close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ИНТЕРВАЛЬНОЕ КАСАНИЕ ТОЧЕК ИНТЕРВАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА 13 r.

код для вставкиСкачать
xc П R1 xc d x Q x , C 2
(рис. 1, б).
x c П R1 x c t x Q x ,
C1
”ƒ 519.6:514.1
»Ќ“≈–¬јЋ№Ќќ≈ ј—јЌ»≈ “ќ„≈ »Ќ“≈–¬јЋ№ЌO√O ѕ–ќ—“–јЌ—“¬ј I 3s R
ќчевидно, что
XЙX
R1 , X И X
x Qx,x Qx .
–ќћјЌќ¬ј “.≈., –”ƒќ… ƒ.—.
¬ пространстве R 1 прообраз точки X
¬водитс¤ пон¤тие интервального касани¤ точек интервального пространства I 3s R , необходимое дл¤ построени¤ интервальной ? функции пары интервальных точечных множеств пространства I 3s R .
0
x, x , т.е. собственесть замкнутый интервал X
0
1
но то чка x П R ; а прообраз X
точки
–ассмотрим пространство центрированных интервалов I s R [1,2]:
IsR
≠
Ѓ X
ѓ
ab
,Q x
2
x, Q x x
ba
љ
, a, b П R 1 Њ.,
2
њ
где x ? центр, а Q x ? радиус центрированного
интервала X П I s R .
¬оспользуемс¤ определени¤ми, приведенными в
работах [3-5].
ќпределение 1. »нтервальным рассто¤нием между
точками X 1 , X 2 в пространстве I s R называетс¤ отображение ? : I s2 R o I s R вида
x1 x 2 , Q x Q x
1
2
? X1 , X 2
x1 , Q x
1
П Is R , X 2
x2 , Q x
2
x,0 П I s R совпадает с пространством R1 , в
этом случае
X
X0 ИX
0
x ; X0ЙX
Q x vx
1
2
.
(1)
в случае а ? X i И X j
xi Q xi
x j Qxj ,
в случае б ? X i И X j
xi Q xi
x j Qxj ,
в случае в ?
Xi ИX j
x j Q x j Й (C1i Й C 2 j ) =
= x i Q xi Й (C 2 j Й C1i ) ,
X i И X j x j Q x j Й [ xi Q xi , x j Q x j ]
xi Q xi Й [ x i Q xi , x j Q x j ] .
ПIsR
Qx Qx
i
j
.
(2)
xi
ак известно [1], прообраз точки
X П Is R
R1 .
√еометрическа¤ интерпретаци¤ некоторых случаев
интервального касани¤ точек пространства I s R
приведена на рис.2:
интервально касаютс¤, если
x1 x 2
0
в случае г ?
ќпределение 2. “очки
X1
x,0 П I s R
а
???. 2,?
X П IsR Q x t 0
xj
Q xi Q x j
в пространстве R1 есть замкнутый интервал
X
x Q x , x Q x (рис. 1,а), а прообраз точки
X П Is R
x, Q x П I s R
xj
Qx d 0
в пространстве R 1 есть замыкание дополнени¤
интервала X до всего пространства R 1 , т.е.
X cl C X , X C1 Й C 2 , где
X
x Qx
C1
x Qx
x
а 1?
???.
X
C2
x
x Qx
б
???. 1?
–ис.1
–», 2000, є 2
x Qx
xi
???.
б 2,?
Qx Qx
i
j
xi
xj
???.
в 2,?
Q xi Q x j
xj
xi
г 2,?
???.
–ис. 2
53
«аметим, что распростран¤¤ пон¤тие интервального касани¤ точек подмножества I s R на подмноже-
и ме н н о: X , Y П I s R ; X , Y П I s R ; X П I s R ,
ство I s R , в общем случае, тер¤етс¤ теоретикомножественный смысл касани¤ замкнутых множеств пространства R1 как прообразов точек
X П IsR
(рис. 2, в, г).
√еометрическа¤ интерпретаци¤ этих случаев приведена на рис. 3-6.
–ассмотрим две произвольные точки Z1 , Z 2 двумер ного
интервального
прост ранства
Z
I 2s R
множество (рис.3)
I s R u I s R [4]:
Zi
Xi
X i , Yi ,
xi , Q x
i
, Yi
Y П Is R ; X П Is R , Y П Is R .
, i
i
Ъ ( y Q y d y ' d y Q y ) , (???. 3?) :
1,2 .
Y
? : I s4 R o I s R вида
U 2x X 1 , X 2 U 2y Y1 , Y2
( xc, y c) П R 2 ( x Q x d xc d x Q x ) Ъ
Z
ќпределение 3. »нтервальным рассто¤нием между
точками Z1 , Z 2 П I 2s R называетс¤ отображение
? Z1 , Z 2
y+ Q y
,
(3)
? интервальное
y'
y? Q y
рассто¤ние между точками X 1 , X 2 П I s R и точками Y1 Y2 П I s R , соответственно.
O
где
U x X 1 , X 2 , U y Y1 , Y2
ќпределение 4. “очки Z1 , Z 2 П I 2s R интервально
касаютс¤, если выполн¤етс¤ условие:
≠x x
Qx Qx ;
2
∞ 1
1
2
Ѓ
(4)
Qy Qy .
∞ y1 y 2
1
2
ѓ
ќчевидно, система (4) порождает следующие системы равенств:
≠∞ x1 x 2
Ѓy y
2
∞? 1
Qx Qx ;
1
2
Qy Qy ,
1
2
X
X , Y П I s R , то прообр азом точ ки
≈сл и
Z
X , Y П I s2 R в пространстве R 2 ¤вл¤етс¤
множество
Z
x c, y c П R 2
cl C Z
xc t x Q x Ъ yc t y Q y Ы
Ы xc t x Q x Ъ y c d y Q y Ы
(4.1)
Ы xc d x Q x Ъ y c d y Q y Ы
(4.2)
≠∞ x1 x 2
Ѓy y
2
∞? 1
(Q x Q x );
1
2
(Q y Q y ) ,
(4.3)
≠∞ x1 x 2 Q x Q x ;
1
2
Ѓy y
2 (Q y1 Q y2 ) .
∞? 1
(4.4)
y+ Q
аждой системе соответствует определенное вза-
y? Q
xc d x Q x Ъ y c t y Q y
(рис. 4).
Y
2
имное положение точек пространства I 2s R .
X , Z П I s2 R в
ѕрообраз [Z ] П R 2 точки Z
пространстве R 2 есть пр¤мое произведение прообX , Y П Is R , т.е.
разов X , Y П R 1 точек
y
y'
y
O
x'
x? Q x
x+ Q x
X
–ис. 4
???. 3,?
[Z ] = X u Y .
ќчевидны следующие комбинации принадлежно-
≈сли
сти точек X , Y П I s R пространствам I s R , Is R , а
Z
X П I s R , Y П I s R , то прообразом точки
X , Y П I s2 R в пространстве R 2 ¤вл¤етс¤
множество Z x
54
x+ Q x
x? Q x
–ис.
???. 33,?
≠∞ x1 x2 (Q x Q x );
1
2
Ѓ y y
2 Q y1 Q y2 ,
∞? 1
1
П I s2 R в пространстве R 2 ¤вл¤етс¤
X , Y
X i , Yi П I s R ,
yi , Q y
X , Y П I s R , то прообразом точки
≈сл и
C1 Й C 2 , где
–», 2000, є 2
C1
x c, y c П R 2
Y
xc d x Q x Ъ
[Z2]
Ъ y Q y d yc d y Q y , ,
C2
[Z1]
xc, y c П R 2 xc t x Q x Ъ
Ъ y Q y d y c d y Q y , (???. 3?);
5 /
Y
O
y+ Q
?1
y
???. 4,?
?2
Y
[Z1]
y'
y? Q
X
y
O
x? Q x x'
x+ Q x
[Z2]
X
???.
3,?5
–ис.
≈сли
Z
X П I s R , Y П I s R , то прообразом точки
X , Z П I s2 R в пространстве R 2 ¤вл¤етс¤
множество Z y
C1
O
X
C1 Й C 2 , где
???. 4,?
Y
xc, yc П R 2 x Q x d xc d x Q x Ъ
[Z2]
Ъ yc t y Q y , ,
C2
x c, yc П R 2 x Q x d xc d x Q x Ъ
Ъ yc d y Q y , (???. 3?).
65
O
X
???. 4,?
[Z1]
Y
[Z1]
[Z2]
–ис. 6
O
ѕолучаем дес¤ть случаев интервального касани¤
точек в зависимости от их сочетаний:
Z 1 , Z 2 ; Z 1 , Z 2 ; Z 1 , Z 2 ; Z1 , Z 2 x ; Z 1 , Z 2 x ;
Z1 , Z 2 y ; Z 1 , Z 2 y ; Z 1 x , Z 2 x ; Z 1 y , Z 2 y ;
Z1 x , Z 2 y .
»ллюстрации некоторых случаев приведены на
рис. 7. —лучай рис. 7,а соответствует интервальному
касанию (4.3) точек Z 1 , Z 2 ; случай рис.7,б ?
интервальному касанию (4.2) точек Z 1 , Z 2 ; случай
рис.7,в ? интервальному касанию (4.2) точек
Z 1 , Z 2 ; случай рис.7,г ? интервальному касанию
(4.3) точек Z1 , Z 2 x .
–», 2000, є 2
X
г
–ис. 7
»спользу¤ формулы (1)-(5), введем пон¤тие интервального касани¤ точек в трехмерном интервальном пространстве I 3s R I s R u I s R u I s R .
–ассмотрим две произвольные точки M 1 , M 2 П I 3s R ,
Mi
X i , Yi , Z i , X i , Yi , Z i П I s R , i 1,2 .
ќпределение 5. “очки M 1 , M 2 пространства I 3s R
интервально касаютс¤, если их координаты удовлетвор¤ют следующему условию:
55
≠ x x
Qx Qx ,
∞ 1 2
1
2
∞
y
y
Q
Q
Ѓ 1
2
y1
y2 ,
(5)
∞
∞ z1 z2
Qz Qz .
1
2
ѓ
ќпределение 6. »нтервальным рассто¤нием между
точками M 1 , M 2 в пространстве I 3s R называетс¤
отображение ? : I s6 R o I s R вида
? M1, M 2
U 2x X1 , X 2 U 2y Y1 , Y2 U2z Z1 , Z 2
,
где U u U 1 , U 2 , ? интервальное рассто¤ние между точками U 1 , U 2 П I s R .
–ассмотрим геометрическую интерпретацию интервального касани¤ точек пространства I 3s R .
ѕрообраз M П R 3 точки M П I 3s R есть пр¤мое
произведение прообразов X , Y , Z точек
X , Y , Z П I s R . ¬ зависимости от принадлежности X , Y , Z множеству I s R или I s R существует восемь видов прообразов точек, которые обозначим так:
M
X uY u Z ,M x
X uY uZ ,
M y
X uY u Z ,M z
X uY uZ ,
M xy
X u Y u Z , M xz
X uY uZ ,
M yz
X uY uZ , M
X uY u Z .
“аким образом, получим тридцать шесть случаев
интервального касани¤ интервальных точек в терминах прообразов:
≠x x
∞∞ 1 2
Ѓ y1 y2
∞ z z
∞ѓ 1 2
≠x x
∞∞ 1 2
Ѓ y1 y2
∞ z z
∞ѓ 1 2
≠ x x
1
2
∞∞
Ѓ y1 y2
∞ z z
ѓ∞ 1 2
(Q x Q x ),
1
2
Qy Qy ,
≠ x x
∞∞ 1 2
Ѓ y1 y2
∞z z
∞ѓ 1 2
≠x x
∞∞ 1 2
Ѓ y1 y2
∞z z
∞ѓ 1 2
≠x x
∞∞ 1 2
Ѓ y1 y2
∞z z
∞ѓ 1 2
≠ x x
1
2
∞∞
Ѓ y1 y2
∞z z
ѓ∞ 1 2
Qx Qx ,
1
2
Qy Qy ,
1
(5.2)
2
Qz Qz ;
1
2
( Q x Q x ) ,
1
2
(Q y Q y ),
1
(5.3)
2
Qz Qz ;
1
2
Qx Qx ,
1
2
( Q y Q y ) ,
1
(5.4)
2
Qz Qz ;
1
2
1
(5.5)
2
(Q z Q z ) ;
1
2
(Q x Q x ) ,
1
2
Qy Qy ,
1
2
(Q z Q z ) ;
1
(5.6)
2
( Q x Q x ) ,
1
2
( Q y Q y ) ,
1
(5.7)
2
( Q z Q z ) ;
1
2
Qx Qx ,
1
2
( Q y Q y ) ,
1
(5.8)
2
( Q z Q z ) .
1
2
ѕолученным системам соответствуют различные
виды интервального касани¤ точек. »ллюстрации
некоторых из них приведены на рис. 8, 9.
Y
M1 , M 2 ; M 1 , M 2 ; M1 , M 2 x ; M1 , M 2 y ;
M2]
M1 , M 2 z ; M 1 , M 2 xy ; M 1 , M 2 xz ; M 1 , M 2 yz ;
[M1]
M 1 x , M 2 x ; M 1 x , M 2 y ; M 1 x , M 2 z; M 1 x , M 2 xy;
M1 x, M 2
xz ;
M1 x, M 2
yz ;
M1 y, M 2
y
;
M 1 y , M 2 z ; M 1 y , M 2 xy ; M 1 y , M 2 yz ;
O
M 1 y , M 2 xz ; M 1 y , M 2 ; M 1 z , M 2 z ;
Z
M1 z, M 2
xy; M 1 z , M 2 xz ; M 1 z , M 2 yz; M 1 xy , M 2 xy;
M1
xy ,
M2
xz; M 1 xy ,
M1
xz ,
M 2 ; M1
yz ,
M 2 ; M1
xz ,
M2
M2
M1
yz ,
yz ;
xz;
M1
xz ,
M2
???. 5,?
Y
yz;
[M1]
M 2 ; M1 , M 2 .
–аскрыв модуль в системе (5), получим следующие
системы:
≠x x
1
2 Q x1 Q x2 ,
∞∞
Ѓ y1 y2 Q y1 Q y2 ,
(5.1)
∞z z
Qz Qz ;
1
2
ѓ∞ 1 2
56
X
[M2]
O
Z
X
???. 5,?
–ис. 8
–», 2000, є 2
случай рис.9,б ? интервальному касанию (5.4)
точек Z 1 , Z 2 x .
Y
[M1]
[M2]
O
Z
X
а
???. 5,?
2
1
Ћитература: 1. Stoyan Yu.G. The extended interval space
and elementary mappings// Proceedings of the IMACS?
GAMM International Symposium on Numerical Methods
and Error Bounds, Oldenburg, Germany, 1995. P. 270?
279. 2. —то¤н ё.√. ћетрическое пространство центрированных интервалов// ƒоклады ЌјЌ ”краины, —ер.
A, 1996. N 7. C. 23?25. 3. —то¤н ё.√. вазилинейные
интервальные отображени¤. »нтервальна¤ метрика.
’арьков, 1995. 23 с. (ѕрепринт. ЌјЌ ”краины. »н?
т проблем машиностроени¤; є387) 4. —то¤н ё.√.
»нтервальное пространство I 2s R . »нтервальные уравнени¤// ƒоклады ЌјЌ ”краины, —ер. A,1998. N 6. C.
109?116. 5. Stoyan Yu.G., Romanova “.≈. Account of errors
in optimization placement problem //Journal of mechanical
engineering. 1998. Vol. 1, є2. —.31-40.
ѕоступила в редколлегию 02.03.2000
–ецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. яковлев —.¬.
б
–ис. 9
—лучай рис. 8,а соответствует интервальному касанию (5.3) точек M 1 , M 2 ; случай рис. 8,б ? интервальному касанию (5.7) точек Z 1 , Z 2 ; случай рис.
9,а ? интервальному касанию (5.2) точек Z 1 , Z 2 ;
”ƒ 519.673
—ѕ≈÷»јЋ»«»–ќ¬јЌЌјя
»Ќ“≈–ј “»¬Ќјя —»—“≈ћј ƒЋя
ћќƒ≈Ћ»–ќ¬јЌ»я
“≈ћѕ≈–ј“”–Ќџ’ ѕќЋ≈…
√–»÷ё ≈.ћ., Ў≈¬„≈Ќ ќ Ћ.ѕ.
–ассматриваютс¤ вопросы создани¤ специализированных систем, основанных на знани¤х. ѕредметной
областью рассматриваемой системы ¤вл¤етс¤ исследование температурных полей в телах сложной геометрической формы. ƒл¤ этих исследований используетс¤ аппарат теории R-функций. –ассматриваютс¤
некоторые характеристики базы знаний системы, а
также метод представлени¤ знаний.
ћоделирование на Ё¬ћ процессов теплопроводности ¤вл¤етс¤ важной задачей, решаемой при проектировании изделий в машиностроительной, энергетической, атомной промышленности, в технологических процессах химической, строительной,
текстильной и других ее отрасл¤х. ѕри решении
этой задачи возникает необходимость в проведении
расчетов температурных полей с учетом самых
различных факторов физического и геометрического характера.
¬ большинстве случаев математические модели
полей имеют вид краевых задач дл¤ дифференциальных уравнений с частными производными.
–», 2000, є 2
–оманова “ать¤на ≈вгеньевна, канд. физ.-мат. наук,
старший научный сотрудник отдела математического
моделировани¤ и оптимального проектировани¤ »нститута проблем машиностроени¤ ЌјЌ ”краины.
Ќаучные интересы: математическое моделирование.
јдрес: ”краина, 61046, ’арьков, ул. ѕожарского, 2/10,
тел. 95-95-36.
–удой ƒмитрий —ергеевич, студент ’“”–Ё. Ќаучные
интересы: математическое моделирование. јдрес: ”краина, 61202, ’арьков, пр. ѕобеды, 48-ј, кв. 292.
–ассмотрим температурное поле u u x , y, z, t в
теле, занимающем область : в пространстве xOyz.
ѕусть C C x , y, z, t ? функци¤, характеризующа¤
удельную теплоемкость тела, U U x , y, z, t - его
плотность, а T T x, y, z, t ? плотность источников
тепла внутри области : . “огда во внутренних
точках области : выполн¤етс¤ условие
w
UCu div Ogradu T ,
(1)
wt
где O ? коэффициент теплопроводности. ≈сли
среда изотропна U , C, O ? константы, то уравнение
принимает вид
wu
a 2 'u f ,
(2),
wt
здесь a 2 O UC 1 ? коэффициент теплопроводности по ћаксвеллу, f T UC 1 , ' ? оператор Ћапласа. ƒл¤ стационарного температурного пол¤ получим уравнение
(3)
'u fa 2 .
артина температурного пол¤ тела сложной геометрической формы зависит не только от теплофизических характеристик материала тела, но также от
формы тела : , формы площадок контакта тел,
составл¤ющих тело, характера их теплового взаимодействи¤ между собой и с внешней средой, а
также начального распределени¤ температуры в
теле. Ёто отражаетс¤ существованием бесчисленного множества решений, из которых единственное
может быть выделено с помощью краевых и начальных условий. Ќапример, краевые услови¤ вида
57
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
441 Кб
Теги
пространство, точек, интервального, интервальных, касания
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа