close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Длина дуги орицикла на гиперболической плоскости положительной кривизны.

код для вставкиСкачать
УДК 514.133
Л. Н. Ромакина
ДЛИНА ДУГИ ОРИЦИКЛА
НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
b положительной кривизВ геометрии гиперболической плоскости H
ны [1] получены формулы для выражения длины дуги орицикла через
длину стягивающей ее хорды. Показано, что длина дуги орицикла, стягиваемой параболической хордой, равна двум радиусам кривизны плосb.
кости H
b действительного радиуса кривизны ?
Теорема. На плоскости H
длина l дуги орицикла, стягиваемой эллиптической (гиперболической)
хордой длиной a, может быть вычислена по формуле
a
a
l = 2? sin
l = 2? ch
,
(1)
2?
2?
длина дуги орицикла, стягиваемой параболической хордой, равна 2?.
Доказательство. Пусть ? направление обхода абсолютной линии ?
b , определяющее на H
b ориентацию в семействе реперов втоплоскости H
b с центром в точрого типа (см. [2, п. 3.4.1]), ? орицикл плоскости H
ке K , OM хорда орицикла ? . Выберем правый канонический репер
R = {K, A2 , A3 , E} второго типа так, чтобы вершина A2 лежала на прямой OK : ? ? OK = A2 , A2 6= K ; вершина A3 была полюсом прямой OK
относительно ? ; точка E лежала на касательной OE к абсолюту. Поскольку репер R правый, то направление обхода дуги KEA2 совпадает
с направлением ? .
Координаты указанных точек в репере R имеют вид
K (1 : 0 : 0), A2 (0 : 1 : 0), A3 (0 : 0 : 1), E (1 : 1 : 1), O (1 : ?1 : 0), (2)
а орицикл ? задан уравнением
x22 + x1 x2 ? x23 = 0.
(3)
Присоединим к реперу R ортогональную орициклическую систему
координат Co с нулевым орициклом ? и началом O [3]. В системе Co
b имеет координаты (u; v), определенные
каждая точка X плоскости H
равенствами
u = ((KX)(KE)(KO)(KA3 )),
59
v? = ?|XX1 |,
(4)
где X1 точка пересечения прямой XK с орициклом ? ; ? = 1 (? = ?1),
если точка X не принадлежит (принадлежит) лучу X1 K .
Записывая равенства (4) в координатах (2) для точки M , получим
связь ее координат (m1 : m2 : m3 ) в репере R с координатами (u; v) в
системе Co : m3 = um2 , v = 0. Учитывая, что M принадлежит орициклу (3), выразим через u координаты данной точки в репере R:
M u2 ? 1 : 1 : u .
(5)
b в системе Co с ее собственСвязь координат (u; v) точки плоскости H
ными координатами (x?1 : x?2 : x?3 ) в репере R устанавливают формулы (1)
из [3]:
x?1 = ? u2 ev ? e?v ,
x?2 = ?ev ,
x?3 = ?uev .
Следовательно, длина l дуги OM между точками O (0; 0) и M (u; 0)
на координатной линии ? (v = 0) системы Co определена формулой
Z
l=?
u
du = ?u.
(6)
0
Рассмотрим все возможные случаи для хорды OM .
1. Хорда OM принадлежит эллиптической прямой.
В этом случае, применяя координаты точек O и M из (2) и (5), по
первой формуле (4.33) из [1] находим
cos
|OM |
2 ? u2
=
,
?
2
= ±1.
(7)
Определим число в выражении (7).
Поляра точки O относительно абсолюта задана в репере R координатами (1 : ?1 : 0) и пересекает прямую OM (1 : 1 : ?u) в точке
O? (u : u : 2), удаленной от O на расстояние ??/2. Точка Q пересечения прямых OM и KA3 (0 : 1 : 0) задана в R координатами (u : 0 : 1)
и является внешней относительно ? , поскольку лежит на его касательной KA3 .
Нас интересует длина a внутренней эллиптической хорды OM орицикла ? . Данная хорда OM является коротким (длинным) отрезком эллиптической прямой (см. [1, п. 4.2.2]) тогда и только тогда, когда она не
содержит (содержит) точку O? , т. е. тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (OM O? Q) > 0 ((OM O? Q) < 0), имеющее в координатах вид
2
>0
2 ? u2
2
<0 .
2 ? u2
60
(8)
Таким образом, для числа a выполняются следующие утверждения:
??
a<
?? 2 ? u2 > 0
2
??
2
a>
?? 2 ? u < 0 .
2
(9)
Согласно утверждениям (9) в выражении (7) = 1. Поэтому
u = 2 sin
a
.
2?
(10)
Подставляя значение u из (10) в (6), получим первую формулу из (1).
2. Хорда OM принадлежит гиперболической прямой.
Для координат (1 : 1 : ?u) гиперболической прямой OM согласно
первому требованию (4.9) из [1] выполняется неравенство 4 ? u2 < 0,
а следовательно, и неравенство 2 ? u2 < 0. Поэтому по второй формуле (4.33) из [1] длина a гиперболической хорды OM удовлетворяет
выражению
a u2 ? 2
.
ch =
?
2
Откуда
a
.
(11)
2?
Подставляя значение u из (11) в (6), получим вторую формулу из (1).
3. Хорда OM принадлежит параболической прямой.
Отличную от K точку пересечения прямой KE с орициклом ? обозначим T . Поскольку в рассматриваемом случае точка M принадлежит
параболической прямой OE , симметричной относительно оси KE орицикла ? , то хорды OT и M T симметричны относительно KE и являются
эллиптическими.
По теореме 2.4.27 из [2] длина a каждой из хорд OT и M T равна ??/3.
Применяя данное значение a и доказанную в п. 1 первую формулу из (1),
найдем длину l (OT ) дуги OT : l (OT ) = ?. Поскольку конгруэнтные хорды орицикла стягивают его конгруэнтные дуги, то длина l дуги OM
орицикла ? , стягиваемой параболической хордой OM , равна 2?.
Таким образом, справедливо заключительное утверждение теоремы.
Теорема доказана.
b , стягиваемую параболической хордой,
Дугу орицикла плоскости H
назовем параболической, а ее половину единичной дугой орицикла.
b параболическую и едиСогласно доказанной теореме на плоскости H
ничную дуги орицикла можно рассматривать как некоторый эталон измерения дуг орициклов.
u = 2 ch
61
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ромакина Л. Н. Ортогональная орициклическая система координат на гиперболической плоскости положительной кривизны // Дни геометрии в Новосибирске,
2013 : тез. докл. Междунар. конф. Новосибирск : Ин-т математики им. С. Л. Соболева
СО РАН, 2013. С. 74, 75.
2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 1 : Тригонометрия. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с.
3. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 2 : Преобразования и простые разбиения. Саратов : Изд-во Сарат.
ун-та, 2013. 274 с.
УДК 517.518.82
Р. О. Романов, С. И. Дудов
О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ
ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ
1. Пусть сегментная функция F (t) = [f1 (t), f2 (t)] задана на компакт-
ном множестве T вещественной оси функциями f1 (t) и f2 (t), причем
f1 (t) ? f2 (t) для всех t ? T . Обозначим через Pn (A, t) = a0 + a1 t+
+ · · · + an tn алгебраический полином фиксированной степени n и вектором коэффициентов A = (a0 , a1 , . . . , an ) ? Rn+1 .
Рассмотрим задачу
?(A, r) ? max max [Pn (A, t) ? f2 (t) + r, f1 (t) ? Pn (A, t) + r] ? min ,
t?T
(A,r)?D
n+1
D = {(A, r) ? R
Ч R+ : ?(A, r) ?
? max max{[Pn (A, t) ? f1 (t) ? r, f2 (t) ? Pn (A, t) ? r] ? 0}.
(1)
t?T
Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой графиком полинома Pn (A, t), и шириной 2r будем понимать график сегментной функции
?n (A, t, r) = [Pn (A, t) ? r, Pn (A, t) + r]. Условие max[Pn (A, t) ? f1 (t) ?
?r, f2 (t) ? Pn (A, t) ? r] ? 0 выражает включение F (t) ? ?n (A, t, r). При
его выполнении величина max[Pn (A, t) ? f1 (t) ? r, f2 (t) ? Pn (A, t) ? r]
является уклонением отрезка ?n (A, t, r) от отрезка F (t).
Таким образом, задача (1) требует построения полиномиальной полосы, содержащей график сегментной функции F (t), и при этом наименее
равномерно уклоняющейся от этого графика на множестве T . Простые
примеры показывают, что эта задача имеет самостоятельное значение от
задачи внешней оценки сегментной функции полиномиальной полосой
наименьшей ширины [1]. Цель данной статьи показать, что задача (1)
62
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
327 Кб
Теги
длина, орицикла, кривизна, плоскости, положительная, дуги, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа