close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дополнение изометрии до c-algebry-kuntsa-o2-i-osnovnaya-teorema-kratnomasshtabnogo-алгебры Кунца O2 и основная Теорема кратномасштабного анализа.

код для вставкиСкачать
6. Иванченко И. П. Обобщение теоремы Нетер на случай неголономного многообразия // Математика. Механика: сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004.
Вып. 6. С. 5962.
УДК 512.57
И. В. Глотова, П. А. Терехин
ДОПОЛНЕНИЕ ИЗОМЕТРИИ ДО C -АЛГЕБРЫ КУНЦА O
И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КРАТНОМАСШТАБНОГО
АНАЛИЗА
?
2
Пусть H комплексное сепарабельное гильбертово пространство.
Унитарный оператор W : H ? H называется двусторонним сдвигом,
если существует вектор e ? H такой, что система {W n e}n?Z образует ортонормированный базис пространства H . Если en = W n e, то W en = en+1 ,
n ? Z.
Алгеброй Кунца Od (см. [1]) называется набор изометрий Si : H ? H ,
i = 0, . . . , d ? 1, для которых выполняются соотношения
Si? Sj
= ?ij I,
i, j = 0, . . . , d ? 1,
d?1
X
Si Si? = I,
(1)
i=0
где I тождественный оператор в H . Соотношения (1) показывают, что
изометрии Si имеют попарно ортогональные образы Im(Si ), прямая сумма которых совпадает с H :
d?1
L
Im(Si ) = H.
i=0
Далее рассмотрим случай d = 2, т.е. пару изометрий {S0 , S1 }, порождающую алгебру Кунца O2 . Поставим вопрос о дополнении заданной
изометрии S0 до алгебры Кунца O2 , т.е. о нахождении изометрии S1 ,
для которой Im(S0 ) ? Im(S1 ) = H . Поскольку этот вопрос связан с построением всплесков на основе КМА (кратномасштабного анализа), то
соотвествующие изометрии удовлетворяют соотношению Si W = W 2 Si ,
i = 0, 1, где W оператор двустороннего сдвига. В качестве приложения
следующей теоремы можно получить доказательство основной теоремы
КМА. Следует отметить, что связь теории всплесков с алгебрами Кунца
отмечалась в работе [2].
Пусть W : H ? H - оператор двустороннего сдвига и
изометрия S0 : H ? H удовлетворяет соотношению S0 W = W 2 S0 . Тогда найдется изометрия S1 : H ? H , также удовлетворяющая соотношению S1 W = W 2 S1 и такая, что пара {S0 , S1 } порождает алгебру
Кунца O2 .
Теорема.
29
Доказательство.
Разложим вектор S e по базису {e }
P
n n?Z :
S0 e =
=
hn en . Тогда для любого m ? Z будем иметь S0 em =
n?Z
P
hn en+2m . Следствием изометрично= S0 W m e = W 2m S0 e = ?12
n?Z
P
P
сти оператора S0 являются равенства
|hn |2 = 2,
hn h?n?2m =
0
?1
2
n?Z
n?Z
= 0, m 6=P 0. Определим оператор S1 на векторах базиса: S1 em =
?1
=
(?1)n h?1?n en+2m . Вычислим скалярное произведение
2
n?Z
P
(?1)n (?1)n+2(m?l) h?1?n h1?n?2(m?l) = ?ml . Это означает,
(S1 em , S1 el ) = 12
n?Z
что оператор S1 допускает продолжение до изометрии пространства H .
По определению имеем S1 W m e = W 2m S1 e, откуда S1 W em = S1 W m+1 e =
= W 2(m+1) S1 e = W 2 S1 W m e = W 2 S1 em для всех m ? Z. Поэтому S1 W =
= W 2 S1 . Теперь проверим ортогональность
образов Im(S0 ) и Im(S1 ).
P
1
n
Для этого найдем (S0 em , S1 el ) = 2
(?1) hn h1?n?2(m?l) . В последней
n?Z
сумме выполним замену индекса N = 1 ? n ? 2(m ? l). Получим:
1X
(S0 em , S1 el ) = ?
(?1)N h1?N ?2(m?l) hN = ?(S0 em , S1 el ),
2
N ?Z
откуда (S0 em , S1 el ) = 0 для всех m, l ? Z. Ортогональность Im(S0 ) и
Im(S1 ) проверена. Осталось доказать, что Im(S0 ) ? Im(S1 ) = H . Предположим, что для вектора x ? H справедливы равенства (x, S0 em ) = 0 и
P
(x, S1 em ) = 0 для всех m ? Z. Покажем, что x = 0. Пусть x =
xn en .
n?Z
Тогда
X
xn h?n?2m = 0,
n?Z
X
xn (?1)n h1?n+2m = 0.
(2)
n?Z
Положим h(t) =
P
1
2
2?int
, x(t)
n?Z hn e
2h(t)e2?i2mt =
=
X
P
2?int
n?Z xn e
и заметим, что
hn?2m e2?int ,
n?Z
X
?2h?(t + 12 )e2?i(2m+1)t =
(?1)n h?1?n+2m e2?int .
n?Z
Запишем соотношения ортогональности (2) в равносильном виде
Z
1
?2?i2mt
x(t)h?(t)e
Z
dt = 0,
0
0
1
x(t)h(t + 21 )e?2?i(2m+1)t dt = 0.
Cделаем замену ? = 2t. Получим:
Z
0
2
x( ?2 )h?( ?2 )e?2?im?
Z
d? =
0
1
x( ?2 )h?( ?2 ) + x( ?2 + 21 )h?( ?2 + 12 ) e?2?im? d? = 0
30
и аналогично
1
Z
0
x( ?2 )h( ?2 + 12 ) ? x( ?2 + 12 )h( ?2 ) e??i? e?2?im? d? = 0.
Отсюда, учитывая 1-периодичность стоящих под знаком интеграла
функций, находим:
x( ?2 )h?( ?2 ) + x( ?2 + 12 )h?( ?2 + 12 ) = 0,
x( ?2 )h( ?2 + 12 ) ? x( ?2 + 12 )h( ?2 ) = 0
для почти всех ? ? (0, 1). Как мы сейчас увидим, определитель системы
?
1 h?( ? )
h?(
+
)
? 2
?
1 2
2
2 ? = ? 2 1
? = ?(|h( 2 )| + |h( 2 + 2 )| ) = ?1
h( 2 + 2 ) ?h( 2 )
отличен от нуля. Следовательно, система имеет только тривиальное
решение x( ?2 ) = x( ?2 + 12 ) = 0, поэтому x(t) = 0 для почти всех
t ? (0, 1), так что x = 0. Осталось убедиться в справедливости равенства
|h( 2t )|2 + |h( 2t + 21 )|2 = 1 для почти всех t ? (0, 1). Действительно, имеем:
|h( 2t )|2
+
|h( 2t
+
1 2
2 )|
1XX
=
(1 + (?1)n1 (?1)n2 )hn1 h?n2 e2?i(n1 ?n2 )t/2 .
4
n1 ?Z n2 ?Z
Полагая n1 ? n2 = 2m и n = n1 , получаем:
|h( 2t )|2
+
|h( 2t
+
1 2
2 )|
1 X 2?imt X
=
e
hn h?n?2m = 1.
2
m?Z
n?Z
Теорема доказана.
Пусть теперь {Vj }j?Z ортогональный КМА в пространстве L2 (R) и
? - масштабирующая функция (см. [3]). В качестве гильбертова пространства H возьмем V0 . Оператор W f (x) = f (x ? 1) задает двусторонний сдвиг в пространстве V0 , поскольку W n ?(x) = ?(x ? n), n ? Z
ортонормированный базис пространства V0 . Изометрический в пространстве V0 оператор S0 f (x) = ?12 f ( x2 ) удовлетворяет соотношению
S0 W = W 2 S0 . По доказанной теореме существует оператор S1 , действующий в пространстве V0 , для которого пара {S0 , S1 } порождает алгебру Кунца. Поскольку Im(S0 ) = V?1 , то Im(S1 ) = V0 V?1 . Положим
?0 = S1 ?. Тогда {W 2n ?0 }n?Z ортонормированный базис в V0 V?1 . Так
как оператор S0 , рассмотренный на всем пространстве L2 (R) обратим,
то равенством ?0 = S0 ? корректно определена функция ? ? V1 , удоP
влетворяющая уравнению ?( x2 ) =
(?1)n h?1?n ?(x ? n). Таким образом,
n?Z
31
всплеск ?j,k (x) = 2j/2 ?(2j x ? k), j, k ? Z, ассоциированный с масштабирующей функцией ?, может быть построен при помощи оператора S1 ,
дополнительного к оператору S0 в соответствии с теоремой.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект ќ МД-1354.2013.1) и гранта РФФИ
(проект ќ 13-01-00102).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Cuntz J. Simple C ? -algebras generated by isometries // Commun. math. Phys.
1977. Vol. 57. P. 173185.
2. Bratteli O., Jorgensen P. Isometries, shifts, Cuntz algebras and multiresolution
wavelet analysis of scale N // Integr. equ. oper. theory. 1997. Vol. 28. P. 382443.
3. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005.
УДК 517.51
Е. В. Гудошникова
ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОМ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В работах [1] и [2] рассматривалась последовательность операторов:
"
#k
?
X
1
z(x)
k
Ln (f ; x) =
f
?
,
k,n
g(z(x))n
n
?(z(x))
k=0
где g(z) и ?(z) - аналитические в круге |z| < a, принимающие положительные значения на [0; a], такие, что на [0; a] x? 0 (x) < ?(x) и числа
k?1
?0,n = g(0)n и ?k,n =
1 d
k! dz k?1
"
0
n
g(z) ?(z)k
#
, k = 1, ?
z=0
неотрицательны, а z(x) функция, обратная к функции
g 0 (z)
z?(z)
x(z) =
·
.
?(z) ? z? 0 (z) g(z)
Частными случаями операторов Ln являются многие хорошо известные операторы, например, операторы Саса Миракьяна, Баскакова, Каталана. Кроме того, несложно указать пары функций g и ? с требуемыми
свойствами и получить новые последовательности операторов.
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
365 Кб
Теги
анализа, дополнения, изометрий, osnovnaya, алгебра, teorema, algebra, kunts, kratnomasshtabnogo, теорема, кратномасштабного, кунц, основная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа