close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование основных краевых задач для одного многомерного сингулярного эллиптического уравнения методом потенциалов.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)
УДК 517.956
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОДНОГО МНОГОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНОГО
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ
© А.М.Нигмедзянова
В работе доказывается существование и единственность решения основных краевых задач для одного многомерного сингулярного эллиптического уравнения методом потенциалов.
Ключевые слова: основная краевая задача, многомерное сингулярное эллиптическое уравнение,
метод потенциалов.
Введение
Пусть E p+ – полупространство x p > 0
p-
мерного
евклидова
пространства
точек
′
′
x = ( x , x p ) , x = ( x1 , x2 ,..., x p −1 ) , D – конечная
область в E p+ , ограниченная открытой частью Γ 0
гиперплоскости x p = 0 и гиперповерхностью Γ .
В работе исследованы внутренние и внешние
краевые задачи Дирихле и Неймана для многомерного сингулярного эллиптического уравнения вида
p −1 2
∂U
∂ ⎛ k ∂U ⎞
T [U ( x) ] = ∑ 2 + x −p k
(1)
⎜ xp
⎟ = 0,
∂x p ⎜⎝ ∂x p ⎟⎠
j =1 ∂x j
где 0 < k < 1 , p ≥ 3 .
С помощью замены
1− k
ξ j = xj ,
j = 1, p − 1,
⎛ xp ⎞
сингулярное эллиптическое урав⎟
⎝1− k ⎠
нение (1) сводится к вырождающемуся эллиптическому уравнению
p −1 2
2k
∂ U ∂ 2U
ξ p1−k ∑ 2 + 2 = 0,
∂ξ p
j =1 ∂ξ j
которое имеет широкое применение в физике.
Математическое моделирование физических
процессов часто приводит к краевым задачам для
вырождающихся эллиптических уравнений. Имеется значительное число работ, посвященных исследованию таких задач (например, обзор в книге [1]). Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек,
теории упругости, механике сплошной среды и
др. В частности, такие уравнения были исследованы Ф.Г.Мухлисовым [2].
Первые работы по вырождающимся эллиптическим уравнениям относятся к уравнению вида
∂ 2U ∂ 2U
ym 2 + 2 = 0 ( m > 0),
(2)
∂x
∂y
ξp = ⎜
различные краевые задачи для которого исследованы Ф.Трикоми [3], Е.Хольмгреном [4], С.Геллерстедтом [5; 6], Ф.И.Франклем [7], П.Жерменом, Р.Бадером [8; 9] и др.
Ф.Трикоми в фундаментальной работе [3]
рассмотрел задачу Дирихле. С.Геллерстедт [5; 6]
показал, что задача Дирихле и задача N могут
быть решены при помощи функции Грина, регулярная часть которой в случае произвольной области D ищется в виде потенциала двойного
слоя с плотностью μ (t ) . Для плотности μ (t ) получается уравнение Фредгольма, причем предполагается, что концы кривой Γ совпадают с дуга2
ми нормальной кривой ( x − x0 ) + 4 2 y m + 2 = k 2
m+ 2
(
)
( y > 0 ) . Ф.И.Франклю в статье [7] удалось избавиться от этого ограничения. Он сводит обе рассматриваемые краевые задачи к уравнениям
Фредгольма, причем предполагается, что кривая
Γ подходит к оси абсцисс в точках A и B под
прямым углом.
А.В.Бицадзе [10; 11] доказал существование
и единственность решения задачи Дирихле для
уравнения
∂ 2U ∂ 2U
∂U
y m 2 + 2 + a ( x, y )
+
∂x
∂y
∂x
∂U
+b ( x, y )
+ c ( x, y )U = 0 ( m > 0 ) .
∂y
К.Е.Бабенко [12] исследовал задачу N как для
уравнения (2), так и для более общего уравнения
∂ 2U ∂ 2U
y m 2 + 2 + c ( x, y )U = 0
∂x
∂y
при предположении, что в окрестности точек A
и B на кривой Γ выполняется условие
dx
≤ Cy 2 ( s ) , где C – постоянная, а x = x ( s ) ,
dy
y = y ( s ) – параметрические уравнения кривой
Γ.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
И.Н.Векуа [13] получил явные формулы для
решения задачи Дирихле в полуплоскости y ≥ 0
∂ 2U ∂ 2U
+
= 0 ( k > −1) .
∂x 2 ∂y 2
1. Фундаментальное решение
Будем искать решение уравнения (1) в виде
ρ2
ρ12
σ=
где
(
p −2 k
+2
2
)
ω (σ ) ,
p −1
0
j =1
p −1
0
)
2
+ (1 − z )
)
2
⎞2
⎛
× (1 − σ )
1− k
⎛ k p k
⎞
F ⎜ 1 − , − , 2 − k ;1 − σ ⎟ =
2
2
2
⎝
⎠
p k
⎛ k
⎞
F ⎜ 1 − , 2 − − , 2 − k ;1 − σ ⎟ .
2 2
⎝ 2
⎠
ω ( x, x0 ) = (1 − σ )
1− k
=σ
(1 − σ )
1− k
(5)
Подставляя (5) в (3), получаем решение уравнения (1)
E ( x, x0 ) = a ⎛⎜⎝ ρ12 ⎞⎟⎠
− k2
⎛
⎜
⎝
ρ 2 ⎞⎟⎠
− p2−2
(1 − σ )
1− k
×
(6)
p k
⎛ k
⎞
× F ⎜1 − , 2 − − , 2 − k ;1 − σ ⎟ ,
2 2
⎝ 2
⎠
где a – некоторая постоянная, F ( a, b, c; z ) – гипергеометрическая функция.
Учитывая [15:280], что при | z |< 1
F ( a, b; c; z ) = (1 − z )
F ( c − a, c − b; c; z ) ,
последнее равенство можем записать в следующем виде
c − a −b
E ( x, x0 ) = a ⎛⎜⎝ ρ12 ⎞⎟⎠
− k2
⎛
⎜
⎝
ρ 2 ⎞⎟⎠
− p2−2
(1 − σ )
1− k
×
⎛ k p k
⎞
F ⎜ 1 − , − , 2 − k ;1 − σ ⎟ =
⎝ 2 2 2
⎠
k−p
1− k
⎛ k p k
⎞
2 2
F ⎜ 1 − , − , 2 − k ;1 − σ ⎟ .
4 x p x p0
= a ⎛⎜⎝ ρ12 ⎞⎟⎠
⎝ 2 2 2
⎠
В силу известной формулы [15: 280]:
×σ
p −2
2
(
)
Γ (c) Γ (a + b − c)
Γ ( a ) Γ (b)
E ( x, x0 ) = a ⎛⎜⎝ ρ12 ⎞⎟⎠
+ ⎜⎜⎝⎜ x p + x p0 ⎟⎟⎠⎟ .
Подставляя функцию (3) в уравнение (1), получаем:
⎡p ⎛ p
⎞ ⎤
σ (1 − σ ) ω ′′ + ⎢ − ⎜ + k ⎟ σ ⎥ ω ′ −
⎠ ⎦
⎣2 ⎝ 2
(4)
k⎛ p−2 k ⎞
− ⎜
+ ⎟ ω = 0.
2⎝ 2
2⎠
Известно ([1], С.40), ([14], гл.V, пп.100, 101),
что в окрестности точки σ = 1 одно из линейнонезависимых решений уравнения (4) имеет вид:
− p2−2
c − a −b
×
решение (6) может быть представлено в виде
+ ⎜⎜⎝⎜ x p − x p0 ⎟⎟⎠⎟ ,
⎞2
⎛
×
×F ( c − a, c − b; c − a − b + 1;1 − z )
(3)
ρ2 = ∑ ( xj − xj
,
ρ12 = ∑ ( x j − x j
j =1
−
Γ (c − a) Γ (c − b)
× F ( a, b; a + b − c + 1;1 − z ) +
для уравнения y 2 k
U ( x ) = ( ρ12 )
Γ (c) Γ (c − a − b)
F ( a, b; c; z ) =
− k2 ⎛
⎜
⎝
ρ 2 ⎞⎟⎠
− p2−2
×
( )×
)Γ( − )
Γ(2 − k )Γ
Γ (1 − k2
p −2
2
p
2
k
2
p k
p ⎞
⎛ k
× F ⎜ 1 − , 2 − − , 2 − ;σ ⎟ +
2 2
2 ⎠
⎝ 2
2 ⎞−
1 ⎟⎠
+a ρ
⎛
⎜
⎝
(
p −2 k
+2
2
)
(1 − σ )
(7)
(
Γ ( 2 − k ) Γ − p2− 2
1− k
Γ (1 −
k
2
)Γ(2 −
p
2
)
− k2
)
×
⎛ k p k p ⎞
× F ⎜ 1 − , − , ;σ ⎟ .
⎝ 2 2 2 2 ⎠
Отсюда следует, что решение (7) имеет степенную особенность вида ρ 2− p и, следовательно,
является фундаментальным решением уравнения
(1) с особенностью в точке x0 .
С помощью ряда Гаусса, разложения функций (1 − σ )
1− k
(
2
и 1 + 4( xρp x p
0
)
)
− k2
при малых значени-
ях ρ в степенной ряд, фундаментальное решение (7) запишем в виде
i ( x, x ) + E ∗ ( x, x ) ,
E ( x, x0 ) = E
0
0
где
i ( x, x ) = a
E
0
( ) (x x )
)Γ( − ) 2
Γ(2 − k )Γ
Γ (1 − k2
p −2
2
p
2
p
p0
k
k
2
− k2
⎛
⎜
⎝
ρ 2 ⎞⎟⎠
− p2−2
,
E ∗ ( x, x0 ) – регулярная часть фундаментального
решения E ( x, x0 ) .
Нетрудно проверить, что
E (ξ , x ) = O ( x1p− k ) при x p → 0,
x kp
∂E (ξ , x )
∂x p
∂E (ξ , x )
∂x p
= O (1) при x p → 0,
= O (ξ 1p− k ) при ξ p → 0,
⎛
E ( x, x0 ) = O ⎜⎜ ( ρ 02 )
−
(
⎜
⎝
p−2 k
+2
2
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠
r = x + …+ x → ∞.
2
1
2
p
при
(8)
(9)
(10)
А.М.НИГМЕДЗЯНОВА
∂E ( x, x0 )
∂n
E ( x, x0 ) уравнения (1) (т.е. (7)) принадлежит
= O ⎛⎜⎝ ρ 02 − p − k ⎞⎟⎠ при
классу C 2 ( Dε ) ∩ C1 ( D ε ) . Применяя к функциям
U ( x) и E ( x, x0 ) в области Dε вторую формулу
Грина для оператора T , получаем
k
∫ ⎣⎡ E ( x, x0 ) E ⎡⎣U ( x )⎤⎦ − U ( x ) E ⎡⎣ E ( x, x0 )⎤⎦ ⎦⎤ x p dx =
r = x12 + …+ x 2p → ∞,
p −1
где ρ 02 = ∑ x 2j + x 2p .
j =1
2. Формулы Грина
Пусть функции U ,V ∈ C 2 ( D ) ∩ C 1 ( D ) . Непо-
средственным вычислением можно убедиться,
что имеет место тождество
⎛ p −1 ∂U ∂V ∂V ∂U ⎞
=
+
VT [U ] + ⎜ ∑
⎜ j =1 ∂x ∂x ∂x ∂x ⎟⎟
j
j
p
p ⎠
⎝
(11)
p −1
∂ ⎛ ∂U ⎞ − k ∂ ⎛ k ∂U ⎞
=∑
⎟.
⎜⎜ V
⎟ + xp
⎜ x pV
∂x j ⎟⎠
∂x p ⎜⎝
∂x p ⎟⎠
j =1 ∂x j ⎝
Умножая обе части тождества (11) на x kp , интегрируя обе части тождества по области D и
пользуясь формулой Остроградского, получаем
k
∫ VT [U ] x p dx +
Dε
⎡
∂U ( x )
∂E ( x, x0 ) ⎤ k
= ∫ ⎢ E ( x, x0 )
− U ( x)
⎥ xpdΓ +
∂n
∂n
⎦
Γ ⎣
⎡
∂U ( x )
∂E ( x, x0 ) ⎤ k
+ ∫ ⎢ E ( x, x0 )
− U ( x)
⎥ x p dx′ +
∂n
∂n
⎦
Γ0 ⎣
⎡
∂U ( x )
∂E ( x, x0 ) ⎤ k
+ U ( x)
⎢ − E ( x, x0 )
⎥ x p dS x0ε .
∂n
∂n
⎦
S x0ε ⎣
Переходя в последней формуле к пределу при
ε → 0 , имеем
⎡
∂U ( x )
∂E ( x, x0 ) ⎤ k
∫Γ ⎢⎣ E ( x, x0 ) ∂n − U ( x ) ∂n ⎥⎦ x p d Γ =
+
= a ( p − 2)
D
⎛ ∂U ∂V ∂V ∂U ⎞ k
+∫ ⎜ ∑
+
x dx =
⎜ ∂x j ∂x j ∂x p ∂x p ⎟⎟ p
D ⎝ j =1
⎠
∂U k
∂U k
= ∫V
xpdΓ + ∫ V
x p dx′,
∂n
∂n
Γ
Γ0
∫
p −1
(12)
a=
где n – внешняя нормаль к Γ . Формула (12) называется первой формулой Грина для оператора
T.
Меняя местами U и V в формуле (12) и вычитая полученное равенство из (12) , имеем
k
∫ [VT [U ] − UT [V ]]x p dx =
D
∂V ⎤ k
⎡ ∂U
= ∫ ⎢V
−U
xpdΓ +
∂n
∂n ⎥⎦
Γ ⎣
(13)
∂V ⎤ k
⎡ ∂U
+ ∫ ⎢V
−U
x p dx′.
∂n
∂n ⎥⎦
Γ0 ⎣
Формула (13) называется второй формулой
Грина для оператора T .
3. Интегральное представление
Пусть функция U ( x) ∈ C 2 ( D) ∩ C1 ( D) – решение уравнения (1) в области D , удовлетворяющее условию
U ( x) = O ( x1p− k ) при x p → 0.
(14)
Зададим в области D произвольную точку
x0 . Вырежем эту точку шаром Qx0ε . Радиус ε
возьмем столь малым, чтобы шар Qx0ε целиком
находился внутри области D . В области
фундаментальное
решение
Dε = D 5 Q x0ε
( ) 1 U ( x ) 2π .
Γ( )
)Γ( − ) 2
Γ(2 − k )Γ
Γ (1 − k2
Полагая
2k Γ (1 − k2 ) Γ
(
p
2
в
− k2
p−2
2
p
2
p
2
0
k
k
2
этой
),
p
2
формуле
получаем интегральное
4π Γ ( 2 − k )
представление решения уравнения (1).
Таким образом, для всякой функции U ( x) ,
удовлетворяющей условиям:
a) U ( x) ∈ C 2 ( D) ∩ C1 ( D) ,
b) E[U ( x)] = 0, x ∈ D ,
p
2
c) U ( x) = O ( x1p− k ) при x p → 0
и для любой точки x0 ∈ D справедливо следующее интегральное представление
∂E ( x, x0 ) ⎤ k
∂U ( x)
⎡
− U ( x)
U ( x0 ) = ∫ ⎢ E ( x, x0 )
x p d Γ.
∂
∂n ⎥⎦
n
Γ ⎣
(15)
4. Свойства решений уравнения
Из интегрального представления (15) вытекают следующие свойства решения уравнения
(1):
1°. Существуют решения U ( x) уравнения (1)
в области D , удовлетворяющие условию
U ( x) = O ( x1p− k ) при x p → 0.
2°. Существуют решения U ( x) уравнения (1)
в области De = E p+ \ D , удовлетворяющие условию
⎛
U ( x) = O ⎜⎜ ( ρ 02 )
r = x12 + …+ x 2p → ∞,
⎜
⎝
−
(
p−2 k
+2
2
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠
при
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
U ( x) = O ( x1p− k ) при x p → 0,
p
где ρ 02 = ∑ xi2 .
i =1
3°. Принцип максимума, вытекающий из интегрального представления (15), сформулируем в
виде теоремы:
Теорема 1 (принцип максимума). Если
U ( x) ∈ C 2 ( D) ∩ C ( D) – решение уравнения (1),
удовлетворяющее условию (14), то функция
U ( x) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Γ , если она тождественно не
равна нулю.
Следствие.
Если
функция
2
U ( x) ∈ C ( D) ∩ C ( D) – решение уравнения (1),
удовлетворяющее
условию
(14),
то
U ( x) ≤ max U ( x0 ) , x ∈ D . В частности, если
∂U ( x)
= ϕ ( x), f ( x) ∈ C (Γ).
(28)
∂n Γ
∂
Здесь
– внешняя нормаль.
∂n
Теорема 4. Внутренняя краевая задача Неймана (25)-(28) не может иметь более одного
решения.
Внешняя задача Неймана (Задача N e ).
Требуется найти функцию U ( x) , удовлетворяющую следующим условиям:
U ( x) ∈ C 2 ( De ) ∩ C1 ( De ),
(29)
E[U ( x)] = 0, x ∈ De ,
(30)
U ( x) = O ( x1p− k ) при x p → 0,
x0 ∈Γ
U ( x) |Γ = 0 , то U ( x) ≡ 0 в D .
4. Постановка краевых задач Дирихле
и Неймана. Теоремы единственности
Внутренняя задача Дирихле (Задача Di ).
Требуется найти функцию U ( x) , удовлетворяющую следующим условиям:
U ( x) ∈ C 2 ( D) ∩ C ( D),
(16)
E[U ( x)] = 0, x ∈ D,
(17)
1− k
U ( x) = O ( x p ) при x p → 0,
(18)
U |Γ = f ( x), f ( x) ∈ C (Γ).
(19)
Теорема 2. Внутренняя краевая задача Дирихле (16)-(19) не может иметь более одного
решения.
Внешняя задача Дирихле (Задача De ).
Требуется найти функцию U ( x) , удовлетворяющую следующим условиям:
U ( x) ∈ C 2 ( De ) ∩ C ( De ),
(20)
E[U ( x)] = 0, x ∈ De ,
(21)
U ( x) = O ( x1p− k ) при x p → 0,
⎛
U ( x) = O ⎜⎜ ( ρ 02 )
⎜
⎝
−
(
p−2 k
+2
2
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠
при
(22)
(23)
r = x12 + …+ x 2p → ∞,
U |Γ = f ( x), f ( x) ∈ C (Γ).
(24)
Теорема 3. Внешняя краевая задача Дирихле
(20)-(24) не может иметь более одного решения.
Внутренняя задача Неймана (Задача N i ).
Требуется найти функцию U ( x) , удовлетворяющую следующим условиям:
U ( x) ∈ C 2 ( D) ∩ C1 ( D),
(25)
E[U ( x)] = 0, x ∈ D,
(26)
(27)
⎛
U ( x) = O ⎜⎜ ( ρ02 )
−
(
p−2 k
+2
2
⎜
⎝
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠
(31)
при
(32)
r = x + …+ x → ∞,
2
1
2
p
∂U ( x)
= ϕ ( x), ϕ ( x) ∈ C (Γ).
(33)
∂n Γ
∂
Здесь
– нормаль, направленная во вне об∂n
ласти D .
Теорема 5. Внешняя краевая задача Неймана
(29)-(33) не может иметь более одного решения.
5. Потенциалы простого и двойного слоев
и их свойства
С помощью фундаментального решения
E (ξ , x) уравнения (1) образуем поверхностный
потенциал
двойного
слоя:
∂E (ξ , x) k
W ( x) = ∫ ν (ξ )
ξ p d Γ, где ν (ξ ) – непре∂n
Γ
рывная функция на Γ .
Очевидно, что потенциал W ( x) есть регулярное решение уравнения (1) в любой области, лежащей в полупространстве E p+ , не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Γ , ни с гиперплоскостью x p = 0 . В силу (9)
W ( x) = O ( x1p− k ) при x p → 0.
Лемма 1. Если Γ – поверхность Ляпунова и
образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой угол,
∂E (ξ , x) k
ξ p d Γ ≤ B, где B – постоянная.
∂n
Γ
Лемма 2 (Геллерстедт). Если Γ – поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью
x p = 0 прямой угол, то
то
∫
А.М.НИГМЕДЗЯНОВА
⎧
∂E (ξ ′, x) k
ξ p d ξ ′ − 1, если x ∈ D;
⎪− ∫
⎪ Γ0 ∂ξ p
⎪
1
∂E (ξ , x) k
∂E (ξ ′, x) k
⎪
∫Γ ∂n ξ p d Γ = ⎨−Γ∫ ∂ξ p ξ p dξ ′ − 2 , если x ∈ Γ;
⎪ 0
⎪
∂E (ξ ′, x) k
⎪− ∫
ξ p d ξ ′, если x ∈ E p+ \ D = De .
⎪⎩ Γ0 ∂ξ p
Теорема 6. Пусть Γ – поверхность Ляпунова
и образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой
угол. Тогда при ν ∈ C (Γ) имеют место следующие
предельные
соотношения:
ν0
k
+W
( x0 ),
ν0
k
+W
( x0 ), где
2
2
Wi ( x0 ) и We ( x0 ) означают предельные значения
потенциала двойного слоя W ( x) в точке x0 ∈Γ
при x → x0 соответственно изнутри и извне
k
( x ) – прямое значение потенграницы Γ , а W
Wi ( x0 ) = −
We ( x0 ) =
0
циала двойного слоя W ( x) в точке x0 ∈Γ . Здесь
x0 ∈Γ – фиксированная точка границы Γ ,
ν 0 = ν ( x0 ) .
Доказательство теоремы 6 следует из лемм 1
и 2.
С помощью фундаментального решения
E (ξ , x) уравнения (1) образуем поверхностный
потенциал простого слоя:
V ( x) = ∫ μ (ξ ) E (ξ , x)ξ pk d Γ,
(34)
Γ
где μ (ξ ) – непрерывная функция на Γ .
Очевидно, что потенциал V ( x) – регулярное
решение уравнения (1) в любой области, лежащей в E p+ , не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Γ , ни с гиперплоскостью x p = 0 .
Из формул (8) и (10) следует, что потенциал V ( x) обладает следующими свойстваx p → 0,
ми:
при
V ( x) = O ( x1p− k )
⎛
V ( x) = O ⎜⎜ ( ρ 02 )
⎜
⎝
−
(
p −2 k
+2
2
) ⎞⎟
⎟
⎟
⎠
при r = x12 + …+ x 2p → ∞.
Из представления (7) следует, что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в
точке x0 имеет степенную особенность вида
ρ 2− p , т. е. такую же особенность, что фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому
потенциал (34) на границе Γ ведет себя также,
как и гармонический потенциал простого слоя
[16: 262], т.е. имеют место следующие теоремы:
Теорема 7. Пусть Γ – поверхность Ляпунова
и образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой
угол. Тогда если плотность μ ∈ C (Γ) , то потенциал простого слоя V ( x) непрерывен в E p+ .
Теорема 8. Пусть Γ – поверхность Ляпунова
и образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой
угол. Тогда при μ ∈ C (Γ) имеют место следующие
предельные
соотношения:
k
∂V ( x0 )i μ0 ∂V ( x0 ) ∂V ( x0 )e
μ k
∂V ( x0 )
=
+
,
=− 0 +
,
∂nx0
∂nx0
∂nx0
∂nx0
2
2
где
∂V ( x0 )i
∂V ( x0 )e
и
– предельные значения
∂nx0
∂nx0
нормальной производной потенциала простого
слоя в точке x0 ∈Γ соответственно изнутри и
k
∂V ( x0 )
извне границы Γ , μ0 = μ ( x0 ) , а
– прямое
∂nx0
значение нормальной производной потенциала
простого слоя.
6. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала
Решение задачи Di будем искать в виде потенциала двойного слоя
∂E (ξ , x) k
U ( x) = W ( x) = ∫ ν (ξ )
ξ p d Γ.
(35)
∂n
Γ
Очевидно, что функция U ( x) удовлетворяет
условиям (16)-(18) внутренней задачи Дирихле.
Плотность ν (ξ ) – пока неопределенная функция.
Ее найдем из требования, чтобы функция (35)
удовлетворяла граничному условию (19) задачи
Di .
С этой целью подставим U ( x) в граничное
условие (19) и, учитывая формулу предельного
значения потенциала двойного слоя (теорема 6),
получим
∂E (ξ , x) k
ν ( x) − 2 ∫ ν (ξ )
ξ p d Γ = −2 f ( x).
(36)
∂n
Γ
Интегральное уравнение (36) соответствует
внутренней задаче Дирихле.
Аналогично вводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам De , N i и N e .
Они имеют вид
∂E (ξ , x) k
ν ( x) + 2∫ ν (ξ )
ξ p d Γ = 2 f ( x),
(37)
∂n
Γ
∂E (ξ , x) k
μ ( x) + 2 ∫ μ (ξ )
ξ p d Γ = 2ϕ ( x),
(38)
∂nx
Γ
∂E (ξ , x) k
μ ( x) − 2∫ μ (ξ )
ξ p d Γ = −2ϕ ( x).
(39)
∂nx
Γ
Отметим следующие свойства интегральных
уравнений (36)-(39):
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
1) Из формулы (7) следует, что эти уравнения
являются интегральными уравнениями со слабой
особенностью.
∂E (ξ , x )
∂E (ξ , x )
и −
получаются
2) Ядра
∂n
∂nx
друг из друга перестановкой точек ξ и x . Так
как эти ядра вещественные, то они сопряженные.
Отсюда следует, что уравнения (36) и (39), (37) и
(38) – попарно сопряженные интегральные уравнения.
Теорема 9. Если Γ – поверхность Ляпунова и
образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой угол,
то задача Di для этой поверхности разрешима
при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала
двойного слоя.
Теорема 10. Если Γ – поверхность Ляпунова
и образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой
угол, то задача N e для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.
Теорема 11. Если Γ – поверхность Ляпунова
и образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой
угол, то задача De для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.
Теорема 12. Если Γ – поверхность Ляпунова
и образует с гиперплоскостью x p = 0 прямой
угол, то задача N i для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.
**********
1. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и
гиперболические уравнения. – М.: Наука, 1966. –
292 с.
2. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные опера-
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
тором обобщенного сдвига, и краевые задачи для
одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дис. … д-ра физ.-мат. наук. – Казань,
1993. – 324 с.
Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных
производных второго порядка смешанного типа /
Пер. с ит. Ф.И.Франкля. – М.: ОГИЗ, 1947. – 192
с.
Hellmgren E. Sur un problème aux limates pour
l’équation y m z xx + z yy = 0 // Arkiv Mat., Astr., och
Fysik, 1926. – 19B, 14.
Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour une
équation linéaire aux dérivées partielles du second
orde de tipe mixte // Thèse, Uppsala, 1935.
Gellerstedt S. Sur un problème aus limites pour
l’équation y 2 s z xx + z yy = 0 // Arkiv Mat., Ast.och
Fysik, 1953. – 25A, 10.
Франкль Ф.И. К теории уравнения yzxx + z yy = 0 .
// Изв. АН СССР. Сер. "Матеем". – 1946. – Т.10. –
Вып.2. – С.135-166.
Germain P., Bader R. Sur quelques problèms relatifs
a l’équation du type mixte de Tricomi. // Publ.
ONERA. – 1952. – 56.
Germain P., Bader R. Problèmes elliptiques et hyperboliques singuliers pour une équation du type
mixte. // Publ. ONERA. – 1953. – 60.
Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М.:
Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981.– 448 с.
Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного
типа: Дис. … д-ра физ.-мат. наук. – М.: Мат. ин-т
АН СССР, 1952.
Векуа И.Н. Об одном обобщении интеграла Пуассона для полуплоскости // ДАН СССР. – 1947. –
Т.56. – С.229-231.
Смирнов М.М. Курс высшей математики. – М.,
1957. – Т.3. – Ч.2.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для
научных работников и инженеров. – СПб.-М.Краснодар: "Лань". – 2003. – 832 с.
Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. – М. 1977. – 432 c.
INVESTIGATION BY THE METHOD OF POTENTIALS
OF BASIC BOUNDARY PROBLEMS FOR ONE MULTIDIMENSIONAL
SINGULAR ELLIPTIC EQUATION
A.M.Nigmedzianova
In this article the existence and uniqueness of the solution of basic boundary problems for one multidimensional singular elliptic equation is proved by the method of potentials.
Key words: main boundary volume problem, multidimensional singular elliptic equation, method of potentials.
А.М.НИГМЕДЗЯНОВА
**********
Нигмедзянова Айгуль Махмутовна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.
E-mail: aigmani@rambler.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа