close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Граничная задача сопряжения с коэффициентом имеющим особенности неголоморфной структуры для системы уравнений эллиптического типа.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2010, том 53, №11
МАТЕМАТИКА
УДК 517.55
Н.Усмонов, А.Мансуров
ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ С КОЭФФИЦИЕНТОМ,
ИМЕЮЩИМ ОСОБЕННОСТИ НЕГОЛОМОРФНОЙ СТРУКТУРЫ
ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Институт экономики Таджикистана
(Представлено академиком АН Республики Таджикистана Л.Г.Михайловым 20.11.2010 г.)
В работе исследуется граничная задача сопряжения с коэффициентом, имеющим особенности неголоморфной структуры, для системы уравнений эллиптического типа. Найдено решение,
имеющее конечный порядок на бесконечности, а также решение, исчезающее на бесконечности.
Ключевые слова: голоморфная функция – кусочноголоморфная функция – квазиголоморфная функция
– квазикусочноголоморфная функция.
В монографии И.Н.Векуа [1] построена теория обобщѐнных аналитических функций, то есть
функций W z   u x, y   ivx, y , действительная и мнимая части которых удовлетворяют систему
уравнений эллиптического типа
 u v
 x  y  ax, y u  bx, y v  f x, y ,


 u  v  bx, y u  ax, y v  g x, y .
 x y
(1)
При a  b  d  f  g  0 система (1) переходит в систему уравнений Коши – Римана, определяющую аналитическую функцию z   u  iv .
С помощью оператора комплексного дифференцирования  z 
1 

  i 
2  x y 
систему (1)
можно переписать в комплексной форме
 z W  AW  BW  F ,
(2)
где
A
1
 a  d  ic  ib  , B  14  a  d  ci  id  , F  12  f  ig  .
4
Адрес для корреспонденции: Усмонов Нурулло Усмонович. 734013, Республика Таджикистана, г. Душанбе, ул.
Дружбы народов, 94, Институт экономики Таджикистана. E-mail: dit-dj@mail.ru, сайт: www.Iet.tj
832
Математика
Н.Усмонов, А.Мансуров
Используя известное представление (см. [1]) регулярного решения уравнения (2) через аналитическую функцию, Л.Г.Михайлов [2] свѐл решение задачи сопряжения к решению такой же задачи в
классе аналитических функций.
В настоящей работе рассматриваются уравнения (1) с краевыми условиями, которые имеют
особенности неголоморфной структуры.
Положив в (1) u  z   u1  z 
z 
 z   
получим
u1
z
 B z   
A 
1
, где
u

d .
    z
z
  z 
u1
z
    u1  

 u

     A  u1  ,
z
 z

B    
dT  z  .
. Тогда ([2]) u1 z    

Tz
1
Таким образом, получаем общее представление решения уравнения (1)
u z      z  F z   z .
(3)
B    
1 A d
d ,  z    
Здесь F z    
, z  – произвольная аналитиче
 z

 z
1
ская функция. F z  и
 z  обладают свойствами 1-5 из [2]. Если z  в (3) кусочноголоморфна, то
u z  назовем квазикусочноголоморфной.
Если
  t     t    t 
удовлетворяет условию H , то   z  
1  t 
dt и (3) по2i  t  z
зволяет получить интегральное представление квазикусочногоморфных функций
 1  t 

uz   
dt  F z     z  .

 2i t  z

(4)
Отсюда
u  t0   u  t0    t0    t0  ,
 1  t 

u  t 0   u  t 0    
dt  2 F t 0     t0  .
 i t  t 0

(5)
Из (3) следует, что




u  t 0    t    t   F t  , u  t    t    t   F t  ,
Если u  t   u  t  на L и
u  , u  z   F  z      z  .
u     0, то   t     t  и      0 . По теореме Лиувиля
 z   0 .
  и по обобщенной теореме Лиувиля
Если uz z   0 z n
u z   F z   Pz     z 
833
z   Pz  и, следовательно,
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №11
Если квазикусочноголоморфная функция непрерывна во всей плоскости и имеет конечный
порядок на бесконечности, то она имеет вид
u z   F z   Pz     z  .
Это решение исчезает на бесконечности, а общий вид решений, имеющих конечный порядок
на бесконечности, будет
 1  t     t 

u z   
dt  F z   Pz     z  .

tz
 2i

Теперь рассмотрим граничную задачу сопряжения с коэффициентом, имеющим особенности
неголоморфной структуры
Однородная задача
Пусть
J
U  t  
 t 
dr
r
r 1
N
 t 
Pt u  t ,
(6)
Sn
n
n 1
d n , sn 
произвольные комплексные числа с положительной вещественной частью.

Обозначим

r 1

N
r 1
n 1

  s   q      ,  q ,  q 
 dr   qr1   r1 ,
r 1
N
n 1

N
n
2
n
n 1
2
n
r 1
N
1
r
n 1
2
n
- целые числа,
  n1 ,   n2   их дробная часть, то есть 0  Re r1  1, 0  Re n2  1 .
Поскольку

 t  r
dr
r 1

I

 N
d
  t   r  r  exp  i  Qn2 dr ,  t   n
r 1
 r 1
 n1
Sn
N
 

S
  t   n  n  exp  i  Qn2  sn ,
n1
 r 1

где
 r1  argt   r ,  n2   argt   n  ,
то краевое условие (6) принимает вид

U  t  
 t  
qr 
 t   
2
qr  r 1
r 1
N
n 1
r
1

 r1
 t  r 
N
  t  r 
1
 r 
n 1

 N 2

1
exp  i  n  sn i  r  dr  P  t U   t  .
r 1
 n 1

r
Подставляя полученные значения U

t , U t  в (3), получим

834
Математика
Н.Усмонов, А.Мансуров


 t   

r
  t  F t     t  
r 1
N
qr1 

N
t   r   t   r 



q
1 
r
 t   
2
r 1
r
1 
r
n 1
 N
exp i   n2  s n 
 n 1
r
(7)
n 1


 i   r1 dr   Pt    1 t   F t ,
r 1

где  1 t   F t     t .

Полагая в (7) 1 z  
N
q
 z   n 
2 
n
 Z qn  2 z  , имеем
2 
n 1

  t    t   r  n  At  2 t   F t ,
q 1 
r 1
где

At    t   r 
 r1
F
 j
 z   
qn 2 
n
r 1
Построим многочлен
N
n1

 N

exp i  n2  sn i  n1dr 
r 1
 n1

 qn 2 
 Pt  .
(8)
T t  так, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
   T      j  1,2,, , r  0,1,2,..., q    1 .
j
r
1
n
r
(9)
Воспользуясь (9), перепишем (8) в следующем виде

T t    t    t   r  n  At  2 t   T t   F t ,

q 1 
r 1

  t   T t    t   r 
r 1
qr1 
N
 At  n t    t   n 
qn1 
F1 t 
n 1
  t   T t 

 t   
q 1 
 At  2 t   F1 t ,
r
r
r 1
или
1  At  2 t   F1 t  ,
(10)
где
1 
  t   T t 

 t   
q n1 
.
r
r 1
Функция
At  в точках t   r , t   n имеет разрыв первого рода. Решение задачи будем ис-
кать в классе функций, интегрируемых на контуре. Метод решения задачи (10) заключается в сведении еѐ к задаче с непрерывным коэффициентом. Для этого строятся специальные функции, имеющие
835
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №11
At  , и такие, чтобы, считая их коэффициентами задачи,
в точках t   r , t   n те же разрывы, что и
можно было для них решить эту задачу. Вводя затем с их помощью новые неизвестные функции, мы
придѐм к задаче уже с непрерывными коэффициентами.
Приступим к построению вспомогательных функций. Идея построения таких функций заключается в возможности рассматривать многозначную аналитическую функцию на соответствующим
образом разрезанной плоскости как однозначную разрывную функцию.
Вводя новые подстановки

1 z    z   r 
 r1 
r 1
 r1 
 z r 

1 z    
r 1  z  z0 

N

 z   
 n 2 
n
 2 z  ,
n 1
 z  n 



n 1  z  z0 
N
 n 2 
 2 z  ,
придем к задаче с непрерывным коэффициентом

N
 t     t   
 1 
  2 
r
r
n
n
r 1
n 1
 z  r
 2 t    
r 1  z  z 0




 r1 
 z  n


n 1  z  z 0
N



 n 2 
At  2 z   F1 t ,
или

1 z    z  z 0 
 r1 
r 1
N

 z  z 0 
2
n
n 1

At  2 t    t   r 
r 1

Заменяя непрерывный коэффициент
 r1 
N
N

 t   
 n 2 
n
F1 t .
n 1

 z  z   z  z  At  отношением канони r1 
 n 2 
0
0
r 1
n 1
ческих функций, придадим краевому условию форму

N
t   r   t   n 
 1 t   2 t  
n 1
   r 1

 t   t 
  t 
1 
r
2 
n
F1 t 
.
Последняя задача есть задача определения аналитической функции по заданному скачку,
 2 t 
причѐм на бесконечности функция 
имеет порядок – æ.
 t 

  z    t   r 
 r1 
r 1
 z  r
 2 z    
r 1  z  z 0




N

 t   
 n 2 
n


   z    z   Pж z  ,
n 1
 r1 
 z  n


n 1  z  z 0
N



836
 n 2 


 3 z    z   Pж t  ,
Математика
Н.Усмонов, А.Мансуров

  z    z   r  n
q 1 
r 1
N
  z    t   n 
  2 
n
Z
n 1

N


 z   r   z   n 
1 
n
r 1
 qn2
2 
n


  z    z   Pї t   T t  ,
n 1
 z  r 



r 1  z  z 0 


 r1 
 z  n


n 1  z  z 0
N



 n 2 
N
t   r   t   n 

1 r 1
n 1
 z  
2i L
     z 
1 
r
2 
n


  z    z   Pї z   F z ,
F1 t 
d .
В итоге, общее решение поставленной задачи представляется в виде




N


q 1 
 2 
 2 
U  z   F z    z   r  n  z   r  r  z   n  n   z    z   Pж t   T t  
r 1
r 1
n 1



N

2 
 z  r

q 1 
U   z     t   F t    t   n  n  Z  qn  
n 1
r 1  z  z 0

   z    z   Pї z  .





 r1 
 z  n


n 1  z  z 0
N



 n 2 
 z  n


n 1  z  z 0
N



 n 2 

Отметим, что если на решение наложить дополнительное условие      0, то нужно заменить Pї  z  на Pї -1  z  .
Аналогично исследуется неоднородная задача.
Анализируя вышеприведенные рассуждения, можно сделать следующий общий вывод. Наличие нулей коэффициентов на контуре не влияет на число решений и условий разрешимости задачи.
Далее, условия разрешимости, конечно, меняют свой вид. В частности, для их выполнимости недостаточно, чтобы коэффициенты просто удовлетворяли условию Гѐльдера, нужно также потребовать
существование производных коэффициентов соответствующего порядка в точках нулей.
Если коэффициент Pt  имеет полюсы, то число линейно независимых решений однородной
задачи уменьшается от числа полюсов на число, не большее, чем суммарный порядок полюсов Pt  .
Поступило 20.09.2010 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
Векуа И.Н. Обобщѐнные аналитические функции физматгиз. – М., 1959, 509 с.
Михайлов Л.Г.– Труды физико-математического факультета, 1957, т. 10, Сталинабад, с. 23-31.
Михайлов Л.Г., Усмонов Н.У. ДАН России. 2002, т.387,№3, с.309-313.
Усмонов Н, Мансуров А. – Крайовi задачi для дифференциальних рiвнянь – г. Чернiвци видавництво «Прут», 2009, с.304–309
837
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №11
Н.Усмонов, А.Мансуров
МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ЊАМРОЊШУДА БО КОЭФФИСИЕНТИ
МАХСУСИ ЃАЙРИГОЛОМОРФЇ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛАЊОИ
ЭЛЛИПТИКЇ
Донишкадаи иќтисодии Тољикистон
Дар маќола масъалаи канории њамроњшуда бо коэффисиенти махсуси ѓайриголоморфї
барои системаи муодилањои эллиптикї тадќиќ карда мешавад. Њаллњои дар беохирї мањдуд ва
ба нол табдилёбандаи масъала ёфта шудаанд.
Калимањои калидї: функсияи голоморфї – функсияи ќисм-ќисм голоморфї – функсияи
квазиголоморфї – функсияи ќисм-ќисм квазиголоморфї.
N.Usmonov, A.Mansurov
CONJUGATE BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH COEFFICIENTS
OF NONHOLOMORPHIC SINGULARITY FOR A SYSTEM OF ELLIPTIC
EQUATIONS
Tajik Economcs Institute
Conjugate boundary value problem with coefficients of nonholomorphic singularity for a system of
elliptic equations is investigated in the paper. Solutions with finite order in the infinity and solutions vanishing in the infinity are fined.
Key words: holomorphic function – partially holomorphyc function – quasiholomorphyc function – partially
quasiholomorphyc function.
838
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа