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Исследование оптимальных по степени устойчиоости решений при пропорционально-интегральном управлении.

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”ƒ 62-83.681.325.2
»——Ћ≈ƒќ¬јЌ»≈ ќѕ“»ћјЋ№Ќџ’
ѕќ —“≈ѕ≈Ќ» ”—“ќ…„»¬ќ—“» –≈Ў≈Ќ»…
ѕ–» ѕ–ќѕќ–÷»ќЌјЋ№Ќќ-»Ќ“≈√–јЋ№Ќќћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»»
(1)
(2)
(3)
ј.ћ. Ўубладзе , ¬.≈. ѕопадько , —.». узнецов , ј.ј. якушева
(2)
(1)
(2)
»нститут проблем управлени¤ им. ¬.ј. “рапезникова –јЌ, г. ћосква;
–оссийский государственный университет нефти и газа им. ».ћ. √убкина, г. ћосква;
(3)
ќјќ ЂЌ»»“еплоприборї, г. ћосква
???л?д????? ????м?ль??? ?? ??????? ?????ч?????? ??ш???? ??? ??-?????л???? д???м?ч????м? ?????м?м?, ???????????ю??м??? ????д???ч??м? ????ц??м? ? ??л???м?м ??л???? ??????? ? ч??л???л?. ????????, ч?? ?????????? ??мь ?л?ч??? д????????? ?
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¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
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12
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C O N T R O L S C I E N C E S є 2 ? 2008
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
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(3)
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1
ѕ –ќ ЅЋ≈ ћџ ”ѕ –ј ¬Ћ≈ Ќ»я
є 2 ? 2008
(4)
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k? = k??? ? ????????? (4) ????????????ч?????
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2
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i=1
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(i ? 1)
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D1[n + 1 ? n
g ? 2n k ]
(6)
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??? ? ?????? ??л??л???????, ng ? ?i ? ?????????
??л???г? ????? ? ??м?л????? ??????????? ???
?????? ????м?ль??г? ??ш????, ?????л???????
?? м??м?? ???. ???л? ??? ??м?л????? ??????????? ?????? ????д?л????? ?????????м
n k1
nk =
? ?i .
i=1
????м???????м?ю ??д?ч? ???л?д?????? ????м?ль??? ??ш???? ??д?м ??ш??ь ?? ?????? ????ль?????, ??л?ч????? ? ??????? [6, 7], ? ??м??ью м?ш????? м???д?? ?ц???????? ?????ч?????? ?????м
?????л????. ??? ???м ??м ????д?????? ?л?д?ю??? м?д???ц????????? г?д?г??? ?????л??? ??
?????? [6] ????????????ч????г? ??л???м? (5), ?
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(7)
??? ? ???ч??? м?д???ц????????? г?д?г???
(7) ??д?? ??????????????ь ?????ч???м? ??л???м?
(5) (??л???м? ? ?????м? ? л???? ??л??л???????),
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??? ??? ??м?ч?л??ь, ??? ??-?????л???? ? ?????м? (1), (2) м???? ?м??ь м???? ?д?? ?? ??м? ????м?ль??? ??ш????, ??? ??????? ??????м? ?????м? ????????????ч????г? ??л???м? (4) м????
???ь ?? ???? д? ш???? ??????, ?л????ш?? ? м??м?? ??? ? ?м?ю??? ?д???????? д? ??? ??????????. ???л?д??м ???д?? ?? ???.
13
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
1. —Ћ”„ј… 1:
ƒ≈…—“¬»“≈Ћ№Ќџ≈ ќ–Ќ» ќѕ“»ћјЋ№Ќќ√ќ –≈Ў≈Ќ»я
? ???м ?л?ч?? ?м?ю? м???? ??л????
ng = 3,
nk = 0
(8)
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(4) ? (5) ??л????? ?д?? д????????ль??? ?????ь
????????? 3. ??гл???? ?????? [4] ??л???? (8) м?г??
????л???ь?? ??ль?? ???
a *i (I??, k???, k???) = 0,
(0)
? j (I??, k???, k???) > 0,
(9)
гд? 1 < j < n ? 2, i = 1, 2, 3, a *i ????д?л?ю???
(0)
?????????м (6), ? j (I??, k???, k???) ? ????д?л???л? ?????ц? ??л???м? (5). ??? ????л????? ??л???? (9) д??????ч????ь ??л???? ????м?ль?????
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????? ??л???м? (5) ????? ???ч???ю ??????г?
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?1i, 2 ? ????? ?????? ???????д??? ??л???м? (5)
??? ?л?д??? ?? ????????? (5) ? (9), м???м?ль??? ??????ь ??? ? ? Re0(?2) ? ?м. ???м?л? (7) ?
2
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D1[n + 1 ? n
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a *i ,
k?, k?) ? 0 ???? ?? дл? ?д??г?
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??л???м? (5).
ng = 3, nk = 0.
?? ???. 1 ?л?д???, ч?? лю??? ??м?????? ???ч???? k??? ?л? k??? ?????д?? ? ????л???ю ??????
??л???м? (5) ? ?????? ??л??л???????, ?. ?. ?
?м??ьш???ю ??????? ?????ч?????? I ?????м? (1),
(2). ????м ??????м, ??ч??л????? ?? ???м?л?м (6)
? (9) ???ч???? k??? ? k??? г????????ю? ? ????м???????м?м ?л?ч?? м????м?ль??ю ??????ь ?????ч?????? ?????м? (1), (2).
2. —Ћ”„ј… 2:
ƒ¬ј ƒ≈…—“¬»“≈Ћ№Ќџ’ ќ–Ќя
» ќƒЌј ќћѕЋ≈ —Ќќ —ќѕ–я∆≈ЌЌјя ѕј–ј ќ–Ќ≈…
? ???м ?л?ч?? ?м?ю? м???? ??л????
ng = 2,
?ю??? ????? ???ч???? k??? ? k??? ? ?????л???? (2), ?? ?д??л??????ю??? ??л????м (9), ?????д?? ? ?м??ьш???ю ??????? ?????ч?????? I?? (3),
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) ,
n = 8,
2
? D1 ( n + 1 ) ( ? 1, k ???, k ??? )
----------------------------------------------------------------- = 0.
2
?? 1
a *i (I??,
g ? 2n k ]
nk = 1,
?1 = 1,
(10)
??? ??????? ??????м? ?????м? ?????м? ??л???м?? (4) ? (5) ??л?ю??? ?д?? д????????ль??? ?????ь ????????? 2 ? ?д?? ??м?л????? ???????????
???? ??????. ??гл???? ?????? [6] ??л???? (10) м?г?? ????л???ь?? ??ль?? ???
a *i (I??, k???, k???) = 0,
(0)
(0)
? n ? 2 (I??, k???, k???),
? j (I??, k???, k???) > 0,
(11)
гд? 1 < j < n ? 3, a *i ????д?л?ю??? ?????????м (6),
(0)
Im
0,02
0,015
0,01
0,005
0
?0,005
?0,01
?0,015
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
???. 1. ???????? ??????????? ??????? ??? ?????? 1
14
Re
i = 1, 2, ? j (I??, k???, k???) ? ????д?л???л? ?????ц? ???м??????? 1 < j < n ? 2 ??л???м? (5). ???
?????????, ?? ??????? ????д???? ???ч???? I??,
k??? ? k???, ? (n ? 3) ??????????? (11) ??л?ю???
??????д?м?м? ??л????м? м????м?ль??? ???????
?????ч?????? ?????м? (1), (2). ??д?????д????м
???м? ?л???? г?д?г??? (7), ???????????? ?? ???. 2
? ??л?ч????? ??ш????м ????????? (11). ?????
г?д?г??? ?? ????????????? ?????м? м????м?ль???
??????? ?????ч??????, ??? ??? ????м??????м ????м ?????ц?? ????м????? k? ? k? ??ч?л? ????д???? ??м?л?????? ?л??????? ?1 ? лю??ю ??ч?? ??л???? A ??л?ч??м г?д?г??? (7), ???????????ю???
?????ч???? ?????м?. ?????м? ??????ь ?????ч?????? (3) ?????м? (2) ? ????м???????м?м ?л?ч?? м???? ???ь ???л?ч???.
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јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
??????, ??????д???л????? ??????л???ю г?д?г??-
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Im„10
2
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?8
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?4
?3
?2
?1
0 Re„10?6
A
???. 2. ???????? ?? ??????????? ??????? ??? ?????? 2
Im
0,1
0,05
0
?0,05
?0,02
2
?? Zn0(i?) ??? ? = 0, (Re1( ? 1 ), Im1( ? 1 )) ? ??????,
??????д???л????? ??????л???ю г?д?г???? Zn0(i?)
??? ? = ?1.
?0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
Re
???. 3. ???????? ??????????? ??????? ??? ?????? 2
??д?г???, ???д????л????? ?? ???. 2, ??л?ч??
дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1 [n + 1 ? n
g ? 2n k
6
] (?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) ,
n = 8, ng = 2, nk = 1, ?1 = 1, ?1 = 0,08.
?л? ??л?ч???? д??????ч??? ??л???? ????м?ль????? ????? ? ??л????м (11) д??????ь ??л???? ??
??????л???? г?д?г???? ? ??ч??? ??????ч???? ?м
??ч?л? ????д????:
2
?ReD 1 ( n + 1 ) ( i? )
2
гд? Re1(? ) = -----------------------------------------,
2
?( ? )
?( ? ImD 1 ( n + 1 ) ( i? ) )
Im1(?2) = ------------------------------------------------------- , (Im1(0), ?Re1(0)) ?
2
?( ? )
ѕ –ќ ЅЋ≈ ћџ ”ѕ –ј ¬Ћ≈ Ќ»я
є 2 ? 2008
D1[n + 1 ? n
g ? 2n k ]
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) ,
n = 9, ng = 2, nk = 1, ?1 = 1, ?1 = 0,6.
?? ???. 3 ?л?д???, лю??? ??м?????? ???ч????
k??? ?л? k??? ?????д?? ? ???????ч?????? ??л???м? (5). ????м ??????м, ????л????? ??л???? (11) ?
(12) ??????ч????? ? ????м???????м?м ?л?ч?? м????м?ль??ю ??????ь ?????ч?????? ?????м? (1), (2).
2
?(Im1(0), ?Re1(0)), (Re1( ? 1 ), Im1( ? 1 ))? < 0, (12)
?1
?? ???. 2 ?л?д???, ч?? дл? г?д?г???? ??л????
(12) ?? ????л??????.
??????м, ч?? ??л???? (11) ? (12) ? ????м???????м?м ?л?ч?? ??л?ю??? д??????ч??м? ??л????м?
????м?ль????? (3). ??? ?л?д??? ?? ??л???? (11), ??
м??м?? ??? ?л??????? ?1 ?????л????? ??л????
?????ь ????????? 2 ? ?д?? ч???? м??м?? ??м?л????? ??????????? ???? ??????, ????ль???
????? л???? л???? м??м?? ???. ?л? ??г?, ч????
д?? ??л???? ????? ??м??????м ???ч???? k? ? k?
?д?????ь ?л??? ? ч???? ??? ???м ?? ?????л??ь ????? ч???? м??м?? ??м?л????? ??????????? ????
??????, ??????д?м? ??ч?л? ????д???? ?л???????
?1 ??м?????ь ? ??л???ь м??д? ч???ью г?д?г????,
?????д????г? д? ?????г? ??????ч???? ?м м??м??
???, ? ??м?? м??м?? ??ью. ?? ???. 2 ??? ??л???ь A,
гд? ??ч??? ??????ч???? ??л????? ??ч?л? ????д????. ?????д?? ??м????ь, ч?? ??? ????л????? ??л???? (12) г?д?г??? Zn0(i?) (7) ? ??????????? ч?????? ? = ?1 ?? ????д??? ? ?г????????ю ??ш? ??л???ь. ?????м? лю??? ????м?????? ?????? ?л???
?????д?? ? ?д??г? ??м?л????? ??????????? ????
ч???? м??м?? ?????? ??????. ?л?д?????ль??,
?д?????ь ????м ??м?????? ???ч???? k? ? k? ???
????м???????м?? ????? ?л??? ??? ????л?????
??л???? (12) ?????м????. ?? ???г? ?л?д???, ч?? ??л???? (11) ? (12) ??л?ю??? д??????ч??м? ??л????м? ????м?ль????? ? ?л?ч?? 2.
?? ???. 3 ????????? г?д?г??? (7), ???????????ю??? ????м?ль??м? ?? ??????? ?????ч?????? ??ш???ю ? ?д??л??????ю??? ??л????м (11) ? (12).
?? ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
3. —Ћ”„ј… 3:
ќƒ»Ќ ƒ≈…—“¬»“≈Ћ№Ќџ… ќ–≈Ќ№
» ќƒЌј ќћѕЋ≈ —Ќќ —ќѕ–я∆≈ЌЌјя ѕј–ј ќ–Ќ≈…
? ???м ?л?ч?? ?м?ю? м???? ??л????
ng = 1,
nk = 1,
?1 = 1,
(13)
15
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
??? ??????? ??????м? ?????м? ?????м? ??л???м?? (4) ? (5) ??л?ю??? ?д?? д????????ль??? ?????ь ? ?д?? ??м?л????? ??????????? ???? ??????. ??гл???? ?????? [6] ??л???? (13) м?г?? ????л???ь?? ??ль?? ???
a *i (I??, k???, k???) = 0,
(0)
? n ? 1 (I??, k???, k???) = 0,
(0)
? j (I??, k???, k???) > 0,
Im
0,4
0,2
0
(14)
?0,2
гд? 1 < j < n ? 2, a *i ? ????д?л????? ?????????м (6),
?0,4
(0)
? j (I??, k???, k???) ? ????д?л???л? ?????ц? ???м??????? 1 < j < n ? 1 ??л???м? (5). ???? ????????? (14) ??д??????ч?? дл? ?????д???? ???? ??????????? I??, k??? ? k???. ????ь? ??д????ю??? ????????? м???? ???ь ??л?ч??? ?? ??????????? ?
?????м??????? ??м?????? ??ль?? ???ч???? k??? ?
?????л???? (2) ?????м???? ???л?ч??ь ??????ь
?????ч?????? ?????м? (1), (2). ? ????м???????м?м
?л?ч?? ????? ?????ц?? ??д??, ??гд? г?д?г??? (7)
??л???м? (5) ???????? ? ??ч?л? ????д???? м??м??
???. ????? ???? ?м??? м???? ??? ????л?????
2
??л???? Re1( ? 1 ) = 0 ?? ??????г? ?л?д???, ч?? ??л???м
2
2
2
D 1n (? ) = Im0(? ) + i?Re1(? ),
1
(15)
гд? n1 = 2[(n + 1)/2] ? 1, [?]? ц?л?? ч???ь ч??л?,
?м??? ?? ?? ??м?л????? ??????????ю ???? ??????, ч?? ? ????д??? ??л???м (5). ?????м? ? ????м?ль??м ?л?ч?? ??????дл??? ?????????
(0)
(I??,
1?1
?n
(0)
(I??,
1?1
гд? ? n
k???) = 0,
(16)
k???) ? ????д?л???ль ?????ц? ???-
м??????? n1 ? 1 ??л???м? (15).
Im
0,1
?0,6
?0,1 ?0,05
0
0,05
0,3 0,35
Re
?? ??л???? (14) ? (16) м???? ????д?л??ь ???
??????????? ????м???? I??, k??? ? k???. ?? ??л????
(14) ? (16), ??? ? ? ???д?д???м ?л?ч?? ??л????
(11), ??л?ю??? ??????д?м?м? ??л????м? ????м?ль?????. ??д?????д????? ??? г?д?г????м (7)
??л???м? (5), ???????????м ?? ???. 4, дл? ??????г? ??л???? (14) ? (16) ????л????, ?? ?ч???д??,
ч?? ???л?ч????м ????м????? k? ? k? ??л???м (6)
м???? ???ь ?д?л?? ?????ч???м.
??д?г??? ???. 4 ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1[n + 1 ? n
g ? 2n k ]
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) ,
n = 8, ng = 1, nk = 1, ?1 = 1, ?1 = 0,32.
???????ч??? ??л???? ????м?ль????? м????
??л?ч??ь д????л????м ? ??л????м (14) ? (16) ??л???? ?? ??????л???? г?д?г???? ? ??ч?? ??????ч????
?м ?? ч?????? ?1 ??ч?л? ????д????. ??? ??????л???? д?л??? ???ь ?????????л???? ??????л???ю
м??м?? ???, ч?? ?м??? м???? ??? ????л????? ???????????
2
Im1( ? 1 ) < 0,
0,06
(17)
2
гд? ????ц?? Im1(? ) ????д?л??? ?????????м (12).
0,04
0,02
0
?0,02
?15
?10
?5
0
Re„10?3
??л???? (14), (16) ? (17) ??л?ю??? д??????ч??м? ??л????м? ????м?ль????? ? ????м???????м?м
?л?ч??. ?? ???. 5 ????????? г?д?г??? (7), ???????????ю??? ????м?ль??м? ?? ??????? ?????ч?????? ??ш???ю ? ?д??л??????ю??? ??л????м (14),
(16) ? (17).
?? ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1[n + 1 ? n
???. 4. ???????? ????????????? ??????? ??? ?????? 3
16
0,2 0,25
???. 5. ???????? ??????????? ??????? ??? ?????? 3
0,08
?0,01
0,1 0,15
g ? 2n k ]
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1)6,
n = 8, ng = 1, nk = 1, ?1 = 0,72.
C O N T R O L S C I E N C E S є 2 ? 2008
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
4. —Ћ”„ј… 4:
ќƒ»Ќ ƒ≈…—“¬»“≈Ћ№Ќџ… ќ–≈Ќ№
» ƒ¬≈ ѕј–џ ќћѕЋ≈ —Ќќ —ќѕ–я∆≈ЌЌџ’ ќ–Ќ≈…
0,015
? ???м ?л?ч?? ?м?ю? м???? ??л????
ng = 1,
nk = 2,
?1 = 1,
?2 = 2,
Im
0,02
(18)
??? ??????? ??????м? ?????м? ?????м? ??л???м?? (4) ? (5) ??л?ю??? ?д?? д????????ль??? ?????ь ? д?? ??м?л????? ??????????? ???? ??????.
??гл???? ?????? [6] ??л???? (18) м?г?? ????л???ь?? ??ль?? ???
0,01
0,005
0
?2
?1,5 ?1 ?0,5
0
0,5
1
1,5
2
?3
Re„10
a *i (I??, k???, k???) = 0,
(0)
(1)
? n ? 3 (I??, k???, k???) = ? n ? 3 (I??, k???, k???) = 0,
(0)
? j (I??, k???, k???) > 0,
(19)
гд? 1 < j < n ? 4, a *i ????д?л????? ?????????м (6),
(0)
(1)
???. 7. ???????? ??????????? ??????? ??? ?????? 4
??д?г??? ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1 [n + 1 ? n
g ? 2n k ]
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1)6, n = 10,
? n ? 3 (I??, k???, k???), ? n ? 3 (I??, k???, k???) ? ?????-
ng = 1, nk = 2, ?1 = ?2 = 1, ?1 = 0,46, ?2 = 0,65.
??? ? ????ч??? ????д?л???л? ?????ц? ??л???м?
(5), ????????? ? ???г? [7]. ??? ?????????, ?? ??????? ????д???? I??, k??? ? k??? ? (n ? 4) ???????-
????м?ль????ь ????? ?????м? ?м??? м???? ???
????л????? ?л?д?ю??? ??????????:
???? ? ??л????? (19) ??л?ю???, ??? ? ? ????м???????? ?л?ч??? 2 ? 3, ??????д?м?м? ??л????м? м????м?ль??? ??????? ?????ч?????? ?????м? (1), (2).
?? ???. 6 ????????? г?д?г??? ??л???м? (5), ??????????г? ?? ??л???? (19), ?? ??????? ?? ??л????? г?д?г????м ????м?ль??? ?????м?. ?ч???д??,
ч?? ???л?ч????м k??? ? ?м??ьш????м k??? ??л???м (5) м???? ???ь ?д?л?? ?????ч???м.
2
2
2
2
Re1( ? 1 ) > 0, Re1( ? 2 ) < 0,
Re1( ? 1 ) < 0, Re1( ? 2 ) < 0,
гд? ?1 < ?2 ? ч??????, ?? ??????? г?д?г??? ????-
?????? ??ч?л? ????д????, ????ц?? Re1(?2) ????д?л??? ??? ????м??????? ?л?ч?? 2. ?? ???. 7 ????????? г?д?г??? ??л???м? (5) ????м?ль??? ?????м?.
?? ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1 [n + 1 ? n
g ? 2n k ]
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) , n = 10,
ng = 1, nk = 2, ?1 = ?2 = 1, ?1 = 0,3, ?2 = 0,5.
Im
0,08
5. —Ћ”„ј… 5:
ƒ¬≈ ѕј–џ ќћѕЋ≈ —Ќќ —ќѕ–я∆≈ЌЌџ’ ќ–Ќ≈…
0,06
? ???м ?л?ч?? ??????дл??? ??л????
0,04
nk = 2,
0,02
0
?0,02
?16
?14 ?12
?10
?8
?6
?4
?2
0 Re „10?3
?1 = 1,
?2 = 2,
(20)
??? ??????? ??????м? ?????м? ?????м? ??л???м?? (5) ? (6) ??л?ю??? д?? ??м?л????? ??????????? ???? ??????. ??л???? (20) м?г?? ????л???ь??
??ль?? ???
(0)
(1)
? n ? 2 (I??, k???, k???) = ? n ? 2 (I??, k???, k???) = 0,
???. 6. ???????? ????????????? ??????? ??? ?????? 4
ѕ –ќ ЅЋ≈ ћџ ”ѕ –ј ¬Ћ≈ Ќ»я
є 2 ? 2008
(0)
? j (I??, k???, k???) > 0,
(21)
17
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
(0)
(1)
гд? 1 < j < n ? 3, ? n ? 3 (I??, k???, k???), ? n ? 3 (I??,
k???, k???) ? ???????? ? ????ч??? ????д?л???л?
?????ц?. ?? д??? ????????? (21) ?????м???? ????? ??? ????м???? I??, k??? ? k???. ?л? ??л?ч????
??????д?м?г? ????ь?г? ????????? ?????ль???м??
????ль????м? ?????? [6], ?? ??????? ?л?д???, ч??
??? ??л????? (20) ?м??? м???? ??????? г?д?г???? ?
??ч??? ??????ч???? ?м ??ч?л? ????д???? ?? ч??????? ?1 ? ?2. ?????м? ?????????? ??л???м
2
2
Im
0,04
0,03
0,02
0,01
0
?0,01
2
S1?(? ) = ?Re1(? ) + Im1(? ),
?0,02
гд? ? ? ???г??? ?гл? ???л??? ??????ль???, ?????м? ??????г? ????? ??л?ю??? ? = ?1 ? ? = ?2, ? ??л?
ч?г? ??л???м ?? i?
Dn0?(i?) = Im0(?2) + i?S1?(?2), n0 = 2[n/2],
(22)
?0,03
?15
?10
?5
0
5
?3
Re „10
???. 9. ???????? ??????????? ??????? ??? ?????? 5
2
гд? Im0(? ) ?? ????????? (7), ?м??? ????? ??? ???
?? ? = ±?1 ? ? = ±?2. ? ????? ? ???м ???????ю???
??????дл???м? д?? ?л?д?ю??? ?????????:
(0)
(I??,
0 ? 3, ?
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(i)
гд? ? n
0 ? 3, ?
(1)
(I??,
0 ? 3, ?
k???, ?) = ? n
k???, ?) = 0,(23)
(I??, k???, ?), i = 0, 1 ? ???????? ? ??-
??ч??? ????д?л???л? ?????ц? ??л???м? (22).
????м ??????м, м? ?м??м ч????? ?????????
(21) ? (23) ? ч????ьм? ??????????м? I??, k???, k???
? ?. ??? ? ? ???д?д???м ?л?ч??, ??л???? (21) ? (23)
??л?ю??? ??????д?м?м? ??л????м? м????м?ль??? ??????? ?????ч?????? ?????м? (1), (2). ??
???. 8 ????????? г?д?г??? ??л???м? (6), ??????????г? ?? ??л???? (21) ? (23), ?? ??????? ??
??л????? г?д?г????м ????м?ль??? ?????м?. ??
??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1[n + 1 ? n
g ? 2n k ]
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) , n = 9,
ng = 0, nk = 2, ?1 = ?2 = 1, ?1 = 0,03, ?2 = 0,23.
?л? ????м?ль????? ????? ?????м? д??????ч??
????л????? ?л?д?ю??г? ?г????ч???? ?? ???л????? ???????д????:
2
2
2
2
?(Re1( ? 1 ), Im1( ? 1 )), (Re1( ? 2 ), Im1( ? 2 ))? < 0,
2
2
? ??????м ????ц?? Re1(? ) ? Im1(? ) ????д?л???
2
Im „10
2
1
0
?1
?2
?3
?4
0
1
2
3
4
5
6
7
Re„10
?4
г???? Zn0(i?) ??? ? = ?1 ? ? = ?2 ??????????????,
?1 ? ?2 ? ч??????, ?? ??????? г?д?г??? (7) ?????д?? ч???? ??ч?л? ????д????. ?? ???. 9 ????????? г?д?г??? ??л???м? (5) ????м?ль??? ?????м?.
?ю??? ??м?????? ??л?????? ???г? г?д?г???? ?
??????л???? ??????ль??г? ??????? ????м ?????ц?? ???ч???? k??? ? k??? ?????д?? ? ??????д? д???
??? ??????? ?????? ?????? ? ?????ю ??л??л??????ь. ??м?????? ? ??????л????, ??????д???л????м ???м? ???????, ?????д?? ? ??????д? ?д??? ??
??? ? ?????ю ??л??л??????ь.
??д?г??? ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1[n + 1 ? n
???. 8. ???????? ????????????? ??????? ??? ?????? 5
18
2
(Re1( ? 2 ), Im1( ? 2 )) ? ??????? ??????л???? г?д?-
2
?1
2
????? (? ??л????? (12) ? (17)), (Re1( ? 1 ), Im1( ? 1 )) ?
?3
g ? 2n k ]
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) ,
n = 9, ng = 0, nk = 2, ?1 = 0,05, ?2 = 0,41.
C O N T R O L S C I E N C E S є 2 ? 2008
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
6. —Ћ”„ј… 6:
ќƒЌј –ј“Ќјя ѕј–ј
ќћѕЋ≈ —Ќќ —ќѕ–я∆≈ЌЌџ’ ќ–Ќ≈…
? ???м ?л?ч?? ??????дл??? ??л????
nk = 1,
?1 = 2,
(24)
??? ??????? ??????м? ?????м? ?????м? ??л???м?? (5) ? (6) ??л????? ??????? ??м?л????? ??????????? ???? ??????. ??л???? (24) м?г?? ????л???ь?? ???
(0)
(1)
? n ? 2 (I??, k???, k???) = ? n ? 2 (I??, k???, k???) = 0,
(0)
? n ? 2 (I??, k???, k???) > 0,
гд? 1 < j < n ? 3,
(0)
? n ? 2 (I??,
(25)
k???, k???) ?
2
2
D 1 ( n ? 1 ) (I??) = Re1(? ) + i?Im1(? ),
2
D1[n + 1 ? n
(26)
2
гд? ????ц?? Re1(? ) ? Im1(? ) ????д?л??? ?????.
??л???м (26) ?м??? ?????ь ?? ??? ?? ч??????, ч??
? ??л???м (5). ?????м? ??????дл??? ??л????
(0)
? 1 ( n ? 2 ) (I??) = 0,
(27)
(0)
гд? ? 1 ( n ? 2 ) (I??) ? ???????? ????д?л???ль ?????ц?
??л???м? (26). ???? ????????? (25) ? (27) д??????ч?? дл? ????д?л???? ????м????? I??, k??? ? k???,
Im „10?3
10
9
8
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) ,
7. —Ћ”„ј… 7:
“–» ѕј–џ ќћѕЋ≈ —Ќќ —ќѕ–я∆≈ЌЌџ’ ќ–Ќ≈…
? ???м ?л?ч?? ??????дл??? ??л????
nk = 3,
?1 = ?2 = ?3 = 1,
(28)
??? ??????? ??????м? ?????м? ?????м? ??л???м?? (4) ? (5) ??л?ю??? ??? ???? ??м?л?????-??????????? ??????. ??л???? (28) м?г?? ????л???ь?? ???
(0)
(1)
? n ? 4 (I??, k???, k???) = ? n ? 4 (I??, k???, k???) =
(2)
= ? n ? 4 (I??, k???, k???) = 0,
(0)
? j (I??, k???, k???) > 0,
(0)
(29)
(1)
гд? 1 < j < n ? 5, ? n ? 4 (I??, k???, k???) = ? n ? 4 (I??,
(2)
k???, k???) = ? n ? 4 (I??, k???, k???) ? ???????? ? ????ч??? ????д?л???л? ?????ц?. ??л???? (29) ??л?ю??? ??????д?м?м? ??л????м? м????м?ль???
??????? ?????ч?????? ?????м? (1), (2). ?? ???. 11
????????? г?д?г??? ??л???м? (5), ??????????г?
??? ????л????? ??л???? (29), ?? ??????? ?? ??л????? г?д?г????м ????м?ль??? ?????м?.
?? ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
D1[n + 1 ? n
7
g ? 2n k ]
n = 9, ng = 0, nk = 1, ?1 = 2, ?1 = 0,2.
(1)
? n ? 2 (I??,
k???, k???) ? ???????? ? ????ч??? ????д?л???л?
?????ц?. ?л? ?????д???? ???? ????м????? I??, k???
? k???, ??? ? ? ?????? [7], ???д?м ??л???м
(1)
???ч?м ??л???? (25) ? (27), ??? ? ? ?л?ч?? 1, ??л?ю??? д??????ч??м? ??л????м? ????м?ль?????.
???ч?л? ?? ????????? (27) ????д???? ????м?ль???
???ч???? ??????? ?????ч?????? I??, ????м ?? ????????? (25) ? ????м???? k??? ? k???. ?? ???. 10
????????? г?д?г??? ??л???м? (5) ????м?ль???
?????м?. ?? ??л?ч?? дл? ??л???м? (5), ? ??????м
g ? 2n k ]
6
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1) ,
n = 11, ng = 0, nk = 3, ?1 = ?2 = ?3 = 1,
?1 = 0,03, ?2 = 0,15, ?3 = 0,254.
6
5
4
?л? ????м?ль????? ?????м? (1), (2) д??????ч??
????л????? ?л?д?ю??? ??л???? ?? ???л?????
3
2
2
2
???????д????. ??л? (Re1( ? 1 ), Im1( ? 1 )) ? ??????-
1
л???? г?д?г???? (7) ? ??ч?? ??????ч???? ??ч?л?
0
?4
?2
0
2
4
6
8
10
12
?4
Re„10
2
2
????д???? ?? ч?????? ?1, (Re1( ? 2 ), Im1( ? 2 )) ?
2
??????л???? г?д?г???? ?? ч?????? ?2, (Re1( ? 3 ),
???. 10. ???????? ??????????? ??????? ??? ?????? 6
ѕ –ќ ЅЋ≈ ћџ ”ѕ –ј ¬Ћ≈ Ќ»я
є 2 ? 2008
2
Im1( ? 3 )) ? ??????л???? г?д?г???? ?? ч?????? ?3,
19
јЌјЋ»« » —»Ќ“≈« —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
м?? ??м?л????? ??????????? ??? ?????? ?л???
?? м??м?? ??? ?л??????? ?1 ????ь? ???? ?д??г????? ??????. ??? ????л????? ??л???? (38) ??????????? ????? ??л???ь ?????ч??????, ???л?г?ч???
??л???? B, ??????? ??л? ? ?л?ч??, ?????????м ??
???. 11.
?? ???. 12 ????????? г?д?г??? ??л???м? (5)
????м?ль??? ?????м?. ?? ??л?ч?? дл? ??л???м?
(5), ? ??????м
?5
Im „10
2
0
?2
?4
?6
?8
D1[n + 1 ? n
?10
(?1) = D1[6](?1) = (?1 + 1)6,
n = 11, ng = 0, nk = 3, ? = 1,
?1 = 0,1, ?2 = 0,4, ?3 = 0,8.
?12
?14
g ? 2n k ]
?16 ?14 ?12 ?10
?8
?6
?4
?2
0
?6
Re „10
«ј Ћё„≈Ќ»≈
B
???. 11. ???????? ????????????? ??????? ??? ?????? 7
Im „10?3
4
2
0
?2
???л?д????? ??? ???м????? ??мь ?л?ч??? ????м?ль??? ?? ??????? ?????ч?????? ??ш????
??? ??-?????? ?????л???? ? дл? ???д?г? ?? ???
??л?ч??? д??????ч??? ??л???? ????м?ль?????.
? ??м??ью м?ш????? м???д?? ???ч??? ????????? г?д?г???? ??м?????? ?????м ?????л????, дл?
??????? ????л??ю??? л??? ??ль?? ??????д?м??
??л???? ????м?ль?????, л??? д??????ч???. ??д
??????????? г?д?г????? ????м?ль??? ?????м ??гл?д?? ???????? г??м????ч????? ?м??л ??л?ч????? ??ш????.
Ћ»“≈–ј“”–ј
?4
?6
?5
?4
?3
?2
?1
0
?3
Re „10
???. 12. ???????? ??????????? ??????? ??? ?????? 7
гд? Re1(?2) ? Im1(?2) ????д?л?ю??? ?????????м
(15), ?? ???????д???? ???л????? ???????д????
2
2
2
2
?(?Im1( ? 1 ), Re1( ? 1 )), (Re1( ? 2 ), Im1( ? 2 ))? ?
2
2
2
2
?(?Im1( ? 1 ), Re1( ? 1 )), (Re1( ? 3 ), Im1( ? 3 ))? < 0.(30)
????????ль???? ????м?ль????? ??л???? (29) ?
(30) ???????? ?? ??м, ч?? ??? ?д??г? ????м ??м?????? ???ч???? k??? ? k??? лю??? д??? ч???? м??-
1. ??????? ?.?. ?????ч?????ь л?????????????? ?????м ?
?.: ??????, 1949.
2. ??????? ?.?. ????м?ч????? ?????м? ? ?????л??м?? ???ц????. ? ?.: ?????, 1978.
3. ????? ?.?., ???????? ?.?. ????????? ?????ч?????ь ? ?????л????. ? ?.: ?????, 2002.
4. ??????? ?.?. ? ?????? D-????????? // ????м????? ?
??л?м???????. ? 2004. ? ? 12. ? ?. 15?28.
5. ???????? ?.?. ???????ч??? ??л???? ??????м?м? ? ?????м?? м????м?ль??? ??????? ?????ч??????. I // ????м?????
? ??л?м???????. ? 1997. ? ? 3. ? ?. 93?105.
6. ???????? ?.?. ???????ч??? ??л???? ??????м?м? ? ?????м?? м????м?ль??? ??????? ?????ч??????. II // ????м?????
? ??л?м???????. ? 1997. ? ? 8. ? ?. 67?79.
7. ????????? ?.?. ?????? м????ц. ? ?.: ?????, 1967.
(495) 334-88-81, e-mail: shub@ipu.ru
?????? ???????????? ? ?????????? ?????? ???????????
J
?.?. ??????????.
??????? ? ????????? ?????? ??????
???????? ?.?., ???????? ?.?. ????????? ?????????? ????????-?????????????? ?????????
20
C O N T R O L S C I E N C E S є 2 ? 2008
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