close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача А. Д. Александрова для пространств неположительной кривизны в смысле Буземана

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2010, № 9, c. 10–35
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0079
П.Д. АНДРЕЕВ
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ
НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В СМЫСЛЕ БУЗЕМАНА
Аннотация. Статья завершает цикл, посвященный решению задачи А.Д. Александрова для
пространств неположительной кривизны. Здесь рассматриваются пространства неположительной кривизны в смысле Буземана. Доказывается, что если X есть геодезически полное связное на бесконечности локально компактное пространство неположительной кривизны по Буземану, то справедлива следующая характеризация его изометрий. Всякая биекция
f : X → X, для которой f и f −1 сохраняют расстояние 1, является изометрией.
Ключевые слова: задача Александрова, неположительная кривизна, геодезическая, изометрия, r-последовательность, геодезическая компактификация, орифункциональная компактификация.
УДК: 514.774
Abstract. This paper is the last of a series devoted to the solution of Alexandrov’s problem for nonpositively curved spaces. Here we study non-positively curved spaces in the sense of Busemann. We
prove that isometries of a geodesically complete connected at infinity proper Busemann space X
are characterizied as follows: if a bijection f : X → X and its inverse f −1 preserve distance 1,
then f is an isometry.
Keywords: Alexandrov’s problem, non-positive curvature, geodesic, isometry, r-sequence, geodesic
boundary, horofunction boundary.
1. Введение
Данная статья является заключительной в цикле [1]–[3], посвященном решению задачи
Александрова для пространств неположительной кривизны. В предыдущих работах рассматривались пространства А.Д. Александрова неположительной кривизны. Здесь мы обращаемся к пространствам неположительной кривизны по Буземану (см. определение в [4],
также [5]–[7]).
Основным результатом статьи является следующая
Теорема 1.1. Пусть (X, dX ) и (Y, dY ) — локально компактные геодезически полные связные на бесконечности пространства неположительной кривизны в смысле Буземана и
f : X → Y — биекция. Тогда эквивалентны следующие утверждения.
Поступила 01.12.2008
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 04-01-00315.
10
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
11
1) Для точек x, y ∈ X равенство dX (x, y) = 1 выполняется тогда и только тогда,
когда dY (f (x), f (y)) = 1.
2) Для точек x, y ∈ X неравенство dX (x, y) ≤ 1 выполняется тогда и только тогда,
когда dY (f (x), f (y)) ≤ 1.
3) Для точек x, y ∈ X неравенство dX (x, y) < 1 выполняется тогда и только тогда,
когда dY (f (x), f (y)) < 1.
4) Отображение f является изометрией пространства (X, dX ) на (Y, dY ).
В частности, в классе пространств неположительной кривизны по Буземану дается частичный ответ на следующий вопрос по известной задаче А.Д. Александрова: при каких
условиях в заданном метрическом пространстве (X, d) всякое биективное отображение f :
X → X, сохраняющее вместе с обратным отображением f −1 некоторое фиксированное расстояние r > 0, например, r = 1, является изометрией?
Тривиальным является тот факт, что утверждения 1)–3) следуют из 4). Теорема 1.1 имеет
эквивалентную формулировку.
Теорема 1.2. Пусть на множестве X заданы такие метрики d1 и d2 , что каждое из двух
пространств (X, di ), i = 1, 2, удовлетворяет условиям теоремы 1.1. Тогда эквивалентны
следующие утверждения.
1) Для точек x, y ∈ X равенство d1 (x, y) = 1 выполняется тогда и только тогда,
когда d2 (x, y) = 1.
2) Для точек x, y ∈ X неравенство d1 (x, y) ≤ 1 выполняется тогда и только тогда,
когда d2 (x, y) ≤ 1.
1) Для точек x, y ∈ X неравенство d1 (x, y) < 1 выполняется тогда и только тогда,
когда d2 (x, y) < 1.
4) Метрики d1 и d2 на множестве X совпадают.
Условие неположительности кривизны по Буземану является более слабым по сравнению с неположительностью кривизны по Александрову. Поэтому рассматриваемый нами
класс пространств включает подкласс CAT (0)-пространств. Некоторые свойства CAT (0)пространств сохраняются при ослаблении условия на кривизну, другие претерпевают определенную модификацию.
Статья построена следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем необходимые определения и сведения из теории пространств неположительной кривизны. Основная часть
статьи содержит доказательство теоремы 1.2. Задействованы приемы и идеи, разработанные в предыдущих статьях, адаптированные к пространствам неположительной кривизны
в смысле Буземана. Доказательство основывается на рассмотрении метрик d1 и d2 , ограниченных на произвольную прямую в пространстве X. Следует рассматривать несколько
случаев поведения прямых линий. В разделе 3 изучается случай прямых линий высшего
ранга и виртуально высшего ранга, в разделе 4 — случай сингулярных и виртуально сингулярных прямых линий, наконец, в разделе 5 — случай строго регулярных прямых линий
строго ранга один.
2. Основные понятия и необходимые сведения
из теории пространств неположительной кривизны
2.1. Определение пространства неположительной кривизны по Буземану. Пусть (X, d)
— метрическое пространство. Замкнутый шар радиуса ρ с центром x ∈ X обозначается
B(x, ρ), соответствующая сфера — S(x, ρ).
12
П.Д. АНДРЕЕВ
Определение 2.1. Геодезической в пространстве (X, d) называется локально гомотетичное отображение c : I → X, где I ⊂ R — числовой промежуток. Образ c(I) мы также будем
называть геодезической в X. Локальная гомотетичность отображения c с коэффициентом
λ > 0 означает, что для любой заданной точки t ∈ I в некоторой ее окрестности U для всех
s1 , s2 ∈ U выполнено равенство d(c(s1 ), c(s2 )) = λ|s1 − s2 |. Отображение c при λ = 1 называется натуральной параметризацией геодезической, а при произвольном λ > 0 — аффинной
параметризацией или параметризацией, пропорциональной натуральной. Если I = R, то
геодезическая c называется полной. Если отображение c гомотетично на всем промежутке I,
то геодезическая c называется кратчайшей. В частности, кратчайшая, определенная на числовом отрезке I = [a, b] ⊂ R, называется отрезком в X. Отрезок соединяет концы x = c(a)
и y = c(b). Обозначим через [xy] отрезок, соединяющий точки x, y ∈ X. Пространство (X, d)
называется геодезическим, если любые две его точки можно соединить отрезком. Геодезическое пространство X называется геодезически полным, если всякую геодезическую в X
можно продолжить до полной геодезической. Полная кратчайшая в X называется прямой
линией, кратчайшая с областью определения R+ называется лучом.
Определение 2.2. Геодезическое пространство X называется пространством неположительной кривизны по Буземану (или, следуя терминологии Б. Боудича [4], пространством
Буземана), если его метрика выпукла в следующем смысле. Для любых двух отрезков [xy]
и [x y ] с соответствующими аффинными параметризациями γ : [a, b] → X, γ : [a , b ] → X,
функция Dγ,γ : [a, b] × [a , b ] → R, определенная равенством
Dγ,γ (t, t ) = |γ(t)γ (t )|,
выпукла. Эквивалентно, геодезическое пространство X является пространством неположительной кривизны по Буземану, если для любых трех его точек x, y, z ∈ X выполнено
неравенство
1
|mn| ≤ |yz|,
2
где m — середина отрезка [xy], а n — середина отрезка [xz].
Свойство неположительности кривизны по Буземану для геодезического пространства X
имеет и другие эквивалентные формулировки (см. [5], предложение 8.1.2). Простейшие примеры пространств неположительной кривизны в смысле Буземана — это CAT (0)-пространства и строго выпуклые нормированные пространства.
Всюду далее мы считаем, что метрики d1 и d2 на множестве X удовлетворяют условиям
теоремы 1.2. Для произвольного пространства неположительной кривизны по Буземану
(X, d) расстояние между его точками x, y ∈ X будет обозначаться |xy|.
2.2. Лемма о нормированной полосе. Если заданы A ⊂ X и число ε > 0, множество
Nε (A) := {x ∈ X | |xa| < ε для некоторой a ∈ A}
понимается как ε-окрестность A в X.
Определение 2.3. Расстоянием Хаусдорфа
A, B ⊂ X называется величина
между замкнутыми подмножествами
dH (A, B) := inf{ε | A ⊂ Nε (B), B ⊂ Nε (A)}.
В частности, если не существует такого ε > 0, что A ⊂ Nε (B) и B ⊂ Nε (A), то по определению считаем dH (A, B) = ∞.
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
13
Две прямые линии a, b : R → X называются параллельными, если расстояние Хаусдорфа
между ними конечно:
dH (a, b) < ∞.
Нормированной полосой (или полосой Минковского) в пространстве (X, d) называется
подмножество L ⊂ X, изометричное полосе между двумя параллельными прямыми на
нормированной плоскости. Прямые в X, ограничивающие нормированную полосу, параллельны.
Обратное утверждение также верно. Оно известно как лемма Ринова о нормированной
полосе.
Лемма 2.1 ([8], сс. 432, 463; [9], лемма 1.1 и последующие замечания). В пространстве
неположительной кривизны по Буземану X любые две параллельные прямые ограничивают нормированную полосу.
Замечание 2.1. Очевидно, норма в плоскости, содержащей полосу, изометричную нормированной полосе пространства неположительной кривизны по Буземану, строго выпукла.
Определение 2.4. Прямая a : R → X называется прямой высшего ранга, если в X имеются
отличные от нее параллельные ей прямые. В противном случае мы говорим, что a — прямая
ранга один.
2.3. Компактификации пространства неположительной кривизны по Буземану. Пространства неположительной кривизны по Буземану могут значительно отличаться по своей геометрии от CAT (0)-пространств. Одно из характерных отличий состоит в следующем.
Имеются два естественных подхода к введению идеальной компактификации пространства
путем добавления границы на бесконечности. В случае CAT (0) эти два подхода приводят к
одному и тому же результату, в случае же пространств неположительной кривизны по Буземану результаты идеальных компактификаций могут значительно различаться (см. [9]).
Напомним определения указанных компактификаций.
Метрическое пространство (X, d) называется конечно компактным, если в нем всякое
ограниченное замкнутое множество компактно. Как следует из теоремы Хопфа–Ринова в
формулировке С. Кон-Фоссена (см. [10]), для геодезического пространства одновременное
выполнение условий локальной компактности и полноты эквивалентно условию конечной
компактности.
Определение 2.5. Пусть X — конечно компактное пространство неположительной кривизны по Буземану. Лучи c, d : [0, +∞) → X называются асимптотическими, если расстояние Хаусдорфа между их образами конечно:
dH (c, d) < ∞.
Отношение асимптотичности является эквивалентностью на множестве лучей в X. Фактормножество ∂g X образует так называемую геодезическую идеальную границу X, а объединение X g = X ∪ ∂g X — его геодезическую идеальную компактификацию. Топология
на X g , называемая конической топологией, имеет следующее задание. Если задана отмеченная точка o ∈ X, то для x ∈ X g через [ox] обозначается отрезок, соединяющий o с x,
если x ∈ X, или луч из o в направлении x, если x ∈ ∂g X. Такой луч всегда существует
и однозначно определен. Мы считаем, что последовательность {xn }+∞
n=1 ⊂ X g сходится к
точке x ∈ X g в смысле конической топологии, если последовательность натуральных параметризаций отрезков (лучей) {[oxn ]}+∞
n=1 сходится к натуральной параметризации отрезка
14
П.Д. АНДРЕЕВ
(луча) [ox]. В этом случае сходимость натуральных параметризаций является равномерной на общих ограниченных областях задания натурального параметра. Так определенная
коническая топология на X g не зависит от выбора отмеченной точки o. Топология, индуцированная конической топологией на границе ∂g X, также называется конической. Тождественное отображение IdX = ig : X → X g является вложением X в X g , образ ig (X)
является открытым плотным подмножеством X = ig (X) ⊂ X g .
Более подробно построение геодезической компактификации и геодезической границы
∂g X представлено в [6] и [7].
Далее нам понадобится одно техническое утверждение, касающееся конической топологии на ∂g X. Для замкнутого подмножества V ⊂ ∂g X, точки o ∈ X и чисел K, ε > 0 мы
определим (o, K, ε)-окрестность множества V как множество
No,K,ε (V) := {ζ ∈ ∂g X | ∃ξ ∈ V, ζ ∈ Uξ,o,K,ε },
где
Uξ,o,K,ε := {η ∈ ∂g X |c(K)d(K)| < ε, c = [o, ξ]; d = [o, η]}.
Лемма 2.2. Пусть задана отмеченная точка o ∈ X и число ε > 0. Для произвольной
окрестности U замкнутого множества V ⊂ ∂g X в смысле конической топологии существует такое число K > 0, что
V ⊂ No,K,ε (V) ⊂ U.
Доказательство. Предположим, что для любого K > 0
UξK ,o,K,ε ⊂ U
для некоторой точки ξK ∈ V. Зафиксируем последовательность Kn → +∞ и сходящуюся последовательность {ξKn } ⊂ V соответствующих идеальных точек с окрестностями
UξKn ,o,Kn ,ε ⊂ U. Такие последовательности можно выбрать в силу компактности V. Обозначим
ζ = lim ξKn ,
K
n→∞
> 0 — такое число, что
Uζ,o,K ,ε ⊂ U.
Тогда
UξKn ,o,2K ,ε ⊂ Uζ,o,2K ,2ε ⊂ U
для всех n за исключением возможно конечного числа. Это противоречит выбору последо
вательности ξKn .
Определение 2.6. Пусть (X, d) — метрическое пространство и C(X) — пространство
непрерывных функций на X с топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах. Тогда определено следующее вложение Куратовского X → C(X). Пусть o ∈ X
— отмеченная точка. Всякая точка x ∈ X отождествляется с дистанционной функцией
dx ∈ C(X), действующей по формуле
dx (y) = d(x, y) − d(o, x).
C ∗ (X)
= C(X)/{consts} — факторпространство C(X) по подпространству констант.
Пусть
Проекция p : C(X) → C ∗ (X) порождает вложение ν : X → C ∗ (X), не зависящее от выбора
отмеченной точки o. Мы отождествляем пространство X с его образом ν(X).
Пусть пространство X некомпактно и конечно компактно. Орифункциональная компактификация пространства X определяется как замыкание образа ν(X) ⊂ C ∗ (X). Обозначим
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
15
через X h орифункциональную компактификацию X, через ∂h X = X h \ X — орифункциональную границу пространства X. Функции, образующие орифункциональную границу, называются орифункциями. Каждая орифункция понимается как предел дистанционных функций в смысле топологии равномерной сходимости на ограниченных множествах.
Для орифункции Φ соответствующая точка орифункциональной границы обозначается
[Φ] ∈ ∂h X. В пространстве неположительной кривизны по Буземану важный класс орифункций составляют так называемые функции Буземана. Всякий луч c : R+ → X порождает соответствующую ему функцию Буземана βc равенством
βc (y) = lim (|yc(t)| − t).
t→+∞
Множества уровня орифункций называются орисферами, множества подуровня — оришарами. Орисфера, определенная по орифункции Φ равенством Φ(x) = Φ(x0 ), где x0 ∈ X,
обозначается HS(Φ, x0 ), соответствующий оришар — HB(Φ, x0 ).
Существует еще один подход, приводящий к компактификации метрического пространства, которая эквивалентна орифункциональной. В [11] М. Риффель определил метрическую компактификацию некомпактного конечно компактного метрического пространства X.
Там же показано, что метрическая и орифункциональная компактификации эквивалентны.
Следующее утверждение доказано в [9].
Теорема 2.1. Пусть X — конечно компактное некомпактное пространство неположительной кривизны в смысле Буземана. Тогда существует непрерывная сюръекция πhg :
X h → X g , которая на X совпадает с тождественным отображением. Если βc — функция
Буземана, порожденная лучом c : R+ → X, то πhg ([βc ]) — это точка в ∂g X, представляющая собой класс лучей, асимптотических с лучом c.
Если X — CAT (0)-пространство, то отображение πhg является гомеоморфизмом. С другой стороны, если X — нормированное пространство со строго выпуклой сингулярной нормой, то отображение πhg не инъективно. Сингулярность нормы в линейном пространстве
означает, что единичная сфера S относительно этой нормы имеет точки, в которых нарушается ее гладкость. Всякая такая точка сферы S считается сингулярной, а ее радиусвектор определяет сингулярное направление пространства X. В сингулярной точке сфера
−1
(ξ) идеальной точки ξ ∈ ∂g X, соотS имеет более одной опорной плоскости. Прообраз πhg
ветствующей сингулярному направлению, включает классы орифункций, не являющихся
функциями Буземана.
Определение 2.7. Точка ξ ∈ ∂g X геодезической идеальной границы пространства X назы−1
вается регулярной, если ее прообраз πhg
(ξ) ⊂ ∂h X — одноточечное множество. В противном
случае ξ называется сингулярной точкой. Прямая a : R → X называется регулярной, если обе ее идеальные точки a(−∞) и a(+∞) регулярны. В противном случае a называется
сингулярной.
Из компактности пространства X h и хаусдорфовости X g легко следует, что отображение
πhg замкнуто: образ всякого замкнутого подмножества в X h замкнут в X g . Поэтому πhg
удовлетворяет следующему условию “слабой открытости”.
Лемма 2.3. Для произвольной точки ξ ∈ ∂g X и любой окрестности U ее прообраза
−1
πhg
(ξ) ⊂ ∂h X существует окрестность V точки ξ ∈ ∂g X, для которой
V ⊂ πhg (U).
16
П.Д. АНДРЕЕВ
Доказательство. Образ πhg (∂g X \ U) замкнут, поэтому открытое подмножество
V = ∂g X \ πhg (∂g X \ U)
является требуемой окрестностью ξ.
2.4. Виртуальные свойства.
Определение 2.8. Конечное семейство прямых линий a := a0 , a1 , . . . , an := b называется
асимптотической цепью, если для всех i = 1, n прямые ai−1 и ai асимптотичны в одном из
направлений. В этом случае говорим, что прямые a и b соединены асимптотической цепью.
По определению прямая линия b : R → X обладает некоторым свойством виртуально, если
ее можно соединить асимптотической цепью с некоторой прямой a, обладающей указанным
свойством. В дальнейшем будут рассматриваться виртуально сингулярные прямые линии и
прямые виртуально высшего ранга. Если прямая a не является прямой виртуально высшего
ранга (соответственно виртуально сингулярной), то мы говорим, что a есть прямая строго
ранга один (соответственно строго регулярна).
2.5. План доказательства теоремы 1.2. Эквивалентность утверждений 1)–3) в теореме
1.2 для случая CAT (0)-пространства доказана в [3]. Ослабление условий на кривизну не
приводит к изменениям в этом доказательстве. Поэтому считаем эквивалентность утверждений 1)–3) доказанной. Наша задача состоит в том, чтобы показать, что из этих трех
утверждений следует утверждение 4).
Рассмотрим пару точек x, y ∈ X. В силу геодезической полноты пространства X отрезок [xy], понимаемый в смысле метрики d1 , содержится в некоторой прямой линии a (не
обязательно единственной). Покажем, что a является прямой линией также и в смысле
метрики d2 , причем обе метрики d1 и d2 на прямой a совпадают.
Необходимо рассмотреть следующие случаи. Прямая линия a может быть прямой высшего ранга, виртуально высшего ранга или строго ранга один. В последнем случае она
может быть сингулярной, виртуально сингулярной или строго регулярной. Мы доказываем
равенство метрик d1 = d2 на a в каждом из перечисленных случаев.
Основные приемы разработаны ранее в [1]–[3]. Мы используем введенные В.Н. Берестовским в [1] понятие r-последовательности и перенос метрики орисферами с прямой на асимптотическую с ней прямую. Нам удобно использовать подход к понятию r-последовательности,
примененный в [3].
Определение 2.9. Гомотетичное с коэффициентом r > 0 отображение Z → X называется
r-последовательностью.
Мы рассматриваем только случай r = 1, при котором гомотетия становится изометрией, но сохраняем удобный термин r-последовательность. Отрезок r-последовательности
{xz }z∈Z , заключенный между xz1 и xz2 , обозначим
[xz1 , xz1 +1 , . . . , xz2 ]r .
Две r-последовательности {xz }z∈Z и {yz }z∈Z называются параллельно эквивалентными, если расстояние Хаусдорфа между ними конечно:
dH ({xz }, {yz }) < ∞.
Следующий результат В.Н. Берестовского играет ключевую роль в доказательстве теоремы в случае CAT (K)–пространств при K < 0 ([1], предложение 3.5) и CAT (0)-пространств.
Пусть X — CAT (0)-пространство, удовлетворяющее условиям теоремы 1.2. Тогда метрическая топология τm на X совпадает с топологией τf , которая порождается прообразами
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
17
интервалов для всевозможных функций Буземана на X. В случае пространств неположительной кривизны по Буземану соответствующее утверждение также верно.
Метрическое пространство X называется связным на бесконечности, если в нем дополнение всякого замкнутого шара линейно связно. В [1] показано, что для геодезически полного
CAT (0)-пространства это условие эквивалентно условию линейной связности произвольной сферы. Эквивалентность указанных двух условий выполняется и в случае пространств
неположительной кривизны в смысле Буземана.
Предложение 2.1. Пусть X — локально компактное, геодезически полное, связное на
бесконечности пространство неположительной кривизны в смысле Буземана. Тогда семейство B всевозможных открытых оришаров относительно всевозможных функций
Буземана есть предбаза метрической топологии на X.
Доказательство. Для луча c = [x0 ξ] дополнение X \ HB(βc , x0 ) замкнутого оришара
HB(βc , x0 ) представимо как объединение открытых оришаров, соответствующих функциям
Буземана. Действительно,
hb(βd , x).
X \ HB(βc , x0 ) =
x∈HS(βc ,x0 ) d∈rx
Здесь rx означает множество лучей d : R+ → X, дополнительных к лучу [xξ], hb(βd , x) —
открытый оришар
hb(βd , x) = {y ∈ X | βd (y) < βd (x)}.
Поэтому для произвольной функции Буземана βc и произвольного интервала (a, b) прообраз
βc−1 ((a, b)) открыт в топологии с предбазой B. Оставшаяся часть доказательства повторяет
аргументы В.Н. Берестовского из [1].
Перенос метрики орисферами основывается на применении следующей леммы. Ее доказательство для CAT (0)-пространств дано в [3] и не меняется существенно при переходе к
пространствам неположительной кривизны по Буземану.
Лемма 2.4. Пусть пространства (X, d1 ), (X, d2 ) удовлетворяют условиям теоремы 1.2.
Пусть образы при отображениях a, b : R → X являются прямыми линиями в X как в
метрике d1 , так и в метрике d2 , причем по отношению к метрике d1 указанные прямые
асимптотичны в направлении идеальной точки ξ ∈ ∂g X. Если на a выполнено равенство
d1 = d2 , то равенство d1 = d2 выполняется также и на b.
2.6. Расстояния между асимптотическими лучами. Зафиксируем точку ξ ∈ ∂g X геодезической границы пространства X. Она определяет следующую псевдометрику ρξ на X.
Для x, y ∈ X положим
ρξ (x, y) = dist ([xξ], [yξ]),
т. е.
ρξ (x, y) = inf |c(s), d(t)|,
s,t≥0
где c, d : R+ → X — натуральные параметризации лучей [xξ] и [yξ] соответственно.
Автоматическая проверка аксиом псевдометрики доказывает следующее утверждение.
Лемма 2.5. Функция ρξ задает псевдометрику на X.
Обозначим через Xξ метрическое пространство, индуцированное из X псевдометрикой
ρξ . Элементами Xξ служат классы точек, для которых ρξ = 0. Мы сохраняем обозначение ρξ
для метрики на пространстве Xξ . Если лучи c, d : R+ → X асимптотичны в направлении ξ,
18
П.Д. АНДРЕЕВ
то расстояние ρξ между их точками постоянно. Обозначим его ρξ (c, d). В частности, пространство Xξ может быть одноточечным.
Лемма 2.6. Пусть лучи c, d : R+ → X асимптотичны, c(+∞) = d(+∞) = ξ, βc и βd —
соответствующие функции Буземана. Тогда
0 ≤ βc (d(0)) + βd (c(0)) ≤ 2ρξ (c, d).
Доказательство. Предположим, что луч d : R+ → X в направлении идеальной точки ξ
имеет общую часть с лучом d. Тогда верно равенство
βc (d(0)) + βd (c(0)) = βc (d (0)) + βd (c(0)).
Действительно, если
d (s)
(2.1)
= d(t) для некоторых s, t ≥ 0, то
βd (x) = βd (x) − t + s
для всех x ∈ X и
βc (d(0)) = βc (d (0)) + t − s.
Подставим в первое равенство c(0) вместо x. Складывая равенства, получаем (2.1). В силу
(2.1) можно считать, что βc (d(0)) = 0.
Мы утверждаем, что в этом случае βd (c(0)) ≥ 0. Действительно, для любого ε > 0 найдется такое T > 0, что для любого t > T при некотором τ = τ (t) > t выполняются оценки
τ < |d(0)c(τ )| < τ + ε
и
ε
.
|c(0)d(0)|
Пусть точка p лежит на отрезке [d(0)c(τ )] на расстоянии |d(0)p| = t/τ · |d(0)c(τ )| от d(0).
Имеем
|pd(t)| ≤ t/τ · |c(τ )d(τ )| ≤ t/τ · |c(0)d(0)| < ε
и |pc(τ )| < τ − t + ε. Следовательно, неравенство треугольника дает |c(0)p| > t − ε. Поэтому
t/τ <
|c(0)d(t)| ≥ |c(0)p| − |pd(t)| > t − 2ε.
Принимая во внимание произвольность выбора ε и переходя к пределу при t → ∞, приходим
к требуемой оценке снизу для βd (c(0)) и для суммы βc (d(0)) + βd (c(0)). С другой стороны,
в предположении βc (d(0)) = 0 выберем произвольное ε > 0 и числа s, t > 0, для которых
ε
|c(s)d(t)| < ρξ (c, d) + ,
4
|c(s)d(0)| − s < ε
4
и
|c(∆)d(t)| − t < ε ,
4
где ∆ = βd (c(0)). Кроме того, будем считать, что значения параметров s и t достаточно
велики, в частности, s ≥ ∆. Тогда неравенство треугольника дает
ε
ε
∆ + t − < ∆ + |c(∆)d(t)| ≤ s + |c(s)d(t)| < s + ρξ (c, d) +
4
4
и
ε
ε
s − < |d(0)c(s)| ≤ t + |c(s)d(t)| < t + ρξ (c, d) + .
4
4
Складывая эти неравенства, получаем
∆ = βc (d(0)) + βd (c(0)) < 2ρξ (c, d) + ε.
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
19
Поскольку ε > 0 взято произвольно, мы имеем требуемую оценку сверху для суммы βc (d(0))+
βd (c(0)).
Пусть a : R → X — прямая линия, для которой a(+∞) = ξ и Y ⊂ X — подпространство,
содержащее точки всех прямых, параллельных a. Рассмотрим метрическое подпространство
Yξ пространства Xξ , порожденное Y .
Лемма 2.7. Пространство Yξ есть пространство неположительной кривизны по Буземану. Оно является одноточечным тогда и только тогда, когда a имеет ранг один.
Доказательство. Пусть b и c — две прямые, параллельные a. Тогда b и c параллельны и
ограничивают некоторую нормированную полосу F ⊂ Y . Полоса F расслаивается на прямые линии, параллельные a, и проектируется в отрезок пространства Yξ . Следовательно,
Yξ есть геодезическое пространство. Пусть bξ , cξ , dξ ∈ Yξ — произвольные три точки, полученные как проекции в Yξ прямых линий b, c и d соответственно. Выберем точки y ∈ c и
z ∈ d так, что |yz| = ρξ (cξ , dξ ). Также выберем точку x1 ∈ b, для которой |x1 y| = ρξ (b, c), и
точку x2 ∈ b, для которой |x2 z| = ρξ (b, d).
Рис. 1
Пусть m — середина отрезка [x1 y], n1 — середина отрезка [x1 z] и n2 — середина отрезка
[x2 z]. Пусть p и q — прямые, параллельные a, проходящие через точки m и n2 соответственно, и pξ и qξ — их проекции в Yξ . Тогда прямая q проходит также и через точку n1 .
Следовательно,
1
ρξ (pξ , qξ ) ≤ |mn1 | ≤ |yz|.
2
Поскольку pξ и qξ являются серединами отрезков [bξ cξ ] и [bξ dξ ] в пространстве Yξ , первое
утверждение леммы доказано. Второе утверждение очевидно.
3. Совпадение метрик на геодезической высшего ранга
Главная идея рассмотрения прямых линий высшего ранга наследуется из статей [2] и
[3], где вводится понятие тесемки. Основное отличие состоит в том, что в случае CAT (0)пространств всякая нормированная полоса изометрична полосе на плоскости с евклидовой
нормой. Ослабление условий на норму влечет необходимость некоторых уточнений в доказательстве.
Напомним определение p-тесемки.
20
П.Д. АНДРЕЕВ
Определение 3.1. Набор из 4p (p ∈ N) параллельно эквивалентных r-последовательностей
{xi,j;z }z∈Z , i = 0, 3, j = 1, p,
(3.1)
образует p-тесемку, если следующие 4p + 4 точек
xi,1,0 , . . . , xi,p,0 , i = 0, 3,
x0,1,2p−1 , x2,p,1−2p , x3,p−1,1−2p , x3,p,1−2p
дополнительно образуют систему отрезков r-последовательностей
[x0,1,0 , x1,1,0 , x2,1,0 , x3,1,0 ]r ,
...
[x0,p,0 , x1,p,0 , x2,p,0 , x3,p,0 ]r ,
[x0,2,0 , x1,1,0 , x2,p,1−2p , x3,p−1,1−2p ]r ,
[x0,3,0 , x1,2,0 , x2,1,0 , x3,p,1−2p ]r ,
[x0,4,0 , x1,3,0 , x2,2,0 , x3,1,0 ]r ,
...
[x0,p,0 , x1,p−1,0 , x2,p−2,0 , x3,p−3,0 ]r ,
[x0,1,2p−1 , x1,p,0 , x2,p−1,0 , x3,p−2,0 ]r .
Рис. 2. p-тесемка
Нам понадобится следующее предложение. Запись p − m − n − q означает, что точки m
и n принадлежат отрезку [pq] и делят его на три равные части:
1
|pm| = |mn| = |nq| = |pq|.
3
Лемма 3.1. Пусть в пространстве неположительной кривизны по Буземану Y заданы
4p точек yij , i = 0, 3, j = 1, p (не обязательно различных). Предположим, что выполнены
следующие отношения (см. рис. 3):
y01 − y11 − y21 − y31 ,
...
y0p − y1p − y2p − y3p ,
y02 − y11 − y2p − y3(p−1) ,
y03 − y12 − y21 − y3p ,
y04 − y13 − y22 − y31 ,
...
y0p − y1(p−1) − y2(p−2) − y3(p−3) ,
y01 − y1p − y2(p−1) − y3(p−2) .
Тогда все точки y1j совпадают. Это же справедливо и для точек y2j .
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
21
Рис. 3
Доказательство. Пусть M — максимум из расстояний |y11 y12 |, |y12 y13 |, . . . , |y1(p−1) y1p |,
|y1p y11 |, |y21 y22 |, |y22 y23 |, . . . , |y2(p−1) y2p |, |y2p y21 |. Перенумеровав, если необходимо, точки,
можем считать |y11 y12 | = M . Свойство неположительности кривизны, примененное к треугольнику y02 y22 y2p , дает
|y2p y22 | ≥ 2M.
С другой стороны, |y2p y22 | ≤ |y2p y21 | + |y21 y22 | ≤ 2M , откуда |y2p y22 | = 2M и |y2p y21 | =
|y21 y22 | = M . Указанные равенства означают, что точки y2p , y21 и y22 принадлежат одной прямой. Далее, изучая по той же схеме треугольник y31 y11 y13 , получаем равенства
|y11 y13 | = 2M и |y12 y13 | = M , из которых следует, что точки y11 , y12 и y13 принадлежат
одной прямой. Продолжая аналогичные рассуждения, приходим к выводу, что все перечисленные расстояния равны M , все точки y1j принадлежат одной прямой и все точки y2j также
принадлежат одной прямой. Такая система точек возможна только в случае M = 0.
Следствие 3.1. Все r-последовательности x1,j,z в определении 3.1 принадлежат одной прямой. Все r-последовательности x2,j,z также принадлежат одной прямой.
Доказательство. Рассмотрим множество Y , образованное точками всех прямых, параллельных четырем прямым, содержащим r-последовательности данной тесемки. По лемме
2.7 пространство Yξ является пространством неположительной кривизны по Буземану. Обозначим через yij проекцию r-последовательности {xi,j,z }z∈Z на Yξ . Тогда точки yij формируют конфигурацию, описанную в лемме 3.1. Поэтому точки y1j совпадают. Точка, совпадающая со всеми y1j , является проекцией некоторой прямой линии в Y , содержащей все
r-последовательности {x1,j,z }z∈Z . Аналогично, все r-последовательности {x2,j,z }z∈Z принадлежат одной прямой.
Пусть r-последовательности (3.1) составляют p-тесемку. Рассмотрим отрезки [x1,1,0 x3,1,0 ]
и [x0,2,0 x2,2,0 ]. Их середины — x2,1,0 и x1,2,0 соответственно, при этом
|x2,1,0 x1,2,0 | = 1 = |x1,1,0 x0,2,0 | = |x3,1,0 x2,2,0 |.
Поэтому для любого t ∈ [0, 2], если xt ∈ [x1,1,0 x3,1,0 ] — точка, для которой |x1,1,0 xt | = t, а
yt ∈ [x0,2,0 x2,2,0 ] — точка, для которой |x0,2,0 yt | = t, то |xt yt | = 1.
Лемма 3.2. Объединение U всех отрезков [xt yt ] есть выпуклое подмножество в X, изометричное параллелограмму на некоторой нормированной плоскости.
22
П.Д. АНДРЕЕВ
Доказательство. Для t ∈ [0, 2] и s ∈ [0, 1] обозначим через p(s,t) точку отрезка [xt yt ], для
которой |xt p(s,t) | = s. Зафиксируем точки p(s1 ,t1 ) и p(s2 ,t2 ) (см. рис. 4).
Рис. 4
Для λ ∈ [0, 1] обозначим через mλ такую точку отрезка [p(s1 ,t1 ) p(s2 ,t2 ) ], что
|p(s1 ,t1 ) mλ | = λ|p(s1 ,t1 ) p(s2 ,t2 ) |.
Из выпуклости метрики d следует
1 = |x(1−λ)t1 +λt2 y(1−λ)t1 +λt2 | ≤ |x(1−λ)t1 +λt2 mλ | + |mλ y(1−λ)t1 +λt2 | ≤
≤ (1 − λ)|xt1 p(s1 ,t1 ) | + λ|xt2 p(s2 ,t2 ) | + (1 − λ)|p(s1 ,t1 ) yt1 | + λ|p(s2 ,t2 ) yt2 | ≤
≤ (1 − λ)|xt1 yt1 | + λ|xt2 yt2 | = 1.
Так как левая и правая части неравенства равны, то все знаки неравенства в нем обращаются в равенство. Следовательно, mλ совпадает с точкой p((1−λ)s1 +λs2 ,(1−λ)t1 +λt2 ) . Поэтому делаем вывод, что U — выпуклое подмножество. Кроме того, каждое отображение
λ → p((1−λ)s1 +λs2 ,(1−λ)t1 +λt2 ) задает аффинную параметризацию отрезка [p(s1 ,t1 ) p(s2 ,t2 ) ].
Для произвольных δ ∈ (−1, 1) и σ ∈ (−2, 2) рассмотрим функцию ρδ,σ , определенную на
некоторой, заданной по числам δ и σ части прямоугольника [0, 1] × [0, 2] равенством
ρδ,σ (s, t) = d(p(s,t) , p(s+δ,t+σ) ).
Область задания функции ρδ,σ имеет вид
Dδ,σ = [a(δ, σ)b(δ, σ)] × [c(δ, σ)d(δ, σ)] ⊂ [0, 1] × [0, 2].
Здесь
a(δ, σ) = max{0, −δ}, b(δ, σ) = min{1, 1 − δ}, c(δ, σ) = max{0, −σ}, d(δ, σ) = min{2, 2 − σ}.
Мы утверждаем, что функция ρδ,σ постоянна на Dδ,σ и
ρλδ,λσ (s, t) = λρδ,σ (s, t)
(3.2)
для всех λ ∈ [0, 1]. Равенство (3.2) очевидно. Для доказательства постоянства функции ρδ,σ
достаточно показать ее постоянство в достаточно малой окрестности произвольной внутренней точки (s0 , t0 ) ∈ Dδ,σ ∩ (0, 1) × (0, 2).
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
23
Мы докажем, что если (2s − s0 , t0 ), (2s0 − s, t0 ) ∈ Dδ,σ , то ρδ,σ (s, t0 ) = ρδ,σ (s0 , t0 ). Действительно, свойство неположительности кривизны для треугольника p(2s−s0 ,t0 ) p(s0 ,t0 ) p(s0 +δ,t0 +σ)
(см. рис. 5) дает
1
|p(s,t0 ) p(s+ 1 δ,t0 + 1 σ) | ≤ |p(s0 ,t0 ) p(s0 +δ,t0 +σ) |
2
2
2
Рис. 5
и, следовательно,
ρδσ (s, t0 ) ≤ ρδσ (s0 , t0 ).
С другой стороны, из свойства неположительности кривизны для треугольника
p(2s0 −s,t0 ) p(s,t0 ) p(s+δ,t0 +σ) вытекает
1
|p(s0 ,t0 ) p(s0 + 1 δ,t0 + 1 σ) | ≤ |p(s,t0 p(s+δ,t0 +σ) |
2
2
2
и
ρδσ (s0 , t0 ) ≤ ρδσ (s, t0 ).
Поэтому
ρδσ (s0 , t0 ) = ρδσ (s, t0 ).
Аналогично получаем
ρδσ (s0 , t0 ) = ρδσ (s0 , t)
для всех t ∈ [0, 1] таких, что (s0 , 2t − t0 ), (s0 , t − 2t0 ) ∈ Dδ,σ . Следовательно,
ρδσ (s1 , t1 ) = ρδσ (s2 , t2 )
для всех пар (s1 , t1 ), (s2 , t2 ) ∈ Dδ,σ .
Теперь определим норму N в плоскости V 2 с координатами (α, β) равенством
1
ρ
(s, t),
λ |λα|,|λβ|
где λ > 0, |λα| ≤ 1, |λβ| ≤ 2 и (s, t) ∈ D|λα|,|λβ| берутся произвольно. Из предыдущего
следует, что норма N не зависит от выбора λ и (s, t). Поэтому в силу выпуклости метрики
в X нормированное пространство (V 2 , N ) имеет строго выпуклую норму. Из определения
нормы N вытекает, что параллелограмм [0, 1] × [0, 2] ⊂ V 2 изометричен множеству U . N (α, β) =
24
П.Д. АНДРЕЕВ
Лемма 3.3. Пусть r-последовательности (3.1) составляют p-тесемку, а прямая линия
a : R → X содержит точки x1,j,z при 1 ≤ j ≤ p и z ∈ Z. Тогда
(j − 1)(2p − 1)
+z
(3.3)
x1,j,z = a
p
для всех j ∈ {1, . . . , p} и z ∈ Z.
Доказательство. Из предыдущей леммы следует
|x1,1,0 x1,2,0 | = |x2,1,0 x2,2,0 |.
Аналогично,
|x1,j−1,0 x1,j,0 | = |x2,j−1,0 x2,j,0 |
для всех j ∈ {2, . . . , p},
|x2,j,0 x2,j+1,0 | = |x1,j+1,0 x1,j+2,0 | для всех j ∈ {1, . . . , p − 2}
и
|x2,p−1,0 x2,p,0 | = |x1,p,0 x1,1,2p−1 |.
Поскольку в силу следствия 3.1 точки x1,j,0 принадлежат одной прямой, также содержащей
x1,1,2p−1 , то эти точки делят отрезок [x1,1,0 x1,1,2p−1 ] на p равных частей. Оставшаяся часть
доказательства очевидна.
Далее предположим, что отображение a : R → X задает прямую линию высшего ранга
в метрическом пространстве (X, d1 ). Образ a(R) может лежать внутри некоторой нормированной полосы или на границе всякой нормированной полосы, содержащей a. Предположим
сначала, что найдется нормированная полоса F, содержащая a(R) внутри себя.
Лемма 3.4. Существует такое число P > 0, что для всех натуральных p > P нормированная полоса F содержит p-тесемку, для которой в обозначениях определения 3.1
выполняются равенства точек
(j − 1)(2p − 1)
+z .
x1,j,z = a
p
Доказательство. Пусть число L > 0 таково, что полоса F содержит подполосу ширины
3L с граничными прямыми на расстояниях L и 2L от a. Зафиксируем точку q ∈ F так, что
|a(0)q| = 1 и
0 < dist (q, a) < min{1, L}.
Тогда найдется такое число t, модуль которого находится в интервале 0 < |t| < 2, что
|a(t)q| = 1. Поскольку метрика F строго выпукла, число t и точка a(t) определены однозначно. Выберем P > 0 так, что 2/P < 2 − |t|. Легко видеть, что P удовлетворяет утверждению
леммы.
Лемма 3.5. Пусть набор r-последовательностей (3.1) образует p-тесемку в смысле метрики d1 . Тогда он также задает p-тесемку в смысле метрики d2 .
Доказательство немедленно следует из условий, по которым определены метрики d1 и d2
и из определения 3.1.
Теперь мы готовы доказать равенство метрик d1 и d2 на прямой a высшего ранга в случае,
когда a проходит внутри некоторой нормированной полосы F.
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
25
Лемма 3.6. Пусть отображение a : R → X задает прямую линию в смысле метрики
d1 , причем a(R) проходит строго внутри некоторой нормированной полосы F, также
рассматриваемой в смысле метрики d1 . Тогда отображение a также задает прямую в
смысле метрики d2 , и на ней выполняется равенство метрик d1 = d2 .
Доказательство. По лемме 3.4 существует такое число P > 0, что для любого натурального p > P нормированная полоса F содержит p-тесемку, определенную набором (3.1), для
которого
k
= x1,j,z .
a
p
Здесь
где
k
p
1
при k кратных p;
k j=
1+p 1− p
в остальных случаях,
обозначает дробную часть числа k/p, а
z=
k − (j − 1)(2p − 1)
.
p
По лемме 3.5 всякая такая тесемка является p-тесемкой и в смысле метрики d2 . В силу
следствия 3.1 точки x1,j,z принадлежат образу отображения a : R → X, которое задает
натуральную параметризацию прямой линии в смысле метрики d2 , а по лемме 3.3 эти точки
удовлетворяют равенствам (3.3). Заметим, что a (z) = x1,0,z , поэтому прямая a одна и та
же для различных p. Придавая величине p различные значения, получаем a (q) = a(q) для
всех рациональных q. Метрики d1 и d2 эквивалентны (они имеют общее семейство открытых
оришаров, значит, порождаемые ими топологии имеют одну и ту же предбазу B). Поэтому
равенство a (t) = a(t) выполняется для всех t ∈ R.
Следствие 3.2. Пусть отображение a : R → X является натуральной параметризацией
прямой линии высшего ранга в смысле метрики d1 . Тогда a является также натуральной
параметризацией прямой линии высшего ранга и в смысле метрики d2 .
Доказательство. Если образ a(R) проходит внутри некоторой нормированной полосы F,
то результат доказан в лемме 3.6. Если a(R) является граничной прямой для любой нормированной полосы F, содержащей a(R), то a будет пределом натуральных параметризаций
прямых линий, содержащихся в F. Из эквивалентности метрик d1 и d2 получаем, что параметризация a будет также пределом натуральных параметризаций прямых линий и в
смысле метрики d2 , а значит, и сама служит натуральной параметризацией прямой линии
в смысле метрики d2 .
Справедлива
Теорема 3.1. Пусть a — прямая линия виртуально высшего ранга в смысле метрики d1 .
Тогда a является прямой линией виртуально высшего ранга и в смысле метрики d2 , причем обе метрики вдоль a совпадают:
d1 (x, y) = d2 (x, y)
для всех x, y ∈ a.
Доказательство получается применением следствия 3.2 и леммы 2.4.
26
П.Д. АНДРЕЕВ
4. Равенство метрик на сингулярной прямой линии
4.1. Двойной орисферический перенос. В этом разделе доказывается совпадение метрик d1
и d2 на сингулярной прямой линии ранга один. Сингулярность прямой a : R → X означает, что как минимум одна из идеальных точек a(+∞) или a(−∞) есть сингулярная точка
геодезической идеальной границы ∂g X. Так как a является прямой ранга один в смысле
метрики d1 , то образ a(R) также является прямой линией в смысле метрики d2 (см. подробности в [3]). Поэтому равенство d1 = d2 — это единственное, что необходимо доказать в
данной ситуации. Считаем, что сингулярной идеальной точкой является ξ = a(+∞) ∈ ∂g X.
Здесь необходимо доказать некоторые свойства орифункций и функций Буземана.
Лемма 4.1. Пусть c = [oξ] — луч и βc — соответствующая ему функция Буземана.
Пусть Φ — орифункция, для которой Φ(o) = 0 и πhg ([Φ]) = ξ. Тогда βc ≥ Φ:
βc (x) ≥ Φ(x)
для всех x ∈ X.
Доказательство. Достаточно показать, что если Φ(y) = 0, то βc (y) ≥ 0. Зафиксируем точку
y ∈ X, для которой Φ(y) = 0 и произвольно малое число ε > 0. Представим орифункцию Φ
как предел последовательности дистанционных функций dxn . Тогда по теореме 2.1 xn → ξ
в смысле конической топологии на X g . Пусть число K таково, что
ε
|βc (y) − (|yc(t)| − t)| <
4
для всех t ≥ K, а число N таково, что
ε
|dxn (y)| <
2
и
ε
|c(K)σn (K)| <
4
для всех n ≥ N . Здесь σn : [0, |oxn |] → X означает натуральную параметризацию отрезка
[oxn ]. Из неравенства треугольника получаем
ε
+ (|oxn | − K) <
|yxn | ≤ |yc(K)| + |c(K)σn (K)| + |σn (K)xn | < βc (y) + K +
2
ε
< βc (y) + |oxn | + .
2
Следовательно,
ε
0 = Φ(y) < |yxn | − |oxn | + < βc (y) + ε.
2
Так как ε можно взять сколь угодно малым, отсюда следует утверждение леммы.
Лемма 4.2. Пусть ξ ∈ ∂g X — сингулярная идеальная точка границы ∂g X. Тогда множе−1
(ξ) ⊂ ∂h X содержит более одного класса функций Буземана.
ство πhg
Доказательство. Рассмотрим функцию Буземана βc , соответствующую лучу c = [oξ], и
орифункцию Φ = βc , для которой Φ(o) = 0 и πhg ([Φ]) = ξ. Выберем точку y, для которой
Φ(y) = 0 < βc (y). Рассмотрим луч d = [yξ] и соответствующую ему функцию Буземана βd .
Имеем βd (y) = Φ(y) = 0. Следовательно,
βd (o) ≥ Φ(o) = 0,
βc (o) − βd (o) ≤ 0
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
27
и
βc (y) − βd (y) > 0.
Поэтому разность βc − βd не является константой, а точки [βc ], [βd ] ∈ ∂h X различны.
Следствие 4.1. Для луча a : R+ → X с a(+∞) = ξ ∈ ∂g X, где ξ — сингулярная точка
геодезической границы ∂g X, существует луч b : [0, +∞) → X асимптотический с a, для
которого разность функций Буземана βa −βb не постоянна. Более того, луч b можно выбрать
так, что βa (a(0)) = βa (b(0)) и βb (a(0)) = βb (b(0)).
Доказательство. Первое утверждение сразу следует из леммы 4.2, а второе из ее доказательства.
Определение 4.1. Пусть a, b : R → X — асимптотические прямые линии с общей бесконечно удаленной точкой ξ = a(+∞) = b(+∞) ∈ ∂g X. Пусть βa (соответственно, βb ) — функция
Буземана, заданная лучом a|R+ (соответственно, b|R+ ). Двойной орисферический перенос
Ta↔b : a → a определяется равенством Ta↔b (x) = x ∈ a, где βb (x ) = βb (y) и y ∈ b — такая
точка, что βa (y) = βa (x). Значит, если x = a(t), то x = a(t ), где t − t = βa (b(0)) + βb (a(0)).
Из леммы 2.6 следует t − t ≥ 0.
Замечание 4.1. Ясно, что Ta↔b есть изометрический перенос прямой a вдоль себя. Если
Ta↔b (x) = x для некоторой точки x ∈ a, то Ta↔b = Id(a). Это выполняется, в частности,
если точка ξ ∈ ∂g X регулярна.
Теорема 4.1. Пусть a : R → X — сингулярная прямая в пространстве (X, d1 ). Тогда
отображение a также задает сингулярную прямую в пространстве (X, d2 ) и на ней для
любой пары точек x, y ∈ a выполнено равенство d1 (x, y) = d2 (x, y).
Доказательство. Случай, когда a виртуально имеет высший ранг, рассмотрен ранее. Поэтому считаем прямую a прямой строго ранга один как в метрике d1 , так и в метрике d2 .
Будем считать сингулярной точку ξ = a(+∞). Из сингулярности прямой a следует, что
найдется асимптотичная ей прямая b с b(+∞) = a(+∞) = ξ, для которой разность функций Буземана βa и βb , определенных по лучам a|R+ и b|R+ соответственно, не постоянна.
Так как метрики d1 и d2 имеют общее семейство оришаров, соответствующих функциям
Буземана, прямая a является сингулярной также и в смысле метрики d2 . Применяя следствие 4.1, перепараметризуем прямую b так, что βa (b(0)) = 0 и βb (a(0)) > 0. Рассмотрим
отрезок [a(0)b(0)]. При непрерывном движении точки x по этому отрезку от b(0) к a(0) функция βa (x) меняется непрерывно, оставаясь неположительной в силу выпуклости оришара
HB(βa , a(0)). Определим следующую функцию B : [a(0)b(0)] → R. Пусть cx = [xξ] : R → X
— луч с началом cx (0) = x, идущий в направлении точки cx (+∞) = ξ. Обозначим через
βcx соответствующую функцию Буземана. Функция B(x) для x ∈ [a(0)b(0)] определяется
равенством
B(x) = βcx (a(0)).
Функция B равномерно непрерывна на X. Действительно, для любого ε > 0 примем δ = ε/3.
Пусть x, x ∈ X — произвольные точки, для которых |xx | < δ и t ∈ R+ таково, что
|cx (t)a(0)| − t − βcx (a(0)) < ε
3
и
|cx (t)a(0)| − t − βc (a(0)) < ε .
x
3
28
П.Д. АНДРЕЕВ
Тогда
2ε
≤
|B(x ) − B(x)| = |βcx (a0 ) − βcx (a0 )| ≤ |cx (t)(a(0))| − |cx (t)a(0)| +
3
2ε
2ε
≤ |xx | +
< ε.
≤ |cx (t)cx (t)| +
3
3
Поэтому сумма βa (x) + B(x) меняется непрерывно, когда x перемещается по отрезку от b(0)
к a(0) и принимает все значения от βb (a(0)) > 0 до нуля. В частности, найдется натуральное
число N ∈ N такое, что для любого натурального n > N существует точка xn ∈ [a(0)b(0)],
в которой
1
βa (xn ) + B(xn ) = .
n
Прямую, содержащую луч cx , мы будем обозначать тем же символом cx . Двойной орисферический перенос Ta↔cxn сдвигает точку a(0) в a(1/n). Поэтому
(Ta↔cxn )n (a(0)) = a(1)
(4.1)
и равенство (4.1) выполняется как в смысле метрики d1 , так и в смысле метрики d2 . Следовательно,
d1 (a(0), a(t)) = d2 (a(0), a(t))
для любого рационального t ∈ Q. Более того,
d1 (a(t1 ), a(t2 )) = d2 (a(t1 ), a(t2 ))
(4.2)
для любых t1 , t2 ∈ R при условии t2 − t1 ∈ Q. Поскольку метрики d1 и d2 эквивалентны и
имеют общие семейства прямых ранга один, делаем вывод, что равенство (4.2) верно для
любых значений t1 , t2 ∈ R.
Следствие 4.2. Пусть a — виртуально сингулярная прямая в пространстве (X, d1 ). Тогда
она является виртуально сингулярной прямой и в пространстве (X, d2 ), и при этом d1 (x, y) =
d2 (x, y) для всех точек x, y ∈ a.
5. Равенство метрик на строго регулярной прямой строго ранга один
Основной инструмент, позволяющий провести доказательство совпадения метрик на прямой a в случае, когда a строго регулярна и имеет строго ранг один, — ножницы, определенные в [2]. Принцип доказательства также не претерпевает существенных изменений.
Единственное, что требует дополнительного изучения, — это метрические свойства границы пространства.
Теорема существования ножниц, доказанная в [3], основывается на свойствах метрики
Титса Td на ∂g X. Утверждение, лежащее в основе доказательства, состоит в следующем.
Если для прямой a : R → X выполняется равенство Td(a(−∞), a(+∞)) = π, то a лежит на
границе изометрически вложенной в X евклидовой полуплоскости.
Метрика Титса на границе CAT (0)-пространства определена как внутренняя метрика,
порожденная угловой метрикой. Если X является пространством неположительной кривизны по Буземану, то на его границе ∂g X в общем случае нет какого-либо канонического
способа задания метрики, обладающей всеми свойствами метрики Титса. Для доказательства теоремы существования ножниц нам необходимо преодолеть указанное препятствие.
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
29
5.1. Критерии существования нормированной полуплоскости с данной границей.
Определение 5.1. Нормированной полуплоскостью в пространстве X называется подпространство, изометричное полуплоскости на плоскости со строго выпуклой нормой.
В этом разделе мы доказываем следующую теорему, которая позволяет в доказательстве
теоремы существования ножниц обойтись без введения метрики Титса.
Теорема 5.1. Пусть a : R → X — регулярная прямая в пространстве X с граничными
точками ξ = a(+∞) и η = a(−∞) ∈ ∂g X. Тогда эквивалентны следующие утверждения.
1) Прямая a ограничивает нормированную полуплоскость.
2) Для любых окрестностей U1 = U1 (ξ) ⊂ ∂g X и U2 = U2 (η) ⊂ ∂g X точек ξ и η
в ∂g X существуют такие точки θ ∈ U1 и ζ ∈ U2 , для которых не существует
соединяющей их прямой в X.
3) Если β+ (соответственно β− ) — функция Буземана, определенная лучом [oa(+∞)]
(соответственно [oa(−∞)]), где o = a(0), то пересечение оришаров HB(β+ , o) ∩
HB(β− , o) некомпактно.
В доказательстве мы используем понятие квазигеодезической.
Определение 5.2. Пусть заданы действительные числа a ≥ 1 и b ≥ 0. Отображение
f : I → X числового промежутка I в метрическое пространство (X, d) называется (a, b)квазигеодезической, если для произвольных s, t ∈ I выполняются неравенства
1
|s − t| − b ≤ d(f (s), f (t)) ≤ a|s − t| + b.
a
Лемма 5.1. Пусть θ, ζ ∈ ∂g V 2 — две точки геодезической идеальной границы нормированной плоскости V 2 со строго выпуклой нормой, которые нельзя соединить прямой в V 2 .
Тогда ни при каком b ≥ 0 не существует (1, b)-квазигеодезической f : R → V 2 , для которой
lim f (t) = ζ
t→−∞
и
lim f (t) = θ.
t→+∞
Здесь пределы понимаются в смысле конической топологии в (V 2 )g .
Доказательство. Предположим, что f : R → X — указанная (1, b)-квазигеодезическая.
Можем считать, что f (0) = o ∈ V 2 и отображение f непрерывно. Непрерывную (1, 3 + b)квазигеодезическую можно получить из произвольной (1, b)-квазигеодезической, заменив
некоторые участки прямолинейными отрезками с параметризациями, пропорциональными
натуральной. Покажем, как это можно сделать в общем случае. Для всех z ∈ Z ⊂ R соединим точку f (z) с точкой f (z + 1) прямолинейным отрезком и параметризуем этот отрезок
линейным отображением fz : [z, z + 1] → V 2 ,
fz (t) = (z + 1 − t)f (z) + (t − z)f (z + 1).
Здесь операции над точками понимаются как операции над их радиус-векторами. Теперь
искомая непрерывная (1, 3 + b)-квазигеодезическая F : R → X определяется равенством
F (t) = fz (t),
где z = [t].
30
П.Д. АНДРЕЕВ
Проверим, что отображение F действительно задает (1, 3 + b)-квазигеодезическую в X.
Действительно, для произвольных s, t ∈ R при s < t выполнены оценки
|F (s)F (t)| ≥ |f ([s])f ([t] + 1)| − 2 ≥ [s] + [t] − 1 − b ≥ s + t − 3 − b
и
|F (s)F (t)| ≤ |f ([s] + 1)f ([t])| + 2 ≤ [s] + [t] + 2 + b ≤ s + t + 3 + b.
Из непрерывности квазигеодезической f следует, что для любого t > 0 существует такое
τ ∈ R, что |of (τ )| = t. При этом
|t − τ | ≤ b.
Рассмотрим точки p ∈ [oη] и q ∈ [oξ], удаленные от o на расстояние |op| = |oq| = 1. Расстояние между ними
|pq| = 2 − ∆ < 2
(5.1)
при некотором ∆ > 0. С другой стороны, пусть числа τn < 0 и τn > 0 таковы, что |of (τn )| =
|of (τn )| = n, а точки pn ∈ [of (τn )] и q ∈ [of (τn )] удалены от o на расстояние |opn | = |oqn | = 1.
Тогда
1
1
3b
|pn qn | = |f (τn )f (τn )| ≥ (τn − τn − b) ≥ 2 − .
n
n
n
6b
1
При n > ∆ выполняется неравенство |pn qn | > 2 − 2 ∆, что в совокупности с неравенством
(5.1) противоречит выполнению двух условий сходимости f (t) → ξ при t → +∞ и f (t) → η
при t → −∞.
Доказательство теоремы 5.1. 1) ⇒ 2). Предположим, что утверждение 2) не выполняется,
т. е. существуют окрестность U+ точки ξ и окрестность U− точки η в ∂g X такие, что любые
две точки из этих окрестностей соединимы прямой в X. В нормированной полуплоскости
с границей a проведем лучи [oθ+ ] и [oθ− ] в направлении некоторых точек θ± ∈ U± соответственно,1 отличных от ξ и η. Соединим точки θ+ и θ− прямой c : R → X. Рассмотрим
проекцию f = p ◦ c прямой c на нормированную полуплоскость α с границей a. Линия f
является (1, b)-квазигеодезической, где b = 2 max dist (c, α). Причем линия f является (1, b)квазигеодезической во внутренней метрике полуплоскости α. Но из леммы 5.1 следует, что
нормированная полуплоскость со строго выпуклой нормой не допускает квазигеодезической, концы которой не совпадают с концами ее границы. Противоречие.
2) ⇒ 3). Предположим, что для функций Буземана β+ и β− , указанных в условии, пересечение HB(β+ , o) ∩ HB(β− , o) компактно. В этом случае оно содержится внутри некоторого
шара радиуса R > 0. Воспользуемся топологией равномерной сходимости на ограниченных
подмножествах в пространстве C(X). Для любого ε > 0 существуют окрестность V+ ⊂ C(X)
функции β+ и окрестность V− ⊂ C(X) функции β− такие, что если f± ∈ V± , то для любой
точки x ∈ B(o, R + ε) выполняется включение
f+−1 ((−∞, f+ (o)]) ∩ f−−1 ((−∞, f− (o)]) ⊂ B(o, R+ ε).
Переходя к проекции p : C(X) → C ∗ (X) и ограничиваясь рассмотрением классов орифункций, получаем, что для любого ε > 0 существуют окрестность V+ ⊂ ∂h X точки [β+ ] ∈ ∂h X
и окрестность V− ⊂ ∂h X точки [β− ] ∈ ∂h X такие, что [Θ± ] ∈ V± влечет
HB(Θ+ , o) ∩ HB(Θ− , o) ⊂ B(o, R + ε).
(5.2)
1Здесь и в дальнейшем запись вида θ ∈ U , в которой знак ± присутствует в качестве нижнего индекса,
±
±
означает одновременное выполнение двух соотношений θ+ ∈ U+ и θ− ∈ U− .
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
31
При этом из леммы 2.3 следует, что существуют окрестности U+ ⊂ ∂g X точки ξ и U− ⊂ ∂g X
точки η, для которых выполнены включения
U± ⊂ πhg (V± ).
−1
(U± ).
Мы можем считать, что V± = πhg
Пусть заданы произвольные точки θ± в окрестностях U± соответственно. Пусть Θ+ и Θ−
— произвольные орифункции, для которых
θ± := πhg ([Θ± ]).
Орифункция Θ+ достигает своего минимума на компактном множестве (5.2) в некоторой
его точке y0 . При этом y0 принадлежит границе множества (5.2). Поэтому y0 ∈ HS(Θ− , o)
и
Θ− (y0 ) = Θ− (o) = max Θ− |HB(Θ+ ,o)∩HB(Θ− ,o) .
Оришары HB(Θ− , y0 ) и HB(Θ+ , y0 ) не имеют общих внутренних точек. Покажем, что лучи
− = [y0 θ− ] и + = [y0 θ− ] дополняют друг друга до прямой, соединяющей θ− с θ+ . Действительно, выберем число t > 0. Тогда
|c− (t)c+ (t)| ≤ |c− (t)y0 | + |y0 c+ (t)| = 2t.
При этом на отрезке [c− (t)c+ (t)] имеется точка m, в которой Θ− (m) ≥ Θ− (y0 ) и Θ+ (m) ≥
Θ+ (y0 ). Для нее
|c− (t)m| ≥ Θ− (m) − Θ− (c− (t)) ≥ t
и
|c+ (t)m| ≥ Θ+ (m) − Θ+ (c+ (t)) ≥ t.
Поэтому
|c− (t)c+ (t)| = |c− (y)m| + |c+ (t)m| ≥ 2t,
т. е. |c− (t)c+ (t)| = 2t, откуда и следует противонаправленность лучей c− и c+ . Таким образом, произвольные точки θ± в окрестностях U± можно соединить прямой в X, что противоречит условию 2).
3) ⇒ 1). Если множество HB(β+ , o) ∩ HB(β− , o) некомпактно, то его замыкание в X g
имеет непустое пересечение с границей ∂g X. Выберем идеальную точку
θ ∈ HB(β+ , o) ∩ HB(β− , o)g ∩ ∂g X
и рассмотрим луч [oθ]. Из выпуклости функций Буземана β+ и β− следует их неположительность на [oθ]. С другой стороны, поскольку эти функции порождены дополнительными
лучами [oa(+∞)] и [oa(−∞)] соответственно, то пересечение оришаров HB(β+ , o)∩HB(β− , o)
не имеет внутренних точек. Отсюда и из выпуклости оришаров следует равенство пересечений
HB(β+ , o) ∩ HB(β− , o) = HS(β+ , o) ∩ HS(β− , o).
Поэтому
β± |HB(β+ ,o)∩HB(β− ,o) ≡ 0.
Следовательно,
β+ (c(t)) = β− (c(t)) = 0
(5.3)
для всех t ∈ R+ . Здесь c : R+ → X — натуральная параметризация луча [oθ]. Равенство (5.3)
означает, что при любом t ≥ 0 лучи [c(t)a(+∞)] и [c(t)a(−∞)] являются дополнительными.
Прямая bt , полученная их объединением, параллельна a. Поэтому при всех t > 0 прямые
32
П.Д. АНДРЕЕВ
a и bt ограничивают некоторую нормированную полосу Ft , причем Ft1 ⊂ Ft2 при t1 ≤ t2 .
Объединение нормированных полос
α=
Ft
t>0
и будет требуемой нормированной полуплоскостью.
5.2. Непрерывность расстояний между прямыми. Нам понадобится следующее свойство
строго регулярных прямых строго ранга один, связанное с конической топологией на X g .
Лемма 5.2. Пусть a : R → X — строго регулярная прямая строго ранга один с концевыми
точками ξ = a(+∞) и η = a(−∞). Тогда для любого ε > 0 существуют окрестности U+
точки ξ и U− точки η в смысле конической топологии такие, что если прямая b : R → X
имеет концевые точки b(+∞) ∈ U+ и b(−∞) ∈ U− , то
|a(0)b(t)| < ε
для некоторого t ∈ R.
Доказательство. Обозначим, как и ранее, через β+ и β− функции Буземана, определенные
лучами [a(0)ξ] и [a(0)η] соответственно. Тогда
β+ (x) + β− (x) ≥ 0,
а поскольку a — прямая ранга один, то равенство может выполняться, только если x ∈ a.
В силу выпуклости функций β± существуют число δ1 > 0 такое, что
β+ (x) + β− (x) > δ1
во всех точках x ∈ X \ B(a(0), ε/2), в которых β+ (x), β− (x) ≥ 0 и число δ2 > δ1 такое, что
β+ (x) + β− (x) > δ2
во всех точках x ∈ X \ B(a(0), ε), в которых β+ (x), β− (x) ≥ 0. Пусть
δ1 δ2 − δ1
,
µ = min
2
2
и
∗
= {g ∈ C(X, R) | ∀x ∈ B(a(0), ε) |g(x) − β± (x) − δ1 /2| < µ}
U±
∗ и g ∈ U ∗ , то
— окрестности функций β± + δ1 /2 в пространстве C(X, R). Если g+ ∈ U+
−
−
g+ (a(0)) + g− (a(0)) < 0
и
g+ (x) + g− (x) > 0
∗ → C ∗ (X) содержат окрестности в ∂ X точек
при всех x ∈ S(a(0), ε). Проекции p|U±∗ : U±
h
∗ ), то некоторая орифункция Φ ∈ [Φ] принадлежит U ∗ . По[β+ ], [β− ] ∈ ∂h X. Если [Φ] ∈ p(U+
+
этому пересечение оришаров HB(Φ, a(0)) ∩ HB(β− , a(0)) содержится в B(a(0), ε), а следовательно, компактно. Поэтому существует прямая b : R → X с b(−∞) = η и b(+∞) = πhg ([Φ]).
Поскольку a строго регулярна, точки πhg ([Φ]) являются регулярными и Φ — это функция
Буземана. Следовательно, проекция πhg |p(U+∗ ) есть гомеоморфизм на некоторую окрестность
точки ξ ∈ ∂ X. Аналогично, проекция π
∗ → ∂g X является гомеоморфизмом на
U+
g
hg : p|U−
некоторую окрестность U− точки η.
∩ U . По построению окрестности U и U удовлетворяют утверОбозначим U± = U±
+
−
±
ждению леммы.
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
33
Замечание 5.1. Заметим, что окрестности U+ и U− в утверждении леммы 5.2 можно
выбрать так, что любые точки ζ ∈ U+ и θ ∈ U− можно соединить прямой линией. Это легко
следует из условия, что a — прямая ранга один.
5.3. Ножницы.
Определение 5.3 ([3], определение 4.1). Мы говорим, что прямые a, b, c, d : R → X в
пространстве X образуют ножницы с центром x ∈ X, если
• a(−∞) = b(−∞),
• a(+∞) = c(+∞),
• c(−∞) = d(−∞),
• b(+∞) = d(+∞),
• b ∩ c = x.
Такие ножницы обозначаются a, b, c, d; x (см. рис. 6). Прямая a называется основанием
ножниц. Если a строго регулярна, то четыре идеальные точки, служащие концами прямых
a, b, c, d, задают в точности четыре класса орифункций, являющихся функциями Буземана.
Обозначим через βa(±∞) и βd(±∞) функции Буземана в этих классах, удовлетворяющие
условию
βa(±∞) (x) = βd(±∞) (x) = 0.
Рис. 6. Ножницы a, b, c, d; x
Ножницы порождают сдвиг T своего основания a. А именно, пусть Rac — орисферический перенос прямой a на прямую c, определенный с помощью функции Буземана βa(+∞) :
точка m ∈ a отображается в однозначно определенную точку m = Rac (m) ∈ c, для которой
βa(+∞) (m ) = βa(+∞) (m). Аналогично определяются переносы Rcd , Rdb и Rba , каждый из
которых является изометрией прямых линий. Заметим, что указанные переносы определяются независимо от выбора метрики d1 или d2 на пространстве X и являются изометриями
по отношению к каждой из двух метрик.
Определение 5.4. Сдвиг T есть по определению композиция
T := Rba ◦ Rdb ◦ Rcd ◦ Rac : a → a.
Очевидно, T является изометрией прямой линии a, сохраняющей ее направление. Величина δT сдвига T определяется как разность
δT = βa(−∞) (T (m)) − βa(−∞) (m),
не зависящая от выбора точки m ∈ a. Априори эта величина зависит от выбора метрики d1
или d2 .
Величина δT имеет следующее описание. Пусть βa− , βa+ , βd− и βd+ — функции Буземана,
соответствующие точкам a(±∞) и d(±∞) соответственно, такие, что найдутся точки p ∈ a
и q ∈ d, для которых βa− (p) = βa+ (p) = 0 и βd− (q) = βd+ (q) = 0.
34
П.Д. АНДРЕЕВ
Теорема 5.2 ([3], теорема 4.1).
δT = βa− (x) + βa+ (x) + βd− (x) + βd+ (x) ≥ 0.
Более того, если a является строго регулярной прямой строго ранга один, то при условии
a ∩ d = ∅ верно строгое неравенство δT > 0.
Доказательство, приведенное в [3] для случая CAT (0)-пространства, также справедливо
и в пространствах неположительной кривизны по Буземану.
5.4. Завершение доказательства теоремы 1.2. Дальнейшее доказательство совпадения
метрик d1 и d2 на строго регулярной прямой a строго ранга один имеет лишь два значимых
отличия от ситуации, изученной в [3].
Во-первых, в случае CAT (0)-пространства X мы используем свойства метрики Титса
на границе ∂∞ X, а именно, неравенство Td(ξ, η) > π, которое выполняется для точек ξ =
a(+∞) и η = a(−∞), а также для концевых точек произвольной прямой, которую можно
соединить с a асимптотической цепью. В случае пространства неположительной кривизны
в смысле Буземана метрика Титса не определена. Для того, чтобы избежать упоминания
метрики Титса, условие Td(ξ, η) > π заменяется следующим геометрическим условием.
Существует окрестность U+ точки ξ и окрестность U− точки η, являющиеся открытыми
множествами в ∂g X в смысле конической топологии, такие, что произвольные идеальные
точки θ± ∈ U± являются концевыми точками некоторой прямой b ⊂ X, т. е. b(±∞) =
θ± . В случае CAT (0)-пространства это эквивалентно условию Td(ξ, η) > π. Теорема 5.1
показывает, что это условие можно применять вместо неравенства Td(ξ, η) > π и в случае
пространств неположительной кривизны в смысле Буземана.
Другое отличие доказательства теоремы 1.2 по сравнению со статьей [3] состоит в уточнении формулировки теоремы 4.4. Сформулируем это утверждение в следующем виде.
Теорема 5.3. Пусть a : (−∞, +∞) → X — строго регулярная прямая строго ранга один
и в точке x0 = a(0) каждое из двух ее направлений обладает единственным обратным.
Тогда существует прямая a , проходящая через a (0) = x0 в том же направлении, что и
a, и обладающая следующим свойством. Для любой окрестности U тройки
(a (+∞), a (−∞), x0 ) ∈ ∂g X × ∂g X × X
существует тройка (ξ, η, x) ∈ U с x = x0 и ножницы a, b, c, d; x, для которых b =
[a(−∞)ξ], c = [ηa(+∞)] и d = [ηξ].
Утверждение теоремы 5.3 более слабое, чем утверждение теоремы 4.4 в [3], но достаточное для дальнейшего доказательства теоремы 1.2. Доказательство теоремы 4.4 в [3] вполне
благополучно интерпретируется для пространств неположительной кривизны в смысле Буземана и может быть применено к доказательству теоремы 5.3. Заметим, что при построении требуемых ножниц следует воспользоваться результатом леммы 5.2.
При коллапсировании окрестности U в теореме 5.3 ножницы a, b, c, d; x неограниченно
приближаются к вырожденным ножницам a, b, c, a ; x0 . Здесь прямая b соединяет точки
a(−∞) и a (+∞), а прямая c — точки a (−∞) и a(+∞). Для таких ножниц величина сдвига
δT равна нулю.
Оставшаяся часть доказательства проводится по аналогии [3] с учетом приведенных выше
изменений и уточнений. В итоге мы получаем следующую теорему.
Теорема 5.4. Пусть a : R → X — строго регулярная прямая строго ранга один в смысле
метрики d1 на X. Тогда a является строго регулярной прямой строго ранга один и в
метрике d2 , и d1 (x, y) = d2 (x, y) для всех x, y ∈ a.
ЗАДАЧА А.Д. АЛЕКСАНДРОВА
35
Объединяя утверждения теорем 3.1 и 5.4 со следствием 4.1, получаем доказательство
теоремы 1.2.
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность Сергею Владимировичу
Буяло за внимательное прочтение первоначального варианта статьи и ряд важных замечаний по тексту. Особая благодарность Валентине Константиновне Кропиной за чрезвычайно
полезные дискуссии по тексту статьи [3]. Также автор благодарит рецензента за сделанные
им замечания.
Литература
[1] Berestovskii V.N. Isometries in Aleksandrov spaces of curvature bounded above, Ill. J. Math. 46 (20), 645–656
(2002).
[2] Андреев П.Д. Восстановление метрики CAT (0)-пространства по диагональной трубке, Зап. науч.
сем. ПОМИ 299, 5–29 (2003).
[3] Андреев П.Д. Задача А.Д. Александрова для CAT (0)-пространств, Сиб. матем. журн. 47 (1), 3–24
(2006).
[4] Bowditch B.H. Minkowskian subspaces of non-positively curved metric spaces, Bull. London Math. Soc. 27
(6), 575–584 (1995).
[5] Papadopoulos A. Metric spaces, convexity and nonpositive curvature (European Math. Society, Zürich, 2005).
[6] Hosaka T. Limit sets of geometrically finite groups acting on Busemann spaces, Topology and Appl. 122 (3),
565–580 (2002).
[7] Hotchkiss Ph.K. The boundary of a Busemann space, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (7), 1903–1912 (1997).
[8] Rinow W. Die innere Geometrie der metrischen Räume (Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg,
1961).
[9] Андреев П.Д. Геометрия идеальных границ геодезических пространств с неположительной кривизной
в смысле Буземана, Матем. тр. 10 (1), 16–28 (2007).
[10] Cohn-Vossen S. Existenz kürzester Wege, C. R. (Dokl.) Acad. Sci. USSR, n. Ser., № 3, 339–342 (1935).
[11] Rieffel M. Group C ∗ -algebras as compact quantum metric spaces, Doc. Math., J. DVM 7, 605–651 (2002).
П.Д. Андреев
доцент, заведующий кафедрой алгебры и геометрии,
Поморский государственный университет,
пр. Ломоносова, д. 4, г. Архангельск, 163002,
e-mail: pdandreev@mail.ru
P.D. Andreev
Associate Professor, Head of the Chair of Algebra and Geometry,
Pomorskii State University,
4 Lomonosov Ave., Arkhandel’sk, 163002 Russia,
e-mail: pdandreev@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
397 Кб
Теги
смысл, пространство, кривизна, буземана, неположительной, александрова, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа