close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом.

код для вставкиСкачать
УДК 519.2
К.И. Лившиц, И.Ю. Шифердекер
ДИФФУЗИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НЕКОММЕРЧЕСКОГО ФОНДА ПРИ РЕЛЕЙНОМ
УПРАВЛЕНИИ КАПИТАЛОМ
Исследуются статистические характеристики математической модели деятельности некоммерческого фонда в диффузионном
приближении и при релейном управлении капиталом фонда.
Математическая модель изменения
капитала фонда
Как и в [1], под некоммерческим фондом понимается
организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли. Основной характеристикой состояния фонда является его капитал s (t )
в момент времени t . В работе предполагается, что с капиталом s(t ) могут происходить следующие изменения:
1. В фонд поступают денежные средства. Будем
считать, что моменты поступления денежных средств
образуют пуассоновский поток с интенсивностью λ .
Поступающие денежные суммы (премии) являются
независимыми одинаково распределенными величинами с плотностью распределения ϕ( x) , средним значе-
нием M { x} = a и вторым моментом M { x 2 } = a2 .
Рассмотрим два близких момента времени t и t + Δt . В
силу сделанных предположений изменение капитала
фонда за время Δt определяется следующим соотношением:
⎧−b(s)Δt с вероятностью (1 − λΔt ) + o(Δt ),
Δs(t ) = ⎨
(3)
⎩ x − b(s)Δt с вероятностью λΔt ϕ( x)dx + o(Δt ),
откуда, считая функцию p( s, t ) дифференцируемой по
s и t и используя формулу полной вероятности [3],
получим [1], что p ( s, t ) удовлетворяет уравнению
∞
λp ( s, t ) = b( s )
∂p( s, t ) ∂p( s, t )
−
+ λ ∫ p( s − x, t )ϕ( x)dx . (4)
∂s
∂t
0
2. Фонд расходует поступившие средства. Будем
считать, что расходование денежных средств происходит непрерывно во времени со скоростью b( s ) , так что
Решение уравнения (4) должно удовлетворять начальному условию
за время Δt выплата составляет b( s )Δt . Предполагается, что управление расходованием денежных средств
имеет релейный характер
p ( s ,0 ) = p 0 ( s ) ,
⎧b0 , s < s0,
b( s ) = ⎨
⎩ b1 , s > s0
+∞
∫ p( s, t )ds = 1 .
(6)
−∞
(2)
Таким образом, при s < s0 фонд расходует в среднем меньше, чем собирает, а при s > s 0 расходует в
среднем больше денежных средств, чем в него поступает. Величина θ имеет тот же смысл, что и нагрузка
страховой премии в задачах страхования [2]. В дальнейшем считается, что θ << 1.
Наконец, будем считать, что при s < 0 фонд не прекращает своей деятельности, но наступает период неплатежеспособности фонда, обязательства фонда выполняются по мере поступления денежных средств.
Плотность распределения
капитала фонда
Обозначим через p( s, t ) плотность распределения
вероятностей капитала фонда s в момент времени t .
38
где p 0 ( s ) – заданная функция, и условию нормировки
(1)
для некоторого значения капитала s 0 . Так как фонд не
имеет целью получение прибыли, то естественно считать, что при 0 < θ < 1
b0 = (1 − θ)λa, b1 = (1 + θ)λa.
(5)
Наконец, интегрируя уравнение (4) в пределах
и учитывая соотношения (1) и (6), получим,
(−∞,+∞ )
что при s = s 0 должно выполняться условие
b0 p(s 0 − 0, t ) = b1 p( s 0 + 0, t ).
(7)
В дальнейшем считаем, что s 0 = 0 , чего всегда
можно добиться перенеся начало отсчета.
Пусть θ << 1. Решение уравнения (4) будем иметь в
виде
p( s, t ) = θψ(θs, λθ2 t , θ).
(8)
Подставив выражение (8) в уравнение (4) после замены переменных
z = θs, τ = λθ 2 t ,
получим уравнение относительно функции ψ ( z , τ, θ)
(9)
⎛ z ⎞ ∂ψ ( z , τ, θ)
λψ ( z , τ, θ) = b ⎜ ⎟ θ
−
∂z
⎝θ⎠
∞
∂ψ ( z , τ, θ)
−λθ
+ λ ∫ ψ ( z − θx, τ, θ)ϕ( x)dx.
∂τ
0
∞
Пусть
(10)
2
Считая функцию ψ ( z , τ, θ) дважды дифференцируемой по z , можно записать
•
ψ ( z − θx , τ, θ) = ψ ( z , τ, θ) − ψ z ( z , τ, θ)θx +
θ x
2
••
+ ψ z ( z , τ, θ )
2
2
(11)
+ o(θ ).
2
F ( z , ω) = ∫ ψ ( z , τ)e −ωτ d τ
Лапласа функции ψ ( z , τ) . Применяя преобразование
Лапласа к уравнениям (15) и (16), получим
a2 ∂ 2 F ( z , ω)
∂F ( z , ω)
+a
− ωF ( z , ω) = 0,
2
∂z 2
∂z
z > 0, (20)
a2 ∂ 2 F ( z , ω)
∂F ( z , ω)
−a
− ωF ( z , ω) = 0,
2
2
∂z
∂z
z < 0. (21)
Рассмотрим область z > 0 . Характеристическое
уравнение уравнения (20)
Подставляя разложение (11) в уравнение (10), получим, что в области z > 0
a2 2 ∂ 2
∂
θ
ψ ( z , τ, θ) + aθ2 ψ ( z , τ, θ) −
2
2
∂z
∂z
∂
−θ2 ψ ( z , τ, θ) + o(θ2 ) = 0,
∂τ
– преобразование
0
a2 2
k + ak − ω = 0
2
имеет корни
(12)
k1 (ω) =
а в области z < 0
− a + a 2 + 2a 2 ω
a2
, k2 (ω) =
− a − a 2 + 2 a2 ω
a2
. (22)
Поэтому
a2 2 ∂ 2
∂
θ
ψ ( z , τ, θ) − aθ2 ψ ( z , τ, θ) −
2
2
∂z
∂z
2 ∂
2
−θ
ψ ( z , τ, θ) + o(θ ) = 0.
∂τ
F ( z , ω) = C1 (ω)e k1 (ω) z + C2 (ω)e k2 ( ω) z .
(13)
Так как при z → ∞ F ( z , ω) → 0, то C1 (ω) = 0 . Таким образом, при z > 0
Пусть существует
F ( z , ω) = C (ω)e k2 ( ω) z .
ψ ( z , τ) = lim ψ ( z , τ, θ) .
θ→ 0
(14)
Переходя в уравнениях (12) и (13) к пределу при
θ → 0 , получим
a2 ∂ 2 ψ ( z , τ )
∂ψ( z , τ) ∂ψ ( z , τ)
+a
=
, z > 0,
2
∂z 2
∂z
∂τ
(15)
a2 ∂ 2 ψ ( z , τ )
∂ψ ( z , τ) ∂ψ ( z , τ)
−a
=
, z < 0.
2
∂z 2
∂z
∂τ
(16)
(23)
Рассмотрим область z < 0 . Характеристическое
уравнение уравнения (21)
a2 2
m − am − ω = 0
2
имеет корни
Условие нормировки (6) при этом перепишется в
виде
m1 (ω) =
a − a 2 + 2a 2 ω
a2
, m2 (ω) =
a + a 2 + 2a2 ω
a2
. (24)
Поэтому
+∞
∫ ψ( z, τ)dz = 1,
(17)
−∞
Так как при z → −∞ F ( z , ω) → 0, то d1 (ω) = 0 . Таким образом, при z < 0
условие сшивания (7) принимает вид
ψ (0 − 0, t ) = ψ (0 + 0, t )
F ( z , ω) = d1 (ω)em1 (ω) z + d 2 (ω)e m2 ( ω) z .
(18)
F ( z , ω) = d (ω)em2 (ω) z .
(25)
и, наконец, начальное условие (5) дает
1 ⎛ z + θs0
ψ ( z , 0) = lim p0 ⎜
θ→ 0 θ
⎝ θ
⎞
⎟ = δ( z ).
⎠
(19)
Далее условие сшивания (18) дает d (ω) = C (ω) . Наконец, из условия нормировки (17) получим, учитывая,
что k2 (ω) = −m2 (ω) ,
39
C (ω) =
m2 (ω)
.
2ω
p ( s, t ) =
Таким образом, окончательно
F ( z , ω) =
m2 (ω) − m2 (ω) z
e
.
2ω
(26)
Пусть ψ ( z ) = lim ψ ( z , t ).
t →∞
Учитывая предельное соотношение между функцией ψ ( z , t ) и ее преобразованием Лапласа F ( z , ω) [4]:
1
2πλa2 t
e
−
( s + λat θ )
2 λ a2 t
2
+
θa
2 a2
e
z →0
p0 = p {s < − s0 } =
получим, что
⎛ 2a z ⎞
a
ψ( z ) = exp ⎜ −
⎟.
a2
⎝ a2 ⎠
(27)
При произвольных значениях t функция ψ ( z , t ) определяется как обратное преобразование Лапласа
функции F ( z , ω) :
ψ( z, t ) =
1
F ( z , ω)eωt d ω .
2πj ∫i
После несложных преобразований
F ( z , ω) (26) можно переписать в виде
F ( z , ω) =
1
2a2
e
−
az
a2
1
p −β
2 z
a2
β =
, α=
2 a2
a2
⎛ s − λaθt ⎞
. (30)
⎜ 2λa t ⎟⎟
2
⎝
⎠
Erfc ⎜
⎛ 2aθ ⎞
1
s0 ⎟ .
exp ⎜ −
2
⎝ a2
⎠
p1 = p{s > 0} =
(31)
1
.
2
(32)
Задавая вероятность p 0 , можно определить допустимые θ и s 0 , определяющие заданную вероятность
неплатежеспособности фонда.
Плотность распределения капитала фонда
в стационарном режиме
функцию
В стационарном режиме полученное выше выражение (29) для плотности капитала фонда p(s ) может
быть уточнено. В соответствии с (4) в стационарном
режиме плотность p(s ) определяется уравнением
e −α p ,
∞
λp ( s ) = b( s )
, p = ω+β ,
2
∂p( s )
+ λ ∫ p( s − x)ϕ( x)dx .
∂s
0
(33)
Решение уравнения (33) будем искать в виде
откуда [5]:
ψ( z, t ) =
a2
Фонд производит повышенные выплаты, когда его
капитал s > 0 (с учетом переноса начала отсчета). Из
соотношения (29) вероятность этого события
где
2
2 aθ s
Зная плотность распределения капитала фонда,
можно определить такие его характеристики, как вероятность неплатежеспособности фонда и вероятность
повышенных выплат. Рассмотрим только стационарный
режим, когда плотность распределения капитала фонда
определяется соотношением (28).
Фонд не может производить текущие выплаты, когда капитал становится отрицательным ( s < − s 0 с учетом переноса начала отсчета). Из соотношения (29)
вероятность этого события
lim ψ ( z , t ) = lim ωF ( z , ω),
t →∞
−
1
2πa2 t
e
( z + at )2
−
2 a2t
p( s ) = θψ (θs, θ).
+
a
e
2 a2
2a z
−
a2
⎛ z − at ⎞
Erfc ⎜
⎟ , (28)
⎜ 2a t ⎟
2 ⎠
⎝
(34)
Функция ψ ( z , θ) , очевидно, удовлетворяет уравнению
∞
где Erfc(x) =
2
π
∞
∫e
−t 2
⎛ z ⎞ ∂ψ ( z , θ)
λψ ( z , θ) = θb ⎜ ⎟
+ λ ∫ ψ ( z − θx, θ)ϕ( x)dx. (35)
⎝ θ ⎠ ∂z
0
dt.
x
Переходя от функций ψ ( z ) и ψ ( z , t ) к плотностям
распределения p(s ) и p( s, t ) соответственно, получим,
учитывая (8) и (14),
⎛ 2a s θ ⎞
θa
exp ⎜ −
p( s) =
⎟ + o(θ),
a2
a2 ⎠
⎝
(29)
Считая функцию ψ ( z , θ) трижды дифференцируемой по z , раскладывая подынтегральную функцию в
ряд Тейлора и ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, получим, что в области z > 0
a
a3 ∂ 3 ψ ( z , θ)
∂ψ ( z , θ) a2 ∂ 2 ψ ( z , θ)
+
−
θ
+ o(θ) = 0 , (36)
∂z
∂z 2
∂z 3
2
6
а в области z < 0
40
−a
a3 ∂ 3 ψ ( z , θ)
∂ψ ( z , θ) a2 ∂ 2 ψ ( z , θ)
+
−
θ
+ o(θ) = 0 , (37)
2
6
∂z
∂z 2
∂z 3
Пример. В качестве примера рассмотрим случай,
когда плотность распределения поступающих средств
описывается гамма-распределением
где a3 = M { x 3 } .
ϕ( x) =
Пусть теперь
ψ ( z , θ) = ψ 0 ( z ) + ψ1 ( z )θ + o(θ) .
(38)
Решение уравнения (33) в этом случае имеет вид
Подставляя разложение (38) в уравнения (36) и (37) и
приравнивая коэффициенты при степенях θ , получим
⎧ a2 d 2 ψ 0 ( z )
d ψ0 ( z)
+a
= 0,
⎪⎪
2 dz 2
dz
⎨
2
⎪ a2 d ψ 0 ( z ) − a d ψ 0 ( z ) = 0,
⎪⎩ 2 dz 2
dz
x
⎛ x⎞
exp ⎜ − ⎟ .
2
α
⎝ α⎠
⎧d exp(k1 s ), s < 0,
p( s ) = ⎨
⎩C1 exp( z1 s ) + C2 exp( z2 s ), s > 0,
(46)
где
z > 0,
(39)
z < 0;
k1 =
−(3 − 4θ) + 9 − 8θ
,
4λ(1 − θ)
C1 = d
а функция ψ1 ( z ) удовлетворяет уравнениям
z1,2 =
−(3 + 4θ) ± 9 + 8θ
,
4λ (1 + θ)
α(1 − θ) 2 (k1 − z2 ) − θ
α (1 − θ) 2 (k1 − z1 ) − θ
=
,
C
d
2
α(1 + θ) 2 ( z1 − z2 )
α (1 + θ)2 ( z2 − z1 )
и параметр
⎧ a2 d 2 ψ1 ( z )
d ψ1 ( z ) a3 d 3 ψ 0 ( z )
, z > 0,
a
+
=
⎪⎪
2 dz 2
6 dz 3
dz
⎨
2
3
⎪ a2 d ψ1 ( z ) − a d ψ1 ( z ) = a3 d ψ 0 ( z ) , z < 0.
⎪⎩ 2 dz 2
6 dz 3
dz
−1
(40)
Условие нормировки (17) дает теперь
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ψ 0 ( z )dz = 1,
∫ ψ ( z )dz = 0,
1
(41)
⎡ 1 α(1 − θ) 2 (k1 − z2 ) − θ α (1 − θ)2 (k1 − z1 ) − θ ⎤
d =⎢ −
−
⎥ .
2
α (1 + θ) 2 ( z 2 − z1 ) z2 ⎦
⎣ k1 α(1 + θ) ( z1 − z2 ) z1
Графики функции p(s ) (46) и ее аппроксимаций
p1 ( s ) и p 2 ( s ) , полученных по формулам (29) и (45)
соответственно, приведены на рис. 1. Параметр α = 1 ,
параметр θ = 0,1; 0,5 .
а условие сшивания (7) перепишется в виде
ψ 0 (0 − 0) = ψ 0 (0 + 0),
ψ1 (0 − 0) − ψ 0 (0 − 0) = ψ1 (0 + 0) + ψ 0 (0 + 0).
(42)
Из соотношений (39), (41), (42) следует, что функция ψ 0 ( z ) определяется соотношением (27):
ψ0 ( z) =
⎛ 2a z
a
exp ⎜ −
a2
⎝ a2
⎞
⎟,
⎠
(43)
а решение системы (40), удовлетворяющее условиям
(41), (42), имеет вид
⎧⎛ 4a3 a3
⎛ 2az ⎞
a⎞
z − ⎟ exp ⎜ −
⎪⎜
⎟ , z > 0,
4
a2 ⎠
⎝ a2 ⎠
⎪⎝ 3a2
ψ1 ( z ) = ⎨
3
⎛ 2az ⎞
a⎞
⎪⎛ 4a3 a
⎪⎜ 3a 4 z + a ⎟ exp ⎜ a ⎟ , z < 0,
⎝ 2 ⎠
2 ⎠
⎩⎝ 2
(44)
откуда при малых θ плотность распределения капитала фонда
⎧ θa ⎡
⎛ 4a a 2 ⎞ ⎤
⎛ 2aθs ⎞
⎪ ⎢1 − θ ⎜1 − 3 3 θs ⎟ ⎥ exp ⎜ −
⎟ , s > 0,
3a2
⎪ a2 ⎢⎣
⎝ a2 ⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
p( s) = ⎨
(45)
⎛ 4a3 a 2 ⎞ ⎤
⎛ 2aθs ⎞
⎪ θa ⎡
⎪ a ⎢1 + θ ⎜1 + 3a 3 θs ⎟ ⎥ exp ⎜ a ⎟ , s < 0.
2
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
⎩ 2 ⎢⎣
Рис. 1
41
Плотность распределения периода
неплатежеспособности
Неплатежеспособность фонда наступает при s < 0 .
Обозначим через t ( s ) продолжительность периода неплатежеспособности фонда при условии, что в начале
периода капитал фонда равен s (естественно, s < 0 ).
Пусть прошло времени Δt . За это время капитал фонда
изменится на величину Δs и
t ( s ) = Δt + t ( s + Δs ).
(47)
λa2 2 ∂ 2 f (v, z , θ)
∂f (v, z , θ)
θ
+ λ aθ 2
−
2
∂z 2
∂z
−vθ2 f (v, z , θ) + o(θ2 ) = 0.
Пусть существует
f (v, z ) = lim f (v, z , θ) .
(52)
θ→ 0
Переходя в (51) к пределу при θ → 0 , получим, что
функция f (v, z ) определяется уравнением
Обозначим через F (u , s ) = M {e − ut ( s ) } характеристи-
λ a 2 ∂ 2 f (v , z )
∂f (v, z )
+ λa
− vf (v, z ) = 0
∂z 2
∂z
2
ческую функцию величины t ( s ) . Из соотношения (47)
имеем, очевидно, F (u , s ) = e − u Δt M Δs { F (u, s + Δs )} .
(51)
(53)
с вытекающим из (50) начальным условием f (v,0) = 1 .
Характеристическое уравнение уравнения (53)
Или, учитывая (3), при малом Δt и s < 0
λa2 2
k + λak − v = 0
2
F(u, s) = e−uΔt ×
−s
∞
⎡
⎤
×⎢(1−λΔt)F(u, s − b0Δt) +λΔt ∫ F(u, s + x)ϕ(x)dx +λΔt ∫ ϕ(x)dx⎥ +
⎣
⎦
−s
0
+ o(Δt),
так как при s > 0 t (s ) = 0 . Считая функцию F (u, s )
дифференцируемой на s и переходя к пределу при
Δt → 0 , получим уравнение, определяющее F (u, s ) ,
имеет корни
k1 =
−λa + λ 2 a 2 + 2λa2 v
λ a2
Учитывая,
что
, k2 =
−λa − λ 2 a 2 + 2λa2 v
F (u , s ) ≤ 1
λa2
и,
.(54)
следовательно,
f (v, s ) ≤ 1 , получаем, что решение уравнения (53)
∂F (u, s )
+ (u + λ ) F (u , s ) −
(1 − θ)λa
∂s
−s
∞
0
−s
−λ ∫ F (u, s + x)ϕ( x)dx − λ ∫ ϕ( x)dx = 0.
имеет вид
(48)
⎡ ⎛ u ⎞ ⎤
F (u , s ) = exp ⎢ k1 ⎜ 2 ⎟ θs ⎥ .
⎣ ⎝θ ⎠ ⎦
(49)
Подставляя выражение (49) в уравнение (48) после
замены переменных z = θ ⋅ s , v = u θ2 , получим уравнение относительно f (v, z , θ)
Плотность распределения капитала s при условии,
что s < 0 , как вытекает из соотношений (29) (31), в
стационарном режиме имеет вид
p ( s s < 0) =
∂f (v, z , θ)
θ(1 − θ)λa
+ ( θ 2 v + λ ) f (v , z , θ) −
∂z
−z
−λ
θ
∫
0
(50)
∞
f (v, z + θx, θ)ϕ( x)dx − λ
∫
−z
ϕ( x)dx = 0.
2 aθ
e
a2
2 a θs
a2
.
Поэтому безусловная характеристическая функция
периода неплатежеспособности
θ
0
Будем предполагать, что при z >> 1 ϕ(z ) ≤ μe
– γz
для некоторых μ и γ , а функция f (v, z , θ) дважды
дифференцируема
по
z . Тогда,
раскладывая
f (v, z + θx, θ) в ряд Тейлора и ограничившись первыми
тремя членами разложения, получим
42
(55)
откуда при θ << 1 характеристическая функция F (u, s )
определяется соотношением
Решение уравнения (48) будем искать в виде
⎛u
⎞
F (u , s ) = f ⎜ 2 , θs, θ ⎟ .
θ
⎝
⎠
f (v, z ) = exp [ k1 (ν ) z ] ,
F (u ) =
∫ F (u, s) p ( s s < 0 ) ds = 1 +
−∞
2
1 + αu
,
(56)
где α = 2a2 λa 2 θ2 .
Вычисляя обратное преобразование Лапласа от
функции (56), получим [5], что при θ << 1 плотность
распределения периода неплатежеспособности имеет
вид
p(t ) =
1
⎛
⎞
⎛ t ⎞ 2
⎛ t ⎞2 ⎟
⎜
exp ⎜ − ⎟ − Erfc ⎜ ⎟ .
⎜⎝ α ⎠ ⎟
παt
⎝ α⎠ α
⎝
⎠
2
(57)
F (u , s ) = e − u Δt ×
Пример. В качестве примера рассмотрим случай,
когда плотность распределения поступающих средств
описывается показательным распределением
ϕ( x ) =
1 − sa
e .
a
∞
⎡
⎤
× ⎢ (1 − λΔt ) F (u, s − b1Δt ) + λΔt ∫ F (u, s − b1Δt + x)ϕ( x)dx ⎥ +
0
⎣
⎦
+ o(Δt ).
Переходя к пределу при Δt → 0 и считая функцию
F (u, s ) дифференцируемой по s , получим уравнение,
Плотность распределения периода неплатежеспособности определяется при этом соотношением [1]:
λθ
или, учитывая (3), при малом Δt в области s > s 0 получим
определяющее F (u, s ) :
(1 + θ)λa
∞
1
p0 (t ) =
I1 (2λ 1 − θ x)e −λ (2 −θ ) x dx ,
∫
1− θ t x
(58)
∂F (u, s )
+ (u + λ ) F (u, s ) −
∂s
∞
−λ ∫ F (u , s + x )ϕ( x )dx = 0.
где I1 ( x) – модифицированная функция Бесселя первого порядка. Графики функции p 0 (t ) (58) и ее аппроксимации p(t ) (57) при λ = 1 и θ = 0,1; 0,5 приведены
на рис. 2.
(60)
0
При s = s 0 величина s0 − b1Δt < 0 . Поэтому при
s = s 0 имеем
F (u , s ) = e − u Δt ×
∞
⎡
⎤
× ⎢ (1 − λΔt ) + λΔt ∫ F (u , s + x)ϕ( x)dx ⎥ + o(Δt ).
0
⎣
⎦
Переходя к пределу при Δt → 0 получим отсюда
граничное условие в точке s = s0
F (u, s0 ) = 1 .
(61)
Решение уравнения (61) будем искать в виде
⎛u
⎞
F (u , s ) = f ⎜ 2 , θs, θ ⎟ .
⎝θ
⎠
(62)
Рис. 2
Подставляя выражение (62) в уравнение (60) после
2
замены переменных z = θ ⋅ s, v = u θ , получим уравне-
Плотность распределения периода
повышенных выплат
ние относительно f (v, z , θ)
Период повышенных выплат наступает, когда капитал фонда s > s 0 . Обозначим через t (s ) продолжительность периода повышенных выплат, если в начале периода капитал фонда равен s ( s ≥ s0 ) . Пусть прошло
время Δt . За это время капитал фонда изменится на
величину Δs и
t ( s ) = Δt + t ( s + Δs ) .
(59)
Обозначим через F (u , s ) = M {e − ut ( s ) } характеристическую функцию величины t (s ) . Из соотношения (59)
имеем
F (u , s ) = e
− u Δt
M Δs { F (u, s + Δs )} ,
(1 + θ)θλa
∂f (v, z , θ)
+ ( θ 2 v + λ ) f ( v, z , θ ) −
∂z
∞
−λ ∫ f (v, z + θx, θ)ϕ( x )dx = 0.
(63)
0
Считая функцию
f (v, z , θ) дважды дифференци-
руемой по z , раскладывая f (v, z + θx, θ) в ряд Тейлора
и ограничиваясь первыми тремя членами разложения,
получим
λa2 2 ∂ 2 f (v, z , θ)
∂f (v, z , θ)
θ
− λaθ 2
−
2
∂z 2
∂z
−vθ2 f (v, z , θ) + o(θ2 ) = 0.
(64)
43
Или, с учетом условия (61),
Пусть существует
f (v, z ) = lim f (v, z , θ) .
(65)
θ→ 0
Переходя в (64) к пределу при θ → 0 , получим, что
функция f (v, z ) определяется уравнением
λa2 ∂ 2 f (v , z )
∂f (v, z )
− λa
− vf (v, z ) = 0 .
2
2
∂z
∂z
(66)
⎛ ⎛u
F (u , s ) = exp ⎜ k1 ⎜ 2
⎝ ⎝θ
2 aθ −
p( s s > s0 ) =
e
a2
λa2 2
k − λak − v = 0
2
2 aθ ( s − s0 )
a2
∞
F (u ) = ∫ F (u , s ) p ( s s ≥ s0 ) ds =
λa − λ a + 2λa2 v
2
λa2
Учитывая, что
λa + λ a + 2λa2 v
2
, k2 =
s0
2
λa2
1 + 1 + αu
,
(68)
где α = 2a2 λa 2 θ2 .
уравнения (66) имеет вид
Вычисляя обратное преобразование Лапласа от
функции (68), получим, что при θ << 1 плотность распределения периода повышенных выплат имеет вид
f (v, z ) = C (v) exp ( k1 (v) z ) ,
p(t ) =
откуда при θ << 1 характеристическая функция F (u, s )
определяется соотношением
⎛ ⎛u ⎞ ⎞
⎞
⎟ exp ⎜ k1 ⎜ 2 ⎟ θs ⎟ .
⎠
⎝ ⎝θ ⎠ ⎠
2
.
f (v, z ) ≤ 1 , получим, что решение
⎛u
F (u , s ) = C ⎜ 2
⎝θ
.
Поэтому безусловная характеристическая функция
периода повышенных выплат
имеет корни
2
(67)
Плотность распределения капитала s при условии,
что s > s0 , как вытекает из соотношений (29) и (33),
имеет вид
Характеристическое уравнение уравнения (66)
k1 =
⎞
⎞
⎟ θ( s − s0 ) ⎟ .
⎠
⎠
1
⎛
⎞
⎛ t ⎞ 2
⎛ t ⎞2 ⎟
⎜
exp ⎜ − ⎟ − Erfc ⎜ ⎟ .
⎜⎝ α ⎠ ⎟
παt
⎝ α⎠ α
⎝
⎠
2
(69)
Таким образом, в рассмотренном выше симметричном случае, определяемом соотношением (2), при
θ << 1 плотности распределения периодов повышенных выплат и неплатежеспособности совпадают.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом //
Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 18. С. 302–308.
2. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 180 с.
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. 400 с.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. Т. I. 344 с.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2006 г.
44
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа