close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование опциона продажи в случае квантильного хеджирования.

код для вставкиСкачать
УДК 519.865
Н.С. Демин, А.И. Трунов
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЦИОНА ПРОДАЖИ
В СЛУЧАЕ КВАНТИЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ
Проводится исследование стоимости опциона, портфеля и капитала для Европейского опциона продажи в случае квантильного хеджирования и диффузионной модели финансового (B, S)-рынка.
Используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. Ситуация усложняется тем, что
изменения процентных ставок и доходностей на рынках стохастические, а математические модели этих изменений –
случайные процессы. Поэтому основная задача участников
финансовых рынков, определение цен финансовых инструментов, может быть решена только с привлечением вероятностных методов. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов, которые там
происходят, требуют использования математических методов
на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным
объектом исследования которой являются различные модели
рынка ценных бумаг [1, 2]. В данной работе проводится полное исследование неклассической задачи теории опционов –
задачи хеджирования с заданной вероятностью выполнения
платежного обязательства, для случая опциона продажи.
⎛⎛
⎞
σ2 ⎞
St = S0 exp ⎜⎜ ⎜ μ − ⎟ t + σWt ⎟⎟ ,
2 ⎠
⎝⎝
⎠
(4)
где W = (Wt)t≥0 – винеровский процесс, σ > 0, μ ∈ R.
Используя формулу Ито [3], из (4) находим, что стохастический дифференциал для S t имеет вид
dSt = St (μdt + σdWt ).
(5)
Из (5) следует
t
Постановка задачи
St = S0 + ∫ Su (μdu + σdWu ).
Рассмотрим модель финансового рынка как пары
активов: безрискового (банковский счет) B и рискового
(акции) S, представляемых своими ценами Bt и St,
t ∈[0,Т]. В этом случае говорят о (B, S) – рынке с непрерывным временем [1, 2]. Активы B и S будем называть основными активами или основными ценными
бумагами. Относительно банковского счета B предполагается, что В=(Вt)t>0 – детерминированная функция,
подчиняющаяся уравнению
dBt = rBt dt ,
(1)
Bt = B0 e rt , B0 > 0, r > 0,
(2)
т.е.
(3)
т.е. процессы (Wt)t≥0 и (Wt 2 − t ) t ≥0 являются (относительно потока F и меры P) мартингалами. Введение в
рассмотрение винеровского процесса обусловлено ролью случайного ингредиента, который определяет
«хаотическую» структуру в реально наблюдаемых
(6)
0
Представим некоторого инвестора, имеющего начальный капитал Х0=х в момент времени t=0, находящийся на банковском счете B и в акциях S в соответствии с портфелем π0=(β0, γ0), где β0 – часть безрискового
актива (сумма, находящаяся на банковском счете), γ0 –
часть рискового актива (сумма, вложенная в акции).
Таким образом, получим начальный капитал X0=
=β0B0+γ0S0. Аналогично пусть πt=(βt, γt) есть пара Ftизмеримых процессов, описывающая состояние портфеля ценных бумаг инвестора в момент времени t > 0.
Тогда текущий капитал Xt представляется в виде
X t = βt Bt + γ t St .
где r – процентная ставка (банковский процент). Для
описания эволюции стоимости акции S=(St)t≥0 будем
предполагать, что все рассмотрения происходят на винеровском стохастическом базисе (Ω, F, F = (Ft) t>0, P)
[1–3]. Относительно винеровской меры P процесс W =
= (Wt(ω))t≥0 с Wt(ω) = ωt является стандартным винеровским процессом, «мартингальная» характеризация
которого состоит в том, что для 0 ≤ s < t (P-п.н.)
E (Wt | Fs ) = Ws , E ((Wt − Ws ) 2 | Fs ) = t − s,
флуктуациях цен акций. В этой связи П. Самуэльсоном
была предложена модель «геометрического», или
«экономического», броуновского движения S=(St)t≥0,
согласно которой S является случайным процессом с
[1, 2]:
(7)
Задача. Найти капитал Xt, соответствующий ему
портфель πt=(βt, γt) и начальное значение X0 капитала,
как стоимости вторичной ценной бумаги опциона, при
котором обеспечивается выполнение платежного обязательства
X T = fT ( ST ),
(8)
где fT(ST) – платежная функция с вероятностью P(A)=
= 1–ε, 0 <ε < 1 [2, 4].
Базовая теория рассматривает хеджирование с вероятностью единица, когда ε=0 [1], и платежное обязательство выполняется на каждой траектории St. Подобная идеализация приводит к тому, что решение не зависит от такого существенного параметра, как параметр роста μ, который определяет тенденцию измене25
ния цены рискового актива. Хеджирование с вероятностью меньше единицы (квантильное хеджирование)
является более реалистичным. Общий подход к данной
проблеме представлен в [4]. В [2] для рассматриваемой
диффузионной модели (B, S)-рынка решена задача нахождения справедливой цены стандартного опциона
купли в случае хеджирования с заданной вероятностью. В данной работе проводится полное исследование задачи хеджирование с заданной вероятностью
стандартного опциона продажи, когда находится не
только формула для справедливой цены опциона, но
также формулы, определяющие эволюцию во времени
портфеля (хеджирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью P(A).
Рис. 1. Структура множества хеджирования при
Цена опциона
μ−r
σ
2
≤ 1.
Рассмотрим задачу квантильного хеджирования
стандартного опциона продажи (put-опциона) с функцией выплаты fT=(K–ST)+=max(0, K–ST) [1]. По теореме 6.1 из [2] имеем, что оптимальная стратегия в задаче
квантильного хеджирования совпадает с совершенным
хеджем (с вероятностью единица) платежного обязательства fIA, где I A – индикатор множество А, которое
имеет вид
⎧ dP
⎫
A = ⎨ω: ∗ > const ⋅ f ⎬ ,
⎩ dP
⎭
(9)
где P∗ – мартингальная мера, т.е. мера, относительно
которой процесс St∗=St/Bt является мартингалом и существование которой обеспечивает разрешимость задачи на неарбитражных стратегиях хеджирования
(стратегиях, не допускающих получения прибыли без
риска). Используя то, что процесс плотности мартингальной меры Р∗ относительно Р есть [1, 2]:
⎧⎪ μ − r ∗ 1 ⎛ μ − r ⎞ 2 ⎫⎪
dPT∗
= exp ⎨ −
WT + ⎜
⎟ T ⎬,
2 ⎝ σ ⎠ ⎭⎪
dPT
⎩⎪ σ
(10)
⎛μ−r ⎞
где Wt∗ = Wt + ⎜
⎟ t – винеровский процесс относи⎝ σ ⎠
тельно меры Р∗, с учетом вида платежной функции для
опциона продажи и формулы (4) область успешного
хеджирования А примет вид
⎧⎪ ⎛ μ − r ∗ 1 ⎛ μ − r ⎞2 ⎞
⎫
+⎪
A = ⎨exp ⎜
WT − ⎜
T ⎟ > const ⋅ ( K − ST ) ⎬ =
⎟
⎜
2 ⎝ σ ⎠ ⎠⎟
⎪⎩ ⎝ σ
⎪⎭
Рис. 2. Структура множества хеджирования при
>1
⎛
⎞ ⎪⎫
σ2
⎪⎧
= ⎨ ST > S0 exp ⎜ (r − )T + bσ ⎟ ⎬ .
2
⎝
⎠ ⎭⎪
⎩⎪
(12)
(11)
Необходимо рассмотреть отдельно два случая:
μ−r
μ−r
≤1;
>1.
2
σ
σ2
26
2
A = { ST > d } = {WT* > b} =
⎛ μ−r ⎛
μ + r − σ2 ⎞ ⎞
2
= {STσ exp ⎜⎜ − 2 ⎜ ln S0 +
⎟T ⎟⎟ >
2
⎠ ⎠
⎝ σ ⎝
+
σ
Заштрихованные области на рис. 1, 2 являются областями решения неравенства (11) в зависимости от
μ−r
значения выражения
. Отсюда становится видно,
σ2
что в отличие от опциона купли в случае квантильного
μ−r
хеджирования [2] для опциона продажи и при
≤1
σ2
μ−r
> 1 структуры множеств хеджирования
и при
σ2
идентичны. Таким образом, множество А для опциона
продажи в обоих случаях может быть представлено
следующим образом:
μ −r
> const ⋅ ( K − ST ) }.
μ−r
Тогда
⎛⎛
⎞ ⎪⎫
σ2 ⎞
⎪⎧
P( A) = P ⎨ ST > S0 exp ⎜⎜ ⎜ r − ⎟ T + bσ ⎟⎟ ⎬ .
2 ⎠
⎪⎩
⎝⎝
⎠ ⎭⎪
(13)
Из (4) следует
PT = e − rT FT (S0 ),
⎧⎪⎛
⎫⎪
σ2 ⎞
ST = S0 exp ⎨⎜ μ − ⎟ T + σWT ⎬ .
2 ⎠
⎩⎪⎝
⎭⎪
(14)
где FT (S0 ) = E { fT ( ST ) S0 } . С учетом вида платежной
функции и множества хеджирования
Тогда с учетом того, что функция экспоненты монотонно возрастает, (13) примет вид
∫
2π bP /
y0 (T , S0 )
1
=
⎞
⎛ ⎛ σ2 ⎞
⎞⎪⎫
σ2 ⎞
⎪⎧ ⎛ ⎛
= P ⎨exp ⎜⎜ ⎜ μ − ⎟ T + σWT ⎟⎟ > exp ⎜⎜ ⎜ r − ⎟ T + bσ ⎟⎟⎬ =
2⎠
2⎠
⎪⎩ ⎝ ⎝
⎠
⎝⎝
⎠⎪⎭
+∞
1
FT (S0 ) =
P( A) =
⎧⎪⎛
⎫⎪
⎛ σ2 ⎞
σ2 ⎞
= P ⎨⎜ μ − ⎟ T + σWT > ⎜ r − ⎟ T + bσ ⎬ =
2
2
⎠
⎝
⎠
⎩⎪⎝
⎭⎪
∫
2π
bP / T
T
Тогда, подставив (21) в (20), получим
PT =
=
y
Φ (y ) =
∫ ϕ( x)dx ,
где
Ke − rt
2π
2π
y0 (T , S0 )
∫ (K −
bP / T
− x2
2
e .
2π
Так как винеровский процесс Wt имеет нормальное
распределение с нулевым средним и дисперсией t, то из
(15) получаем
⎞
⎟
⎟,
⎟⎟
⎠
y0 (t,s )
∫
e− y
2
/2
bP / T
dy −
S0
2π
y0 (t,s )
∫
e
−
(
1
y −σ T
2
)
2
dy =
bP / T
⎡
⎛ b ⎞⎤
= Ke − rT ⎢Φ ( y0 (T,S0 ) ) − Φ ⎜ P ⎟ ⎥ −
⎝ T ⎠⎦
⎣
−∞
μ−r
⎛
⎜b− σ T
P(A) = 1 − Φ ⎜
T
⎜⎜
⎝
e− rT
⎛
σ 2 ⎞ ⎪⎫ ⎞ 2
⎪⎧
− S0 exp ⎨σ T y + ⎜ r − ⎟ T ⎬ ⎟ e − y / 2 dy =
2 ⎠ ⎭⎪ ⎟⎠
⎝
⎩⎪
Замечание. Далее всюду Ф–1(y) означает функцию,
ϕ( x ) =
(21)
(15)
⎧
⎛μ−r ⎞ ⎫
= P ⎨WT > b − ⎜
⎟ T ⎬.
⎝ σ ⎠ ⎭
⎩
1
⎛
⎧
σ2 ⎫ ⎞ 2
f ⎜⎜ S0 exp ⎨σ T y + (r − )T ⎬ ⎟⎟ e− y / 2dy =
2 ⎭⎠
⎩
⎝
⎛
⎧
σ2 ⎫ ⎞ − y2 / 2
⎜⎜ K − S0 exp ⎨σ T y + (r − )T ⎬ ⎟⎟ e dy.
2 ⎭⎠
⎩
⎝
= P {σWT > bσ − ( μ − r ) T } =
обратную функции Лапласа
(20)
⎡
⎛ b
⎞⎤
− S0 ⎢ Φ y0 (T,S0 ) − σ T − Φ ⎜ P − σ T ⎟ ⎥ ,
⎝ T
⎠⎦
⎣
(
)
т.е. пришли к (19). Теорема доказана.
(16)
Капитал и портфель
Обозначим через π∗=(β∗,γ∗) минимальный хедж, где
β – часть безрискового актива (сумма, находящаяся на
банковском счете), а γ∗ – часть рискового актива (сумма, вложенная в акции).
Теорема 2. Портфель π*t = (β*t , γ*t ) и капитал X tP , со∗
где P(A)=1–ε есть вероятность успешного хеджирования, 0 < ε < 1. Следовательно, для нахождения константы b=bP имеем условие
μ−r
bP = T Φ (ε) +
T.
σ
−1
(17)
ответствующий портфелю π*t , определяются формулами
(
Теорема 1. Пусть
⎛ K
⎞
σ
y0 (T,S0 ) = ⎜ ln − (r − )T ⎟ σ T .
2
⎝ S0
⎠
2
(18)
Тогда справедливая (рациональная) цена опциона
продажи X0=PT определяется формулой
b ⎤
⎡
PT = Ke − rT ⎢Φ(y0 (T,S0 )) − Φ( P ) ⎥ −
T ⎦
⎣
b
⎡
⎤
− S0 ⎢Φ(y0 (T,S0 ) − σ T ) − Φ( P − σ T ) ⎥ .
T
⎣
⎦
Доказательство. Согласно [1]:
)
γ∗t = −Φ y0 (T − t,St ) − σ T − t +
(19)
β∗t =
K
BT
⎛ b
⎞
+Φ ⎜ P − σ T − t ⎟ ,
⎝ T −t
⎠
(22)
⎡
⎛ bP ⎞ ⎤
⎢Φ ( y0 (T − t,St ) ) − Φ ⎜
⎟⎥ ,
⎝ T − t ⎠⎦
⎣
(23)
⎡
⎛ b ⎞⎤
X tP = Ke−r(T −t) ⎢Φ ( y0 (T − t,St )) − Φ ⎜ P ⎟⎥ −
⎝ T − t ⎠⎦
⎣
⎡
⎛ b
⎞⎤
−St ⎢Φ y0 (T − t,St ) − σ T − t − Φ ⎜ P − σ T − t ⎟⎥ , (24)
⎝ T −t
⎠⎦
⎣
(
)
где y0(T–t,St) определяется по формуле (18) с заменами
T→(T–t) и S0→St.
27
Доказательство. Согласно [1],
С учетом вида функции y0(T–t,St) получаем
∗
X tπ = X tP = e− r (T − t ) FT − t ( St ),
(25)
где FT −t (St ) = E { fT ( ST ) St } . Тогда, согласно (21), (25),
∂
∂ ⎛ 1
Φ ( y0 (T − t,s ) ) = ⎜
∂s
∂s ⎜⎝ 2π
=
аналогично получению формулы для PT
X tP =
e
− r (T − t ) y0 (T −t , St )
2π
=
2π
y0 (T −t , St )
∫
e
− y2 / 2
bP / T − t
St
dy −
= Ke
− r (T −t )
y0 (T −t , St ) − σ T
2π
bP / T −t
bP
∫
T −t
Тогда
e
−
y2
2
dy =
)
т.е. пришли к (24). По формулам (4.22), (4.23) из [3]
имеем
∂FT − t (s )
(St ),
∂s
∂FT − t (s )
⎡
⎤
⎢ FT − t (St ) − St ∂s (St ) ⎥ =
⎣
⎦
∂F (s )
1 ⎡
⎤
FT − t (St ) − St T − t (St ) ⎥ ,
=
BT ⎢⎣
∂s
⎦
e − rT
β =
B0
∗
t
(26)
β ∗t =
e
∗
t t
X −γ S
.
Bt
Ke − r(T − t)
Bt
−
+
(31)
σ 2π(T − t )
)
)
e
−
( y0 (T − t,s ))2
2
×
X t∗ − γ∗t St
=
Bt
bP
⎡
⎢ Φ(y0 (T − t,St )) − Φ(
T −t
⎣
⎤
)⎥ −
⎦
(
St
Φ( y0 (T − t , St ) − σ T − t ) −
Bt
bP
T −t
⎞
− σ T −t )⎟ +
⎠
(
St
Φ ( y0 (T − t , St ) − σ T − t ) −
Bt
b
⎡
⎤⎞
− ⎢Φ( P − σ T − t ) ⎥ ⎟ =
T −t
⎣
⎦⎠
=
⎡
⎛ b
⎞⎤
= − ⎢Φ y0 (T − t,s ) − σ T − t − Φ ⎜ P − σ T − t ⎟ ⎥ +
⎝ T −t
⎠⎦
⎣
∂
+ Ke− r (T − t ) Φ ( y0 (T − t,s ) ) St −
∂s
∂
− s Φ y0 (T − t,s ) − σ T − t St .
∂s
28
1
−Φ (
Тогда, согласно (26),
(
.
)
β∗t =
)
(
e
)
(28)
=
St
sσ 2π(T − t )
В результате (22) следует из (29). Подставив (22),
(24) в (28), получим
FT − t ( s ) =
∂ − r (T − t )
(e
FT − t (s ))
∂s
− ( y0 (T − t,s ))2
2
(30)
⎡ Ke − r ( T − t ) Ke − r ( T − t ) ⎤
×⎢
−
⎥ = 0.
s
s
⎣
⎦
(27)
⎡
⎛ b
⎞⎤
− s ⎢Φ y0 (T − t,s ) − σ T − t − Φ ⎜ P − σ T − t ⎟ ⎥ .
⎝ T −t
⎠⎦
⎣
γ∗t =
1
(
⎡
⎛ b ⎞⎤
= Ke − r (T − t ) ⎢ Φ ( y0 (T − t,s ) ) − Φ ⎜ P ⎟ ⎥ −
⎝ T − t ⎠⎦
⎣
(
∂
y0 (T − t,s ) =
∂s
Из (30), (31) с учетом вида функции y0(T–t,St) следует, что
∂
s Φ y0 (T − t,s ) − σ T − t −
∂s
∂
− Ke − r (T −t ) Φ ( y0 (T − t,s) ) =
∂s
( y (T − t,s ) −σ T − t )2
1
− 0
=−
+
2
e
σ 2π(T − t )
(32)
( y (T − t,s ) −σ T − t )2
Ke − r ( T − t )
− 0
+
=
2
e
sσ 2π(T − t )
Из (24), (25) следует
− r (T − t )
−∞
⎞
dx ⎟ =
⎟
⎠
∂
Φ y0 (T − t,s ) − σ T − t =
∂s
− ( y0 (T − t,s ) −σ T − t ) 2
1
=−
.
2
e
sσ 2π(T − t )
=−
или
∗
t
− x2
2
e
−σ T
⎡
⎛ b
⎞⎤
−St ⎢Φ y0 (T − t, St ) − σ T − t − Φ ⎜ P − σ T − t ⎟⎥ ,
⎝ T −t
⎠⎦
⎣
γ∗t = e − r (T −t )
e
∫
− ( y0 (T − t,s ))2
2
(
⎡
⎛ bP ⎞⎤
⎢Φ ( y0 (T − t,St ) ) − Φ ⎜
⎟⎥ −
⎝ T − t ⎠⎦
⎣
(
2π
=−
∫ (K −
⎧
⎫⎞ 2
σ2
−St exp ⎨σ T − t y + (r − )(T − t ) ⎬ ⎟⎟ e− y / 2 dy =
2
⎩
⎭⎠
Ke− r (T −t )
1
y0 (T − t,s )
=
b
Ke − r ( T − t ) ⎡
⎤
Φ( y0 (T − t , St )) − Φ ( P ) ⎥ =
⎢
Bt
T −t ⎦
⎣
b
K ⎡
⎤
=
Φ ( y0 (T − t , St )) − Φ( P ) ⎥ ,
BT ⎢⎣
T −t ⎦
т.е. пришли к формуле (23). Теорема доказана.
Свойства решения
Утверждение. В случае стационарного опциона
продажи решение задачи определяется формулами [5]:
⎛ ln ( K S0 ) − (r − σ 2 2)T ⎞
P%T = Ke − rT Ф ⎜
⎟⎟ −
⎜
σ T
⎝
⎠
⎛ ln ( K S0 ) − (r + σ 2 2)T ⎞
− S0 Ф ⎜⎜
⎟⎟ ,
σ T
⎝
⎠
⎛ ln( K St ) − (r + σ 2 2)(T − t ) ⎞
γ% t = −Ф ⎜
⎟,
σ T −t
⎝
⎠
K ⎛ ln( K St ) − (r − σ 2 2)(T − t ) ⎞
β% t =
Ф⎜
⎟,
BT ⎝
σ T −t
⎠
2
⎛ ln( K St ) − (r − σ 2)(T − t ) ⎞
X% t = Ke − r (T − t ) Ф ⎜
⎟−
σ T −t
⎝
⎠
⎛ ln( K St ) − (r + σ2 2)(T − t ) ⎞
− St Ф ⎜
⎟.
σ T −t
⎝
⎠
(33)
PTε = dPT d ε .
Теорема 3. Коэффициенты чувствительности PTμ и
PTε определяются формулами
(34)
PTμ =
PTε =
(36)
=e
⎛ ln( K St ) − (r + σ2 2 )(T − t ) ⎞
= −Ф ⎜
⎟;
σ T −t
⎝
⎠
K
β∗t =
Ф(y0 (T − t,St )) =
BT
=
K ⎛ ln( K St ) − (r − σ 2 )(T − t ) ⎞
Ф⎜
⎟,
BT ⎝
σ T −t
⎠
2
) ⎡
⎛ bP
⎞
⎛ b ⎞⎤
− σ T ⎟ − Ke− rT ϕ ⎜ P ⎟ ⎥ .
⎢ S0 ϕ ⎜
⎝ T
⎠
⎝ T ⎠⎦
⎣
(37)
dy0 (T , S0 )
dμ
(39)
=
(
d y0 (T , S0 ) − σ T
dμ
) = 0.
Тогда, с учетом (19) и обозначения для функции
ϕ( x) (см. Замечание), получаем, что
⎛ − 1 ⎛⎜ bP ⎞⎟
⎞
⎜ −e 2 ⎝ T ⎠ ⋅ T ⎟ −
⎜
σ ⎟
⎝
⎠
2
⎛ − 1 ⎛⎜ bP − σ T ⎞⎟
⎞
T⎟
⎠
− S 0 ⎜ −e 2 ⎝ T
⋅
=
⎜
σ ⎟
⎝
⎠
2
2
1 ⎛ bP
⎞
1 ⎛ bP ⎞ ⎤
⎡
T
−
−
σ
−
⎜
⎟
⎜
⎟
T ⎢
⎠
S0 e 2 ⎝ T
=
− Ke − rT e 2 ⎝ T ⎠ ⎥ =
⎥
σ ⎢
⎣
⎦
2
dP
P = T = Ke − rT
dμ
μ
T
⎛ ln( K St ) − ( r − σ 2 2 ) (T − t ) ⎞
⎟−
Ф⎜
⎜
⎟
σ T −t
⎝
⎠
γ ∗t = −Ф(y0 (T − t,St ) − σ T − t ) =
(ε)
2
Продифференцировав формулу (18), получим
− St Ф( y0 (T − t , S0 ) − σ T − t ) =
⎛ ln( K St ) − ( r + σ 2 2 ) (T − t ) ⎞
⎟;
− St Ф ⎜
⎜
⎟
σ
−
T
t
⎝
⎠
−1
⎛ b ⎞
⎛ b
⎞
d⎜ P ⎟ d⎜ P −σ T ⎟
⎝ T⎠= ⎝ T
⎠= T.
dμ
dμ
σ
X tP = Ke − r (T − t ) Ф( y0 (T − t , St )) −
= Ke
(Φ
2
Доказательство. Из формулы (17) следует, что
⎛ b ⎞
⎛ b
⎞
Тогда Ф ⎜ P ⎟ = 0, Ф ⎜ P − σ T − t ⎟ = 0 . Та⎝ T −t ⎠
⎝ T −t
⎠
ким образом, согласно (22)–(24),
− r (T − t )
(38)
T ⎡
⎛ bP
⎞
⎛ b ⎞⎤
− σ T ⎟ − Ke − rT ϕ ⎜ P ⎟ ⎥ ,
⎢ S0 ϕ ⎜
σ ⎣
T
⎝
⎠
⎝ T ⎠⎦
=
(35)
Следствие. В случае ε=0 формулы (19), (22)–(24)
переходят в формулы (33)–(36), т.е. несовершенное
хеджирование переходит в совершенное.
Доказательство. В случае, когда ε=0, P(A)=1–ε=1,
где P(A) есть вероятность успешного хеджирования.
Таким образом, действительно переходим к совершенному виду хеджирования. Рассмотрим, как ведут себя
при ε = 0 формулы (19), (22)–(24).
При ε=0
μ−r
bP = T Ф −1 (0) +
T = −∞.
σ
т.е. пришли к (34)–(36). Так как PTC = X 0C , то (33) следует из (36). Следствие доказано.
Представляют интерес зависимости стоимости опциона от параметров μ и ε, отсутствующих в решении
задачи совершенного хеджирования (33). Эти зависимости определяются величинами PTμ = dPT d μ и
=
T
σ
⎡
⎛ bP
⎞
⎛ b ⎞⎤
− σ T ⎟ − Ke − rT ϕ ⎜ P ⎟ ⎥ ,
⎢ S0 ϕ ⎜
T
⎝
⎠
⎝ T ⎠⎦
⎣
т.е. пришли к формуле (38).
Используя правило дифференцирования обратных
функций
d ( f −1 ( x) )
d ( Φ −1 (ε) )
dε
dx
⎡ df ( f −1 ( x) ) ⎤
⎥ , получим, что
=⎢
dx
⎢⎣
⎥⎦
−1
−1
⎡ ( Φ−1 ( ε ))
⎡ d Φ ( Φ −1 ( ε) ) ⎤
−
2
⎥ = ⎢e
=⎢
⎢
dε
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
2
−1
⎤
⎥ .
⎥
⎥⎦
29
Тогда из формулы (17) следует, что
dbP
= Te
dε
(Φ
−1
(ε )
)
Представляют также интерес зависимости стоимости опциона от параметров S0 и К, определяющих начальную цену рискового актива и оговариваемую цену
исполнения опциона. Эти зависимости определяются
величинами PTS 0 = dPT dS 0 и PTK = dPT dK .
2
.
2
Теорема 4. Коэффициенты чувствительности PTS 0 и
Таким образом:
⎡ − 1 ⎛⎜ bP ⎞⎟ ( Φ
dPT
= Ke − rT ⎢ −e 2 ⎝ T ⎠ ⋅ e
⎢
dε
⎢⎣
2
PTε =
⎡ − 1 ⎛⎜ bP − σ
− S0 ⎢ −e 2 ⎝ T
⎢
⎢⎣
=e
=e
(Φ
(Φ
−1
(ε)
) ⎡
2
⎢ S0 e
⎢
⎣
2
−1
(ε)
2
⎞
T⎟
⎠
2
⎞
1⎛ b
− ⎜ P −σ T ⎟
2⎝ T
⎠
⋅e
(Φ
−1
(ε)
(ε )
2
PTK определяются формулами
) ⎤
2
⎥−
⎥
⎥⎦
(
⎥=
⎥
⎥⎦
− rT
e
1⎛ b ⎞
− ⎜ P ⎟
2⎝ T ⎠
2
⎤
⎥=
⎥
⎦
)
(40)
⎡
⎛ b ⎞⎤
PTK = e− rT ⎢Φ ( y0 (T , S0 ) ) − Φ ⎜ P ⎟ ⎥ +
⎝ T ⎠⎦
⎣
S0
⎡ − rT
⎤
+ ⎢ e ϕ ( y0 (T,S0 ) ) − ϕ y0 (T,S0 ) − σ T ⎥ .
K
⎣
⎦
(41)
(
) ⎡
2
⎛ bP
⎞
⎛ b ⎞⎤
− σ T ⎟ − Ke − rT ϕ ⎜ P ⎟ ⎥ ,
⎢ S0 ϕ ⎜
⎝ T
⎠
⎝ T ⎠⎦
⎣
т.е. пришли к формуле (39). Теорема доказана.
Численные исследования коэффициентов чувствительности PTμ и PTε показали, что оба они отрицательные. Этот факт говорит о том, что с ростом параметров
µ и ε цена опциона будет убывать. Действительно, с
ростом параметра ε вероятность успешного хеджирования P(A)=1–ε будет уменьшаться, что приводит к
увеличению риска для покупателя опциона, а за увеличение риска необходимо платить меньше. С ростом
параметра µ происходит увеличение в среднем цены
рискового актива St, что увеличивает риск для покупателя опциона продажи. Соответственно за возросший
риск следует меньше платить.
K − rT
e ϕ ( y0 (T , S0 ) ) −
S0
⎡
⎛ b
⎞⎤
− ⎢ Φ y0 (T , S0 ) − σ T − Φ ⎜ P − σ T ⎟ ⎥ ,
⎝ T
⎠⎦
⎣
(
2
2
)
PTS0 = ϕ y0 (T , S0 ) − σ T −
) ⎤
2
− Ke
−1
)
Доказательство. Доказательство следует непосредственно из определения PTS 0 и PTK с учетом (19).
Численные исследования коэффициентов чувствительности PTS 0 и PTK показали, что PTS 0 < 0 , т.е. с ростом начальной цены рискового актива S0 риск невыполнения платежного обязательства опциона продажи
увеличивается; PTK > 0 , т.е. с ростом оговариваемой
цены исполнения опциона стоимость опциона увеличивается.
В дальнейшем планируется провести аналитическое
исследование данных коэффициентов чувствительности, а также исследованы коэффициенты чувствительности по волатильности σ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типа: II Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39, вып. 1. С. 80–129.
2. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.
3. Скороход А.В., Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1975.
4. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применения. 1998. Т. 43, вып. 1. С. 152–161.
5. Демин Н.С., Лазатникова А.В. Исследование портфеля, капитала и стоимости опциона в случае стандартного Европейского опциона продажи с непрерывным временем // Вестник Томского государственного университета. 2002. Приложение № 1(I). С. 147–149.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 15 июля 2006 г.
30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
339 Кб
Теги
опциона, продажи, исследование, хеджирования, квантильному, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа