close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование реологических свойств композиционных материалов методами системного анализа.

код для вставкиСкачать
УДК 51-74:519.711:519.714:666.972.7:691.175
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
МЕТОДАМИ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
А.Н. Бормотов1, И.А. Прошин2
Кафедры: «Теоретическая и прикладная механика» (1),
«Автоматизация и управление» (2), ГОУ ВПО «Пензенская
государственная технологическая академия»;
aleks21618@yandex.ru
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: композиционные материалы; математическое
моделирование; многокритериальный синтез; оптимизация структуры и свойств;
структурообразование; управление качеством.
Аннотация: Представлено исследование комплексного влияния различных
факторов на реологические свойства композитов с использованием методов теории управления и системного анализа. Установлена обобщенная зависимость изучаемого свойства от всего комплекса факторов, рассматривая композит как сложную техническую систему. На основе анализа экспериментальных данных проверена адекватность предложенных моделей.
К настоящему времени выполнены многие исследования, посвященные проблемам структурообразования радиационно-защитных композитов, синтеза их
основных технических свойств и деструктивных процессов в различных условиях
эксплуатации. В отдельный раздел можно выделить исследования, направленные
на определение влияния различных рецептурно-технологических факторов на
реологические свойства мастик, растворов и бетонов. Как правило, исследователи
ограничиваются представлением экспериментальных данных и математических
моделей влияния отдельных рецептурных факторов на предельное напряжение
сдвига смеси. Однако среди них практически нет обобщающих работ, в которых
рассматривались бы вопросы комплексного влияния различных факторов на реологические свойства композитов. Исключение составляют работы В.А. Вознесенского по моделированию реологических параметров смесей на основе минеральных связующих с помощью экспериментальных полиномиальных моделей, справедливых для некоторых частных случаев [1, 2].
Обобщенные модели влияния содержания дисперсной фазы на реологические свойства смесей представлены уравнениями Эйнштейна, Муни, Гута-Смолвуда и др. Эти модели достаточно точно позволяют прогнозировать влияние количества дисперсной фазы в узких диапазонах изменения степени наполнения
композитов. При этом влияние размеров частиц дисперсной фазы, а следовательно, и связность смеси не учитываются.
Наиболее значительный вклад в теорию вязкого течения дисперсных систем
был внесен работами Генри Эйринга и Г.М. Бартенева [3]. Разработанная ими мо916
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
лекулярно-кинетическая теория течения дисперсных систем основана на гипотезе о
перемещении слоя частиц в направлении действия внешней силы и учитывает
структурные изменения системы при ее разрушении. Она справедлива для систем,
частицы которой способны к диффузионному перемещению в дисперсионной
среде.
По мнению авторов [4], исследование комплексного влияния различных факторов на реологические свойства композитов целесообразно проводить с использованием методов теории управления и системного анализа – установление
обобщенной зависимости изучаемого свойства от всего комплекса факторов, рассматривая композит как сложную техническую систему.
На практике это сводится к аппроксимации экспериментальных данных
функцией многих переменных заданного вида и получение обобщенной математической модели.
В общем случае задача аппроксимации (приближения функций) формулируется для функции
f (x) = f (x1, x2, ..., xn)
векторного аргумента, заданного на некоторой области.
Самой простой и грубой является ступенчатая аппроксимация. Она применяется как при мелкой сетке в пространстве аргумента x (то есть по существу при
табличном способе задания функции), так и при специальном виде самой функции.
Задача приближения функции нескольких переменных решается на основе
метода наименьших квадратов, представляя ее суммой функций одной переменной.
Для функции двух переменных f (x1, x2) с прямоугольной областью изменения аргументов:
d11 ≤ x1 ≤ d12 , d21 ≤ x2 ≤ d22
соответствующее выражение имеет вид
d 22 d12
min
f1 f 2
2
∫ ∫ [ f ( x1,x2 ) − f1( x1 ) − f 2 (x2 )] d x1d x2 .
d 21 d11
Решение задачи получается в виде
f1 (x1 ) + f 2 (x 2 ) = f x1 + f x 2 − f x1 x 2 ,
где
f
f
f
x1 x 2
=
x1
x2
1
=
d12 − d11
1
=
d 22 − d 21
d12
∫ f (x1, x2 ) d x1 ;
d11
d 22
∫ f (x1, x2 ) d x2 ;
d 21
1
(d12 − d11 )(d 22 − d 21 )
d 22 d12
∫ ∫ f ( x1, x2 ) d x1d x2 .
d 21 d11
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
917
Задача приближения функции двух аргументов посредством произведения
двух одномерных аргументов может быть сведена к только что рассмотренной.
Действительно, если вместо исходной функции f (x1, x2) рассмотреть функцию
ϕ(x1, x2) = ln f (x1, x2), выполнить приближение этой функции суммой ϕ1(x1) +
+ ϕ2(x2), а затем образовать функции
f1 (x1) = exp ϕ1(x1), f2 (x2) = exp ϕ2(x2),
то
ln f (x1, x2) ≈ ln f1 (x1) + ln f2 (x2);
f (x1, x2) ≈ f1 (x1) f2 (x2).
При переходе к многомерным процессам задача аппроксимации существенно
усложняется. Известные в настоящее время методы многомерной аппроксимации
менее эффективны, чем методы приближения одномерных функций. При этом
трудоемкость вычислений с ростом размерности решаемых задач резко возрастает.
Приведем относительно простой способ приближения многомерных таблично заданных функций обобщенными многочленами частного вида. Ограничимся
случаем двумерной аппроксимации. Пусть значения W(x, y) заданы в табл. 1.
Определим аппроксимирующий многочлен в виде
Qq = a1 f1(x) ϕ1(y) + a2 f2(x) ϕ2(y) + ... + aq fq(x) ϕq(y),
(1)
где fp(x), ϕp(y), p = 1, q – функции, выбранные из каких-то соображений; ap – неизвестные коэффициенты.
Для определения коэффициентов ap воспользуемся методом наименьших
квадратов, то есть из условий минимума
2
⎡ q
⎤
∑ ∑ ⎢⎢ ∑ a p f p ( xi ) ϕ p ( yi ) − Wi j ⎥⎥ ,
i =1 j =1 ⎣ p =1
⎦
n
m
приравнивая частные производные по ap нулю, получим для определения неизвестных
a1, a2, ... , aq
систему уравнений [5]
⎧c1,1 a1 + c1,2 a2 +K+ c1,q aq = b1
⎪c a + c a +K+ c a = b
2,q q
2
⎪ 2,1 1 2,2 2
⎨K
⎪
⎪⎩cq,1 a1 + cq,2 a2 +K+ cq,q aq = bq ,
(2)
где
cα,β = f α,β ϕα,β;
α = 1, q ;
β = 1, q ;
Таблица 1
Значения функции W(x, y)
y
х
x1
x2
M
xi
M
xn
918
y1
y2
...
yj
...
ym
W11
W21
M
Wi1
M
Wn1
W12
W22
M
Wi2
M
Wn2
...
...
M
...
M
...
W1j
W2j
M
Wij
M
Wnj
...
...
M
...
M
...
W1m
Wim
M
Wim
M
Wnm
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
n
n
i =1
j =1
f α,β = ∑ f α ( xi ) fβ ( xi ) ; ϕα,β = ∑ ϕα (y j ) ϕβ (y j ) ;
n
m
b p = ∑ ∑ Wi j f p ( xi ) ϕ p (y j ) ;
p = 1, q ;
i =1 j =1
cα,β = сβ, q .
В случае трехмерной аппроксимации для каждого z = zk, k = 1, l, значения
функции W (x, y, z) задаются в виде прямоугольной таблицы n × m (табл. 2).
Аппроксимирующий многочлен представляется в виде
Qq = a1 f1(x)ϕ1(y)ψ1(z) + a2 f2(x)ϕ2(y)ψ2(z) + ... + aq fq(x)ϕq(y)ψq(z),
(3)
где fp(x), ϕp(y), ψp(z), p = 1, q – функции, выбранные из каких-то соображений;
ap – неизвестные коэффициенты.
Применим метод наименьших квадратов.
Вычисляя частные производные по ap и приравнивая их нулю, получим систему уравнений (2), где:
cα,β = f α,β ϕα,β ψ α,β ;
n
f α ,β = ∑ f α ( xi ) fβ ( xi );
i =1
m
( ) ( )
ϕα,β = ∑ ϕα y j ϕβ y j ;
j =1
ψ α ,β =
n
m
l
∑ ψ α (zk ) ψβ (zk ) ;
k =1
l
b p = ∑ ∑ ∑ Wi j k f p ( xi ) ϕ p ( y j ) ψ p ( zk ) ;
i =1 j =1 k =1
α = 1, q ;
β = 1, q ;
p = 1, q.
Таблица 2
Значения функции W(x, y, z) для z = zk
y
x
x1
x2
M
xi
M
xn
y1
y2
...
yj
...
ym
W11k
W21k
M
Wi1k
M
Wn1k
W12k
W22k
M
Wi2k
M
Wn2k
...
...
M
...
M
...
W1jk
W2jk
M
Wijk
M
Wnjk
...
...
M
...
M
...
W1mk
W2mk
M
Wimk
M
Wnmk
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
919
Описанный способ аппроксимации легко распространяется и на функции с
большим числом переменных.
Аппроксимирующему многочлену можно придать более общий, в сравнении
с выражением (3), вид, например
Qq =
q
∑ a p f p ( x, y , z ) .
(4)
p =1
Величины cα,β и bp системы (2) вычисляются по формулам:
n
cα ,β = ∑ f α ( xi , yi , zi ) f β ( xi , yi , zi ) ;
i =1
n
b p = ∑ Wi f p ( xi , yi , zi ) ,
i =1
где n – общее число точек, пронумерованных произвольным образом, причем
n ≥ q. В данном случае отпадает необходимость иметь прямоугольную таблицу
значений аппроксимируемой функции.
Более общее, в сравнении с уравнением (4), выражение для аппроксимирующего многочлена может быть представлено в виде
q
Qq =
∑ f p ( x, y, z, a1, a2 , K, am ) ,
p =1
где m – число подлежащих определению параметров аппроксимации.
Определение параметров a1, a2, ..., am в общем случае можно осуществить
поиском минимума
2
⎡ q
⎤
∑ ⎢⎢ ∑ f p ( xi , yi ,zi ,a1,a2 , K , am ) − Wi ⎥⎥
i =1 ⎣ p =1
⎦
известными методами оптимизации.
При решении практических задач, как уже отмечалось, выбор вида аппроксимирующей функции во многом определяется интуицией экспериментатора. Однако есть и объективные критерии выбора вида аппроксимирующей функции.
Рассмотрим реологические свойства эпоксидных композитов специального
назначения на примере определения аналитической зависимости предельного напряжения сдвига τ от объемной степени наполнения υf и времени t по данным
эксперимента, приводимым в табл. 3 и на рис. 1 и 2. Очевидно, что указанные
факторы наиболее полно характеризуют интенсивность изменения структуры
формирующегося композита, то есть степень «загустевания» материала.
n
Таблица 3
Экспериментальная зависимость объемной степени наполнения от времени
t
υf
0,19
0,54
0,70
0,78
0,82
920
5
10
15
20
25
30
35
40
90
120
140
140
50
100
130
160
170
170
130
150
220
250
1200
200
180
290
330
–
600
250
400
440
–
1200
480
640
700
–
–
1150
1300
1380
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
τ, кПа
1600
1400
1200
2
1
1000
3
4
800
5
600
400
200
0
5
10
15
20
25
30
35
t, мин
Рис. 1. Зависимость предельного напряжения сдвига от времени
при различных значениях υf :
1 – 0,2; 2 – 0,55; 3 – 0,83; 4 – 0,78; 5 – 0,7
τ, кПа
180
160
2
140
120
100
1
80
60
40
20
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
υf
Рис. 2. Зависимость предельного напряжения сдвига
от объемной степени наполнения:
1 – через 5 мин; 2 – через 10 мин
Для определения вида аппроксимирующей функции τ = τ (υf , t) воспользуемся методом сечений.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
921
На
рис. 3, а
приводятся
результаты
аппроксимации
функций
k1t
τ = τ (υf , t = const) функциями вида y = a1e , а на рис. 3, б – аппроксимация
τ = τ (υf = const, t) функциями вида y = a 2 e k 2 t .
На рис. 4 показана полиноминальная аппроксимация k1 = k1(υf ) и k2 = k2(t)
при различных степенях полинома.
τ, кПа
2500
–3,2281x
y = 15238e
2000
–3,3835x
y = 8110,7e
–3,0341х
y = 3621,6e
1500
1000
–2,2242x
y = 1284,3e
500
1,9379x
0,5083x
y = 34,632e
2,0426x
y = 28,052e
y = 131,34e
0
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
υf
а)
τ, кПа
1500
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0,1177x
0,2002x
y = 11,616e
2
R = 0,9627
y = 31,321e
2
R = 0,9356
0,0733x
y = 83,874e
2
R = 0,9683
0,0718x
y = 79,696e
2
R = 0,9519
0,0707x
y = 60,323e
2
R = 0,8566
5
10
15
20
25
30
35
б)
Рис. 3. Аппроксимации функций:
а – τ = τ (υf , t = const); б – τ = τ (υf = const, t)
922
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
t, мин
k1
4
2
y = 0,0047x – 0,4015x + 4,6488
R2 = 0,9227
3
2
y = 0,0007x – 0,0391x + 0,3462x + 1,3665
2
R = 0,9719
3
2
1
0
5
–1
–2
–3
10
15
20
25
30
35
t, мин
y = – 0,2154x + 3,2531
2
R = 0,8915
–4
–5
а)
k2
0,25
y = 0,1712x2 – 0,3851x + 0,2682
R2 = 0,9815
y = 1,8549x3 – 2,7408x2 + 0,9659x + 0,1029
R2 = 0,999
0,2
0,15
y = – 0,2143x + 0,2366
2
R = 0,9647
0,1
0,05
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
υf
б)
Рис. 4. Полиномиальная аппроксимация k1 = k1 (υf) (а) и k2 = k2(t) (б)
при различных степенях полинома
Из приведенных результатов с очевидностью следует возможность аппроксимации τ = τ (υf , t) в виде
τ = Α exp[k1 (υ f )(υ f − 0,19 ) + k 2 (t )(t − 5)]
при 0,19 ≤ υf ≤ 0,82; 5 ≤ t ≤ 35 мин,
где A =
n
m
i =1
j =1
∑ a1 ∑ a2 .
При n = 7, m = 5 аппроксимация τ = τ (υf , t) получается в виде
τ = 216884,94exp[(− 0,21υ f + 0,24 )(υ f − 0,19 ) + (− 0,22t + 3,25)(t − 5)]
(рис. 5).
С применением полной диаграммы реологических свойств композиционных
материалов можно проводить обоснованный выбор рецептурно-технологических
параметров с учетом комплексного влияния указанных факторов на процессы
структурообразования композиционных материалов.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
923
τ, кПа
2 50 0
2500
2 00 0
2000
15 0 0
1500
10 0 0
1000
500
500
25
25
00
0 , 19
0,19
20
20
30
30
35
35
В р еt,ммин
я,
15
15
0,54
0,54
С те п е нь н ап о лне н и я
υf
10
10
0,7
0,7
0, 7 8
0,78
55
0,82
0,82
Рис. 5. Полная диаграмма реологических свойств
радиационно-защитных эпоксидных композитов
Предложенный метод представления изменения реологических свойств (полная диаграмма) позволяет решить задачу оптимального синтеза композиционных
материалов в случае действия множества структурообразующих факторов, то есть
задачу многокритериального синтеза.
Работа выполнена при поддержке гранта АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)» на 2009 год на тему «Математическое моделирование и многокритериальный синтез строительных материалов
специального назначения», рег. № 2.1.2/5688.
Список литературы
1. Вознесенский, В.А. Численные методы решения строительно-технологических задач на ЭВМ / В.А. Вознесенский, Т.В. Ляшенко, Б.Л. Огарков. −
Киев : Выща школа, 1989. − 326 с.
2. Баженов, Ю.М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона / Ю.М. Баженов, В.А. Вознесенский. − М. :
Стройиздат, 1974. − 191 с.
3. Бартенев, Г.М. Физика полимеров / Г.М. Бартенев, С.Я Френкель. –
Л. : Химия, 1990. – 429 с.
4. Разработка и управление качеством строительных материалов с регулируемыми структурой и свойствами для защиты от радиации / А.П. Прошин [и др.] //
Труды II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO’03, Москва, 29–31 янв. 2003 г. / Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова РАН. – М., 2003. – С. 2437–2460.
5. Супрун, А.Н. Вычислительная математика для инженеров-экологов /
А.Н. Супрун, В.В. Найденко. – М. : АСВ, 1996. – 391 с.
924
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
Research into Rheological Properties of Composite Materials
via System Analysis Techniques
A.N. Bormotov1, I.A. Proshin2
Departments “Theoretical and Applied Mechanics” (1),
“Automation and Mangement” (2), Penza State Technological Academy;
aleks21618@yandex.ru
Key words and phrases: composite materials; mathematical modeling; multicriteria synthesis; optimization of structure and properties; quality control; structuring.
Abstract: The paper presents the research into complex influence of different
factors on rheological properties of composites using the techniques of management
theory and system analysis. The generalized dependence of the examined feature on the
whole set of factors is established; thus the composite is considered as complex
technical system. On the basis of the experimental data the adequacy of the proposed
models is proposed.
Untersuchung der rheologischen Eigenschaften der Materialkomposites
durch die Methoden der Systemanalyse
Zusammenfassung: Es ist die Untersuchung der Komplexeinwirkung der
verschiedenen Faktoren auf die rheologischen Eigenschaften der Kompositen mit der
Benutzung der Methoden der Steuerungstheorie und der Systemanalyse dargelegt.
Betrachtend das Koposit als kompliziertes technisches System ist die zusammengefasste
Abhängigkeit der erlernenden Eigenschaft vom gesamten Komplex der Faktoren
festgestellt. Auf Grund der Analyse der Experimentalangaben wird die Adäquatheit der
vorgeschlagenen Modelle nachgeprüft.
Etudes des propriétés rhéologiques des matériaux composites par les
méthodes de l’analyse systémique
Résumé: Est présentée l’étude de l’influence complexe de différents facteurs sur
les propriétés rhéologiques des composites avec l’utilisation les méthodes de la théorie
de la commande et de l’analyse systémique. Est établie une dépendance générale de la
propriété étudiée de l’ensemble du complexe en examinant le composite comme une
système technique complexe. A la base de l’étude des données expérimentales est
contrôlée l’adéquation des modèles proposés.
Авторы: Бормотов Алексей Николаевич – кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика»; Прошин
Иван Александрович – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и управление», ГОУ ВПО «ПГТА».
Рецензент: Мачнев Валентин Андреевич – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика и математика», ФГОУ
ВПО «Пензенская государственная сельскохозяйственная академия».
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 4. Transactions TSTU
925
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
333 Кб
Теги
анализа, реологически, методами, свойства, материалы, системно, исследование, композиционные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа