close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Индикаторные системы связанные с пара-эрмитовыми пространствами.

код для вставкиСкачать
С помощью этого уравнения можно исследовать, например, задачу о математическом маятнике на алгебре A, см. [2].
Литература
1. В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. Державинские чтения V,
Матер. научн. конф., февр. 2000, Тамбов, 2000, 5–7.
2. Н. А. Малашонок, В. С. Боровенникова. Математический маятник на двумерных алгебрах. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2008,
том 13, вып. 6, 543–548.
УДК 517.98
Индикаторные системы, связанные с
пара-эрмитовыми пространствами 1
c В .Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова
°
Ключевые слова: симметрические пространства, конечномерные представления, производящие функции
Предъявляются системы дифференциальных уравнений, выделяющие пространства
конечномерных представлений группы SL(n, R), реализующихся в многочленах на
группе Гейзенберга размерности 2n − 3
We present systems of differential equations to describe spaces of finite dimensional representations of the group SL(n, R) acting on polynomials on the Heisenberg group of dimension 2n − 3
Мы распространяем наш результат [1] на более общие конечномерные представления группы G = SL(n, R), связанные с пара-эрмитовым пространством
G/H, где H = GL(n − 1, R). Мы рассматриваем конечномерные представления,
содержащиеся в вырожденной серии представлений группы G, отвечающей разбиению n = 1+(n−2)+1 числа n. Они реализуются в многочленах на подгруппе
Z нижних унипотентных блочных матриц. Заметим, что группа Z есть группа
Гейзенберга размерности 2n − 3.
Будем записывать матрицы g из G в блочном виде соответственно разбиению
n = 1+(n−2)+1. Пусть Z и B – подгруппы группы G, состоящие соответственно
1
Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, 06-06-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.
14
из матриц


1 0 0
z =  t E 0 ,
c s 1


p ∗ ∗
b =  0 q ∗ ,
0 0 r
(1)
где s – вектор-строка из Rn−2 , t – вектор-столбец из Rn−2 , c – число из R, p, r –
числа из R∗ , q – матрица из GL(n − 2, R). Матрица, обратная матрице z, есть


1
0 0
z −1 =  −t E 0  ,
b
c −s 1
где b
c = st − c. Пусть dz обозначает инвариантную меру на Z:
dz = dc ds2 . . . dsn−1 dt2 . . . dtn−1 .
Почти всякую матрицу g ∈ G можно записать в виде произведения: g = bz
(разложение Гаусса).
Пусть S(Z) – пространство многочленов на Z. Обозначим N = {0, 1, 2, . . .}.
Представление Tl,m (l, m ∈ N) группы G действует в некотором подпространстве
Vl,m пространства S(Z), см. ниже, по формуле
(Tm (g)f ) (z) = f (e
z ) rel /e
p m,
где ze, re, pe находятся из разложения Гаусса матрицы zg: zg = ebe
z . Пространство Vl,m содержит тождественную единицу 1 в качестве циклического вектора.
Представление Tl,m неприводимо, его младший вектор есть 1, его старший вектор есть cl b
cm , старший вес есть (l, 0, . . . , 0, −m), размерность равна
¶
¶µ
µ
2m + n − 1 l + n − 2 m + n − 2
.
dl,m =
m
l
n−1
Пусть Eij обозначает "матричную единицу", это матрица, в которой на
месте (i, j) стоит 1, а на остальных местах стоят нули;
В алгебре Ли группы Z матрицы Ei1 , Eni , i = 2, . . . , n−1, являются образующими. Инфинитезимальные операторы левых сдвигов на группе Z, отвечающих
этим матрицам, – это дифференциальные операторы
Li =
∂
∂
∂
, D i = ti +
, i = 2, . . . , n − 1.
∂ti
∂c ∂si
Рассмотрим в пространстве S(Z) систему уравнений
Lm+1
f = 0, Dil+1 f = 0, i = 2, . . . , n − 1.
i
(2)
Назовем ее, следуя Желобенко [2], индикаторной системой.
Теорема 1.1 Пространство Vl,m есть в точности пространство решений индикаторной системы (2).
15
Одним из основных шагов в доказательстве теоремы служит интегральное
представление многочленов из Vl,m :
Z
f (z) =
Kl,m (z, ζ)F (ζ) dζ,
Z
здесь F – обобщенная функция на группе Z, сосредоточенная в единице E, в
этой точке c = 0, s = 0, t = 0. Ядро Kl,m (z, ζ), z, ζ ∈ Z, имеет следующее
выражение: пусть z имеет параметры c, s, t, см. (1), а ζ имеет параметры a, u,
v, пусть J – диагональная матрица порядка n − 2 с диагональю {−1, 1, . . . , 1},
тогда
Kl,m (z, ζ) = (1 − sJv + b
ac)l (1 − uJt + b
ca)m .
Таким образом, ядро Kl,m (z, ζ) служит производящей функцией для многочленов из Vl,m . В частности, дельта-функция δ(z), сосредоточенная в точке E, переходит в 1.
В работе [1] рассматривались представления Tl,m с l = m, такие представления используются при изучении полиномиального квантования на G/H.
Литература
1. Н. Б. Волотова. Индикаторные системы для представлений вырожденных серий линейной группы. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн.
науки, 2007, том 12, вып. 4, 430–432.
2. Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука,
1970.
УДК 517.98
Конечномерные пространства функций на
двумерных алгебрах, инвариантные относительно
движений 1
c Д. С. Тугарёв
°
Ключевые слова: двумерные алгебры, группа движений, оператор Лапласа
Описываются конечномерные пространства функций на алгебрах обобщенных комплексных чисел, инвариантные относительно группы движений
A description of finite dimensional spaces of functions on algebras of generalized complex
numbers invariant with respect to a motion group is presented
1
Работа поддержана Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.
16
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
359 Кб
Теги
пространства, система, парад, индикаторных, связанные, эрмитовых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа