close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование европейского опциона продажи с последействием в случае выплаты дивидендов.

код для вставкиСкачать
№ 290
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Март
2006
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
УДК 519.865
А.В. Аникина, Н.С. Демин
ИССЛЕДОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА ПРОДАЖИ
С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ В СЛУЧАЕ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ
В работе проводится исследование стоимости опциона, портфеля и капитала для европейского опциона продажи с последействием при наличии выплат по дивидендам в случае непрерывного времени.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрение задачи проводится на стандартном
вероятностном пространстве ( Ω, Ft , F = ( Ft )t ≥ 0 , P )
[1, 2]. Через Pt = P F t обозначается сужение меры P
на Ft. На финансовом рынке обращаются рисковые
(акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых St
и Bt в течение интервала времени t ∈ [0, T ] определяются уравнениями из [3, 4]
dSt = St ( μdt + σdWt ) , dBt = rBt dt ,
(1.1)
Далее нам потребуется результат, связанный с
преобразованием мер вида
d Pt* = Z t d Pt ,
математические ожидания относительно которых E и
E* соответственно.
Теорема Гирсанова [1, 2]. Пусть Yt – диффузионный процесс, определяемый уравнением
dYt = b ( t , Yt ) dt + dWt ,
(1.11)
где Wt – винеровский процесс. Пусть
t
⎧⎪ t
⎫⎪
1
Z t = exp ⎨− ∫ b ( τ, Yτ ) dWτ − ∫ b 2 ( τ, Yτ ) d τ⎬ , (1.12)
2
⎩⎪ 0
⎭⎪
0
где Wt – стандартный винеровский процесс, σ > 0,
r > 0, S0 > 0, B0 > 0, решение которых имеет вид
⎧⎛
⎫
σ2 ⎞
St = S0 exp ⎨⎜ μ − ⎟ t + σWt ⎬ , Bt = B0 exp {rt} . (1.2)
2⎠
⎩⎝
⎭
Считаем, что текущее значение капитала инвестора Xt
определяется в виде [1, 2]
X t = βt Bt + γ t St ,
(1.3)
где πt = (βt , γ t ) – пара Ft-измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора. За
обладание акцией происходят выплаты дивидендов в
соответствии с процессом Dt со скоростью δγ t St ,
пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом δ, таким, что 0 ≤ δ < r , т.е.
dDt = δγ t St dt .
(1.4)
Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами
происходит в виде
dX t = βt dBt + γ t dSt + dDt .
(1.5)
Из (1.3) следует, что
dX t = βt dBt + γ t dSt + Bt d βt + St d γ t .
(1.6)
Тогда, согласно (1.5), (1.6),
Bt d βt + St d γ t = dDt ,
Wtμ− r +δ = Wt +
216
μ−r+δ
t.
σ
EZ t = 1 .
причем
(1.9)
(1.13)
Тогда процесс Yt является винеровским относительно
меры P∗ .
Пусть Yt = Wtμ− r +δ . Согласно (1.9),
μ−r+δ
dt + dWt .
σ
Так как, согласно (1.1) и (1.14),
b ( τ, Yτ ) = ( μ − r + δ ) σ ,
dYt = dWtμ− r +δ =
(1.14)
Z t = Z tμ− r +δ =
то
1 μ − r + δ ⎞ 2 ⎪⎫
⎪⎧ μ − r + δ
Wt − ⎛⎜
t .
= exp ⎨−
σ
2 ⎝ σ ⎟⎠ ⎭⎬⎪
⎩⎪
E exp {σWt } = exp
Так как
{ }
1 2
σ t ,
2
(1.15)
(1.16)
то EZ tμ− r +δ = 1 , т.е. условие (1.13) для Z tμ− r +δ выполняется.
Пусть P∗ = P μ− r +δ , определяемая преобразованием
d Ptμ− r +δ = Z tμ− r +δ d Pt ,
(1.7)
что является балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемости в стандартной
задаче [3]. Из (1.2), (1.3) – (1.5) следует, что капитал
определяется уравнением
dX t = rX t dt + σγ t St dWtμ− r +δ ;
(1.8)
(1.10)
∗
(1.17)
μ− r +δ
и пусть E = E
. Тогда, согласно теореме Гирсанова, процесс Wtμ− r +δ вида (1.9) является винеровским относительно меры P μ− r +δ , т.е. для t > τ
Eμ− r +δ Wtμ− r +δ − Wτμ− r +δ Fτ = 0 ,
(
(
)
2
)
Eμ− r +δ ⎡⎣Wtμ− r +δ − Wτμ− r +δ ⎤⎦ Fτ = t − τ .
(1.18)
Таким
(
образом,
Law ⋅ P
μ− r +δ
)
обозначая
через
Law (⋅ P )
и
свойства процессов относительно P и
P μ− r +δ , получаем
(
)
Law W μ− r +δ Pμ− r +δ = Law (W P ) .
(1.19)
⎧
⎫
σ2
= Law( S0 exp ⎨(μ − )t + σWt ⎬ ; t ≤ T P μ− r +δ ) =
2
⎩
⎭
⎧
⎫
σ
= Law( S0 exp ⎨(r − δ − )t + σWtμ− r +δ ⎬ ; t ≤ T P μ− r +δ ) =
2
⎩
⎭
⎧
⎫
σ2
= Law( S0 exp ⎨(r − δ − )t + σWt ⎬ ; t ≤ T P) . (1.20)
2
⎩
⎭
Таким образом,
)
Law S ( μ, r , δ ) P μ− r +δ = Law ( S ( r , δ ) P ) ,
(1.21)
т.е. вероятностные свойства процесса S ( μ, r , δ ) , определяемого уравнением
)
dt St ( μ, r , δ ) = St ( μ, r , δ ) ( r − δ ) dt + σdWtμ− r +δ ,
dt St ( r , δ ) = St ( r , δ ) ( ( r − δ ) dt + σdWt ) ,
(1.22)
fT ( S ) = max St − ST
0 ≤ t ≤T
(1.25)
является платежной функцией с последействием в
случае опциона продажи (пут – опцион) [3].
В данной работе: 1) находится формула, определяющая рациональную (справедливую) стоимость опциона PT ( δ ) как начального капитала X 0 = x , при
котором достигается выполнение (1.24); 2) находятся
формулы, определяющие эволюцию текущего капитала X t ( δ ) и портфеля πt ( δ ) = (βt ( δ ) , γ t ( δ ) ) ; 3) исследуются свойства решения.
2. СТОИМОСТЬ ОПЦИОНА
Поскольку платежная функция вида (1.25) является естественной, то [3]
PT ( δ ) = e
E fT ( S ( r , δ ) ) .
0≤τ≤t
σ2
h
ξt = Wt + t , h = r − δ − .
2
σ
)
(
Тогда последовательно с учетом (1.10), (2.3) получаем
(
)
Eϕ max ( σWτ + hτ ) , σWt + ht =
τ≤t
= E∗
)
(
1
ϕ max σξτ , σξt =
Zt
τ≤t
)
(
⎧h
h2 ⎫
= E∗ exp ⎨ Wt + 2 t ⎬ ϕ max σξ τ , σξt =
τ≤t
2σ ⎭
⎩σ
)
(
⎧h
h
h2 ⎫
= E∗ exp ⎨ ⎜⎛ ξt − t ⎟⎞ + 2 t ⎬ ϕ max σξ τ , σξt =
σ ⎠ 2σ ⎭
τ≤t
⎩σ ⎝
)
(
⎧h
h2 ⎫
= E∗ exp ⎨ ξt − 2 t ⎬ ϕ max σξ τ , σξt =
τ≤t
2σ ⎭
⎩σ
)
(
⎧h
h2 ⎫
= E exp ⎨ Wt − 2 t ⎬ ϕ max σWτ , σWt ,
τ≤t
2σ ⎭
⎩σ
т.е. пришли к (2.6). Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть для t ≤ T
M t = max σξτ = max ( σWτ + hτ ) .
0≤τ≤t
0≤τ≤ t
(
)
P ( M t ≤ x ) = P max ( σWτ + hτ ) ≤ x =
0≤τ≤t
{ }
(2.2)
(2.3)
+
(2.1)
(2.7)
Тогда для x ≥ 0 и h ∈ R функция распределения
P ( M t ≤ x ) и плотность вероятности
p ( t , x ) = ∂P ( M t ≤ x ) ∂x
имеют вид
x − ht ⎞
2hx ⎛ x + ht ⎞
= Φ ⎛⎜
⎟ − exp 2 Φ ⎜ −
⎟;
⎝ σ t ⎠
⎝ σ t ⎠
σ
⎛ ( x − ht )2 ⎞
1
p (t , x ) =
exp ⎜⎜ −
⎟−
σ 2πt
2σ 2t ⎟⎠
⎝
2h
2hx
x + ht ⎞
− 2 exp 2 Φ ⎛⎜ −
⎟+
⎝ σ t ⎠
σ
σ
Согласно (1.1), (1.2), (1.20), (1.23),
⎧⎛
⎫
σ2 ⎞
St ( r , δ ) = S0 exp ⎨⎜ r − δ − ⎟ t + σWt ⎬ =
2⎠
⎩⎝
⎭
= S0 exp {σξt } ;
(2.4)
⎧h
h2 ⎫
(2.6)
= E exp ⎨ Wt − 2 t ⎬ ϕ max σWτ , σWt .
2σ ⎭ 0≤τ≤t
⎩σ
Доказательство. Относительно теоремы Гирсанова
⎧ h
h2 ⎫
h
Yt = ξt , b ( t , Yt ) = b ( t , ξt ) = , Z t = exp ⎨− Wt − 2 t ⎬ .
σ
2σ ⎭
⎩ σ
(1.23)
относительно меры P .
Задача: Сформировать портфель
πt ( δ ) = (βt ( δ ) , γ t ( δ ) )
таким образом, чтобы формирование капитала, согласно (1.3), в конечный момент времени T обеспечило выполнение платежного условия
X T = fT ( S ) ,
(1.24)
− rT
dy .
Тогда процесс Wt* такой, что
σWt , t ≤ τ x ,
(2.5)
σWt* =
2 x − σWt , t > τ x ,
является винеровским процессом.
Лемма 2. Пусть ϕ ( y, z ) ≥ 0 – биномиальная функция событий. Тогда
Eϕ(max ( σWτ + hτ ) , σWt + ht ) =
относительно P μ− r +δ совпадают со свойствами процесса S ( r , δ ) , определяемого уравнением
где
− y2 2
{
2
(
∫e
2π
Лемма 1 [2]. Пусть τ x = inf {t ≥ 0:σWt ≥ x} , x ∈ R .
)
(
x
1
Φ ( x) =
−∞
Тогда, согласно (1.2), (1.9), (1.19),
Law St ; t ≤ T | P μ− r +δ =
(
Далее R = ( −∞, +∞ ) , N {a; b} – нормальное распределение с параметрами a и b, а Φ ( x ) – функция Лапласа, т.е. ( Φ ( x ) = N {0;1})
1
σ 2πt
{ }
{ }
exp
2hx
σ2
⎛ ( x + ht )2 ⎞
exp ⎜⎜ −
⎟.
2σ2t ⎟⎠
⎝
(2.8)
(2.9)
217
Доказательство. Пусть A и B – некоторые события. Тогда очевидно, что A = A ∩ B + A ∩ B и
Так как I (σWt > x) = I (Wt > ( x / σ)) , а Wt ~ N {0;t} , то
(
)
B = max ( σWτ + hτ ) ≤ x . Так как B ⊂ A , то
τ≤ t
(
=
)
P max ( σWτ + hτ ) ≤ x = P ( σWt + ht ≤ x ) −
τ≤t
(
)
{
2
(2.10)
J=
}
Так как σWt ∼ N 0, σ t , то
P ( σWt + ht ≤ x ) = P ( σWt ≤ x − ht ) =
=
(
σ 2πt
x − ht
σ t
1
=
x − ht
1
2π
∫
∫
2
2 σ 2t
2
dy =
x − ht ⎞
dz = Φ ⎛⎜
⎟.
⎝ σ t ⎠
) (
(2.11)
(
τ≤t
)
(
)
= Eϕ max σξ τ , σξt =
τ≤t
)
(
⎧h
h2 ⎫
= E exp ⎨ Wt − 2 t ⎬ ϕ max σWτ , σWt =
τ≤t
2σ ⎭
⎩σ
)
(
⎧h
h2 ⎫
= E exp ⎨ Wt − 2 t ⎬ I max σWτ > x, σWt ≤ x =
2σ ⎭ τ≤t
⎩σ
(
)
× I max σWτ* > x, σWt* ≤ x .
τ≤t
(2.12)
Так как σWt < x для t <τ x , то на интервале t∈[0, τ x ] ,
{ }
h
E exp − Wt I ( σWt > x ) =
σ
⎧ h2t ⎫
x + ht ⎞
= exp ⎨ 2 ⎬ Φ ⎜⎛ −
⎟.
⎩2σ ⎭ ⎝ σ t ⎠
Использование (2.20) в (2.14) дает, что
(
(
τ≤t
(2.13)
)
= I max σWτ > x, σWt > x = I ( σWt > x )
τ≤t
и из (2.12), (2.13) следует
(
)
P max ( σWτ + hτ ) > x, σWt + ht ≤ x =
τ≤t
{ }
⎧2hx h 2 ⎫
h
= exp ⎨ 2 − 2 t ⎬ E exp − Wt I ( σWt > x ) . (2.14)
σ
2σ ⎭
⎩σ
218
)
{ }
x + ht ⎞
(2.21)
Φ ⎛⎜ −
⎟.
⎝ σ t ⎠
σ
Подстановка (2.11), (2.21) в (2.10) приводит к (2.8), откуда непосредственно следует (2.9). Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть
{ }
)
τ≤t
= exp
⎧h
⎧2hx h 2 ⎫
h2 ⎫
h
exp ⎨ Wt* − 2 t ⎬ = exp ⎨ 2 − 2 t ⎬exp − Wt ,
σ
σ
2σ ⎭
⎩
⎩ σ 2σ ⎭
(
(2.20)
P max ( σWτ + hτ ) > x, σWt + ht ≤ x =
τ≤ t
I max σWτ* > x, σWt* ≤ x =
(2.18)
⎧
c 2 d ⎫ ⎛ b − ( a + cd ) ⎞
= exp ⎨ca +
Φ −
(2.19)
⎟.
2 ⎬⎭ ⎜⎝
⎠
d
⎩
Представление (2.17) для J следует из (2.16) в результате элементарных преобразований, (2.18) следует непосредственно из (2.16), (2.17), а (2.19) – из (2.18)
с учетом того, что 1 − Φ ( z ) = Φ ( − z ) .
Применение (2.19) к (2.15) дает, что
где Wt* = Wt , события {σWt* ≤ x} и {max σWτ* > x}
являются несовместными. Таким образом,
σWt* = 2 x − σWt .
Тогда
(2.17)
E exp {cX } I ( X ≥ b ) =
2
⎧h
h ⎫
= E exp ⎨ Wt* − 2 t ⎬ ×
σ
2σ ⎭
⎩
2
⎪⎧ [ x − ( a + cd )] ⎪⎫
exp
−
⎨
⎬ dx .
∫ ⎪
2d
2πd
⎩
⎭⎪
1
⎧
c 2 d ⎫ ⎛ b − ( a + cd ) ⎞
= exp ⎨ca +
Φ
⎟,
2 ⎬⎭ ⎜⎝
⎠
d
⎩
I ( D ) – идентификатор, т.е. EI ( D ) = P ( D ) . Тогда с
учетом (2.6) и Леммы 1
P max ( σWτ + hτ ) > x, σWt + ht ≤ x =
(2.16)
E exp {cX } I ( X ≤ b ) =
)
τ≤t
⎧⎪ ( x − a )2 ⎫⎪
cx
exp
exp
{
}
⎨− 2d ⎬ dx ,
∫
2πd
⎩⎪
⎭⎪
1
Пусть X ~ N {a; d } . Тогда
Пусть ϕ max σξτ , σξt = I max σξτ > x, σξt ≤ x , где
τ≤t
(2.15)
⎧
c2 d ⎫
J = exp ⎨ca +
×
2 ⎭⎬
⎩
×
2
⎧ y2 ⎫
h
exp − y exp ⎨− ⎬ dy .
σ
2πt x / σ
⎩ 2t ⎭
то
−∞
e− z
−∞
e− y
∞
1
Утверждение 1. Если
−P max ( σWτ + hτ ) > x, σWt + ht ≤ x .
τ≤ t
{ }
∫ { }
h
E
exp − Wt I ( σWt > x ) =
σ
A = B + A ∩ B , если B ⊂ A . Пусть A = ( σWt + ht ≤ x ) ,
2hx
2
r − δ σ⎞
+ ⎟ T −t ;
d1 ( δ, t ) = ⎜⎛
2⎠
⎝ σ
(2.22)
r − δ σ⎞
− ⎟ T −t .
d 2 ( δ, t ) = ⎜⎛
2⎠
⎝ σ
(2.23)
Тогда
PT ( δ ) = S0 e − rT Φ ( −d 2 ( δ ) ) − e−δT Φ ( − d1 ( δ ) ) +
{
+
σ2
e − rT ⎡⎣e( r −δ)T Φ ( d1 ( δ )) − Φ ( − d 2 ( δ ) )⎤⎦ , (2.24)
2 ( r − δ)
}
где d1 ( δ ) = d1 ( δ, t ) , d 2 ( δ ) = d 2 ( δ, t ) при t = 0 .
Доказательство. Из (2.1) с учетом (1.25), (2.2),
(2.3), (2.7) последовательно получаем
(
)
PT ( δ ) = e − rT E max St ( r , δ ) − ST ( r , δ ) =
0≤ t ≤T
дению PT ( δ ) с заменой S0 на s, T на (T − t ) и
{
FT −t ( s ) = se r (T −t ) e− r (T −t ) Φ ( − d 2 ( δ, t )) −
−e
(2.25)
Итак,
PT ( δ ) = S0 ⎡⎣e
− rT
Ee
MT
−e
−δT
⎤⎦ =
∞
⎡
⎤
(2.26)
= S0 ⎢e − rT ∫ e x p (T , x )dx − e−δT ⎥ .
⎣⎢
⎦⎥
0
Используя (2.9) в (2.26), получаем
2
⎡ 1 ∞
⎪⎧
⎪⎧ ( x − hT )
⎪⎫
−
+ x ⎬ dx −
PT ( δ ) = S0 ⎨e− rT ⎢
exp
⎨
∫
2
2σ T
⎪⎩
⎪⎭
⎪⎩
⎣⎢σ 2πT 0
{
∞
}
x + hT ⎞
− 2 ∫ exp 2 + x Φ ⎛⎜ −
⎟ dx +
⎝ σ T ⎠
σ 0
σ
2h
2hx
∞
⎫⎪
⎧⎪ ( x + hT )2
2hx⎫⎪ ⎤
+ x + 2 ⎬ dx⎥ − e −δT ⎬ . (2.27)
exp
⎨−
∫
2
σ 2πT 0
σ ⎭⎪ ⎦⎥
⎩⎪ 2σ T
⎭⎪
Вычисление интегралов в (2.27) (см. Приложение)
приводит к (2.24). Теорема доказана.
+
1
+
{
I. Утверждение 2 [5]. В случае стандартного опциона продажи, когда
fT ( S ) = max ( K − ST , 0 ) ,
(4.1)
где K – оговоренная цена продажи владельцем опциона рискового актива в момент исполнения T, решение
имеет вид
⎛ ~
⎞
⎛~
⎞
PT ( δ ) = Ke− rT Φ ⎜ d 2 ( δ ) ⎟ − S0 e −δT Φ ⎜ d1 ( δ ) ⎟ ; (4.2)
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛~
⎞
⎛~
⎞
X t (δ) = Ke − r(T −t ) Φ ⎜ d 2 (δ,t ) ⎟ − St e−δ(T −t ) Φ ⎜ d1 (δ,t )⎟ ; (4.3)
⎝
⎠
⎝
⎠
−e −δ(T −t ) Φ ( − d1 ( δ, t ) ) +
γt (δ) = e
− r (T −t )
~
(3.1)
Φ ( −d 2 ( δ, t ) ) −
(4.5)
(
(
(
σ T −t
(
σ T −t
.
(4.7)
~
PT ( δ ) = S0 ⎡⎣e− rT Φ ( −d 2 ( δ ) ) − e−δT Φ ( − d1 ( δ ) )⎤⎦ . (4.8)
βt ( δ ) = 0 .
(3.3)
PT ( δ ) = PT ( δ ) + S0
σ2
e− rT ×
2 ( r − δ)
× ⎡⎣e( r −δ)T Φ ( d1 ( δ ) ) − Φ ( −d 2 ( δ ) )⎤⎦ =
X t ( δ ) = e− r (T −t ) E [ fT ( S ( r , δ ) ) St ] =
∂FT −t ( s )
⎡
( St )⎤⎥ .
⎢⎣ FT −t ( St ) − St
∂s
⎦
(4.6)
d 2 ( δ ) = −d 2 ( δ ) и формула (4.2) принимает вид
Тогда, согласно (2.25), (4.8),
∂FT −t ( s )
( St ) ;
∂s
;
Сравним PT ( δ ) и PT ( δ ) при K = S0 , когда цена
исполнения в случае стандартного опциона равна начальной цене рискового актива. Из (2.22), (2.23), (4.6)
(3.2)
γ t ( δ ) = e − r (T −t )
))
ln ( K St ) − r − δ − σ2 2 (T − t )
−Φ ( −d 2 ( δ, t ) )] ;
= e − r (T −t ) FT −t ( St ) ;
))
ln ( K St ) − r − δ + σ 2 2 (T − t )
~
Доказательство. Из [3] следует
1
BT
⎛ ~
⎞
βt ( δ ) = ( K BT ) Φ ⎜ d 2 ( δ, t ) ⎟ ;
⎝
⎠
и (4.7) следует, что в этом случае d1 ( δ ) = −d1 ( δ ) ,
σ2
e − r (T −t ) ⎡⎣e( r −δ)(T −t ) Φ ( d1 ( δ, t )) −
2 ( r − δ)
βt ( δ ) =
(4.4)
d 2 ( δ, t ) =
−e −δ(T −t ) Φ ( − d1 ( δ, t ) ) +
+
⎛~
⎞
γ t ( δ ) = −e −δ(T −t ) Φ ⎜ d1 ( δ, t ) ⎟ ;
⎝
⎠
~
Φ ( − d 2 ( δ, t )) −
−Φ ( −d 2 ( δ, t ) )]} ;
σ
e − r (T −t ) ⎣⎡e( r −δ)(T −t ) Φ ( d1 ( δ, t )) −
2 ( r − δ)
d1 ( δ, t ) =
σ2
e − r (T −t ) ⎡⎣e( r −δ)(T −t ) Φ ( d1 ( δ, t )) −
+
2 ( r − δ)
Φ ( − d1 ( δ, t ) ) +
2
4. СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ
Теорема 2. Капитал X t ( δ ) и портфель
πt ( δ ) = ( γ t ( δ ) , βt ( δ ) )
определяется формулами
X t ( δ ) = St e
−δ(T −t )
−Φ ( −d 2 ( δ, t ) )]} .
(3.7)
Использование (3.7) в (3.4) – (3.6) приводит к (3.1) –
(3.3). Теорема доказана.
3. ПОРТФЕЛЬ И КАПИТАЛ
− r (T −t )
T на
T − t . Таким образом, получаем
⎡
⎧
⎛
⎛
σ 2 ⎞ ⎞⎫
= S0 e − rT ⎢E exp ⎨ max ⎜ σWt + ⎜ r − δ − ⎟ t ⎟⎬ −
2 ⎠ ⎠⎭
⎣
⎩0≤t ≤T ⎝
⎝
⎧
⎛ σ2 ⎞ ⎫⎤
− e −δT E exp ⎨σWT + ⎜ r − ⎟ T ⎬⎥ =
2 ⎠ ⎭⎦
⎩
⎝
= S0 e − rT ⎡⎣Ee M T − e−δT e rT ⎤⎦ .
Из (2.1) и (4.3) следует, что вычисления по нахождению FT −t ( s ) аналогичны вычислениям по нахож-
(3.4)
(3.5)
(3.6)
= PT ( δ ) + ΔPT ( δ ) .
(4.9)
Из (2.22), (2.23) и свойства Φ ( y2 ) > Φ ( y1 ) при
y2 > y1 следует, что ΔPT ( δ ) > 0 , т.е. PT ( δ ) > PT ( δ ) .
Следовательно, при K = S0 цена опциона продажи с
последействием всегда больше цены стандартного
опциона продажи. Очевидно, что при цене исполне-
219
ния опциона, равной max St , риск его неисполнения
0 ≤ t ≤T
ниже, нежели при цене исполнения K = S0. Поскольку
за меньший риск необходимо больше платить, то этим
и объясняется полученное свойство.
II. Если в случае стандартного опциона капитал
формируется из рисковых и безрисковых активов
( γ t ≠ ( δ) 0, βt ( δ) ≠ 0 ) , причем рисковые активы берутся в долг ( γ t ( δ ) < 0 ) , то в случае опциона с последействием капитал формируется только на основе
рискового актива (βt ( δ ) = 0 ) . Последнее объясняется
тем, что платежная функция зависит только от цены
рискового актива.
III. Теорема 3. Асимптотические свойства решения в следующем:
1. lim γ t ( δ ) = 0 ; lim γ t ( δ ) = ∞ ;
σ→0
Пусть
J2 =
lim X t ( δ ) = ∞ ;
3. lim PT ( δ ) = 0 ; lim PT ( δ ) = ∞ ; lim PT ( δ ) = 0 ;
σ→0
σ→∞
lim PT ( δ ) = ∞ .
S0 → 0
S0 →∞
Доказательство сформулированных результатов
проводится непосредственно с использованием свойств
функции Лапласа:
lim Φ ( x ) = 1 ; lim Φ ( x ) = 0 ; Φ ( x ) + Φ ( − x ) = 1 ;
x →∞
x →−∞
Тогда
v=
J2 =
J1 =
(П.1)
Из сравнения (П.1) с (2.16), (2.19), следует: b = 0 ,
c = 1 , a = hT , d = σ2T . Тогда, согласно (2.19), с учетом (2.3) из (П.1) следует
r − δ σ ⎞⎞
(П.2)
J1 = e( r −δ)T Φ ⎛⎜ T ⎛⎜
+ ⎟⎟ .
2 ⎠⎠
⎝
⎝ σ
}
x + hT ⎞
+ x Φ ⎛⎜ −
⎟ dx .
⎝ σ T ⎠
(П.3)
}
σ2
2h + σ
2
exp
{
2hx
σ2
}
+x
2h
( 2h + σ )
2
⎡ ⎛ h T⎞
⎢−Φ ⎜ − σ ⎟ +
⎣ ⎝
⎠
∞
⎛
σ2 ⎞ ⎡ ( r −δ)T ⎛
r − δ σ ⎞⎞
Φ ⎜ T ⎜⎛
+ ⎟⎟ −
J 2 = ⎜1 −
e
⎟
⎢
2 ⎠⎠
⎝
⎝ σ
⎝ 2 ( r − δ) ⎠ ⎣
r − δ σ ⎞⎞⎤
−Φ ⎛⎜ − T ⎛⎜
− ⎟⎟⎥ .
2 ⎠⎠⎦
⎝
⎝ σ
(П.5)
Пусть
J3 =
∞
2
⎪⎧ ( x − hT )
⎪⎫
−
+ x ⎬ dx .
exp
⎨
∫
2
σ 2πT 0
2σ T
⎪⎩
⎪⎭
1
σ2
( x + hT )2 ⎪⎫ ⎤
⎪⎧2hx
x
(П.4)
+
−
exp
⎨
⎬dx ⎥ .
∫ ⎪ σ2
σ 2πT 0
2σ2T ⎪⎭ ⎥⎦
⎩
Как и при нахождении J1 для вычисления интеграла в
(П.4) применим Утверждение 1. Из сравнения (П.4) с
(2.16), (2.19) следует:
2h
b = 0 , c = 2 + 1 , a = − hT , d = σ2T .
σ
Тогда, согласно (П.2), с учетом (2.3) из (П.4) следует
1
+
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пусть
2hx
и следовательно
Φ ( x ) – непрерывна справа по x.
Экономическая интерпретация этих свойств очевидна: стоимость опциона равна нулю в ситуации, когда предъявлять его к исполнению не имеет смысла;
стоимость опциона резко возрастает, когда он всегда
будет предъявлен к исполнению.
0
{
{
St → 0
St →∞
∫ exp
x + hT ⎞
2hx
u = Φ ⎛⎜ −
⎟ , dv = exp 2 + x dx .
⎝ σ T ⎠
σ
⎧⎪ ( x + hT )2 ⎫⎪
1
du = −
exp ⎨−
⎬ dx ,
σ 2πT
2σ2T ⎪⎭
⎪⎩
2. lim X t ( δ ) = 0 ; lim X t ( δ ) = ∞ ; lim X t ( δ ) = 0 ;
σ→∞
σ2
∞
Воспользуемся формулой интегрирования по частям ∫ udv = uv − ∫ vdu . Возьмем
σ→∞
σ→0
2h
1
σ
∞
2
2hx ⎪⎫
⎪⎧ ( x + hT )
+ x + 2 ⎬ dx . (П.6)
2
σ ⎭⎪
2σ T
⎩
∫ exp ⎨⎪−
2πT
0
Из сравнения (П.6) с (П.4) следует, что вычисление J3
аналогично вычислению интеграла в (П.4), т.е., согласно (П.5),
⎛
⎛ ( r − δ ) σ ⎞⎞
(П.7)
J 3 = e( r −δ)T Φ ⎜ T ⎜
+ ⎟⎟ .
2 ⎠⎠
⎝
⎝ σ
Использование (П.2), (П.5), (П.7) в (2.27) с учетом
(2.22), (2.23) и свойства 1 = Φ ( z ) + Φ ( − z ) приводит к
(2.24).
ЛИТЕРАТУРА
1. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. 696 с.
2. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 568 с.
3. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80 – 129.
4. Ширяев А.Н.Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1
Вып. 5. С. 780 – 820.
5. Аникина А.В., Демин Н.С. Нахождение и анализ свойств цены, капитала и портфеля в случае непрерывных опционов купли и продажи с
выплатой дивидендов // Международная конференция «Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения»: Труды. Минск: БГУ, 2005. С. 27 – 35.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного
университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 20 мая 2005 г.
220
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
368 Кб
Теги
последействии, европейской, выплате, опциона, дивиденды, продажи, исследование, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа