close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды.

код для вставкиСкачать
Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253).
Физика. Вып. 11. С. 65–68.
В. Е. Федоров, А. В. Панов
Инвариантные и частично инвариантные решения
системы уравнений механики двухфазной среды
Рассматривается нелинейная система уравнений в частных производных, описывающая механику двухфазной среды без учёта температурных эффектов. Методами группового анализа найдены
инвариантные и частично инвариантные решения этой системы.
Ключевые слова: двухфазная среда, алгебра Ли, группа симметрий, подмодель, инвариантное решение, частично инвариантное решение.
1. Введение. Рассматривается система уравнений
 ∂ρ1 ∂ (ρ1u1 )
 ∂t + ∂x = 0,

 ∂ρ2 + ∂ (ρ2u2 ) = 0,
 ∂t
∂x

  ∂u
∂P(ρ1 , ρ2 )
ρ (u − u )
∂u
ρ1  1 + u1 1  + m1
=− 2 1 2 ,
t
x
∂
τ
x
∂
∂
 


ρ  ∂u2 + u ∂u2  + m ∂P (ρ1 , ρ2 ) = ρ2 (u1 − u2 ) ,
2
2
 2  ∂t
∂x
∂x 
τ
описывающая течение смеси газа и мелких частиц [1]. В предположении конечности объёмной концентрации дискретных частиц и отсутствия температурных эффектов данная система
состоит из уравнений сохранения массы и имρ (u − u )
пульса каждой из фаз. Правая часть 2 1 2
τ
отвечает за силу вязкого трения между фазами.
Кроме того, ρi = miρii — средняя плотность i-й
фазы; mi, ρii, ui — объёмная концентрация, истинная плотность, скорость i-й фазы; P — давление, общее для смеси в целом. Первая фаза соответствует газу, вторая — частицам.
Неизвестными являются функции скорости
и плотности фаз, давление — функциональный
параметр системы, зависящий от плотностей
фаз.
Ранее в статье [2] показано, что при любой
функции давления P все допускаемые системой уравнений операторы образуют одну и ту
же трёхмерную алгебру Ли L3. При этом найдены оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр этой алгебры Ли. В данной
работе получены соответствующие одномерным подалгебрам из оптимальной их системы
подмодели ранга 1 [3] рассматриваемой модели
двухфазной среды и соответствующие инвариантные решения в тех случаях, в которых система уравнений подмодели интегрируется явно.
Кроме того, найдено в явном виде частично инвариантное решение, соответствующее одной из
двумерных подалгебр из оптимальной системы
подалгебр алгебры Ли исходной системы уравнений.
2. Подмодели ранга 1 и инвариантные решения системы. Для данной системы ранее [2]
было показано, что при любой функции P базис допускаемой алгебры Ли L3 состоит из трёх
операторов:
X1 =
∂
,
∂t
X2 =
∂
,
∂x
X3 = t
∂
∂
∂
.
+
+
∂x ∂u1 ∂u2
В [2] также найдены оптимальные системы подалгебр данной алгебры размерностей
1 и 2.
Теорема 1. Оптимальная система Θ1 одномерных подалгебр алгебры Ли L3 состоит из
подалгебр с базисными векторами
X 2 , X 3 , X 1 + cX 3 .
Теорема 2. Оптимальная система Θ2 двумерных подалгебр алгебры Ли L3 состоит из подалгебр с базисами
< X 2 , X 3 >, < X 2 , X 1 + cX 3 > .
Найдём неподобные инвариантные решения
[4–5] рассматриваемой системы.
∂
являют1. Инвариантами оператора X 2 =
∂x
ся функции
J1 = t , J 2 = ρ1 , J 3 = ρ2 , J 4 = u1 , J 5 = u2 .
Поэтому инвариантное решение будем искать
в виде
ρ1 = ρ1 (t ), ρ2 = ρ2 (t ), u1 = u1 (t ), u2 = u2 (t ).
Из первых двух уравнений системы получим
ρ1 = c1 , ρ2 = c2. Оставшиеся уравнения редуцируются к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
66
В. Е. Федоров, А. В. Панов
c2 (u1 − u2 )
 du1
,
c1 dt = −
τ

c du2 = c2 (u1 − u2 ) .
 2 dt
τ
Отсюда
ρ1 = c1 ,
ρ2 = c2 ,
u1 = c4 exp
u1 = −
( c2 + c1 ) t
c1 τ
−
c1
c4 exp
c2
(cc2 + c1 ) t
c1 τ
+
c2 c3
,
c2 + c1
−
c1c3
+ c3 .
c2 + c1
v2' +
Подставим в первое уравнение искомые функции и получим уравнение
c1
,
t
c
ρ2 = 2 ,
t
u1 =
Последние два уравнения системы примут в
этом случае вид
 c1  dv1 (t ) x v1 (t ) x 
c (v (t ) − v2 (t ))
− 2+
+ 2 =− 2 1
,
 
t
tτ
t
t 
 t  dt
(3)

 c2  dv2 (t ) − x + v2 (t ) + x  = c2 (v1 (t ) − v2 (t )) .

 t  dt
t
tτ
t2
t2 
c
Сложим эти уравнения, разделим на 2 и поt
лучим уравнение
−
cc 1 cc 1
x
+ 2 3 − 2 4 exp
t c2 + c1 t
c1 t
−
cc 1 c
x
u2 = + 2 3 + 4 exp
t c2 + c1 t t
( c2 + c1 ) t
c1 τ
( c2 + c1 ) t
c1 τ
,
.
Применяя к полученному решению преобразования, соответствующие допускаемой группе
с оператором X1, получим более общее многопараметрическое семейство решений
c1
.
t
Аналогичным образом получим равенство
c
ρ2 = 2 .
t
c1 ' 1
c
v1 + (v2 + 1 v1 ) = 0.
c2
t
c2
c4
α1
exp −βt +
.
βt
t
ρ1 =
Следовательно, инвариантное решение будем
искать в виде
x
x
ρ1 = ρ1 (t ), ρ2 = ρ2 (t ), u1 = v1 (t ) + , u2 = v2 (t ) + .
t
t
v2 α
= − βv2 ,
t
t
Таким образом, подмодель ранга 1, соответствующая третьей одномерной подалгебре из
оптимальной системы, интегрируется в явном
виде и даёт инвариантное решение
x
x
J1 = t , J 2 = ρ1 , J 3 = ρ2 , J 4 = u1 − , J 5 = u2 − .
t
t
v2' +
c2 c3 1 c2
− v2 .
c1 t c1
c
1
c2 c3
, β =  2 + 1 . Решением последнеc1τ
 c1
τ
го уравнения является функция
риантами являются функции
решением которого является функция ρ1 =
v1 =
где α =
v2 =
Таким образом, подмодель ранга 1, описывающая однородную двухфазную среду, интегрируется явно.
∂
∂
∂
2. Для оператора X 3 = t +
инва+
∂x ∂u1 ∂u2
d ρ1 ρ1
+ = 0,
dt
t
что
Подставим это выражение в (3), тогда
Решив эту систему, получим инвариантное
решение относительно оператора X2:
−
следует,
ρ1 =
c1
,
t + a1
ρ2 =
c2
,
t + a1
−
cc
cc
1
1
x
u1 =
exp
+ 2 3
− 2 4
t + a1 c2 + c1 t + a1
c1 t + a1
u2 =
−
cc
c
x
1
+ 2 3
+ 4 exp
t + a1 c2 + c1 t + a1 t + a1
( c2 + c1 ) t + a1
τ
c1
( c2 + c1 ) t + a1
τ
c1
,
.
3. Последняя подалгебра из системы Θ1 имеет
базисный вектор
X = X 1 + cX 3 =
∂
∂
∂
∂
+c
+ ct + c
.
∂u2
∂u1
∂x
∂t
Инварианты этого оператора —
ct 2
J1 =
− x, J 2 = ρ1 , J 3 = ρ2 ,
2
J 4 = u1 − ct , J 5 = u2 − ct.
67
Инвариантные и частично инвариантные решения системы уравнений механики двухфазной среды
Решение будем искать в виде
ρ1 (t )(u2t + ϕ' (t ) + u2u2 x + ϕ(t )u2 x )
 ct 2

 ct 2

− x ,
− x  , ρ2 = r2 
ρ1 = r1 
 2

 2

2
2
 ct

 ct

u1 = v1 
− x  + ct , u2 = v2 
− x  + ct.
 2

 2

После подстановки ρ1, u1 в первое уравнение и
ct 2
замены y =
− x получим
2
d (r v )
− 1 1 = 0.
dy
Отсюда r1v1 = c1. Также покажем, что r2v2 = c2.
Последние два уравнения системы примут вид
c c 
dP  1 , 2 
c1 
dv1 
 v1 v2  = − c2 (v1 − v2 ) ,
 c − v1
 − m1
v1 
dy 
dy
v2 τ
c c 
dP  1 , 2 
dv2 
c2 
 v1 v2  = c2 (v1 − v2 ) .
 c − v2
 − m2
v2 
dy 
dy
v2 τ
Тем самым получена подмодель ранга 1 исходной модели двухфазной среды. При заданной
функции P можно найти инвариантные решения
для соответствующей этой подмодели системы
уравнений.
3. Частично инвариантные решения системы. Найдём теперь инвариантные решения относительно подалгебр из системы Θ2.
1. Инвариантами двумерной подалгебры
X 2 , X 3 являются
J1 = t , J 2 = ρ1 , J 3 = ρ2 , J 4 = u1 − u2 .
Ранг матрицы
0

∂ ( J1 , J 2 , J 3 , J 4 )  1
=
∂ (ρ1 , ρ2 , u1 , u2 )  0

0
0
0
1
0
0 0

0 0
0 0

1 −1
равен трём, следовательно, инвариантных решений система не имеет (см. [6]). Найдём частично
инвариантные решения дефекта 1 [4]. Будем их
искать в виде
ρ1 = ρ1 (t ), ρ2 = ρ2 (t ), u1 = u2 ( x, t ) + ϕ(t ).
Подставив эти функции в систему уравнений,
получим
ρ1' (t ) + ρ1 (t )u2 x = 0,
ρ'2 (t ) + ρ2 (t )u2 x = 0,
ρ (t )ϕ(t )
∂P
,
=− 2
∂x
τ
∂P ρ2 (t )ϕ(t )
=
.
ρ2 (t )(u2t + u2u2 x ) + m2
∂x
τ
+ m1
Умножим первое из четырёх уравнений системы на ρ1, второе — на ρ2 и вычтем из второго
уравнения первое, тогда
d  ρ2 (t ) 

 = 0, ρ2 (t ) = c1ρ1 (t ).
dt  ρ1 (t ) 
Следовательно,
u2 x = −
ρ1' (t )
ρ' (t )
, u2 = − 1 x + c2 (t ).
ρ1 (t )
ρ1 (t )
Умножим третье уравнение на m2, четвёртое — на m1 и вычтем из четвёртого уравнения
третье, тогда получится равенство
ρ1
 c1ρ1 
'
1 − r  (u2t + u2u2 x ) − r (u2t + ϕ (t ) +


ϕ(t )
+u2u2 x + ϕ(t )u2 x ) =
.
τ
Продифференцируем обе части полученного
равенства по х и получим уравнение
 (c1 + 1)ρ1 
(u2tx + u22x ) = 0.
1 −

r


Первый возможный случай —
ρ1 =
cr
r
, ρ2 = 1 , u2 = u2 (t ).
c1 + 1
c1 + 1
Тогда P = P(ρ1 , ρ2 ) = const, четвёртое уравнеϕ(t )
ние примет вид u2' (t ) =
, а третье —
τ
1 + c1
ϕ' (t ) +
ϕ(t ) = 0.
τ
Следовательно,
ϕ(t ) = c3 exp
−
1+ c1
t
τ
.
Таким образом, получено решение
cr
r
ρ1 =
, ρ2 = 1 ,
c1 + 1
c1 + 1
u1 =
−
c1c3
exp
1 + c1
(1+ c1 ) t
τ
, u2 = −
−
c3
exp
1 + c1
(1+ c1 ) t
τ
.
Из него допускаемой галилеевской группой
можно получить решение
68
В. Е. Федоров, А. В. Панов
ρ1 =
−
cc
u1 = 1 3 exp
1 + c1
cr
r
, ρ2 = 1 ,
c1 + 1
c1 + 1
(1+ c1 ) t
τ
2. Инвариантами подалгебры X 1 , X 2
−
c
+ a, u2 = − 3 exp
1 + c1
(1+ c1 ) t
τ
ются функции
+ a.
ρ1' (t )
,
ρ1 (t )
'
ρ1 = c1 , ρ2 = c2 , u1 = u2 = c3 .
2
тогда имеем уравнение ψ (t ) = −ψ (t ) . Его решение ψ(t ) =
1
влечёт уравнение
t + c4
−
ρ1' (t )
1
=
.
ρ(t ) t + c4

.

при с ≠ 0 — функции
Список литературы
−
 1 + c1
c5
1 
ϕ' (t ) + 
+
exp
 ϕ(t ) = 0, ϕ =
t + c4
t + c4 
 τ
(1+ c1 ) t
τ
Поэтому
−
c5
c2 (t )
=
exp
t + c4 τ(t + c4 )
(1+ c1 ) t
τ
−
c6 (t )
c5
exp
=−
(1 + c1 )(t + c4 )
t + c4
(1+ c1 ) t
τ
,
+
c7
.
t + c4
+
c7
,
t + c4
+
c7
.
t + c4
Итак, найдено решение
ρ1 (t ) =
подалгеб­
Заметим, что такое решение не физично, поскольку в случае положительности одной из плотностей другая плотность будет отрицательной.
Из третьего уравнения системы получим
уравнения
c2 (t ) =
X 2 , X 1 + cX 3
двумерной
ρ1 = c1 , ρ2 = −c1 , u1 = c3 + ct , u2 = c3 + c(t − τ).
Тогда из четвёртого уравнения следует, что
c2' (t ) +
ры
Инварианты
ρ1 = c1 , ρ2 = c2 , u1 = c3 + ct , u2 = c4 + ct . После
подстановки этих функций в систему уравнений найдём решение
c5
x
∂P
,
= 0, u2 (t , x) =
+ c2 (t ).
t + c4
t + c4 ∂x

c (t )
ϕ(t ) = τ  c2' (t ) + 2
t + c4

3.
J1 = ρ1 , J 2 = ρ2 , J 3 = u1 − ct , J 4 = u2 − ct.
Поэтому решение будем искать в виде
Отсюда получим равенства
ρ1 (t ) =
J1 = ρ1 , J 2 = ρ2 , J 3 = u1 , J 4 = u2 .
Поскольку среди них нет независимых переменных, инвариантным решением будет
2
Второй случай — u2tx + u2 x = 0 . Обозначим
ψ (t ) = u2 x = −
явля-
c5
cc
, ρ2 (t ) = 1 5 ,
t + c4
t + c4
(1+ c1 ) t
τ
u1 (t , x) =
−
c1c5
x
exp
+
t + c4 (1 + c1 )(t + c4 )
u2 (t , x) =
−
c5
x
exp
−
t + c4 (1 + c1 )(t + c4 )
(1+ c1 ) t
τ
.
1. Яненко, Н. Н. Сверхзвуковые двухфазные
течения в условиях скоростной неравновесности
частиц / Н. Н. Яненко, Р. И. Солоухин, А. Н. Папырин, В. М. Фомин. Новосибирск : Наука, 1980.
160 с.
2. Панов, А. В. Групповая классификация
системы уравнений механики двухфазной среды // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2011. № 26. Математика. Механика. Информатика. Вып. 13.
С. 38–48.
3. Овсянников, Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Приклад. математика и
механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30–55.
4. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978.
399 с.
5. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М. : Мир, 1989. 639 с.
6. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б. Д. Аннин,
В. О. Бытев, С. И. Сенашов. Новосибирск : Наука,
1985. 143 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
412 Кб
Теги
инвариантная, среды, механика, решение, уравнения, система, двухфазная, частичного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа