close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе.

код для вставкиСкачать
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3, 517.958, 537.876.46, 517.927
Е. Д. Деревянчук
ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
НА МНОГОСЕКЦИОННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ
ДИАФРАГМЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Целью работы является исследование задачи дифракции электромагнитной волны многосекционной анизотропной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.
Материалы и методы. Применены общие методы теории краевых задач, а
также методы линейной алгебры.
Результаты. Получена явная формула зависимости коэффициента прохождения электромагнитной волны от электромагнитых параметров диафрагмы, а именно: диэлектрической и магнитной проницаемостей.
Выводы. Получены рекуррентные формулы решения задачи дифракции
электромагнитной волны на многосекционной анизотропной диафрагме, помещенной в прямоугольный волновод; результаты решения данной задачи могут быть использованы в нанотехнологиях, нанооптике, а также при исследовании композитных материалов.
Ключевые слова: задача дифракции электромагнитной волны, многосекционная диафрагма, тензор диэлектрической проницаемости, тензор магнитной проницаемости, прямоугольный волновод.
E. D. Derevyanchuk
ELECTROMAGNETIC WAVES DIFFRACTION BY N-SECTIONAL
ANISOTROPIC DIAPHRAGM IN A RECTANGULAR WAVEGUIDE
Abstract.
Background. The article investigates diffraction of electromagnetic waves by nsectional anisotropic diaphragm in a rectangular waveguide.
Materials and methods. The author used the theory of boundary value problem
for Maxwell’s equations and the methods of linear algebra.
Results. The researcher obtained an explicit formula of dependence of the coefficient transmission on the electromagnetic parameters.
Conclusions. The developed recurrent formula allows determining the transmission coefficient of n-sectional anisotropic diaphragm in a rectangular waveguide;
these results can be applied in nanotechnology, optics, and for composite materials
investigation.
Key words: electromagnetic waves diffraction, n-sectional diaphragm, permittivity tensor, permeability tensor, rectangular waveguide.
Введение
Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной диафрагме в прямоугольном волноводе возникает при исследовании нанокомпозитных материалов и наноструктур [1–3]. Данная статья является продолже1
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ (в рамках
госзадания).
20
University proceedings. Volga region
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
нием работ [4–8]. В работе [4] был представлен метод решения задачи дифракции ЭМ-волны на многосекционной диафрагме, каждая секция которой
имеет скалярные диэлектрическую и магнитную проницаемости; а также
представлено решение обратной к ней задачи. Разработанный метод решения
применяется в работах [5–8].
Данная работа – продолжение работы [5], в которой были рассмотрены
задача дифракции и обратная к ней задача для односекционной диафрагмы
с тензорными электромагнитными параметрами в прямоугольном волноводе.
В отличие от работы [5], будет рассмотрена задача дифракции ЭМ-волны на
многосекционной анизотропной диафрагме, помещенной в прямоугольный
волновод. Предложен рекуррентный метод решения поставленной задачи. На
основе разработанного метода решены задачи дифракции для двух-, трехсекционной диафрагм. Представлены численные результаты.
1. Постановка задачи
Рассмотрим волновод
P = {( x, y, z ) : 0 < x < a,0 < y < b, −∞ < z < ∞}
с идеально проводящими стенками ∂P , расположенный в декартовой системе
координат Oxyz . В волновод помещена неоднородная диафрагма
Q := {( x, y, z ) : 0 < x < a,0 < y < b,0 < z < l} (рис. 1).
Рис. 1. Диафрагма в волноводе
В P \ Q среда изотропна и однородна с проницаемостями ε0 > 0,
μ0 > 0 . Считаем, что всюду магнитная проницаемость постоянна и равна μ0 .
Диафрагма Q представляет собой анизотропную среду с диагональным тензором магнитной проницаемости
 μ ( j ) ( ω)

0
0
 11

j)
(


0
0
μ 22 ( ω)
μˆ ( ω) =


j)

(
0
0
μ33 ( ω) 



Physical and mathematical sciences. Mathematics
(1)
21
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
и с диагональным тензором диэлектрической проницаемости в каждой
секции:
 ε ( j ) ( ω)

0
0
 11

j)
(
.
ˆε ( ω) = 
ε 22 ( ω)
0
0


j)

(
ε33 ( ω) 
0
0



(2)
j
j
Здесь εˆ ( ω) = εˆ ( ) ( ω) , μˆ ( ω) = μˆ ( ) ( ω) в j -й секции, l j – длина каждой
секции диафрагмы, предполагается известной.
Поведение электромагнитного поля внутри волновода P удовлетворяет
уравнениям Максвелла
rot H = −iωε0 E ,
rot E = iωμ0 H
(3)
вне диафрагмы и
rot H = −iωεˆ E ,
ˆ
rot E = iωμH
(4)
внутри диафрагмы, где E – вектор напряженности электрического поля; H –
вектор напряженности магнитного поля; ω > 0 – круговая частота.
Будем искать решение задачи в виде ТЕ-волн:
(
)
E = 0, E y , 0 , H = ( H x , 0, H z ) .
(5)
Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид волны
H10
 πx 
E0 = A sin   e −iγ 0 z e 2
 a 
с известной амплитудой А, где γ 0 = γ 0 ( ω) ≠ 0 ; k02 = ω2 ε0μ0 ; k0 – волновое
число вакуума; e 2 – орт вдоль оси Oy . Вектор H 0 определяется из второго
уравнения системы (3). Тогда поле E вне объекта Q имеет вид
(
)
  πx 
−i γ 0 z
+ Beiγ 0 z e 2 ,
sin  a  Ae
  
E=
sin  πx  Fe −iγ 0 z e , z > l
2
  a 
z < 0,
(6)
вне объекта Q и
−iγ z
iγ z
 πx 
E = sin   (C j e j + D j e j )e 2 , l j −1 < z < l j , j = 1,, n + 1 .
 a 
22
(7)
University proceedings. Volga region
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Здесь γ n +1 = γ 0 ; A – амплитуда падающей волны; B и F – коэффициенты, подлежащие измерению. На границе областей должны выполняться
следующие условия:
[ E y ]L = 0; [ H x ]L = 0 ,
где L := {( x, y , z ) : z = 0, z = l} ,
[ ]L
(8)
– скачок предельных значений функции на
границе раздела сред L ; E y , H x – тангенциальные составляющие векторов
E, H соответственно.
2. Определение коэффициентов
прохождения и отражения
Из уравнений Максвелла (4) и уравнений (1), (2), (5) получаем
1
( j)
μ33
∂2
∂x
2
Ey +
1
( j)
μ11
∂2
∂z
2
( j)
E y = −ω2 ε 22 E y , j = 1, , n ,
(9)
причем
1
∂

Ey ,
H x = −
j
( )
iωμ11 ∂z


∂
H = 1
E .
z
( j ) ∂x y

ωμ
i
33

Подставляя выражение (7) в уравнение (9), находим выражение для γ j :
( j)
 2 j
π2  μ11
, j = 1,, n .
γ j =  ω ε 22 −


a 2  μ( j )

33
(10)
Из уравнений Максвелла (3) и того, что ε0 , μ0 – скалярные величины,
согласно постановке задачи получаем
∂2
∂x 2
Ey +
∂2
∂z 2
E y = −ω2ε0μ0 E y ,
(11)
причем
1 ∂

 H x = − iωμ ∂z E y ,

0

H = 1 ∂ E .
 z iωμ0 ∂x y
(12)
Подставляя выражение (6) в уравнение (11), находим выражение
для γ 0 :
Physical and mathematical sciences. Mathematics
23
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
π2
π2
γ 0 = ω2ε0μ0 −
= k02 −
.
a2
a2
(13)
Здесь k0 – волновое число.
С учетом того, что H x = −
∂
E y , граничные условия (8) для век( j)
iωμ11 ∂z
1
тора H можно записать в следующем виде:
∂

 ∂z E y  = 0 .

L
(14)
Подставляя выражения (6), (7) в граничные условия (8), (14), получим
следующую систему уравнений:
 A + B = C1 + D1 ,

 γ 0 ( B − A ) = γ1 ( D1 − C1 ) ,
(1)
μ0
μ11

−iγ j +1l j

−i γ j l j
iγ l
iγ l
+ D j e j j = C j +1e
+ D j +1e j +1 j ,
C j e

 γ j C e −iγ j l j − D eiγ jl j = γ j +1 C e −iγ j +1l j − D eiγ j +1l j .
j
j +1
 ( j) j
( j +1) j +1
μ11
 μ11
(
)
(
(15)
)
Здесь 1 ≤ j ≤ n , Cn +1 = F , Dn +1 = 0 , γ j , γ 0 выражаются по формулам
(10) и (13) соответственно.
Система уравнений (15) относительно неизвестных B , C j , D j представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом решения СЛАУ.
Прямая задача. Требуется по известной амплитуде A падающего поля,
j
известным диагональным тензорам магнитной проницаемости μˆ ( ) и диэлек-
j
трической проницаемости εˆ ( ) и известным длинам l j каждой секции диафрагмы найти электромагнитное поле в волноводе.
Будем использовать разработанный в работе [4] метод для решения поставленной задачи. Выражая коэффициенты C j , D j на j -м шаге через ко-
эффициенты C j +1 , D j +1 на следующем шаге, получим следующую рекуррентную зависимость неизвестного коэффициента прошедшего поля F от
известного коэффициента падающего поля A :
F=
 γ0

 μ0
2 Aγ 0 / μ0
,
γ1    γ 0 γ1  
+
−
 C1 + 
 D1
μ11 
 μ0 μ11 
(16)
где
24
University proceedings. Volga region
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
±iγ j l j
e
C j , D j =
γj
2
( j)
μ11



 C  γ j ± γ j +1  e −iγ j +1l j +
j
+
1

 μ( j ) μ( j +1) 
11
 11


 γ
γ j +1  iγ j +1l j
j
e
+ D j +1 

 μ( j ) μ( j +1) 
11
 11


 , 1 ≤ j ≤ n;


(17)
C n +1 = Cn+1 = F , D n +1 = Dn +1 = 0 , C j = C j ⋅ F , 1 ≤ j ≤ n;
(18)
D j = D j ⋅ F , 1 ≤ j ≤ n;
(19)
B=
γ
γ 
1  
C1 + D1 0 − ( C1 − D1 ) 1  .

γ
μ0
μ11 
2 0 
μ0
(
)
(20)
Подставляя выражение (17) в формулы (16) и (20), мы получим следующие рекуррентные формулы зависимости коэффициента прохождения
F A и коэффициента отражения B A от компонент диагональных тензоров магнитной проницаемости μ̂ и диэлектрической проницаемости ε̂ и
длин l j :
n
∏
2
F
=
A
γj
( j)
j =0 μ11


γ
(+) γ (+)
e −iγ 0ln  n pn +1 + 0 qn +1 
 μ( n )

μ0
 11


 γn
 (n)
B  μ11
=
A 
 γn
 μ( n )
 11
;

(−) γ (−)
pn +1 + 0 qn +1 

μ0
.

(+) γ (+)
pn +1 + 0 qn +1 

μ0

(21)
(22)
Здесь
( ± ) = γ j −1 p cos α ± γ j q i sin α ;
j
j
( j −1) 1
( j) 1
μ
μ
p1 = 1; p2
11
(±)
p j +1 =
γ j −1
( j −1)
μ11
11
γ j (±)
(±)
p j cos α j +
q i sin α j ;
( j) j
μ11
Physical and mathematical sciences. Mathematics
25
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
q1 = 1; q2 =
(±)
q j +1 =
γ j −1
p1 i sin α j ±
( j −1)
μ11
γ j −1
( j −1)
μ
(±)
p j i sin α j +
11
γj
( j)
μ11
γj
( j)
μ
q1 cos α j ;
(±)
q j cos α j ;
11
(
)
α j = γ j l j − l j −1 ,
j = 1,..., n.
Элементы γ j , γ 0 определяются по формулам (10), (13) соответственно.
Таким образом, формулы (6), (7), (12), (17)–(19), (21), (22) будут давать
полное решение задачи дифракции.
3. Численные результаты
На основе предложенного метода решены задачи для случаев двух- и
трехсекционной диафрагм. Результаты вычислений представлены, соответственно в табл. 1, 2. Все единицы измерения указаны в системе СГС.
Таблица 1
Двухсекционная диафрагма
Исходные данные
Результаты вычислений
B = −0,179 − 0,984i,
(1)
( 2)
l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, ε 22 = 1,3 , ε22 = 1,5 ,
(1)
(1)
μ11 = −1,8 , μ33 = −1,5 ,
( 2)
C1 = 3, 497 ⋅ 10−6 + 3, 497 ⋅ 10−6 i,
D1 = 0,821 − 0,984i,
C2 = 2,562 ⋅ 10−3 − 2,51 ⋅ 10−3 i,
( 2)
μ11 = 1,7 , μ33 = 2
D2 = −2,11 ⋅ 10−4 − 1,098 ⋅ 10−3 i
F = −1, 432 ⋅ 10−3 + 3,517 ⋅ 10−3 i
B = −0,108 + 0,032i,
(1)
C1 = 0,909 + 2,657 ⋅ 10−3 i,
( 2)
l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, ε 22 = 1,3 , ε22 = 1,5 ,
(1)
μ11
(1)
= 1,8 , μ33
( 2)
= −1,5 , μ11
( 2)
= 1,7 , μ33
(1)
=2
l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, ε 22 = 1,3 + 0,1i ,
( 2)
(1)
(1)
ε 22 = 1,5 μ11 = 1,8 , μ33 = 1,5 ,
( 2)
( 2)
μ11 = 1,7 , μ33 = 2
D1 = −0,016 + 0,03i,
C2 = 0,713 − 0,61i,
D2 = −0,055 − 6,56 ⋅ 10−3 i
F = −0, 435 + 0,893i
B = 0,077 − 0, 231i,
C1 = 1,016 − 0,02i,
D1 = 0,061 − 0, 21i,
C2 = 1,08 + 0,536i,
D2 = −0,02 − 0,068i
F = −1, 275 − 0,066i
26
University proceedings. Volga region
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
Таблица 2
Трехсекционная диафрагма
Исходные данные
Результаты вычислений
B = −0,945 − 0,188i,
l1 = 1, 2 см, l2 = 1,5 см, l2 = 2 см,
C1 = 0,821 − 0,017i,
ε 22 = 1, 4 , ε 22 = 2 , ε 22 = 5 ,
D1 = −0,766 − 0,17i,
(1)
( 2)
(1)
( 3)
(1)
C2 = −5, 419 ⋅ 10−5 − 2,875 ⋅ 10−5 i,
( 2)
D2 = −45, 484 + 440,38i,
μ11 = 1,3 , μ33 = 1,8 ,
( 2)
μ11 = −1,8 , μ33 = −1,5 ,
C3 = −0,028 + 0, 2i,
( 3)
( 3)
μ11 = 2 , μ33 = 4
D3 = −0,016 + 0,066i,
F = −0, 218 + 0,159i
B = −0,105 − 0,129i,
l1 = 1, 2 см, l2 = 1,5 см, l2 = 2 см,
(1)
ε 22
C1 = 0,899 − 0,012i,
( 2)
( 3)
= 1, 4 , ε 22 = 1,7 , ε 22 = 1,9 ,
(1)
(1)
μ11 = 1,3 , μ33 = 1,8 ,
( 2)
( 2)
μ11 = 1,8 , μ33 = 1,5 ,
( 3)
( 3)
μ11 = 2 , μ33 = 4
D1 = −3, 489 ⋅ 10−3 − 0,117i,
C2 = 0, 423 + 0,823i,
D2 = −45, 484 + 440,38i,
C3 = −0,028 + 0, 2i,
D3 = −0,016 + 0,066i,
F = −0, 218 + 0,159i
B = −0,121 − 0,149i,
l1 = 1, 2 см, l2 = 1,5 см, l2 = 2 см,
(1)
( 2)
( 3)
ε 22 = 1, 4 + 0,01i , ε 22 = 1,7 , ε 22 = 1,9 ,
(1)
(1)
μ = 1,3 , μ = 1,8 ,
33
11
( 2)
( 2)
μ11 = 1,8 , μ33 = 1,5 + 0, 2i ,
C1 = 0,897 − 0,016i,
D1 = −0,018 − 0,134i,
C2 = 0, 404 + 0,788i,
D2 = −0,115 − 0,024i,
C3 = −0,507 + 0,715i,
( 3)
( 3)
μ11 = 2 + 0,03i , μ33 = 4
D3 = −0,043 + 0,09i,
F = −0,996 + 0, 281i
Параметры волновода: a = 2 см, b = 1 см, c = 2 см, измерения проводятся на частоте f = 11,93 ГГц, амплитуда падающего поля A = 1 . Диэлектрическая и магнитная проницаемости вне диафрагмы равны: ε0 = 1 , μ0 = 1 .
В первом столбце таблиц указаны длины l j каждой секции диафрагмы, а
также компоненты тензоров, необходимые для вычислений. Следует отметить, что из формул (10), (21) для проведения вычислений достаточно знать
( j)
значения компоненты ε22 диагонального тензора диэлектрической проница-
( j)
( j)
емости и значения компонент μ11 , μ33 диагонального тензора магнитной
проницаемости. Во втором столбце представлены вычисленные значения коэффициентов B , C j , D j , F .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
27
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Подставляя значения коэффициентов B , C j , D j ( j = 1, 2 ), F в уравнения поля (6), (7), (12), получаем полное решение задачи дифракции для
двухсекционной диафрагмы. В качестве математического пакета для реализации данной модели использовался пакет компьютерной математики MathCad.
Подставляя значения коэффициентов B , C j , D j , ( j = 1, 2, 3 ), F
в уравнения поля (6), (7), (12), получаем полное решение задачи дифракции
для трехсекционной диафрагмы.
Заключение
В данной работе рассмотрена задача дифракции ЭМ-волны на многосекционной диафрагме, каждая секция которой имеет скалярные диэлектрическую и магнитную проницаемости, в прямоугольном волноводе. Разработан рекуррентный метод решения поставленной задачи, на основе которого
решены задачи дифракции для двух- и трехсекционной диафрагм.
Список литературы
1. S o l y m a r , L . Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. – Oxford : Oxford
University Press, 2009.
2. У с а н о в, Д . А . Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на
основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нанотрубок /
Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Романов // Журнал технической физики. –
2011. – Т. 81, № 1. – С. 106–110.
3. Ta o P a n . Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan,
Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. – 2009. – Р. 367–372.
4. Д е р е в я н ч у к , Е. Д . Решение обратной задачи определения диэлектрической
проницаемости диафрагмы в волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. –
№ 4 (20). – С. 36–43
5. Д е р е в я н ч у к , Е. Д . Решение обратной задачи определения тензора магнитной
проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 34–44.
6. S m i r n o v , Y u . G . Permittivity reconstruction of layered dielectrics in a rectangular
waveguide from the transmission coefficients at different frequencies / Yu. G. Smirnov,
Yu. V. Shestopalov, E. D. Derevyanchuk // Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – New York, Heidelberg, Dordrecht, London, 2013. – Vol. 52. – Р. 169–182.
7. S m i r n o v , Y u . G . Permittivity determination of multi-sectional diaphragm with
metamaterial layers in rectangular waveguide / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov,
E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progress in Electromagnetic Research
Symposium (PIERS 2013). – Taipei, Taiwan, 2013. – P. 135–139.
8. S m i r n o v , Y u . G . Reconstruction of permittivity and permeability tensors
of anisotropic materials in a rectangular waveguide from the reflection and transmission
coefficients at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov,
E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progress in Electromagnetic Research
Symposium (PIERS 2013). – Stockholm, Sweden, 2013. – P. 290–295.
References
1. Solymar L., Shamonina E. Waves in Metamaterials. Oxford: Oxford University Press,
2009.
28
University proceedings. Volga region
№ 1 (29), 2014
Физико-математические науки. Математика
2. Usanov D. A., Skripal' A. V., Romanov A. V. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of
technical physics]. 2011, vol. 81, no. 1, pp. 106–110.
3. Tao Pan., Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao Applied Physics A. 2009, pp. 367–
372.
4. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 4 (20), pp. 36–43
5. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 34–44.
6. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V., Derevyanchuk E. D. Inverse Problems and
Large-Scale Compu-tations, Series: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics.
New York, Heidel-berg, Dordrecht, London, 2013, vol. 52, pp. 169–182.
7. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu.V., Derevyanchuk E. D. Proceedings of Progress in
Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). Taipei, Taiwan, 2013, pp. 135–
139.
8. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V., Derevyanchuk E. D. Proceedings of Progress in
Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). Stockholm, Sweden, 2013,
pp. 290–295.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.3, 517.958, 537.876.46, 517.927
Деревянчук, Е. Д.
Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной
анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 20–29.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
29
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа