST1 ) при
каждом t [0, T ] имеется след f (,t)L2(S1), непрерывно зависящий от t [0, T ] в норме L2(S1),
причём найдётся константа A1 = A1(T) > 0, зависящая лишь от T > 0, такая, что
max f (, t )
t[ 0,T ]
lim ξ (t )  ξ ( τ)
H 01 (Ω | S 0 )) ;
Cs ([0, T ],
2 , S1
 A1 f
( 0,1)
2,1, ST1
.
Нам также потребуется
Лемма 1.2 [6, неравенство (6.24) главы I].
Пусть Ω  Rn – ограниченная область с кусочно-гладкой границей S. Тогда
2
 z ds   [ε | z |
S
2
 A2 (ε ) | z |2 ]dx
Ω
 ε  0  z  H 1 (Ω),
где A2(ε) > 0 – некоторая постоянная, зависящая
лишь от области Ω, размерности n и от ε > 0.
186
В.С. Гаврилов
Кроме того, будет использоваться
Лемма 1.3 [19, с.78, неравенство (2.5)].
Пусть Ω  Rn – ограниченная область с кусочно-гладкой границей S. Тогда существует константа A3 > 0, зависящая лишь от области Ω и
размерности n, такая, что
z
2,S
 A3 z
(1)
2 ,Ω
 z  H 1 (Ω).
Из очевидной непрерывности вложения
V (QT | ST0 )  H 1 (QT ) , теорем 6.3 и 7.2 из [6,
глава 1] и теорем вложения для функций одной
переменной вытекает
Лемма 1.4. Пусть z  V21,,01 (QT | ST0 ) . Тогда
1,1
2, 0
при любом t  [0, T ] существует след z (, t ) 
L2 (Ω ) , непрерывно зависящий от t  [0, T ] в
норме L2(Ω), причём
max z (, t ) 2,Ω  z Q .
t[ 0 ,T ]
T
Помимо этого, найдётся константа A4 > 0,
определяемая лишь областью Ω, размерностью
n и числом T > 0, такая, что
z 2 ,S  A4 z Q .
T
T
Например, можно взять A4  A3 T .
Сверх того, вложения V21,,01 (QT | ST0 )  L2 ( ST1 )
и V21,,01 (QT | ST0 )  C ([0, T ], L2 (Ω)) – компактны.
Кроме того, потребуется следующая лемма,
вытекающая из [5, лемма 8.1, с. 307].
Лемма 1.5. Справедливо равенство
L ([0, T ], H 01 (Ω | S 0 ))  C s ([0, T ], L2 (Ω)) 
 C s ([0, T ], H 01 (Ω | S 0 )).
Лемма 1.6. Пусть последовательность
функций z m  V21,,01 (QT | ST0 ) , m  1, 2, , такова,
что найдётся постоянная c > 0, такая, что
z m  c  m  1,2,
QT
(1.4)
Тогда найдутся подпоследовательность mk, k =
= 1,2,…, последовательности m = 1,2,… и
функция z  V21,,01 (QT | ST0 ) , такие, что выполнены
соотношения
lim max z mk (, t )  z (, t )
 0,
(1.5)
2 ,Ω
k  t[ 0,T ]
lim z
k 
mk
z
2,ST1
 0,
z mk  z , k  , слабо в W21, 0 (QT | ST0 ).
При этом
zQ c.
(1.6).
T
Доказательство леммы 1.6. Из условия
леммы следует, что
zm
(1)
2 ,QT
 c T  m  1,2, 
Используя слабую компактность замкнутого
шара в гильбертовом пространстве и компактность вложений
W21,0 (QT | ST0 )  L2 ( ST1 )
и
W21,0 (QT | ST0 )  C ([0, T ], L2 (Ω)) , получаем, что
найдутся подпоследовательность mk, k = 1,2,…,
последовательности m = 1,2,… и функция
z  W21, 0 (QT | ST0 ) , такие, что выполнены предельные соотношения (1.5).
Покажем, что z  V21,,01 (QT | ST0 ) . Из (1.4) сле-
дует, что последовательность z mk , k = 1,2,…,
равномерно ограничена в норме пространства
L ([0, T ], H01 (Ω | S 0 )) , а последовательность ztmk ,
k = 1,2,…, равномерно ограничена в L∞([0,T],
L2(Ω)). На основании предложения 10 на с. 60
монографии [20] пространство L ([0, T ],
H 01 ( | S 0 )) изометрично изоморфно простран-
ству, сопряжённому к L1 ([0, T ], H 01 ( | S 0 )) , а
банахово пространство L∞([0,T], L2(Ω)) изометрично изоморфно пространству (L1([0,T],
L2(Ω)))*. Поэтому найдутся подпоследовательность последовательности mk, k = 1,2,…, которую
мы обозначим так же, как и исходную последо~z  L ([0, T ],
вательность,
и
функции
0

H 1 (Ω | S 0 )) , ~z  L ([0, T ], L (Ω )) , такие, что
1
0

2
z m  ~z 0 , *  слабо в L ([0, T ], H 01 ( | S 0 )),
z m  ~z , *  слабо в L ([0, T ], L ()),
k
k
t
1

2
k  .
Сравнивая полученные соотношения с соотношениями (1.5), заключаем, что
z mk  z , *  слабо в L ([0, T ], H 01 (Ω | S 0 )),
(1.7)
ztmk  zt , *  слабо в L ([0, T ], L2 (Ω )),
k  .
Согласно (1.7),
z  L ([0, T ], H 01 (Ω | S 0 )) ,
zt  L ([0,T ], L2 (Ω)) . Следовательно, z, zt L([0,T],
L2 ()) . Последнее означает, что z  C ([0, T ],
L2 ()) . Таким образом, z  C s ([0, T ], L2 ()) 
 L ([0, T ], H 01 ( | S 0 )) .
Поэтому, на основании леммы 1.5, z – элемент пространства C s ([0, T ], H 01 (Ω | S 0 )) .
Что же касается неравенства (1.6), то его доказательство проводится аналогично доказательству теоремы Бишопа в [22, с. 53–55].
Лемма полностью доказана.
Доказательство теоремы 1.1. Доказательство
разобьём на три части. При этом в целом будем
следовать схеме доказательства, предложенной
в [6, гл.4, §3] для линейных гиперболических
уравнений.
Гиперболические уравнения дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы 187
1) Докажем, что начально-краевая задача
(1.1) может иметь не более одного решения. В
самом деле, пусть z1 , z 2  V21,,01 (QT | ST0 ) — решения задачи (1.1) и пусть w = z1 – z2. Тогда w 
 V21,,01 (QT | ST0 ) и удовлетворяет тождеству
[ w η
t
t
Используя липшицевость функции a(x,t,z),
( x, t , z )  QT  R , по переменной z, неравенство
1
Коши–Буняковского и неравенство ab  (a2  b2 )
2
и применяя к интегралу


  ( x,0)  ( x,0) dx
 aij wx j η xi  ai wη xi  bi wxi η 

QT
 cwt η  [a ( x, t , z 2  w)  a ( x, t , z 2 )]η]dxdt  (1.8)
 ςwηdsdt  0  η Vˆ (QT );
1,1
2, 0

неравенство Коши с ε (см. [6, с. 33]), а к интеS
0
S
w( x,0)  0, x  Ω.
α
t
 [ η ( x, α )
Введём функции ηα: QT → R, βi: QT → R, i  1, n
( α  [0, T ] — параметр), соотношениями

t
2
2
 
Ω
γ 2  ν 3 ( n ( n  3)  A32 ) ,
γ1  ν 3 ( n  1) ,
η αxi ( x , t )   χ [ 0 ,α ] (t )  w x ( x , ξ ) d ξ ,
n
 A2 (ε ))) .
ε
ν
Полагая в данном неравенстве ε  1 ,
2γ1
ν
γ 4 (t )  γ 3 (t , 1 ) , получаем, что
2 γ1
2

2
[ w( x, )  1  ( x,0) ]dx 
2

ηαtxi ( x, t )  ηαxit ( x, t )  χ [ 0 ,α ] (t ) wx ( x, t ),
 dt [ 2    4 (t )[   t ]]dx,   [0,T ].
βi ( x, t )   wx ( x, ξ )dξ , i  1, n, ( x, t )  QT ,
γ 3 (t , ε)  k (t )  ν 3 (2 n  3  A32  T (
i
0
где χE — характеристическая функция измеримого по Лебегу множества E.
Можно показать, что ηα  Vˆ21,,01 (QT | ST0 ) , x t ,
i
ηtxα i  L ([0, T ], L2 (Ω)) , ηαtt L ([0, α], L2(Ω)), причём
η αt ( x , t )  χ [ 0 , α ] (t ) w ( x , t ),

α
i
t
i
i  1, n, ( x, t )  QT ; ηαtt ( x, t )  wt ( x, t ), ( x, t )  Qα ,
Qα  Ω  (0, α) .
Полагая в (1.8) η = ηα, получим

2
 
0
2
Из этого неравенства вытекает, что

n
2
[ w( x, α) 
ν1
2
α
tt
α
t
 aij ηαx jt ηαxi  ai ηαt ηαxi  bi ηαxit ηα 
α
 
S1
0
Интегрируя это соотношение по частям, выводим, что
α
t
 [| η ( x, α) |
2
0
2
α

i
i
i 1
Ω
2
α


2

 γ 4 (t ) w( x, t )  w( x, ξ ) dξ ]dx 


0



α
n
 2αγ 2
 aij ( x,0) η αx j ( x,0)η αxi ( x ,0 )]dx 
Ω

2
Ω i 1
0
Ω
α
α
t
α
 
0
 2 2
Ω
α
t
α
t

1
2
2
 
0
S1
i
2
 
dx  d [ 4 () 
0

 T  4 (t ) dt ]w 2 ( x, )dx 

α
0
n
dt ς t η tα ds  0.
   ( x, )

 c | η | [ a ( x, t , z 2  η )  a ( x, t , η )]η ]dx 
α

 i 1
 (bi  ai )η tα η αxi  bit η α η αxi  ct η α η tα 
α 2
t
2
i
Ω i 1
0
n
ς ( s,0) | η α (s ,0 ) |2 ds  dt [ 12 aijt η αx j η αxi 
S1
n
   β ( x,t ) dx 

α
xi
Ω

2
 
β i ( x, α) dx  dt γ 4 (t )[ w( x, t ) 
 (α  t ) | w( x, ξ) |2 dξ]dx  2γ 2 dt
 bi ( x,0)η ( x ,0 )η ( x,0) dx 
1
2
]dx 
   β ( x, α)  β ( x,0) 
 cηαtt η α  [a( x, t, z 2  ηtα )  a ( x, t , ηαt )]ηα ]dx 
 dt ς ( s, t )ηαt ηα ds  0  α  [0, T ].
2
i
n
 dt [ γ 2
Ω
α
 β ( x, α )
i 1
Ω
 dt  [η η
2

α

2
 dt [ γ 2 ηα γ 3 (t , ε )[ ηα  ηαt ]]dx,
где
t
2
 ( ν1  γ1ε) ηα ( x,0) ]dx 
α
0
ηα ( x, t )   χ [ 0,α ] (t ) w( x, ξ ) dξ,
2
Ω
α
0
2
1.4 соответственно, будем иметь
ST1
1
2
α
2
гралам  ηα ( s,0) ds и  dt  ηα ds леммы 1.3 и
 2αγ 2

Ω i 1
α
2
n
2
   β ( x, t) dx 
βi ( x, α) dx  2γ 2 dt
0
i
Ω i 1
188
В.С. Гаврилов
T


 
0


0
 β ( x, ξ)]dx.
2
i
(1.1) в виде z N ( x, t )   hmN (t ) g m ( x ) , где набор
Следовательно,
 [ w( x, α)
m1
n
ν1
2
 (  2αγ 2 )
 β ( x, α )
2
i
N
m
α
n
2
 
 dt γ 5 (t )[ w( x, t ) 
 β ( x, t )
2
m 1

где γ 5 (t )  T γ 4 (ξ )dξ  γ 4 (t )  2γ 2 .
l
0
Пусть ωm = mθ, m  0, λ , где θ 
ν1
T 
, λ  .
8γ 2
θ
n
2

l

Ω

qlm (t )  [ aij ( x, t ) g mx j ( x) g lxi ( x) 
Ω
 ai ( x, t ) g m ( x) g lxi ( x) 
 bi ( x, t ) g mxi ( x ) g l ( x )]dx,
2
β i ( x, α) ]dx 
rl N (t , h1 , , hN ) 
N
α
n
2
 
l
plm (t )  c ( x, t ) g l ( x) g m ( x ) dx,
i 1
Ω
l
(1.10)
в которой
Положим J m  [ωm , ω m1 ]  [0, T ] , m  0, p  1 .


Пусть α  J 0 . Тогда 1  2 2  1 , вслед2
4
ствие чего
[ w( x, α) 
(t )hmN  q lm (t ) hmN ] 
lm
 rl N (t , h1N (t ),  , h NN (t ))  0,
h N (0)  φ , h N (0)  ψ , l  1, N ,
T
 dt k 4 (t )[ w( x, t ) 
0
[ p
i 1
Ω

N
hlN 
]dx,
i
2
1
функций h  W [0, T ] , m  1, N , является решением задачи Коши
]dx 
i 1
Ω
0

N
i 1
2

m, N  1, 2,
Будем искать приближённое решение zN задачи
n


m   ( y ) g m ( y )dy,  m   ( y ) g m ( y )dy ,
 d [  4 ()  2 2  T  4 (t ) dt ][ w 2 ( x, t ) 
 β ( x, t )
2
i

 a( x, t ,
]dx,
i 1
Ω
h g
m
m
( x)) gl ( x) dx 
m 1
Ω
N
ν
где γ 6 (t )  γ 5 (t ) / min{1, 1 } . Применяя теперь
4
известную лемму Гронуолла (см., напр., [21]),
получаем, что
w( x, t )  0, β i ( x, t )  0, ( x, t )  Ω  J 0 .
Рассуждая подобным образом, за конечное число шагов получим, что
w( x, t )  0, β i ( x, t )  0, ( x, t )  Ω  J m

 [ς ( s , t )
h g
m
m
( s)  f ( s, t )]g l ( s) ds.
m1
S1
Такой набор, очевидно, существует и определяется единственным образом.
Умножив l-е уравнение (1.10) на hlN (t ) при
l  1, N , сложив все полученные уравнения и
проинтегрировав результат по t [0, τ] , выводим, что
2
для всех m  0, λ  1 .
Таким образом, разность любых двух решений начально-краевой задачи (1.1) равна нулю
почти всюду в QT, в силу чего задача (1.1) может иметь не более одного решения.
2) Докажем существование решения начально-краевой
задачи
(1.1).
Пусть
gm 
1
2
 H 01 (Ω | S 0 ) , m = 1,2,…, — ортонормированная
в L2(Ω) система функций, такая, что для всех
  H 01 ( | S 0 ) , ψ  L2 (Ω) справедливы равенства
 ai z N z xN  ( ai  bi ) z tN z xN  a( x, t ,0) z tN ]dx 
lim  N  
N 
(1)
2 ,
N
lim ψ  ψ
N 
2 ,Ω
Ω
2
 12 [ ψ N ( x)  a ij ( x,0)φ Nxj ( x)φ Nxi ( x)]dx 

Ω
τ
 ai z N z xNi dx |tt 0τ  dt [ 12 aijt z xNj z xNi  c ztN

 
Ω
0
2

Ω
i
i

 dt [ a( x, t , z N )  a ( x, t ,0)]z tN dx 
 
0

(1.9)
 0,

 0,
1
2
 z
N

2
ds |
t 
t 0
S1

1
2
 dt  
0
2
t
z N ds 
S1

в которых
N
φ N ( x) 

[ z tN ( x, τ)  a ij ( x, τ ) z xNj ( x, τ) z xNi ( x, τ )]dx 
φ
m 1

N
m
g m ( x ), ψ N ( x) 
ψ
m 1
m
g m ( x ),
 fz
N
ds |tt 0  dt f t z N ds  0  t  [0, T ].
S1
Таким образом,
 
0
S1
Гиперболические уравнения дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы 189
1
2
[ z
N
t
2
2
( x, τ)  ν1 z N ( x, τ ) ]dx 
где ρ 4  ν *ρ 2 (
Ω
1
2


2
2

τ
 
 dt
1
2
f t z N ds 
S
0

  f z N ds 
 S

1
2
ςz
2
N
S


ds  ai z N z xNi dx  |tt 0τ 

Ω

0
j
i
2
i

2 ,1,ST1
(1.11)


 a(,,0)
] max y N (t ) ]   7 (t ) y N (t )dt
2,1,QT

t[ 0,  ]
2
N
t
   [0, T ].
Пользуясь монотонностью функции
Υ N ( τ )  max y N (t ) , τ  [0, T ],
t[ 0, τ ]
и леммой Гронуолла, несложно показать, что
max y N (t )  ρ 6 [ y N (0) 
t[ 0 ,T ]
2
N
[ z ( x, τ )  ( ν1  ρ1ε ) z ( x, τ) ]dx 
( 0 ,1)
 f
Ω
2,1,ST1
(1.12)
 a(,,0)
2,1,QT
],
T
  2 ()[ [  N

2
 N
2
 ρ5 ( t ) dt
2
  N ]dx 
где ρ 6  ρ 4 e 0
.
Заметим, что из (1.12) следует

( 0 ,1)
[ f
2,1, ST1
 a (,,0)
2,1,QT
2
] max ( [ z N ( x, t ) 

t[ 0, τ ]
zN
Ω
2
N
2
N
t
  z ( x , t )  z ( x , t ) ]dx )
1/ 2
2
 dt  3 (t ,  )[ z N
 
0
2
 z N
]
2
 z tN ]dx ,

где ρ1 — некоторая положительная постоянная,
определяемая лишь числами ν2, ν3, T > 0 и размерностью n; ρ2(ε) — положительная постоянная, определяемая числами T, ε > 0, областью Ω
и размерностью n; а ρ3(t,ε), t  [0, T ] , — некоторая неотрицательная суммируемая по t  [0, T ]
функция, определяемая лишь числами T, ε > 0,
областью Ω, размерностью n и функцией k.
Добавляя к обеим частям полученного нера2
N
 z ( x, τ) dx
венства слагаемое
и полагая
Ω
ν1
, будем иметь
2ρ1
[ z
N
2
N
N
t
2
2
2
 ρ 4 [ [ φ N  φ N  ψ N ]dx 
Ω
[ f
2 ,1, S T1
 a (,,0 )
2 ,1,QT
2
] max ( [ z N ( x , t ) 
t[ 0 , τ ]

Ω
N
2
N
t
2
  z ( x , t )  z ( x , t ) ]dx )1 / 2 ] 
τ
 dt ρ 5 (t )[ z N
 
0
Ω
2,1, ST
2
 z N
2
2
 z tN ]dx ,
(1)
2 ,
 N
 a(,,0)
2,1,QT
2 ,

(1.13)
].
Из соотношений (1.10) вытекает, что
lim  N  
N 
(1)
2, 
 0, lim  N  
N 
2, 
 0, (1.14)
вследствие чего
(1)
   (1)   .
lim   N
 N
2, 
2 ,

2
,

2
,


N  
Поэтому найдётся константа ρ7 > 0, такая, что
zN
QT
  7  N  1, 2,
(1.15)
Пользуясь затем леммой 1.6, заключаем, что
найдутся подпоследовательность последовательности zN, N = 1,2,…, которую мы обозначим
так же, как и исходную последовательность, и
функция z  V21,,01 (QT | ST0 ) , такие, что
N  t[ 0,T ]
2
( x, τ)  z ( x, τ)  z ( x, τ) ]dx 
( 0 ,1)
( 0,1)
lim max z N (, t )  z (, t )
2
Ω

QT
 2 6 [  N
 f

ε
( 0,1)
0
Оценивая сверху правую часть последнего неравенства, с помощью неравенства Коши–Буняковского, неравенства Гёльдера с показателем
p=2 и условий на исходные данные, и применяя
затем леммы 1.3 и 1.4, неравенство Коши с ε и
лемму 1.1, заключаем, что

y N ( τ )  ρ 6 [ y N ( 0)  [ f

 a ( x , t ,0 ) z tN  k (t ) z N z tN ]dx .
1
2
2
можем записать

 dt [ 12 a ijt z xN z xN  ( a i  bi ) z tN z xN c z tN
 
2
Ω
S
0
2
y N (t )  [ z N ( x, t )  z N ( x, t )  ztN ( x, t ) ]dx,
2
dt ς t z N ds 
 
ν* 
 4(min{2, ν1}) 1 .
Введя обозначение
[  N ( x )   2  N ( x) ]dx 
τ
ν1
ν
) , ρ 5 (t )  ν *ρ 3 (t , 1 ) ,
2ρ 1
2ρ1
2 ,Ω
 0, lim z N  z
N 
2, ST1
 0,
z N  z , N  , слабо в W21, 0 (QT | ST0 ).
Рассуждая затем по аналогии с тем, как это делалось в [5, с. 214–215] для линейных уравнений, заключаем, что функция z удовлетворяет
интегральному тождеству (1.2).
Таким образом, существование решения задачи (1.1), принадлежащего энергетическому
классу, доказано. Что же касается априорной
оценки (1.3), то она следует из оценки (1.13) и
леммы 1.6. Теорема полностью доказана.
190
В.С. Гаврилов
2. Линейное уравнение
с мерой Радона в правой части
Рассмотрим следующую начально-краевую
задачу:

tt 
( aij ( x, t ) x  bi ( x, t )) 
xi
j
 ai ( x, t ) x  a( x, t )  c( x, t )t 
i
(2.1)
 q( x, t )  g ( x, t )( dt ), ( x, t )  QT ;
( x, T )  ( x),  t ( x, T )  ( x), x  ;
( s, t )  0, ( s, t )  ST0 ;

 ( s, t )  f ( s, t ), ( s, t )  S T1 ,
N '
η
 ( aij ( x, t ) x  ai ( x, t )) cos  i , а коэфN '
где
i
фициенты aij, ai, bi, c, aijt, ait, bit, ct, i, j  1, n , ς, f,
φ, ψ — те же, что и в разделе 1, причём удовлетворяют тем же условиям. Дополнительно
предполагаем, что справедливы включения
  M [0, T ], g  C ([0, T ], L2 ()), q  L2 ,1 (QT ),
где через M[0, T] обозначено множество всех
мер Радона на отрезке [0, T].
Дадим следующее
Определение 2.1. Функцию η назовём решением задачи (2.1) из энергетического класса,
если η является элементом данного класса и
удовлетворяет интегральному тождеству
 [z   a z
t
t
ij x j
x  ai zx  bi z x   az 
i
i
i
QT


 czt ]dxdt  ( x) z( x, T )dx  zdsdt 
(2.2)
ST1



 g( x, t) z( x, t)dx(dt)

[0,T ] 

S
1,1
0
 z  V 2, 0 (QT | S T ), z ( x,0)  0;


 qzdxdt fzdsdt
1
T
QT
 f
( 0 ,1)
2 ,1, ST1
(1)
2 ,
 
  max g (, t )
t[ 0 ,T ]
2, 
2 ,
(2.3)
2 ,1,QT
( x, T )  t ( x,T )  0, x  , (s, t)  0,

 (s, t )  0, (s, t)  ST1 ,
N '
имеющей, согласно теореме 1.1, лишь тривиальное решение. Следовательно, η1 ≡ η2 и задача
(2.1) может иметь не более одного решения в
классе V21,,01 (QT | ST0 ) .
(s, t )  ST0 ,
2) Докажем существование решения η 
 V21,,01 (QT | ST0 ) задачи (2.1). Рассуждая подобно
тому, как это делалось при доказательстве теоремы IV.2.6 в работе [22], можно показать, что
существует
последовательность
функций
ωk  C[0, T ] , k  1, 2, , такая, что
T

T
k

lim ζ (t )μ ( dt )  ζ (t )μ ( dt )
k 
0
0
(2.4)
 ζ  C[0, T ],
где μ k ( E )  ωk (t )dt , E  [0, T ] — борелевское

E
множество, k = 1,2,…, причём все функции
ωk  C[0, T ] , k = 1,2,…, неотрицательны на
[0,T], если такова мера μ.
Рассмотрим начально-краевую задачу

ηtt 
( aij η x j  bi η)  ai η xi  aη 
xi
(2.5)
η( s, t )  0, ( s, t )  ST0 ,

 q
i
( x, T )  ( x), t ( x, T )  ( x), x  ,
η( x, T )  φ( x), x  Ω.
Основным результатом настоящей статьи
является
Теорема 2.1. Задача (2.1) имеет единственное решение из энергетического класса, причём
найдётся константа B > 0, определяемая лишь
числами T, ν1, ν2, ν3 > 0, размерностью n и областью Ω, такая, что
T
j
 cηt  q( x, t )  g ( x, t )μ k ( dt ), ( x, t )  QT ,
 
 Q  B[ 
1) Докажем единственность решения задачи
(2.1). В самом деле, пусть η1 , η2  V21,,01 (QT | ST0 ) –
решения задачи (2.1). Тогда их разность Δη ≡ η1 –
η2 является решением начально-краевой задачи

tt 
(aij x  bi )  ai x  a  ct  0,
xi
].
Для доказательства данной теоремы нам потребуются две леммы.
Доказательство теоремы 2.1. Доказательство
разобьём на три части.

 ( s, t )  f ( s, t ), ( s, t )  S T1
N '
и обозначим её решение через ηk. Эта задача
является задачей того же типа, что и задача
(2.1). Нетрудно заметить, что, ввиду определения мер μk, k = 1,2,…, начально-краевая задача
(2.5) эквивалентна начально-краевой задаче

ηtt 
( aij η x j  bi η)  ai η xi  aη 
xi
 cηt  q( x, t )  g ( x, t )ω k (t ), ( x, t )  QT ,
( x, T )  ( x), t ( x, T )  ( x), x  ,
( s, t )  0, ( s, t )  S T0 ,

 ( s, t )  f ( s, t ), ( s, t )  ST1 .
N '
(2.6)
Гиперболические уравнения дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы 191
На основании теоремы 1.1 задача (2.6) имеет
единственное решение ηk, принадлежащее классу V21,,01 (QT | ST0 ) , причём найдётся постоянная
c  0 , определяемая лишь числами T, ν1, ν2, ν3 > 0,
размерностью n и областью Ω, такая, что справедлива оценка
k
 c[ 
QT
(1)
2 ,
 
2, 
( 0,1)
 f
2 ,1,ST1

1/ 2
(2.7)


2
k
  q( x, t )  g ( x, t ) (t ) dx  dt ].

0 

Из эквивалентности задач (2.6) и (2.7) выводим, что задача (2.6) имеет единственное решение ηk  V21,,01 (QT | ST0 ) , причём для него выполняется неравенство (2.7). Оценивая затем сверху
правую часть неравенства (2.7), получаем
T

k
 f
( 0 ,1)
2 ,1, ST1
 c[ 
QT
(1)
 
2, 
 max g (, t )
t[ 0 ,T ]
2, 
2, 

k  q
(2.8)
2 ,1,QT
].
Ввиду (2.4) существует константа K > 0, такая,
что ||μk|| ≤ K, k = 1,2,…. Последнее соотношение
в совокупности с (2.8) даёт неравенство
η k  K , k  1, 2,,
(2.9)
μ  ε  μ k  μ  ε  k  k0 (ε ).
Вследствие этого соотношения и (2.8)
k
 q
2, Ω
 ψ
2 ,Ω
 f
 max g (, t )
t[ 0 ,T ]
( 0 ,1)
2,1,ST1
 q
2 ,1,QT
2, Ω

2, 
 max g (, t )
t[ 0 ,T ]
(2.12)
[   ]]
2 ,
t[ 0 ,T ]
 q( x, t )  g ( x, t )  (dt ), ( x, t )  QT ;
( x, T )  ( x), t ( x, T )  ( x), x  ;

   f , ( s, t )  S T1
N '
0
T
 0,
 
Устремляя затем ε к нулю, получаем оценку
(2.3) с B  c  0 в случае неотрицательной меры μ. Иными словами, в случае неотрицательной меры μ оценка (2.3) с B  c  0 доказана.
Предположим теперь, что мера μ имеет произвольный знак. Тогда найдутся неотрицательные меры μ  , μ   M [0, T ] , такие, что μ = μ+ – μ–,
||μ|| = ||μ+|| + ||μ–||. Пусть η+, η– – решения начально-краевых задач

ηtt 
( aij η x j  bi η)  ai η xi  aη  cηt 
xi
 | S  0;
K].
2 ,Ω
lim max η k (, t )  η(, t )
1
T
T

Пользуясь затем леммой 1.6, получаем, что
найдутся подпоследовательность последовательности ηk, k = 1,2,…, которую мы обозначим
так же, как и исходную последовательность, и
функция η  V21,,01 (QT | ST0 ) , такие, что
N  t[ 0,T ]
2,1, ST1
2 ,
T
QT
(1)
( 0,1)
 f
2 ,1,QT
(1)
 c[ 
QT
для всех k ≥ k0(ε).
Из неравенства (2.12) и леммы 1.8 следует
неравенство
(1)
 Q  c [  2 ,    2,  
(2.13)
( 0,1)
 q 2 ,1,Q  f 2 ,1,S  max g (, t ) 2,  [   ]].
где введено следующее обозначение:
K  c[ φ
(2.11)
и
ηtt 

( aij η x j  bi η)  ai η xi  aη  cηt 
xi
  g ( x, t )μ  ( dt ), ( x, t )  QT ;
η( x, T )  η t ( x, T )  0, x  Ω;
η
 ςη  0, ( s, t )  S T1
N '
соответственно. По доказанному, данные задачи
однозначно разрешимы в V21,,01 (QT | ST0 ) , причём
η | S 0  0;
T
lim ηk  η
N 
2 ,ST1
 0,
(2.10)
ηk  η, N  , слабо в W21,0 (QT | ST0 ).
Записывая затем интегральное тождество из определения 2.1, в котором взято η ≡ ηk, μ ≡ μk, и
переходя в этом тождестве к пределу при k → ∞
с учётом соотношений (2.4) и (2.10), получаем,
что η удовлетворяет интегральному тождеству
(2.2).
Таким образом, существование решения задачи (2.1), принадлежащего энергетическому
классу, доказано.
3) Докажем априорную оценку (2.3). Вначале мы её докажем для случая неотрицательной
меры μ. Тогда все меры μk, k = 1,2,…, также неотрицательны, и потому ||μk|| → ||μ||, k → ∞. Следовательно, для любого фиксированного ε > 0
найдётся номер k0(ε), такой, что

QT
 B[ 
(1)
2, 
 max g (, t )
t [ 0 ,T ]

QT
 
2, 
2 ,
f

  q
 B max g (, t )
2 ,1,ST1
2,1,QT
2, 
t[ 0 ,T ]
( 0,1)

],
 ,
в силу чего для функции η  η  η , очевидно,
являющейся единственным решением задачи
(2.1) в V21,1 (QT ) , имеет место неравенство
 Q  
T
 f
( 0 ,1)
2,1, ST1
QT
 
QT
 B[ 
 max g (, t )
t[ 0 ,T ]
2, 
(1)
2 ,
 
  q
2, 
2,1,QT

].
Стало быть, оценка (2.3), а вместе с ней и теорема 2.1 полностью доказаны.
192
В.С. Гаврилов
Замечание. В работе [23] для случая линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с неоднородным третьим краевым условием и мерой Радона μ в правой части уравнения показано, что решение такого уравнения
можно представить в виде интеграла по мере μ
от решения подобного уравнения, в правой части которого находится дельта-мера Радона δτ,
сосредоточенная в точке отрезка [0,T]. Это напоминает метод Радона из [24, §22]. Аналогичный результат может быть доказан и для задачи
(2.1) для случая, когда f ≡ 0, q ≡ 0.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ
(проект 12-01-00199) и гранта Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг подведомственными высшими учебными заведениями (проект
1.1907.2011).
Список литературы
1. Lasiecka I., Lions J.-L., Triggiani R. Nonhomogeneous boundary value problems for second-order hyperbolic operators // J. Mat. Pures Appl. V.65. No.2. P.149–
192.
2. Lasiecka I., Sokolowski J. Regularity and strong
convergence of a variational approximation to a nonhomogeneous Dirichlet hyperbolic boundary problem //
SIAM J. Math. Anal. 1988. V.19. P.528–540.
3. Lasiecka I., Triggiani R. Sharp regularity theory
for second order hyperbolic equations of Neumann type,
I: L2 nonhomogeneous data // Ann. Mat. Pura Appl.
1990. V.157. P.285–367.
4. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity theory of
hyperbolic equations with non-homogeneous Neumann
boundary conditions, II: General boundary data // J. Diff.
Eq. 1991. V.94. P.112–164.
5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
6. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.
8. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.
9. White L.W. Control of hyperbolic problem with
pointwise stress constraints // JOTA. 1983. V.41. No.2.
P. 359–369.
10. White L.W. Distributed control of a hyperbolic
system with control and stress constraints // J. Math.
Anal. and Appl. 1985. V.106. No.1. P. 41–53.
11. Li X., Yong J. Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems. Birkhäuser Verlag, Basel,
1995.
12. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet
boundary control of hyperbolic equations in the presence
of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. V. 49. P.
145–157.
13. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann
boundary control of hyperbolic equations with pointwise
state constraints // SIAM J. Control Optim. V. 43. No. 4.
2005. P. 135–137.
14. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Принцип максимума Понтрягина в параметрической задаче субоптимального управления для дивергентного гиперболического уравнения с фазовым ограничением // В
кн. «Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100летию Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва,
17–22 июня 2008 г.». М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС
Пресс, 2008. С. 329–330.
15. Nowakowski A. Shape optimization of control
problems described by wave equations // Control and
Cybernetics. 2008. V. 37. No .4. P. 1045–1055.
16. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая
оптимизация для гиперболического уравнения дивергентного вида с поточечным фазовым ограничением. I // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47.
№4. С. 550–562.
17. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая
оптимизация для гиперболического уравнения дивергентного вида с поточечным фазовым ограничением. II // Дифференциальные уравнения. 2011. Т.47.
№5. С. 724–735.
18. Гаврилов В.С. О теоремах вложения для некоторых классов функций // Вестник Нижегородского
университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 2. С.
134–138.
19. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. М.: Наука, 1967.
20. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свёртка и представления.
М.: Наука, 1970.
21. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В.
Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
22. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями.
М.: Наука, 1977.
23. Gavrilov V.S., Sumin M.I. Perturbations method
in the theory of Pontryagin maximum principle for optimal control of divergent semilinear hyperbolic equations with pointwise state constraints // Control Theory
and Its Applications. Chapter 4. 2010.
24. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй
специальный курс. М.: Наука, 1965.
DIVERGENCE-FORM HYPERBOLIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
WITH DIFFERENT BOUNDARY CONDITIONS ON DIFFERENT PARTS OF THE BOUNDARIES
V.S. Gavrilov
Existence and uniqueness of an energetic solution is proved to an initial-boundary value problem for a semilinear
divergence-form hyperbolic differential equation. Specifically, the case is considered when on the one lateral surface
of a cylinder there is given a third nonuniform boundary condition whereas on the other one there is a uniform Dirichlet boundary condition. We also prove the existence and uniqueness of an energetic solution to the problem for a
linear divergence-form hyperbolic equation with a Radon measure on the right hand side of the equation.
Keywords: partial differential equations, initial- boundary value problems, Radon measures.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
376 Кб
Теги
граница, уравнения, вида, разными, условиями, краевыми, частям, дивергентного, разные, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа