close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с двумя линиями изменения типа в прямоугольной области.

код для вставкиСкачать
38 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
MSC 35M10
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ
С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
А.А. Гималтдинова
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,
пр. Ленина, 37, Стерлитамак, 453103, Россия, e-mail: g? alf ira@mail.ru
Ключевые слова: уравнение Лаврентьева-Бицадзе, тип уравнения, задача Дирихле,
уравнение смешанного типа.
Для уравнения смешанного типа
Lu ? sgn x · uxx + sgn y · uyy = 0
(1)
в области D = {(x, y)| ? 1 < x < 1, ?? < y < ?}, ?, ? ? R, ?, ? > 0, поставим первую
граничную задачу.
Задача Дирихле. Найти функцию u(x, y) с условиями:
u(x, y) ? C( D ) ? C1 (D) ? C2 (
4
?
i=1
где D1,2
Di ),
Lu(x, y) ? 0, (x, y) ?
4
?
Di ,
i=1
u(x, y)x=1 = u(x, y)x=?1 = 0, y ? [??, ?],
u(x, y)y=? = ?(x), x ? [?1, 1], u(x, y)y=?? = ?(x), x ? [?1, 1],
= D ? {x > 0, ±y > 0}, D3,4 = D ? {x < 0, ±y < 0}, ? и ? заданные функции.
Задача Дирихле для смешанного уравнения с одной линией изменения типа в прямоугольной области изучалась в работах [1, 2].
В данной работе впервые для уравнения (1) с двумя перпендикулярными линиями
изменения типа изучается задача Дирихле в прямоугольной области и спектральным
методом [3] доказаны теоремы единственности и существования решения.
Разделив переменные u(x, y) = X(x)Y (y), относительно x получим спектральную
задачу:
sgn x · X ?? + dX = 0, X(0+) = X(0?), X ? (0+) = X ? (0?), X(1) = X(?1) = 0,
собственные функции
которой имеют вид:
?
?
sin[µ
(x
? 1)]
sh[µk (x ? 1)]
k
?
?
?
?
, x > 0,
, x > 0,
(1)
(2)
cos
µ
ch
µ
k
k
Xk (x) =
Xk (x) =
?
?
? sh[µk (x + 1)] ,
? sin[µk (x + 1)] ,
x < 0;
x < 0,
ch µk
cos µk
где d = ±µ2k собственные значения, µk являются корнями уравнения tg µ = ? th µ,
?
для них справедлива асимптотическая формула: µk = ? + ?k + O(e?2?k ).
4
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
(1)
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40 39
(2)
Система {Xk (x), Xk (x)} не ортогональна на [?1, 1]. Соответствующая биортогональная система имеет вид:
?
?
sin[µk (x ? 1)]
sh[µk (x ? 1)]
?
?
? ?
? ?
, x > 0,
, x > 0,
(1)
(2)
cos µk
ch µk
Zk (x) =
Zk (x) =
?
?
? sh[µk (x + 1)] ,
? sin[µk (x + 1)] ,
x < 0;
x < 0.
ch µk
cos µk
(1)
(2)
Полнота системы {Zk (x), Zk (x)} в L2 [?1, 1] доказывается аналогично [4].
Теорема 1. Если существует решение задачи Дирихле, то оно единственно только
тогда, когда для всех k ? N
(1)
(2)
(2)
(3)
?k (?, ?) = cos(µk ?) sh(µk ?) + sin(µk ?) ch(µk ?) ?= 0,
?k (?, ?) = ch(µk ?) sin(µk ?) + sh(µk ?) cos(µk ?) ?= 0.
Лемма. Пусть ? ? N не равное числам 4p ? 3, p ? N, или ? = p/q ? Q, p, q ? N,
НОД(p, q) = 1, число q ? p не кратно 4. Тогда существуют постоянные C0 > 0 и k0 ? N
такие, что для всех k > k0 справедлива оценка
(1)
|?k (?, ?)| ? C0 e?k? .
(2)
При аналогичных ? и условиях на ? справедлива оценка |?k (?, ?)| ? C?0 e?k? .
Если выполнены оценки леммы и при k ? k0 условия (2), (3), то решение задачи
Дирихле определяется в виде суммы ряда
u(x, y) =
?
?
?
(1)
uk (y)
·
(1)
Xk (x)
+
(2)
uk (y)
·
(2)
Xk (x),
k=1
(j)
uk (y)
1
=
?1
(j)
u(x, y)Zk (x)dx.
(4)
Теорема 2. Пусть ?(x), ?(x) ? C 1 [?1, 1] ? C 4 [?1, 0] ? C 4 [0, 1], ?(?1) = ?(1) =
??? (?1) = ??? (1) = 0, ?(?1) = ?(1) = ? ?? (?1) = ? ?? (1) = 0, ??? (0 + 0) = ???? (0 ? 0),
???? (0 + 0) = ????? (0 ? 0), и выполнены оценки леммы. Тогда если при указанных в лемме
? и ? при всех k = 1, k0 выполнены условия (2) и (3), то существует единственное
решение задачи Дирихле и оно определяется рядом (4).
Литература
1. Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinious coecient //
Ann. math. pure and appl. 1963. 62. P.371-377.
2. Хачев М.М. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1978. 14,ќ1. С.136-139.
3. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // ДАН. 2007. 413, ќ1. C.23-26.
4. Ломов И.С. Негладкие собственные функции в задачах математической физики // Дифференц. уравнения. 2011. 47, ќ3. С.358-365.
40 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
DIRICHLET's PROBLEM OF LAVRENTIEV-BITSADZE'S EQUATION
WITH TWO CURVES OF TYPE CHANGE
IN RECTANGULAR DOMAIN
A.A. Gimaltdinova
Sterlitamak department of Bashkirian State University,
Lenin Av., 37, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: g? alf ira@mail.ru
Кey words: Lavrentiev-Bitsadze's equation, equation type, Dirichlet's problem, mixed type
equation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
328 Кб
Теги
двумя, типа, линиям, уравнения, прямоугольный, области, дирихле, лаврентьев, задачи, изменения, бицадзе
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа