close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задачи фильтрации жидкости со свободной поверхностью при наличии горизонтальной трещины (завесы).

код для вставкиСкачать
Физика, математика, техника, технология
В данном методе исследования теплопроводности используется уравнение (9), которое записано с
использованием некоторых предположений: 1. Предполагается, что температура внутри образца меняется лишь вдоль образца и не меняется в поперечном направлении. Это очевидно справедливо
лишь тогда, когда плотности тепловых потоков между образцом и атмосферой гораздо меньше плотности потока внутри самого образца, что в свою очередь может быть достигнуто путем создания достаточно глубокого вакуума. 2. В уравнении (9) не учитываются теплопотери на излучение, которые
также могут привести в некоторых случаях к существенным погрешностям.
Вместе с тем данный метод позволяет в значительной степени снизить погрешности, обусловленные теплопритоками из атмосферы.
Список литературы
1. Бочегов В. И. Методика прямого измерения теплопроводности термоэлектрических материалов. Термоэлектрики и их применение. СПб., 2004. С. 315–317.
2. Драббл Дж., Голдсмит Г. Теплопроводность полупроводников. М., 1963.
3. Физические величины: справочник / под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. М.: Энергоиздат, 1991.
УДК 532.546
ББК В 253.327
С. В. Бочкарев
Задачи фильтрации жидкости со свободной поверхностью
при наличии горизонтальной трещины (завесы)
Решены задачи о движении свободной поверхности грунтовых вод в ограниченной области при наличии
горизонтальной трещины или завесы.
Ключевые слова: неустановившаяся фильтрация, свободная поверхность, трещина, завеса.
S. V. Bochkarev
Problems of liquid filtration with free surface if there is a horizontal crack (screen)
There have been solved problems connected with the movement of free surface of subsoil waters in the bounded
sphere if there is a horizontal crack or screen.
Key words: unsteady filtration, free surface, crack, screen.
1. Случай трещины. Рассмотрим задачу о движении свободной поверхности грунтовых вод в
вертикальной плоскости xOy (ось y направлена вверх), когда область фильтрации состоит из двух
однородных зон D1  y  h1  и D2  h1  y  yL  ( y L – ордината свободной поверхности) постоянной проницаемости k , разделенных горизонтальной трещиной y  h1 . Слева вдоль прямой x  0
область фильтрации ограничена каналом со свободной жидкостью, уровень воды в котором совпадает с осью абсцисс, а справа вдоль прямой x   2 – непроницаемым водоупором. Начальная форма
свободной поверхности задается функцией y  f x .
Следуя линеаризованной постановке задачи о растекании бугра грунтовых вод [2], полагаем, что
свободная поверхность имеет малое возмущение относительно оси абсцисс и выполняющиеся на ней
граничные условия приближенно сносим на эту ось. Отсюда, для потенциалов i t , y , x ( t – время)

в

Di [2,3] имеем задачу:
 xx i   yy i  0 ,
i
x 0
2
 x i
 0,
t 0 , y 0
x  2
  f x  ,
 t  2    y 2
y 0
 0,
 0,
i  1,2 ,
(1)
(2)
(3)
123
Ученые записки ЗабГГПУ
y  h1 :  2  1 ,
где   k ; k и

 y 2   y1  A yy1 ,
(4)
– проницаемость и пористость области фильтрации; A  0 – параметр трещины;

h1  0 ;  xx   2 x 2 ,  x   x .
Решая методом разделения переменных уравнения (1), функции
i
представим в виде:

 2    T t ch my  an sh my  f n sin mx
n0
(5)

1    T t bn e m y  h  f n sin mx ,
1
n0
где m  2n  1 ;
an и bn – неопределенные параметры; f n – коэффициенты Фурье разложения начальной функции y  f x  по функциям sin mx [1].
Отсюда, функции (5) удовлетворяют условиям (1), а также 1 
 0 . Из условия (2) слеy  
дует, что T
t 0
 1 . Подставляя функцию  2 в граничное условие (3), для функции T t  получаем
задачу Коши:
 t T  manT  0 , T
t 0
 1
,
решение которой имеет вид:
T  e  mant
Из условий сопряжения (4) для параметров
(6)
an и bn получаем систему двух алгебраических
уравнений с двумя неизвестными:
an cn  1  Am bn  sn

an sn  bn  cn

где сn  chmh1 , sn  shmh1 ,   cn  1  Amsn  0 . Отсюда находим
an 
sn  1  Am cn ,
1
.
bn 
cn  1  Am sn
cn  1  Am sn
(7)
Итак, решение задачи (1)–(4) строится по формулам (5)–(7).
2. Случай завесы. Рассмотрим случай, когда y  h1 является слабо проницаемой завесой. Условия сопряжения на завесе [3] имеют вид:
y  h1 :  2  1  B y1 ,
 y  2   y 1 ,
(8)
где В  0 – параметр завесы.
Таким образом, в случае завесы для потенциалов i t , y , x в Di , имеем задачу (1)–(3), (8). Так как
эта задача отличается от задачи с трещиной только последним условием, то ее решение будем искать
в виде (5), (6). Подставляя функции  i (5) в условия сопряжения (8), для параметров an и bn получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

124

Физика, математика, техника, технология
an cn  bn  sn

,

an sn  1  Втbn  cn
где сn  chmh1 , sn  shmh1 ,   1  Вmcn  sn  0 . Отсюда находим
an 
1  Bтsn  cn ,
1  Bтcn  sn b
n

1
.
1  Bтcn  sn
(9)
Итак, решение задачи (1)-(3), (8) строится по формулам (5), (6), (9).
Закон движения свободной поверхности как в случае трещины, так и в случае завесы определяется равенством:
y

e
n0
 mant
f n sin mx .
(10)
3. Исследование полученных решений. Из формул (7), (9) следует, что в случае трещины параметр an  1 , в случае идеального контакта ( A  B  0 ) параметр an  1 , в случае завесы – 0  an  1 .
 ma n t
Отсюда, поскольку с ростом an множители e
функции (10) убывают быстрее с течением времени, то при одинаковой начальной форме бугра грунтовых вод выравнивание свободной поверхности
в случае идеального контакта происходит быстрее, чем при наличии горизонтальной завесы, но медленнее, чем при наличии горизонтальной трещины.
Из формул (7) следует, что с ростом параметра A трещины параметр an увеличивается, следова-
тельно, выравнивание бугра грунтовых вод происходит быстрее. При A   имеем 2 y   h1  0 ,
т. е. по прямой y  h1 проходит граница с горизонтальным каналом со свободной жидкостью.
Аналогично из формул (9) делается вывод, что с ростом параметра B завесы параметр an уменьшается и выравнивание бугра грунтовых вод происходит медленнее. При B   имеем
 y2 y   h  0 , т.е. по прямой y  h1 проходит граница с непроницаемым водоупором.
1
Из формул (7) следует, что с уменьшением глубины залегания трещины h1 параметр an увеличивается, следовательно, выравнивание свободной поверхности происходит быстрее. Максимальная
скорость выравнивания в случае заданного конечного параметра A трещины достигается при h1  0 ,
когда an  1  Ат .
Аналогично получаем, что чем ближе к завесе расположена свободная поверхность, тем медленнее происходит ее выравнивание, поскольку из формулы (9) при уменьшении h1 уменьшается и параметр
an . Минимальная скорость выравнивания в случае заданного конечного параметра B завесы
1 .
1  Bт
С глубиной влияние трещины или завесы слабеет, в пределе при h1   полностью исчезает,
что соответствует случаю идеального контакта, когда A  B  0 .
достигается при h1  0 , когда an 
Список литературы
1. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. 2-е изд., переработ. и доп. М.:
Наука, 1984. 384 с.
2. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 680с.
3. Холодовский С. Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися трещинами и завесами // Доклад РАН, 1994. Т. 338. № 5 С. 622– 624.
125
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
416 Кб
Теги
фильтрация, завеса, свободно, поверхности, горизонтальных, трещин, задачи, жидкости, наличие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа