close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Диффузионная аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели устойчивых сетей множественного доступа в случайной среде.

код для вставкиСкачать
УДК 518.872
В.А. Вавилов, А.А. Назаров
ДИФФУЗИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЙ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО
ДОСТУПА В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ
Предлагаются математические модели устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде.
Исследуются величины отклонения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического
среднего значения. Проводится глобальная аппроксимация процесса изменения числа заявок в источнике повторных вызовов и исследуется плотность распределения вероятностей значений этого процесса.
Высокая скорость и надежность передачи различного
типа информации в современных сетях связи достигаются
путем расширения пропускной способности физических каналов и разработки сетевых протоколов. Параллельно с
этим ведется исследование математических моделей сетей
передачи данных, что позволяет оценить параметры функционирования существующих сетей и выработать принципы построения новых сетей связи, отличающихся более высокой производительностью.
Исследования данной работы касаются сетей связи,
управляемых протоколами случайного множественного
доступа. Стохастические свойства таких сетей достаточно
хорошо изучены [1 – 9]. Однако производительность сетей
связи зависит еще и от воздействий случайной среды. Случайной средой будем называть изменяющиеся неконтролируемые внешние условия, влияющие на пропускную способность каналов связи. К таким условиям можно отнести:
состояние ионосферы для радиосетей, атаки вирусов на
компьютерные сети связи, функционирование локальной
сети, подключенной к глобальной сети, несанкционированный доступ в сети связи и т.д.
Результаты исследований влияния случайной среды на
функционирование сетей множественного доступа изложены авторами в трудах [10 – 14]. В данной работе представлены результаты исследований математических моделей устойчивых сетей множественного доступа в случайной среде.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И СРЕДНИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ УСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ
МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА
В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ
Рассмотрим математическую модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте в виде
однолинейной системы массового обслуживания
(СМО) [15 – 18], на вход которой поступают заявки от
конечного числа N абонентских станций (АС). Время
генерирования заявки от одной АС имеет экспоненциальное распределение с параметром λ / N . Суммарный поток требований от всех АС поступает на
обслуживание. Прибор этой СМО может находиться в
одном из трех состояний: k = 0 , если он свободен;
k = 1 , когда он занят обслуживанием заявки; k = 2 ,
когда на приборе реализуется этап оповещения о
конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления
прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за это время другие требования не поступили, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания
одной заявки поступает другая, то они вступают в
конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а
также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ).
108
Повторное обращение заявок к прибору из ИПВ происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром γ / N . Число заявок в ИПВ обозначим i . Длины интервалов оповещения о конфликте
имеют экспоненциальное распределение с параметром 1/ a , где a – средняя продолжительность этих
интервалов. Каждая АС начинает генерировать новую
заявку лишь после завершения успешного обслуживания своей предыдущей заявки.
Функционирование описанной модели будем рассматривать с учетом влияния случайной среды. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим однородную цепь Маркова [19 – 20] s (t ) с
конечным множеством состояний s = 1, 2,..., S и непрерывным временем, для которой заданы ее инфинитезимальные характеристики qs1s2 . Здесь при
s1 ≠ s2
qs1s2 = lim
Δt → 0
P ( s (t + Δt ) = s2 s (t ) = s1 )
,
Δt
а при s1 = s2 = s
qss = lim
Δt →0
P ( s (t + Δt ) = s s (t ) = s ) − 1
.
Δt
S
Очевидно, что
∑ qs s
s2 =1
1 2
=0.
Будем полагать, что влияние случайной среды на
функционирование сети связи определяется зависимостью интенсивности μ обслуживания заявок от состояний s (t ) = s случайной среды, то есть μ = μ( s ) ,
где s – текущее состояние случайной среды. Тогда вероятность окончания успешного обслуживания заявки
на приборе за бесконечно малый промежуток времени
Δt равна μ( s )Δt + o(Δt ) .
В силу свойств приведенной математической модели трехмерный случайный процесс {k (t ), i (t ), s (t )}
является цепью Маркова с непрерывным временем.
Обозначим P (k (t ) = k , i (t ) = i, s (t ) = s ) = Pk (i, s, t ) . В
любой момент времени для этого распределения
должно выполняться условие нормировки
2
∞
S
∑ ∑∑ Pk (i, s, t ) = 1.
k = 0 i = 0 s =1
Нетрудно показать, что распределение Pk (i, s, t )
удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений Колмогорова:
∂P0 (i, s, t ) ⎛ ⎛
i
i
+ ⎜ λ ⎜1 − ⎞⎟ + γ ⎞⎟ P0 (i, s, t ) = μ( s ) P1 (i, s, t ) +
N
N
∂t
⎝ ⎝
⎠
⎠
+εy )) + γ ( x + εy )) H 0 ( y, s, τ, ε) = μ( s ) H1 ( y, s, τ, ε) +
S
1
+ P2 (i, s, t ) + ∑ P0 (i, s1 , t )qs1s ,
a
s1 =1
S
1
+ H 2 ( y, s, τ, ε) + ∑ H 0 ( y, s1 , τ, ε)qs1s ,
a
s1 =1
∂P1 (i, s, t ) ⎛ ⎛ i + 1⎞
i
⎞
+ ⎜ λ ⎜1 −
⎟ + γ + μ( s ) ⎟ P1 (i, s, t ) =
∂t
N
N
⎝ ⎝
⎠
⎠
ε2
i
i +1
= λ ⎛⎜1 − ⎞⎟ P0 (i, s, t ) + γ
P0 (i + 1, s, t ) +
N
N
⎝
⎠
∂H1 ( y, s, τ, ε)
∂H ( y, s, τ, ε)
− εx′(τ) 1
+ (λ (1 − ( x +
∂τ
∂y
+ε( y + ε))) + γ ( x + εy ) + μ( s )) H1 ( y, s, τ, ε) =
S
= λ (1 − ( x + εy )) H 0 ( y, s, τ, ε) + γ ( x + ε( y + ε)) ×
s1 =1
× H 0 ( y + ε, s, τ, ε) + ∑ H1 ( y, s1 , τ, ε)qs1s ,
+ ∑ P1 (i, s1 , t )qs1s ,
S
s1 =1
∂P2 (i, s, t ) ⎛ ⎛
i
1
+ ⎜ λ ⎜1 − ⎞⎟ + ⎞⎟ P2 (i, s, t ) =
∂t
N
⎝ ⎝
⎠ a⎠
ε2
i − 1⎞
⎛ i − 1⎞ P (i − 2, s, t ) +
= λ ⎛⎜1 −
⎟ P2 (i − 1, s, t ) + λ ⎜1 −
⎟ 1
N
N ⎠
⎝
⎠
⎝
+γ
∂H 0 ( y, s, τ, ε)
∂H ( y, s, τ, ε)
− εx ′(τ) 0
+ (λ (1 − ( x +
∂τ
∂y
ε2
S
i −1
P1 (i − 1, s, t ) + ∑ P2 (i, s1 , t )qs1s .
N
s1 =1
1
+ ⎛⎜ λ(1 − ( x + εy )) + ⎞⎟ H 2 ( y , s, τ, ε) =
a⎠
⎝
(1)
(2)
S
+ε( y − ε)) H1 ( y − ε, s, τ, ε) + ∑ H 2 ( y, s1 , τ, ε)qs1s .
(4)
s1 =1
В работе [14] нами представлены результаты исследования асимптотических средних характеристик
описанной математической модели устойчивых сетей
множественного доступа в случайной среде. Под
асимптотическими средними характеристиками рассматриваемой модели понимается двумерное распределение вероятностей Rk ( x, s ) состояний k канала
связи и состояний s случайной среды, а также расS
пределение
x(τ) = lim ε 2 i (τ ε 2 ) ,
Rk ( x) = ∑ Rk ( x, s )
x ( τ) ,
и функция
s =1
ε→0
имеющий смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ.
Рассмотрим также процесс
y (τ) = lim((ε 2 i (τ ε 2 ) − x(τ)) / ε) ,
ε→0
характеризующий изменение величин отклонения
нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего, и покажем, что он является диффузионным процессом авторегрессии.
Покажем также, что для достаточно малых значений параметра ε случайный процесс z (τ) = x (τ) + εy,
аппроксимирующий процесс изменения числа заявок
в ИПВ ε 2 i (τ / ε 2 ) , является однородным диффузионным процессом.
Учитывая обозначения (2), выполним следующие
замены в системе (1):
ε 2 i = x ( τ) + ε y ,
1
Pk (i, s, t ) = H k ( y, s, τ, ε) .
ε
= λ (1 − ( x + ε( y − ε))) H 2 ( y − ε, s, τ, ε) +
+λ(1 − ( x + ε( y − ε))) H1 ( y − 2ε, s, τ, ε) + γ ( x +
Решение Pk (i, s, t ) системы (1) достаточно полно
определяет функционирование математической модели сети связи и ее вероятностно-временные характеристики. Но для (1) не существует точных аналитических методов решения, поэтому данную систему будем исследовать модифицированным для нестационарных распределений методом асимптотического
анализа [21] в условиях большого количества абонентских станций N → ∞ .
Для этого обозначим
1/ N = ε 2 , ε 2 t = τ
и рассмотрим предел
∂H 2 ( y, s, τ, ε)
∂H ( y, s, τ, ε)
− εx′(τ) 2
+
∂τ
∂y
(3)
Полагая, что функции H k ( y, s, τ, ε) дифференцируемы по y , получим систему вида
имеющая смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ. Показано, что Rk ( x)
имеет вид
λ(1 − x) + γx + ν( x)
R0 ( x) =
,
a (λ (1 − x) + γx) 2 + 2(λ (1 − x) + γx) + ν ( x)
R1 ( x) =
R2 ( x) =
λ (1 − x ) + γx
a(λ (1 − x ) + γx) 2 + 2(λ (1 − x) + γx) + ν ( x)
,
a(λ (1 − x) + γx) 2
a (λ (1 − x) + γx) 2 + 2(λ (1 − x) + γx) + ν ( x)
.
(5)
Здесь ν( x) определяется равенством
ν( x) =
1 S
∑ μ( s) R1 ( x, s) ,
R1 ( x) s =1
(6)
где R1 ( x, s ) определяется решением Rk ( x, s ) системы
(λ (1 − x) + γx) R0 ( x, s ) = μ( s ) R 1 ( x, s ) +
S
1
+ R2 ( x, s ) + ∑ R0 ( x, s1 )qs1s ,
a
s1 =1
(λ (1 − x) + γx + μ( s )) R1 ( x, s ) = (λ (1 − x) +
S
+γx) R0 ( x, s ) + ∑ R1 ( x, s1 )qs1s ,
s1 =1
109
S
1
R 2 ( x, s ) = (λ (1 − x) + γx) R1 ( x, s ) + ∑ R2 ( x, s1 )qs1s (7)
a
s1 =1
и условием нормировки
2
S
∑ ∑ Rk ( x, s) = 1 .
(8)
k = 0 s =1
Параметры a, λ , γ и μ( s ) в (5) – (7) заданы, а
x = x (τ) – детерминированная функция, определяемая
дифференциальным уравнением вида
x′(τ) = λ(1 − x) − ν ( x) R1 ( x) .
(9)
В данной работе представим результаты последующих этапов исследования.
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕЛИЧИН ОТКЛОНЕНИЯ
НОРМИРОВАННОГО ЧИСЛА ЗАЯВОК
В ИСТОЧНИКЕ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ
ОТ ИХ АСИМПТОТИЧЕСКОГО
СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
где hk(1) ( s ) являются решением системы (15), а
∂Rk ( x, s )
определяются решением системы (17).
∂x
Доказательство. С учетом (7) систему (10) можно записать в виде
−(λ(1 − x) + γx)h0 ( y, s, τ) + μ( s )h1 ( y, s, τ) +
S
1
+ h2 ( y, s, τ) + ∑ h0 ( y, s1 , τ)qs1s =
a
s1 =1
= ( γ − λ) R0 ( x, s ) yH ( y, τ) − x′(τ) R0 ( x, s)
2
y (τ) = lim((ε i (τ ε ) − x(τ)) / ε) ,
S
+γx)h0 ( y, s, τ) + ∑ h1 ( y, s1 , τ))qs1s =
ε→0
s1 =1
характеризующий изменение величин отклонения
числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего
и покажем, что он является диффузионным процессом
авторегрессии.
Для этого в (4) функции H k ( y ± ε, s, τ, ε) разложим
в ряд по приращениям аргумента y с точностью до
o(ε) . В результате получим
∂H ( y, s, τ, ε)
−εx ′(τ) 0
= −(λ + x + εy ) H 0 ( y, s, τ, ε) +
∂y
1
+μ( s ) H1 ( y, s, τ, ε) + H 2 ( y, s, τ, ε) +
a
s1 =1
∂H ( y, s, τ, ε)
−εx ′(τ) 1
= −(λ + x + εy + μ( s )) ×
∂y
1
− h2 ( y , s, τ) + (λ (1 − x) + γx)h1 ( y, s, τ)) +
a
S
+ ∑ h2 ( y, s1 , τ))qs1s = −( γ − λ ) R1 ( x, s ) yH ( y, τ) +
s1 =1
+[(λ(1 − x) − x′(τ)) R2 ( x, s ) +
но с учетом (9) имеем, что левая и правая части данного равенства равны 0. Значит, ранги матрицы системы (13) и расширенной матрицы (13) совпадают,
то есть она имеет решение, определяемое с точностью
до однопараметрического семейства векторов:
∂
+ε {( x + εy ) H 0 ( y, s, τ, ε)} +
∂y
S
+ ∑ H1 ( y, s1 , τ, ε)qs1s + o(ε),
s1 =1
( R0 ( x,1),..., R0 ( x, S ),..., R2 ( x,1),..., R2 ( x, S ))T C ,
∂H ( y , s, τ, ε)
1
−εx ′(τ) 2
= − H 2 ( y, s, τ, ε) +
∂y
a
где С – произвольная скалярная величина.
Будем искать решение системы (13) в следующем
виде:
∂H ( y, τ) (2)
+ hk ( s ) yH ( y , τ). (14)
hk ( y, s, τ) = hk(1) ( s )
∂y
∂H 2 ( y, s, τ, ε)
−
∂y
∂H1 ( y, s, τ, ε)
∂
− ε {( x + εy ) H1 ( y, s, τ, ε)} +
∂y
∂y
S
(10)
s1 =1
Будем искать решение системы (10) в виде разложения
H k ( y, s, τ, ε) = Rk ( x, s ) H ( y, τ) + εhk ( y, s, τ) + o(ε) . (11)
110
∂H ( y, τ)
,
∂y
+(2λ (1 − x) + γx) R1 ( x) ,
× H1 ( y, s, τ, ε) + (λ + x + εy ) H 0 ( y, s, τ, ε) +
+ ∑ H 2 ( y, s1 , τ, ε)qs1s + o(ε).
−( x ′(τ) R1 ( x, s ) + γxR0 ( x, s ))
∂H ( y, τ)
.
(13)
∂y
Просуммируем все уравнения системы (13), в результате получим
0 = − x′(τ) − γxR0 ( x) + λ (1 − x) R2 ( x) +
+ ∑ H 0 ( y, s1 , τ, ε)qs1s ,
−2λε
= ( γ − λ)( R1 ( x, s ) − R0 ( x, s )) yH ( y, τ) −
+(2λ (1 − x ) + γx) R1 ( x, s )]
S
+(λ + x + εy ) H1 ( y, s, τ, ε) − ελ
∂H ( y, τ)
,
∂y
−(λ(1 − x) + γx + μ( s ))h1 ( y, s, τ)) + (λ (1 − x) +
Итак, рассмотрим процесс
2
Касательно величин hk ( y, s, τ) докажем следующую теорему.
Теорема 1. Величины hk ( y, s, τ) можно представить в виде
∂R ( x, s )
∂H ( y, τ)
, (12)
hk ( y, s, τ) = hk(1) ( s )
+ yH ( y, τ) k
∂y
∂x
Подставим (14) в (13) и представим полученную
систему в виде двух систем:
1
−(λ(1 − x) + γx)h0(1) ( s ) + μ( s )h1(1) ( s ) + h2(1) ( s ) +
a
S
+ ∑ h0(1) ( s )qs1s = − x′(τ) R0 ( x, s ),
s1 =1
−(λ(1 − x) + γx + μ( s ))h1(1) ( s ) + (λ (1 − x ) + γx)h0(1) ( s ) +
B 2 ( x) = γxR0 ( x) + λ (1 − x) R2 ( x) + (4λ (1 − x) + γx) R1 ( x) +
S
+2[ γxh0(1) − λ(1 − x)h2(1) − (2λ (1 − x) + γx)h1(1) +
s1 =1
+(λ (1 − x) − ν ( x) R1 ( x))h(1) ] .
+ ∑ h1(1) ( s )qs1s = − x′(τ) R1 ( x, s ) + γx(τ) R0 ( x, s ),
S
1
− h2(1) ( s ) + (λ(1 − x) + γx)h1(1) ( s ) + ∑ h2(1) ( s )qs1s =
a
s1 =1
2
∑ hk(1) ,
Здесь h(1) =
k =0
= (λ(1 − x) − x ′(τ)) R2 ( x, s ) + (2λ (1 − x) + γx) R1 ( x, s) (15)
и
1
−(λ(1 − x) + γx)h0(2) ( s ) + μ( s )h1(2) ( s ) + h2(2) ( s ) +
a
S
+ ∑ h0(2) ( s )qs1s =( γ − λ ) R0 ( x, s ) ,
+εyH ( y, τ)
∑
S
1
− h2(2) ( s ) + (λ (1 − x) + γx )h1(2) ( s ) + ∑ h2(2) ( s )qs1s =
a
s1 =1
= −( γ − λ ) R1 ( x, s ) .
(16)
Продифференцировав систему (7) по х, получим
∂R ( x, s )
∂R ( x, s ) 1 ∂R2 ( x, s )
− (λ + x ) 0
+ μ( s ) 1
+
+
∂x
∂x
a ∂x
S
∂R ( x, s1 )
+∑ 0
qs1s = R0 ( x, s ),
∂x
s1 =1
∂R ( x, s )
∂R1 ( x, s )
+ (λ + x ) 0
+
∂x
∂x
S
∂R ( x, s1 )
+∑ 1
qs1s = R1 ( x, s ) − R0 ( x, s ) ,
∂x
s1 =1
s =1
∂Rk ( x, s )
+ o (ε ) .
∂x
(22)
Теперь найдем вид функции H ( y, τ) . Для этого
функции в правой части системы (4) разложим в ряд
по приращениям аргумента y с точностью до o(ε 2 ) ,
сложим все уравнения полученной системы по k ,
подставим разложение функций H k ( y, s, τ, ε) в виде
(22), выполним несложные преобразования, получим
∂H ( y, τ)
ε 2 ( R0 ( x, s ) + R1 ( x, s ) + R2 ( x, s ))
−
∂τ
∂H ( y, τ)
−εx ′(τ)( R0 ( x, s ) + R1 ( x, s ) + R2 ( x, s ))
−
∂y
−ε 2 x ′(τ)
−(λ + x + μ( s ))
∂R ( x, s )
1 ∂R2 ( x, s )
+ (λ + x ) 1
+
a ∂x
∂x
S
∂R ( x, s1 )
+∑ 2
qs1s = − R1 ( x, s ) .
∂x
s1 =1
hk(1) = ∑ hk(1) ( s ) , а hk(1) ( s ) опреде-
ляются решением системы (15).
Доказательство. С учетом (12) разложение (11)
примет вид
∂H ( y, τ)
+
H k ( y, s, τ, ε) = Rk ( x, s ) H ( y, τ) + εhk(1) ( s )
∂y
s1 =1
−(λ(1 − x) + γx + μ( s ))h1(2) ( s ) + (λ (1 − x) + γx)h0(2) ( s ) +
S
+ h1(2) ( s )qs1s = ( γ − λ )( R1 ( x, s ) − R0 ( x, s )),
s1 =1
(21)
S
∂ { yH ( y, τ)}
∂
−
{R0 ( x, s ) + R0 ( x, s) + R0 ( x, s)}
∂x
∂y
(
−ε 2 x ′(τ) h0(1) ( s ) + h1(1) ( s ) + h2(1) ( s )
)∂
2
H ( y , τ)
∂y 2
=
= −ε(−γxR0 ( x, s ) + λ (1 − x) R2 ( x, s ) + (2λ (1 − x) +
−
+γx) R1 ( x, s )
(17)
−ε 2 ( −γR0 ( x, s ) − λR2 ( x, s ) − (2λ + γ ) R2 ( x, s ) −
∂R0 ( x, s )
∂R ( x, s )
+ λ(1 − x) 2
+
∂x
∂x
∂R ( x, s ) ⎞ ∂ { yH ( y, τ)}
+(2λ (1 − x) + γx) 1
−
⎟
∂x ⎠
∂y
−γx
Сравним полученную систему (17) с системой
(16). Можно сделать вывод о том, что решение
hk(2) ( s ) системы (7) имеет вид
∂Rk ( x, s )
.
(18)
∂x
С учетом (18) представление hk ( y, s, τ) в виде (14)
примет вид (12). Теорема доказана.
Далее найдем вид функции H ( y, τ) .
hk(2) ( s ) =
Теорема 2. Функция H ( y, τ) является плотностью
распределения вероятностей значений диффузионного процесса авторегрессии и определяется уравнением
Фоккера – Планка вида
∂H ( y, τ)
∂yH ( y, τ) 1 2 ∂ 2 H ( y, τ)
, (19)
= − A( x)
+ B ( x)
∂τ
∂y
2
∂y 2
−ε 2 (−γxh0(1) ( s ) + λ (1 − x)h2(1) ( s ) +
+(2λ (1 − x ) + γx)h1(1) ( s ))
+
∂H ( y, τ)
+
∂y
ε2
( γxR0 ( x, s ) + λ (1 − x) R2 ( x, s ) +
2
+(4λ (1 − x) + γx ) R1 ( x, s ))
∂ 2 H ( y , τ)
∂y 2
+
S
+ ∑ [( R0 ( x, s1 ) + R1 ( x, s1 ) + R2 ( x, s1 )) H ( y, τ) +
s1 =1
где
∂R ( x)
A( x) = −γR0 ( x) − λR2 ( x) − (2λ − γ ) R1 ( x) − γx 0 +
∂x
∂R2 ( x)
∂R1 ( x)
,
(20)
+λ(1 − x)
+ (2λ (1 − x) + γx)
∂x
∂x
∂H ( y, τ)
−
∂y
+ε(h0(1) ( s1 ) + h1(1) ( s1 ) + h2(1) ( s1 ))
+
∂H ( y, τ)
+
∂y
∂
{R0 ( x, s1 ) + R1 ( x, s1 ) + R2 ( x, s1 )} yH ( y, τ)] . (23)
∂x
111
Сложим все уравнения (23) по s , обозначим
S
hk(1) = ∑ hk(1) ( s ) , h(1) =
s =1
2
∑ hk(1) ,
(24)
k =0
тогда в силу условия нормировки
R0 ( x) + R1 ( x) + R2 ( x) = 1
и дифференциального уравнения (9) запишем полученное уравнение, поделив его левую и правую части
на ε 2 , в следующем виде:
∂H ( y, τ)
= − ( −γR0 ( x) − λR2 ( x) − (2λ − γ ) R1 ( x) −
∂τ
−γx
+γx)
∂R0 ( x)
∂R ( x)
+ λ (1 − x) 2
+ (2λ (1 − x) +
∂x
∂x
∂R1 ( x) ⎞ ∂yH ( y, τ) 1
+ ( γxR0 ( x) + λ (1 − x) R2 ( x) +
⎟
∂x ⎠
∂y
2
+(4λ (1 − x) + γx) R1 ( x) + 2[(λ (1 − x) −
−(2λ(1 −
)
∂ 2 H ( y , τ)
∂y 2
,
(25)
(24).
Получили уравнение Фоккера – Планка для плотности распределения вероятностей H ( y, τ) значений
диффузионного процесса авторегрессии y (τ) . Обозначим коэффициент переноса уравнения (25) как
A( x) , а коэффициент диффузии B 2 ( x) , тогда (25)
совпадает с (19). Теорема доказана.
Согласно (19), стохастическое дифференциальное
уравнение [22] для процесса y (τ) запишется в виде
(26)
где w(τ) есть стандартный винеровский процесс [19 –
20], а функция A( x) совпадает с (20), B 2 ( x) совпадает с (21).
Нетрудно показать, что решением уравнения (26)
является случайный процесс y (τ) вида
τ
y ( τ) = e
∫ A( x (u )) du τ
0
∫ B( x(u ))e
u
− ∫ A( x ( v )) dv
0
dw(u ) .
0
3. ГЛОБАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК
В ИСТОЧНИКЕ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ
Покажем, что для достаточно малых значений параметра ε случайный процесс z (τ) = x (τ) + εy, аппроксимирующий процесс изменения числа заявок в
ИПВ ε 2 i (τ / ε 2 ) , является однородным диффузионным
процессом [19 – 20]. Докажем следующую теорему.
Теорема 3. С точностью до o(ε) случайный процесс z (τ) является решением стохастического дифференциального уравнения
dz (τ) = A( z )d τ + εB( z )dw(τ) ,
(27)
112
Доказательство. Поскольку z (τ) = x(τ) + εy , то,
дифференцируя z (τ) по τ , имеем
dz (τ) = x′(τ)d τ + εdy.
В силу (9) и (26) правую часть этого уравнения перепишем в виде
x′(τ)d τ + εdy (τ) = [−γxR0 ( x) + λ (1 − x) R2 ( x) +
+(2λ (1 − x ) + γx) R1 ( x) +
∂
{(−γxR0 ( x) + λ(1 − x) R2 ( x) +
∂x
+(2λ (1 − x) + γx) R1 ( x)}]d τ + εB ( x)dw(τ) =
где hk(1) определяются системой (15) и равенствами
dy (τ) = A( x) y (τ)d τ + B ( x)dw(τ) ,
ε2 B 2 ( z) .
+εy
−ν( x) R1 ( x))h(1) + γxh0(1) − λ (1 − x)h2(1) −
x) + γx) h1(1) )]
где w(τ) есть стандартный винеровский процесс,
функция A( z ) определяется равенством (20), а функция B ( z ) – равенством (21), то есть z (τ) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса A( z ) и коэффициентом диффузии
= [−γ ( x + εy ) R0 ( x + εy ) + λ (1 − ( x + εy )) R2 ( x + εy ) +
+(2λ (1 − ( x + εy )) + γ ( x + εy )) R1 ( x + εy )]d τ +
+εB ( z − εy )dw(τ) = [−γzR0 ( z ) + λ (1 − z ) R2 ( z ) +
+(2λ (1 − z ) + γz ) R1 ( z )]d τ + εB ( z )dw(τ) + o(ε) =
= A( z )d τ + εB ( z )dw(τ) + o(ε) .
Таким образом, z (τ) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса
A( z ) и коэффициентом диффузии ε 2 B 2 ( z ) и определяется с точностью до o(ε) стохастическим дифференциальным уравнением вида (27). Теорема доказана.
Обозначив F ( z , τ) плотность распределения вероятностей значений процесса z (τ) , можно записать
уравнение Фоккера – Планка для плотности этого
процесса:
∂F ( z , τ)
∂
ε2 ∂ 2
= − { A( z ) F ( z , τ)} +
B 2 ( z ) F ( z , τ) .
∂τ
∂z
2 ∂z 2
{
}
Здесь A( z ) определяется равенством (20), B 2 ( z ) –
равенством (21). Рассмотрим функционирование
процесса z (τ) в стационарном режиме, то есть
F ( z , τ) ≡ F ( z ) , тогда стационарное распределение
можно найти из уравнения Фоккера – Планка
0=−
∂
ε2 ∂ 2
B2 ( z)F ( z) .
{ A( z ) F ( z )} +
∂z
2 ∂z 2
{
}
Его решение можно представить в виде
F ( z) = 1
⎛ 2 z A(u )
⎞
1
exp
⎜⎜ 2 ∫ 2 du ⎟⎟
2
B ( z)
⎝ ε 0 B (u ) ⎠
⎛ 2 z A(u )
⎞
1
exp
∫ B 2 ( z ) ⎜⎜ ε2 ∫ B 2 (u ) du ⎟⎟ dz
⎝ 0
⎠
0
.
(28)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, в данной работе рассмотрены математические модели устойчивых сетей множественного доступа в случайной среде. Исследованы величины отклонения нормированного числа заявок в источнике
повторных вызовов от их асимптотического среднего
значения, и получено дифференциальное уравнение
для процесса изменения этих величин в виде (26).
Проведена глобальная аппроксимация процесса изменения числа заявок в источнике повторных вызовов
процессом z(τ). Показано, что случайный процесс z(τ)
является решением стохастического дифференциального уравнения (27). Найдена плотность распределения вероятностей значений этого процесса в виде (28).
ЛИТЕРАТУРА
1. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган А.Я. Анализ очередей в вычислительных сетях. М.: Наука, 1989.
2. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.
3. Бутакова Е.Л., Назаров А.А. Распределение времени доставки сообщения в сетях связи с протоколами случайного множественного
доступа // Автоматика и вычислительная техника. 1997. № 6. С. 65 – 75.
4. Кузнецов Д.Ю., Назаров А.А. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых протоколами случайного множественного доступа // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1999. С. 89
– 98.
5. Назаров А.А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. № 2. С. 101 – 111.
6. Хомичков И.И. Об оптимальном управлении в сети передачи данных со случайным множественным доступом // Автоматика и телемеханика. 1991. № 8. С. 176 – 188.
7. Хомичков И.И. Исследование моделей локальной сети с протоколом случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. 1993. № 12. С. 89 – 90.
8. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование, анализ. М.: Наука, 1992.
9. Шварц М. Сети ЭВМ: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1981.
10. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде //
Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 14 – 24.
11. Вавилов В.А. Исследование влияния случайной среды на величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от их
асимптотического среднего в неустойчивых сетях множественного доступа // Наука. Технологии. Инновации. Ч. 1. Новосибирск: Издво НГТУ, 2004. С. 12 – 13.
12. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей случайного множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде // Информационные технологии и математическое моделирование. Ч. 2. Томск: Изд-во Том. ун-та,
2004. С. 7 – 9.
13. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в
случайной среде // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети. Вып. 18. Мн.: БГУ, 2005. С. 226 – 231.
14. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей многостабильных сетей множественного доступа в случайной среде
// Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005.
15. Гнеденко Б.В., Коваленко И.И. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.
16. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.
17. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1971.
18. Королюк В.С. Стохастические модели систем. Киев: Наукова думка, 1989.
19. Баруча-Рид А.Г. Теория марковских процессов и ее приложения. М.: Наука, 1969.
20. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.
21. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизуемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991.
22. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.
113
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа