close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача о местной сверхзвуковой зоне в классе автомодельных течений.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о.м
удк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
М2
1974
V
533.6.011
ЗАДАЧА О МЕСТНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЗОНЕ
В КЛАССЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ
А. П. Цвет"ов, И. А. Чернов
Приводится
классификация
плоских
околозвуковых течений
в окрестности точки встречи звуковой линии и бесконечно слабой
ударной волны, получены условия существования таких течений.
Обсуждается невозможность течения с ударной волной, если на при­
ходящей предельной характеристике нет особенности. Обобщен при­
мер Ф. И. Франкля околозвукового течения с тремя предельными
характеристиками и прямолинейной ударной волной на некоторый
диапазон значений показателя автомодельности.
При обтекании профиля дозвуковым потоком, скорость которого превышает
критическую, образуется
местная
сверхзвуковая
зона
МСЗ, ограниченная, как
правило, ударной волной [1-6]. Известны результаты численного решения соот­
ветствующей задачи [7, 8], однако остается неясным характер течения в области
соединения ударной волны и ЗВУКО80Й линии. На фиг. 1 показаны некоторые
2)
е)
Фиг.
1
гипотетические картины обтекания профиля с МСЗ. Принципиальным является
вопрос о расположении точки О нулевой интенсивности ударной волны. Гудер­
лей [9] отметил следующие возможности: либо эта точка лежит на звуковой
линии, как на фиг. 1, 8, г, д, е, либо она находится внутри МСЗ, как на фиг. 1, б, г.
Настоящая работа посвящена изучению первой возможности.Ограничиваясь
локальным исследованием течения вблизи точки О. можно сделать дополнитель-
105
ное предположение об автомодельном характере течения. Ниже изучаются тече­
ния с одной ударной волной S. Другой тип течения - с двумя ударными волнами
S1 и S2' показанный на фиг. 1, е, рассмотрен в работе [10].
В ряде работ [11-18] приведены различные частные примеры автомодель­
ных течений в МСЗ с ударной волной. Ниже исследуется вся совокупность
таких течений. Анализ показывает, что появление одной ударной волны в авто­
модельном
течении
возможно
приходит слабый разрыв
лишь
в
том
случае,
когда
на
звуковую
линию
особенность, представляющая собой конечный разрыв
-
первых или бесконечный разрыв вторых производных вектора скорости по коор­
динатам. Особенность, приходящая вдоль характеристики на звуковую линию.
отражается от нее либо в виде особенности, либо в виде ударной волны. Най­
дены условия, при которых реализуется каждая из этих возможностей.
Существуют разрывные автомодельные течения с тремя предельными харак­
теристиками в сверхзвуковой части [12]. Отличительной чертой течений является
возможность построения прямого скачка, а также лево бегущих, т. е. затухающих
на звуковой линии, ударных волн (фиг. 1, г), что невозможно в течениях с одной
предельной характеристикой.
§ 1. Приближенная система трансзвуковых уравнений
ди _-.!.~
ду
дх
=
О
(1.1 )
v-
(где и,
безразмерные комноненты Beq:Topa скорости возмущения однородного
звукового потока, х, у - декартовы координаты) имеет автомодельные решения
вида
(1.2)
для функций
уравнений:
f
и
получается
g
система
обыкновенных
дифференциальных
df
dg
f -df +n; dg
- =3(n- I)g, n; -+-=2(n-l)f.
а;
d;
d~
d;
Если ввести переменные Гудерлея
[9],
то
эта
система
становится
эквива­
лентной дифференциальному уравнению первого порядка и квадратуре для опре­
деления ~:
~
ds
г де Е
-
= 2 t 2 + (3 n 2 -
In Д
5 n) t - (3 n - 2) (3 n - 3) 8,
t) (t - 3 8)
5
,
~
t - 38
=
(n 2 -
(1.3)
произвольная постоянная.
Уравнение
имеет
(1.3)
следующие
особые
точки: А (s
является изображением оси х физической плоскости, С
(8 =
=
О,
t=
О),
которая
3
5 n (n - 1) ,t=n2 ) (3 n-2) (:) n-3)
образ предельной характеристики, D (s = 1/3, t = 1) - образ оси х с бесконеч­
ными скоростями и,
на ней или оси у с U
V
О. Бесконечно удаленная точка
В плоскости
t изображает ось у физической плоскости. Пересечение инте­
гральной
s,
кривой
=
=
v
линии
t = n2
в соответствующем течении
в
точках.
отличных
от
С,
означает
Автомодельные течения допускают ударные волны вида
выполняются
соотношения
t1
S1 = S2'
где индексами
.1", .2"
появление
предельной линии.
+t
2
=
2 n2,
;
=
const,
при этом
;1 = ;2'
(1.4)
обозначены величины до и после ударной волны.
Имея в виду
теоретическую возможность безударного течения в МСЗ
(фиг. 1, а), найдем соответствующую асимптотику в точке О, которая в данном
случае представляет точку, принадлежащую звуковой линии и соответствующую
экстремальному значению функции тока.
Сформу лир'уем зада чу
(1.3),
1:
найти
показатель
n
и
соответствующее решение
не содержащее предельных линий и аналитическое
на замкнутом контуре,
один раз охватывающем точку О. в самой точке О в решении
допускается осо­
бенность.
Из условия аналитичности следует, что искомое решение совпадает:
с решением
2)
1 4 t 3 = 9 [(3 n - 2) s - ntj2, описывающим
либо с решением
11'
имеющим в
ряда
t = n2
+ 3 (n -
точке
представление
1) (3 n - 2) (s - 8 с)
J)
n (n
106
С
+
1)
либо
течение типа простой волны,
+ ... ,
в
виде
степенного
либо с произвольным частным решением уравнения (1.3) при одном из n = 2,
Множество решений задачи 1 приведено в работе [19]. Одним из них
является n = 3/2, и = ky, v
kx, k = const, которое описывает течение в окрест­
3)
3, 5, 11.
=
ности звуковой линии, совпадающей с осью х.
Ниже в §§ 2-5 показана устойчивость этого решения при
и константы, выделяющей частное решение на плоскости S,
возмущениях
t.
n
§ 2. Рассмотрим задачу 11, которая отличается от задачи 1 тем, что на одной
из предельных характеристик допускается слабый разрыв. Решение ее дает ответ
lIа вопрос о возможности возникновения (затухания) особенности на звуковой
линии. Покажем, что в классе решений (1.2) это невозможно.
I\..--- -
"""'\
1,\
I,IfS
-С,!
~П 1I/7
\
\
-0,3
I
I
I
I
\
Фиг.
п
I
I
I
2
Заметим, что не существует безударного течения с одной предельной харак­
теристикой. Наличие второй предельной характеристики, на которой решение
является аналитическим, приводит к рассмотрению указанных в § 1 трех воз­
можностей. Возможности 1 и 3 легко просматриваются с учетом результатов [19],
поэтому проанализируем возможность 2.
Условие отсутствия предельных линий в течении, соответствующем кривой
11' приводит К неравенству 3;2 <: n
<
11/7. Для выяснения вопроса о реализации
этого течения на физической плоскости воспользуемся методом годографа. Из­
вестно, что функция у (и, v) является решением уравнения Трикоми и Уuu
Yvv = О. Кривой 11 соответствует решение этого уравнения вида [20]
+
+
P -2)v Р- 1 F(I_L
Y =P(3
6Р - 5
2'
Г де Р =
(3 n - 2)/(3 n - 3), F -
~-L ~_P 1_ 4uЗ \
2
2' 6
'
9 v2 )
символ гипергеометрического ряда.
Осуществляя аналитическое продолжение этого
рактеристики v
=-
,
решения в окрестность ха-
2/3 u3/2 сначала по части, содержащей дозвуковые скорости,
затем по чисто сверхзвуковой области (на плоскости S,
t
это
означает
подход
к особой точке С снизу и сверху соответственно), найдем значения Е 1 и Е 2 • ОТ­
несем величину д-Е
Е 2 - Е 1 К зна "ению Е на той предельной характеристике, г де
=
течение описывается аналитическим
от показателя n дается формулой
2(п-2)
и
решением.
п+l
п-l
Соответствующая
~: = 2-3-.3-3 .nn+l [sin ~ е:=- n] ([2 cos ~ С: -=-15 )]
представлена на фиг. 2 в интервале 3/2 -< n < 11/7.
зависимость
l-n
-1}
§ 3. Рассмотрим вопрос об отражении особенности от звуковой линии без
образования ударных волн. Схема такого течения показана на фиг. 3, 8. Пре­
дельные характеристики (штрих-пунктирные линии) лежат в нижней полупло­
скости, две звуковые линии (сплошные) отделяют Дозвуковую часть течения от
< <
сверхзвуковой. Соответствующее построение возможно при 3/2
n 2.
Ограничимся сначала течениями, которые симметричны относительно вер­
тикальной оси у и изображаются на плоскости S, t кривой ~1 С асимптотическими
представлениями S:::::: t при t ~
Кривая ~1 подходит к точке С сверху без
предельных линий при n:;;;. 3/2; на фиг. 3, а она разделяет секторы 15 и 16. Усло­
вие отсутствия предельных линий при подходе ~1 к точке С снизу после .отра­
жения· от В дает неравенство 3/,2
n 2; на фиг. 3, а ~1 разделяет секторы 13
=.
-< <
107
и
затем
18,
14
и
17.
Таким образом, при
3/2
-< n < 2 на
плоскости
s, t
может быть
построена непрерывная кривая, изображающая течение типа фиг. 3,8. Вследствие
симметрии отраженная особенность равна приходящей по величине и противо­
положна ей по знаку. Требованию совпадения е на предельных характеристиках
можно удовлетворить за счет выбора различных постоянных Е в (1.3) для каждой
из двух областей, на которые разбивается окрестность точки О предельными
характеристиками.
о)
------~~~!~--------------s
М< J
!I
Фиг.
3
При данном n из найденного интервала (3/2, 2) существует класс несимме­
тричных течений такого же типа, которые на плоскости годографа описываются
общим решением гипергеометрического уравнения:
p-l
__ .L2' _~-L
~-p
6
2' 6
'
У= р(3р-2) (~иЗ)-2-F(_I
6р - 5
-
€!
г де
9
2 Р
(
1 ) (4
+ __
_ иЗ -
€1 -
произвольная
6
9
2
v 2 )р-
~6 (_4 иЗ )..!....3 _.Е..2 F ( 1!.. 9
2
_1 , .!!..,
3
2
l--~)-
1 р,
_+
6
4 иЗ
2)
1 -- 9
~ , (3.1)
4и З
постоянная.
Условие отсутствия предельных линий в области между предельными харак-
теристиками v
где
108
r
= ±
2/3 и 3/2 приводит к неравенству
обозначает гамма-функцию.
Аналитическое продолжение решения
теристики
в окрестность предельной харак­
(3.1)
2/3 и3/2 по области и> О дает
V = -
__ k Р (р - 2) (4 иЗ )
У1 6р
5 -9-
-
+ h2(Р + "61) (4"9 и
"'2
Р-l
-25
4
F(
1_
2""
-
1
(4
р,
11_
5 _ р
6"'
"""2' 6"'
р,
1
1
Р
1_
р -"3' 2"'
Р 6" + р,
- v 2)Р- '6 9" и В)3 2" F ( 2"
9V2
4
иВ
)+
1 _ 9V2') (3.2)
4 иЗ I '
где
_
k1 -
1
2 sin 1t
(Р +
+
+)
4(Р++)
Г 2 (++р)Г 2 (+)
р
г (~ )~ (~ + ~ ) г (~ + ~) г (~ + i )
Ej.
в области v:;;' 2/3 и3/2 , и> О, в окрестности предельной характеристики ре­
шение
у представляется в виде, аналогичном (3.), г де вместо Еl записано Е2>
Аналитически, продолжая это решение в окрестность характеристики v=_2jз.u 3/2 ,
получим решение, аналогичное (3.2) с коэффициентами k з и k 4 при регулярной
и нерегулярной частях. Условие непрерывности
V = -
на
предельной
Е Г (+++}г (+ + 4-) г (1 +4-)г (++.%-)
пГ (Р + г (Р + sin (2 Р +
+
+) +)
_
2 -
(3.1)
характеристике
2/3 и3/2 эквивалентно равенству k 1 = kз и дает связь между Е ! и Е2:
Симметричным относительно оси
с
Е!
= -
+)
1t
у
р
течениям
€1
2 cos 1t
(Р +
+)
•
(3.3)
соответствует решение вида
г(~ -p)г(~)
+- ~ )г (~ +Р)
-"'7-"""----:--:- -т-;----;'---;-;::---'---'-:--'--:-..,----;--
2
(Р + +) г (+ - ~ )г (
Подставляя это значение Еl в
(3.3),
получим
Е2 = Еl ctg (~
1t
Интегральные кривые
на
плоскости
+).
+
s, t
(фиг.
3, а),
соответствующие
рас­
смотренным в этом параграфе безударным течениям, покрывают область, обозна­
ченную цифрами
13-18.
Фиг.
Этими же цифрами
показаны соответствующие области
4
на физической плоскости (фиг. 3, в). Последним среди возможных безударных
течений является то, которое изображается кривой '1' верхняя от точки С часть.
которой обозначена на фиг. 3, а через ,;.
Численные расчеты удобно проводить, интегрируя систему для функции f
и g (1.2). Начальные условия задавались при ~ = О, т. е. на оси у плоскости те­
чения. Значение
полагалось равным - 0,5, тог да величина go, характеризующая
10
наклон вектора скорости, есть параметр семейства течений при данном n. Зна­
чение go = о соответствует симметричным относительно оси у течениям. На фиг. 4
109
=
показана функция f(~) в случае n = 1,55 для трех значений go
О; 0,01; 0,02.
Значение go z 0,02 является крайним допустимым начальным условием. В § 5
будет показано, что дальнейшее увеличение go при водит к образованию ударной
волны вместо отраженного слабого разрыва.
§ 4.
Сформулируем задачу
щее предельных
линий,
111.
Найти
аналитическое
автомодельное
на
замкнутом
течение, не
контуре,
содержа­
охватывающем
точку О, с одной ударной волной.
Докажем соответствующую
теорему
несуществования, рассматривая
реше­
ния, аналитические на предельной характеристике (см. § 1). Заметим, что в ре­
шении 1 (простая волна между предельными характеристиками) существует пре­
дельная
этом
линия,
которую
невозможно
устранить
решении.
введением
скачка,
оставаясь
на
< <
Интегральная кривая 11 только при 7/5
n 3/2 может рассматриваться как
возможное решение задачи 111. После .отражения· от точки В кривая 11 при п,
удовлетворяющих указанному неравенству, пересекает линию
п 2 в точках,
отличных от С. Попытаемся устранить предельные линии введением ударной
волны. Легко построить скачок на плоскости s,
удовлетворив первым двум
условиям (1.4), однако условию совпадения ~ по обе стороны скачка удовлетво­
рить не удается. Результаты соответствующего расчета показаны на фиг. 2
t=
t,
в интервале
.5. 11
7/5< n
-< 3/2.
Аналогичные расчеты проводились в работе
Используя результаты работы [19], нетру дно убедиться, что
решения задачи 111 также не существует.
§ 5.
Рассмотрим задачу
которая отличается от
IV,
задачи
при
[16].
n = 2, 3,
дополнитель­
111
ным условием: требуется, чтобы в течении была только одна предельная харак­
.еристика, на которой допускается слабый разрыв. Область течения можно счи­
тать составленной из двух частей: области 1 от предельной характеристики до
у дарной волны по части, включающей дозвуковое течение, и области 2 - по
чисто сверхзвуковой части. При каждом n из интервала 7/5
n 2 существует
-бесконечное семейство решений задачи IV, непрерывно зависящее от одного
параметра, определяющего кривую на плоскости s, t (например go, как в § 3).
< <
Рассмотрим фиг.
3,
которая соответствует случаю
3/2
< n < 5/3. На фиг. 3, б.
8. Z показаны различные типы течений в МСЗ, построенные на основании реше­
ний (1.2). Течениям типа фиг. 3, б отвечает множество интегральных кривых,
расположенных в секторах 1-6. Пунктиром обозначена линия возможных состоя­
ний до и после ударной волны. Если используется часть этой линии, лежащая
ниже оси абсцисс. то скорость за ударной волной дозвуковая; если часть, лежа­
щая
выше
-
то
сверхзвуковая,
с
последующим
торможением до до звуковых ско­
ростей. Таким образом, в секторе 5 возможна звуковая линия. Она может сов­
падать с осью Ох (на плоскости s, t
ей соответствует интегральная кривая,
<>бозначенная 0(1' проходящая в направлении через узел А. со степенным разложением
3п - 3 t -t... ) .
s =--п--
являются границами
Кривая
и
0(1
сепаратрисса
s, t,
области на плоскости
седла
кривая
D-
соответствующей течениям
01типа
фиг. 3, б. С приближением используемой интегральной кривой к ~OI ударная
волна приближается к оси х и в пределе совпадает с ней (при этом ударной
волне соответствует скачок из А* в А и скорость на оси х бесконечна).
Множество интегральных кривых в секторах 7-12 соответствует течениям
.ипа фиг. 3, г. Скорость за скачком всегда сверхзвуковая, дозвуковая часть те­
чения занимает лишь один квадрант. Эти течения непрерывно переходят в без­
ударные течения типа фиг. 3, в, рассмотренные в § 3.
Исследование значений
n
из
интервала
(7/5, 3/2)
показывает возможность
построения в этом случае течений только типа фиг. 3, б. Исподьзование кривой
11 отличается тем, что слабый разрыв на приходящей предельной характеристике
является
натам
конечным
[16],
производных.
Если
разрывом
первых производных
все другие течения характеризуются
5/3
< n < 2,
количественного
3,
(О) =
go Е [g min' gmax]
в задачах
11
и
IV
изучения
рассматриваемых
f
и
g
при фиксированном
значений
n
и
go
по
коорди­
разрывом вторых
типа фиг.
3,
8,
г.
интегрирование системы для функций
g
скорости
то остаются течения со слабыми разрывами
И С ударными волнами типа фиг.
Для
вектора
бесконечным
течений
использовалось
от начальной точки ~
=
значении п. Множество
представлено на фиг.
5,
г де
о,
f (0)=-0,5,
допустимых
также
показаны
начальные значения, соответствующие кривым 0(\. ~1' 11. 01' Между предельной
характеристикой и скачком уплотнения в МС3, соответствующей задаче IV,
возможно
течение,
характеризующееся
прямолинейностью одного семейства
11 О
характеристик (простая волна); соответствующие
на фиг.
в
начальные
значения показаны
5 штрих-пунктирной линией. Впервые такие течения в МСЗ изучались
работе [17].
Часть плоскости на ф*иг.5, примыкающая к оси абсцисс при 1,5"';;:n<2
11'
и ограниченная кривыми
ным в
§ 3.
На фиг.
соответствует
безударным
течениям,
рассмотрен­
6 показан результат расчета семейства функций /(1;) при n = 1,45
go. для всего множества разрывных течений в задаче
для некоторых значений
lУ характерно, что I;s
< О,
Фиг.
5
Фиг.
6
т. е. ударная волна
является
< <
ЩJавобегущей,
как на
фиг. 1.8. Найденный в работе [15] интервал 7/5
n 5;3 оказался расширенным
за счет рассмотрения течений типа фиг. 3, г. В работе [18] высказано предполо­
жение, что особый интерес представляют те из рассматриваемых течений, кото­
рые описываются алгебраическими функциями (в указанном интервале есть два
таких значения
ность
n
=
11/7
существования
и
n = 29/19).
течений
с
В работе
одной
[20]
Жермен
предельной
допускает
возмож­
характеристикой
и одной
111
ударной волной, т. е. решений задачи
параграфе (см. фиг. 37 в работе [20]).
s, t,
читься анализом на плоскости
условию (1.4) не удается.
§ 6.
Сформулируем задачу
предельных линий, с тремя
отличных от рассмотренных в этом
Такие течения допустимы, если ограни­
однако при этом удовлетворить третьему
IV,
найти автомодельное течение, не содержащее
V:
предельными
характеристиками,
на
которых
допу­
скаются слабые разрывы, и с одной ударной волной.
Чтобы представить множество решений задачи V, начнем с одного обобще­
ния результатов работы [12], которое получается, если в дополнение к условиям
задачи V потребовать, чтобы скачок был прямым. Ударный фронт в этом случае
совпадает с отрицательной полуосью у (см. фиг.
в
1
работе
Окрестность
[12]).
точки О теперь составлена из четырех областей, границами которых являются
три характеристики и ударная волна. Решение для области J, примыкающей
к дозвуковой стороне ударной волны, запишем в виде
p-l
у = (V 2- -} и з)-2- F ( ~
в области
-
+, +- .+,
~
(6.1)
не должно быть предельных линий, что приводит К неравенству
J
(6.2)
Решение
v
=
в
области
2,
по
другую
сторону
предельной
характеристики
2/3.и 3/ 2 , возьмем в форме
_
У-
( 1) (1)
r ,Р+"6 r "2
(L~) {P(3P-2)(~
Р
Р
2 siп
~ + 3
6Р 5
9 иЗ
1
Г(Т+ )Г(Т+З)
Р
5
Т-Т,
p-l
*-р, 1-:~:)-Ез2(Р++)(~ UЗ_V2)P-~(:
Х F (~
1 <Р
_
7t
')-2-F(_12 - L2
-+, ~ ,Р + {.
1-
'
us)+-f x
~~:)}.
(6.3)
Условие отсутствия предельных линий в области 2 дает два неравенства:
5/3, которое включает в себя ограничение (6.2), и второе - для Ез, совпа­
-<
дающее с
(3.2),
если
заменить
El
на
Ез. Решение
в
области
4,
примыкающей
к сверхзвуковой стороне ударной волны, представим в виде
)p~ 1 (1
4
У = ( ""9 иЗ
Р"2
в области
склеено с (6.4)
11
Т-Р,
3,
5
Р
расположенной между областями
2)
1- 9
4 vи 3
(
-
Е 4 2 (Р
+ 61 ') ( 94
Р
1
Х F ""2 - 3'
112
Р
9 v2
1
- Т ' ""6 -""2' ""2' 4 и з -
Р
1
иЗ - v 2
"2 ' ""6 + Р,
1-
2
и
4,
2
4 иЗ
)}
'
иЗ
(6.4)
.
решение
)Р - ~б (94
9v
)
)~3 -
непрерывно
J!...
2 Х
где Е4 -
произвольный коэффициент. Из условия непрерывности этого решения на
характеристике v
2/з.u З/2 , разделяющей области 2 и 3, получим связь между
=-
рГ (~ ) г (~ + ; ) г (~ + {) г ( ~
Е4 =
8
(р +
+)Г (р + i-)Г
2
2 ( {-)
+ +) [
.
2 s/п
siп '" (р + i-)
'"
(~2 + J...)
]
3 - 1 +
+)Ез.
+ 2 sin '" (~ +
=
При Р = 5/3 (n
3/2) решение однозначно определено всюду (Ез = О) И сов­
падает с рассмотренным в работе [12]. При других Р в областях 2 и 3 решение
зависит от одного параметра. На фиг. 7 показана функция f (е), соответствующая
I
.s' -05
Фиг.
прямому скачку в задаче
стях
2
и
3
V
при
7
n = 1,55, множество
интегральных кривых в обла­
заштриховано.
В работе [14] показано, что при n=3/2 решение задачи V не является
единственным. Решение [12] было изменено в областях J и 4 за счет введения
параметра Е5, при этом ударная волна получилась криволинейной. Можно изме­
нить решение [12] и в области 3, вводя второй параметр Ев, В области 2 решение
менять нельзя, поскольку при этом появятся предельные линии. Таким образом,
при n = 3/2 решение задачи V является двухпараметрическим. При n>3/2 воз­
можно введение третьего параметра Е7 в области 2. Отметим, что при 3/2< n
2
<
существуют
течения
с
ударными
волнами,
вогнутыми
как
вверх,
так
и
вниз
по
потоку.
с
Приведем один элементарный при м ер типа
использованием общего интеграла, найденного
равна: для области J е", О,
е
< 1, f = 8-Н; ; >- 2, f
=
построенный для n
2
работе [21]. Функция f (О
[12],
в
f = - 4 (- ;)1/2; ~:> О, f = 4 ~1/2; для областей 2 и 3
дЛЯ области 4 f = 4,033 + 2,8Н + 3,83 Jtr; + 0,71.
= 8 + Н;
=
>
<
Ударная волна описывается уравнением х
0,48 у2, х О, У
О. Угол между
ударной волной и звуковой линией, как и в работе [12], равен ",/2. На предель­
ной характеристике, разделяющей области 2 и 3, описывается течение аналити­
ческим
решением.
Построение множества решений задачи V является более сложной пробле­
мой, чем ра·ссмотренная в § 5, ввиду большого числа параметров (n, Е5, Eg., Е7)'
Представляет интерес вопрос о существовании такого течения, в котором на
приходящих предельных характеристиках особенность отсутствует, а вдоль исхо­
дящей распространяется. Это означало бы, что в точке О одновременно зарож­
даются ударная волна в комбинации со слабым разрывом. При этом необходимо
рассмотреть решения с показателями n = 2, 3, 5, 11. Изучение соответствую­
щих решений показывает, что упомянутое выше течение невозможно. Любопытно
сопоставить
этот
результат
с
возможностью
одновременного
зарождения
ковой линии либо двух слабых разрывов, либо двух ударных ВОЛ'Н
Авторы
обсуждения.
благодарят
8-Ученые запнски ЦАГИ
,N'.
С. В. Фальковича
2
за
постановку
задачи
на
зву­
[22].
и
полезные
113
ЛИТЕРАТУРА
1. Н и к о л ь С К ий А. А., Т а г а н о в Г. И. Движение газа в мест­
ной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потен­
циального течения. ПММ, т. 10, вып. 4, 1946.
2. Фра н к л ь Ф. И. К образованию скачков уплотнения в до­
звуковых течениях с местными сверхзвуковыми скоростями. ПММ,
т. 11, вып. 1, 1947.
3. В u s е m а n n А. The non-existance of transonic potential f1ow. Рroс.
of sympos. in Appl. Mathem., уо1. А, F1uld Dупаm. N. У. Toronto, L. Мс.
Graw-H!II., 1953.
4. Г У д е р л
уплотнения
в
е й К. Г. О необходимости существования скачков
смешанных потоках. В сб .• Проблемы механики", под
редакцией Р. Мизеса и Т. Кармана, вып. 1, М., изд. иностр. лит., 1955.
5. М о r а w е ! z С. S. Оп !he non-exis!ance of continuous !ransonic
f10w раз! profils. Par!. 1, Н, 1lI, Сотm. оп Pure andJApp1. Ma!hem.,
vol. 9, No 1, 1956; vol. 10, No 1, 1957; уо1. 11, No 1, 1958.
6. М а n w е 11 А. R. Оп locally supersonic plane Поws with а weak
shock wave. JOLlrn. of Mathem. and Mech., vol. 16, No 6, 1966.
7. М u r m а n Е. М., С о 1 е J. D. Са1си1аНоп of р1апе steady transonic flows. AIAA Paper, No 70, 1970.
8. Л и Ф ш и ц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около про­
филя .• Ученые записки UАГИ", т. IV, N2 5, 1973.
9. Г У д е р л е й К. Г. Теория околозвуковых течений. М., изд.
иностр. лит., 1960.
.
10. F е r r а r i С., Т r i с о m i Р. О. Aerodinamica transonica. Rome,
1962.
11. Фра н к л ь Ф. И. Пример околозвукового течения газа с об­
ластью
сверхзвуковых
скоростей,
ограниченной
вниз
по
течению
скачком уплотнения, оканчивающимся внутри течения. ПММ, т. 19,
вып. 4, 1955.
12. Фра н к л ь Ф. И. Новый пример плоскопараллельного око­
лозвукового
течения
с
прямым
скачком уплотнения, оканчивающимся
внутри течения. Изв. вузов СССР, - .Математика", N2 2, 1959.
13. Б и й б о с У н о в И. Пример околозвукового течения
газа
с областью сверхзвуковых скоростей, ограниченной вниз по течению
искривленным
ПММ, т.
скачком
уплотнения,
оканчивающимся внутри
течения.
вып. 3, 1958.
14. Б и й б о с У н о в И. Пример плоскопараллельного околозву­
кового течения газа с искривленным скачком уплотнения. ДАН СССР,
т. 126, М 5, 1959.
15. G е r m а i пР., G i 11 о n О. Ecou1ements transsonigues аи volslnage d'un point de rencontre d'une onde de choc е! d'une 1iqne sonigue.
РиЫ. ONERA, No 102, 1961.
16. Л и Ф ш и ц Ю. Б. О течении в окрестности точки встречи
звуковой линии со скачком уплотнения. Инж. журн., т. 5, .N'2 1, 1965.
17. Л и Ф ш и ц Ю. Б., Рыж о в О. С. О некоторых точных реше1Ниях трансзвуковых течений газа. Журн. выч. матем. и матем. физ.,
т. 4, .N'9 5, 1964.
18. Ф а л ь к О В И Ч С. В. Затухание ударной волны на звуковой
линии. Тезисы ДО кл. 5-го Всесоюз. совещ. по анал. методам газ. ди­
намики. М., Изд. ИПМ АН СССР, 1972.
19. U в е т к о в А. П., Ч е р н о в И. А. Автомодельные околозву­
ковые течения, аналитические на предельной характеристике. В сб .
• Аэродинамика" под редакцией С. В. Фальковича, вып. 14, изд. Са­
22,
1972.
20. О е r m а i n Р. Ecou1emen!s transsonigues homogenes. В сб. Prog:ress in Аеrопаutiсаl SCiences, vol. 5, Ред. Kuchemann О., Sterne L. М. О.
Pergamon Press, Oxford, 1961.
I
•
21. Ф а л ь к О В И Ч С. В. К теории сопла Лаваля. ПММ, т. 10,
БЫП. 4, 1946.
22. Л и Ф ш и ц Ю. Б., Рыж о в О. С. Об асимптотическом типе
ратов. ун-та,
плоскопараллельного течения
ДАН СССР, т.
154,
М
в
окрестности
центра
сопла
Лаваля.
2, 1964.
Ру"оnись поступила
15/[[ 1973
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
460 Кб
Теги
сверхзвуковое, зоне, местное, автомодельных, класс, задачи, течение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа