close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование одного обобщения неравенства Виртингера вариационными методами.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
Близорукова Марина Сергеевна
к. ф.-м. н., доцент
Институт математики и механики
УрО РАН
Россия, Екатеринбург
e-mail: msb@imm.uran.ru
Marina Blizorukova
candidate of phys.-math. sciences,
senior lecturer
Institute of Mathematics and Mechanics
of UrD RAS
Russia, Ekaterinburg
e-mail: msb@imm.uran.ru
УДК 517.977
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ВИРТИНГЕРА
ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ 1
c
°
Г. П. Бочкарјв
Ключевые слова: интегральное неравенство; оператор; W-подстановка; квадратично суммируемая
функция; сопряжјнный оператор; собственное значение; спектральный радиус.
Аннотация: На примере неравенства Виртингера рассматривается применение методов, разработанных Пермским семинаром по ФДУ, к доказательству интегральных неравенств.
При исследовании неравенства Виртингера [2, с. 245]
Z?
Z?
x2 (t)dt 6
0
Z?
x?2 (t)dt,
0
x(t)dt = 0
(1)
0
удобно рассмотреть вариационную задачу в H 1 = H 1 [a, b], пространстве функций, чья вторая
производная принадлежит пространству L2 = L2 [a, b], квадратично суммируемых функций:
Zb і
?x =
Zb
ґ
x? (t) ? p(t)x (t) dt ? min, x(t)dt = 0.
2
2
a
(2)
a
Если эта задача имеет решение, то значение
минимума функционала
равно 0.
n
o
Rb
1
Обозначим через D = D[a, b] = x ? H [a, b] | a x(t)dt = 0 , AC = AC[a, b] - пространство
абсолютно непрерывных функций. Следуя подходу, разработанному Пермским семинаром [1],
сведјм рассматриваемую проблему к задаче в L2 [a, b] с помощью подстановки, определяющей
взаимно однозначное соответствие между пространствами D и L2 (x ? D, z ? L2 ):
Zb
x?(t) = z(t),
x(t)dt = 0,
(3)
a
1
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ ќ 07-01-96060.
663
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
Zb
G(t, s)z(s)ds = (Gz)(t),
x(t) =
a
где G(t, s) - функция Грина задачи (3).
Таким образом для z ? L2 имеем следующую задачу на безусловный экстремум:
Zb
?1 z =
і
ґ
z(t) z(t) ? (G? P? Gz)(t) dt ? min .
(4)
a
Здесь
t?a
(G y)(t) =
b?a
Zb
?
Zt
y(s)ds ?
a
y(s)ds
(5)
a
сопряжјнный к оператору G оператор, а P? оператор умножения на p : (P? y)(t) = p(t)y(t).
В [1] указаны необходимые и достаточные условия существования минимума для задач типа (4). Для нахождения условий существования минимума задачи (2) необходимо следующее
утверждение.
У т в е р ж д е н и е . Пусть w(t) ? AC . Тогда из G? y = w следует w(a) = w(b) = 0, y(t) =
= ?w0 (t) + C .
Из этого утверждения следует, что
G? P? Gz = z ? p(t)(Gz)(t) = ??z 0 (t) + C(6), z(a) = z(b) = 0.
Для доказательства неравенства (1) имеет смысл сузить задачу: положим p(t) = p = const 6=
6= 0. При исследовании выражения (6) выяснилось, что C = 0 и:
z(t) = ?
?z 00 (t)
.
p
(7)
Из формулы (7) получаем задачу на собственные значения для дифференциального уравнения
второго порядка:
p
z 00 (t) = ? z(t), z(a) = z(b) = 0.
?
Еј решение:
(b ? a)2
(b ? a)2
?=
p(n
?
Z)
?
?
=
p.
max
? 2 n2
?2
Так как операторы G и G? компактные, а для вполне непрерывного оператора справедливо
утверждение о том, что его спектральный радиус не больше максимального по модулю собственного значения, то нижеследующее выражение гарантирует единственность решения задачи (2)
?max 6 1 ? p 6
?2
.
(b ? a)2
(8)
Если в (8) подставить a = 0, b = ?, p = 1, то можно убедиться в справедливости неравенства
Виртингера.
ЛИТЕРАТУРА
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.
664
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
2. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1985. 280 с.
Abstract: On Virtinger's inequality as an example it is considerated using techniques, developed by Perm
FDE seminar, to proof of integral inequalities at this article.
Key words: integran inequality; operator; W-substitution; quadratic summable function; conjugate operator;
eigenvalue; spectral radius.
Бочкарјв Григорий Павлович
м.н.с.
Пермский государственный
технический университет
Россия, Пермь
e-mail: grpb@list.ru
Grigoriy Botschkaryov
younger scientic employee
Perm State Technical university
Russia, Perm
e-mail: grpb@list.ru
УДК 517.929
ON THE SOLVABILITY OF RESONANCE BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR
FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MONOTONE OPERATORS 1
c
°
E. Bravyi
Key words: periodic boudary value problem; resonance boudary value problem; functional dierential
equations; Favard constants, Green function.
Abstract: For a wide class of resonance boundary value problems for scalar functional dierential equations
with positive operators necessary and sucient conditions of the unique solvability are obtained.
Periodic boundary value problems for dierent functional dierential equations have attracted great
attention during recent years (see [13] and lists of references). On the basic of the results of [2] some
conditions of solvability for periodic problems were obtained in terms of maxima and minima of some
polynomials. The optimality of solvability conditions and a recurrence relation for these maxima and
minima were proved for all orders n only for some additional suppositions.
Here necessary and sucient conditions of uniquely solvability for some classes of resonance boundary
value problems (including periodic ones) are obtained.
Consider the boundary value problem for a linear scalar equation:
x(n) (t) = (T + x)(t) ? (T ? x)(t) + f (t),
`i x = ci , i = 1, . . . , n ? 1,
t ? [0, 1],
`n x ? x(n?1) (0) ? x(n?1) (1) = cn ,
(1)
(2)
where n > 2; ci ? R, i = 1, . . . , n; f ? L[0, 1]; the linear operators T +/? : C[0, 1] ? L[0, 1] are positive;
the functionals
n?1
ґ
Xі
Aij x(j) (0) + Bij x(j) (1) , i = 1, . . . , n ? 1,
(3)
`i x ?
j=0
1
Supported by Grant 07-01-96060 of The Russian Foundation for Basic Research.
665
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
428 Кб
Теги
обобщение, виртингера, одного, вариационных, методами, исследование, неравенства
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа