close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости методом функций Ляпунова.

код для вставкиСкачать
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПОВЫШЕННЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ
ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Галимова Ризагуль Фаритовна
магистр 2 курса Евразийского национального университета
им. Л.Н. Гумилева, Казахстан, г. Астана
Email: rizagul1990@mail.ru
Бейсенби Мамырбек Аукебайулы
д-р тех. наук, профессор, заведующий кафедрой
системного анализа и управления ЕНУ им. Л.Н. Гумилева,
Казахстан, г. Астана
THE STUDY OF CONTROL SYSTEMS WITH INCREASED POTENTIAL
OF ROBUST STABILITY BY LYAPUNOV FUNCTION
Rizagul Galimova
master 2nd year of Eurasian National University, Kazakhstan, Astana
Mamyrbek Beisenbi
doctor of Science, professor, Head of System Analysis and Control department
of Eurasian National University, Kazakhstan, Astana
АННОТАЦИЯ
Настоящая
статья
посвящена
актуальным
проблемам
построения
робастной устойчивой системы управления с неопределенными параметрами
с подходом к построению системы управления в классе трехпараметрических
структурно-устойчивых
отображений
(катастрофа
«Ласточкин
хвост»),
позволяющих предельно увеличить потенциал робастной устойчивости.
______________________________
Галимова Р.Ф., Бейсенби М.А. Исследование систем управления с повышенным
потенциалом робастной устойчивости методом функций Ляпунова //
Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2014. № 1 (2) .
URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/906
Исследование робастной устойчивости систем управления базируется на новом
подходе применения метода функций Ляпунова.
ABSTRACT
Article is devoted to actual issues of constructing a robust sustainable
management system with indefinite parameters with the approach to the construction
of a control system in a three-parameter structurally stable mappings class
(catastrophe dovetail), gives you an opportunity to increase the potential for robust
stability. Study of robust stability of control systems based on a new approach
of applying the method of Lyapunov functions.
Ключевые
слова:
робастная
устойчивость;
функция
Ляпунова;
катастрофа «Ласточкин хвост».
Keywords: Robust Stability; Lyapunov function; Сatastrophe dovetail.
Проблема построения систем управления занимает одно из центральных
мест при создании систем автоматического и автоматизированного управления,
которые широко применяются во всех сферах производства и техники:
в машиностроении, энергетике, электронной, химической, биологической,
металлургической и текстильной промышленности, транспорте, робототехнике,
авиаций, космических системах, высокоточной военной технике и технологиях
и т. д.
В настоящее время общепризнанно, что большинство реальных систем
управления
функционируют
в
условиях
той
или
иной
степени
неопределенности. При этом неопределенность может быть обусловлена
незнанием
истинных
значений
параметров
объектов
управления
и непредсказуемым изменением их во времени (в процессе эксплуатаций).
Поэтому проблема робастной устойчивости является одной из наиболее
актуальных в теории управления и представляет большой практический
интерес.
Известные
методы [9]
с неопределенными
построения
параметрами
в
систем
основном
управления
посвящены
объектами
определению
робастной устойчивости системы с заданной структурой с линейными законами
управления. Также они не позволяют проектировать системы управления
с достаточно широкой областью робастной устойчивости в условиях большой
неопределенности параметров объекта управления и дрейфа их характеристик
в больших пределах.
Настоящая
статья
посвящена
актуальным
проблемам
построения
робастной устойчивой системы управления с неопределенными параметрами
с подходом к построению системы управления в классе трехпараметрических
структурно-устойчивых отображений [2; 3], позволяющих предельно увеличить
потенциал робастной устойчивости.
Исследование робастной устойчивости систем управления базируется
на новом подходе применения метода функций Ляпунова.
Пусть
система
управления
обладает
единственным
входом
и единственным выходом и имеет скалярный закон управления и описывается
уравнением состояния в стандартной форме:
dx
 Ax  Bu , x  R n , u  R1 ,
dt
(1)
где:
0
1
0
0
0
...
1
...
A  ...
0
... 0
... 0
... ..
... 1
0
0
 a n  a n 1  a n  2 ...  a1
,
0
x1
0
x2
B 0 ,
...
1
X  ...
...
xn
Закон управления u (t ) задается в форме трѐхпараметрических структурноустойчивых отображений (катастрофа «Ласточкин хвост»)
1
1
1
1
1
1
u   x15  k11 x13  k12 x12  k13 x1  х25  k 21 x 23  k 22 x 22 ,...,
5
3
2
5
3
2
1
1
1
 x n5  k n1 x n3  k n2 x n2  k n3 x n ,
5
3
2
(2)
Система (1) в развернутом виде записывается
 dx1
 dt  x 2

 dx 2  x
3
 dt


 dx
1
1
1
1
1
1
 n   x15  k11 x13  k12 x12  (k13  a n ) x1  x 25  k 21 x 23  k 22 x 22  (k 23  a n 1 ) x 2 ,...,
5
3
2
5
3
2
 dt
 1 5 1 1 3 1 2 2
3
 x n  k n x n  k n x n  (k n  a1 ) x n ,
3
2
 5
(3)
Стационарные состояния системы определяются решением уравнения:
n
1
1
1
 k i1 xis3  k i2 xis2  (k i3  a n i 1 ) xis  0,
3
2
 0, x3s  0,..., x n 1, s  0, x ns  0
 5 x
i 1
x2 s
5
is
(4)
Из (4) можно получить стационарные состояния:
x11s  0, x12 s  0,..., x1ns  0
(5).
Для определения других стационарных состояний исследуем критические
точки вырожденности. Они могут быть получены приравниванием различных
производных градиентной функции F ( x, ki1 , ki2 , ki3 ) нулю:
F ( x, k i1 , k i2 , k i3 ) 
1 5 1 1 3 1 2 2
xis  k i xis  k i xis  (k i3  ani 1 ) xis
5
3
2
(6).
Введем обозначение ki3  ani 1  ki ,
 критические точки xis4  ki1 xis2  ki2 xis  ki  0
(7);
3
1
2
 дважды вырожденные 4 xis  2ki xis  ki  0
(8);
2
1
 - трижды вырожденные 12 xis  2ki  0
(9);
 четырежды вырожденные 24 xis  0
(10).
Четырежды вырожденные критические точки определяются по формуле:
(9)
(8 )
(10)  xis  0  k i1  0

(7)
k i2  0  k i  0
Это означает, что функция F ( xis ,0,0,0) имеет четырежды вырожденную
критическую точку xis  0 .
Линии, соединяющие точки, которые характеризуют поведение функции
с трижды
вырожденными
критическими
точками,
имеют
следующее
параметрическое представление в пространстве управляющих параметров R 3
(рисунок 1)
(8 )
(9) k i1  6 xis2  k i2  8xis3
(7)

k i  3xis4
(11)
Рисунок 1. Сепаратриса пространства управляющих параметров
Такое представление может быть получено следующим образом. Точки,
характеризирующие функции с дважды вырожденными критическими точками,
образуют поверхность, которая в пространстве параметров R 3 может быть
представлена как
(8)

k i2  4 xis3  2k i1 xis
(7)

k i  3xis4  k i1 xis2
(12),
т. е. в параметрическое представление двумерной поверхности, определяемой
(12), входят как координата дважды вырожденной критической точки xis ,
так и значение управляющего параметра k i1 . Для изучения этой поверхности
используем следующее наблюдение из теории подобия: если вводить новый
масштаб по xis с помощью множителя  , а по k i1 — с помощью множителя 2 ,
то при этом k i2 умножается на множитель 3 , а k i на 4 :
Если
x  x
k i1  2 k i1
Тогда
,
k i2  3 k i2
(13).
k i  4 k i
Таким образом, необходимо лишь определить поперечное сечение k i2  k i
поверхности (12) в тех плоскостях, например, ki1  1, ki1  0, ki1  1 . Затем, изменяя
масштаб в этих поперечных сечениях и используя формулы (13), можно
получить всю поверхность (рисунок 2).
Рисунок 2. Параметрическое представление в пространстве управляющих
параметров R 3
Поперечные
сечения,
изображенные
на
рисунке
2,
получены
при фиксированных значениях k i1 . Если собрать эти поперечные сечения
вместе, то, изменяя масштаб, можно получить поверхность, изображенную
на рисунке 1. Данная поверхность делит R 3 на три открытые области.
Качественное поведение функций, параметризуемых точками любой одной
области,
одинаково
эту поверхность.
и
изменяется
только
при
прохождении
сквозь
Как известно, уравнение (6) может иметь до четырех реальных решений,
характеризующих морсовские критические точки, и они совпадают локальным
максимумом или минимумом потенциальной функции F ( x, ki1 , ki2 , ki3 ) , т. е. могут
соответствовать
устойчивым
или
неустойчивым
установившимся
стационарным состояниям системы (3).
Сепаратриса пространства управляющих параметров (рисунок 1) разделяет
функцию на качественно различные открытые области. Как известно
из [7; 12; 8; 11],
чтобы
определить
качественное
поведение
функции
F ( x, ki1 , ki2 , ki3 ) , параметризуемых точками из этих областей, достаточно выбрать
любую точку из этой области и изучить качественные изменения в поведении
соответствующей функции.
Удобной точкой для определения качественного поведения функции,
параметризуемой точками на сепаратрисе, является точка (ki1 , ki2 , ki )  (1,6,4)
для xiS  1 . Эту точку находим, пользуясь формулой (12) для случая при xiS  1
и k i1  1 . Можно проверить путем непосредственной подстановки, что эта точка
также удовлетворяет уравнению (7) при значении xis  1 . Далее, пользуясь
формулой подобия (13) критических точек ki10  1, ki20  6, ki 0  4 при xiS  1 ,
будем пересчитывать до соответствующих точек ( xis ; ki1 , ki2 , ki ) :
2
xiS2  3
4
 k2 
 k i2
 k i2 1  3  k i2  3
i 
,  3
, ki 
, k i  4 3
 a n i 1




6
6
6
6




(14).
Можно убедиться путем непосредственной подстановки, что полученные
значения критических точек также удовлетворяют уравнению (7), т. е. являются
морсовскими критическими точками.
Можно взять также другую точку для xis  1 и k i1  1 . Для определения
качественного поведения функции, параметризуемой точками из области
(k i1 , k i2 , k i )  (1,6,4) для xis  1 , воспользуемся формулой (12) при xis  1 , k i10  1
и находим ki20  6, ki 0  4 . Найденные значения коэффициентов и заданное
значение
xis  1
являются решением уравнения (7). Для определения
качественного поведения функции (6), параметризуемой точками из этой
области,
воспользуемся
k i10  1, k i20  6, k i 0  4 ,
если
формулой
xis  1 .
подобия
(13)
критических
точек
Произведя пересчет по формуле (13)
до соответствующих точек ( xis ; ki1 , ki2 , ki ) , получим:
2
4
 k2 
 k2 
k2
k2
xiS3  3 i ,   3 i , k i1   3 i  , k i3  4 3 i   a n i 1 .
 6 
 6 
6
6




(15).
Полученные точки (15) также будут лежать на поверхности, определяться
решением уравнения (7) и являться морсовскими критическими точками,
образующими поверхности сепаратрисы.
Возьмем для удобства точку с координатами xi 0  1, ki10  1, ki20  1, ki 0  31 / 30 ,
которая удовлетворяет уравнению, характеризующему другие стационарные
состояния системы (3), кроме нулевого xis1  0 (i  1,....., n)
1
1
1
( xis ) 4  k i2 ( xis ) 2  k i2 xis  k i  0
5
3
2
(16).
Для определения качественного поведения функции, параметризуемой
точками из этой области, воспользуемся формулой подобия (13). Произведя
пересчет по этой формуле до соответствующих точек ( xis ; ki1 , ki2 , ki ) , получим
xiS4  k i1 ,   k i1 , k i2  ( k i1 ) 3 , k i3 
31
( k i1 ) 4  ani 1 , если k i1  0 .
30
(17).
Полученные значения стационарного состояния системы и его параметров
удовлетворяют уравнению (16). Это можно проверить путем непосредственной
подстановки (17) в уравнение (16).
Можем
взять
точку
xi 0  1, k i10  1, k i20  1, k i 0  31 / 30 .
Эта
точка
также удовлетворяет уравнению стационарного состояния системы (16).
Пользуясь формулой подобия (13) и произведя пересчет до соответствующих
точек ( xis ; ki1 , ki2 , ki ) , получим:
31
( k i1 ) 4  ani 1 , k i  0 .
30
xiS5   k i1 ,   k i1 , k i2  ( k i1 ) 3 , k i3 
(18).
Найденные значения стационарного состояния и параметров (18)
удовлетворяют уравнению (16), т.е. являются решением уравнения (16)
при заданном законе изменения параметров.
Для определения качественного поведения функции, параметризуемой
точками из любой области, достаточно рассмотреть любую еѐ точку (k i1 ,0, k i ) .
Уравнение ( xis2 ) 2  ki1 xis2  ki  0 имеет решение

 
x   k i1 / 2 

6
iS

 k / 2
xiS7    k i1 / 2 

При
k i1  0 :

k / 2  k i 

2
1
i
1
i
2
1/ 2
 k i 

,
(19)
1/ 2
.
два вещественных корня, если
(20)
ki  0 ,
и ни одного
вещественного корня, если k i  0 .
При k i1  0 : два вещественных корня, если k i  0 , четыре вещественных
корня, если 0  ki  (ki1 / 2) 2 , и ни одного вещественного корня, если k i  (k i1 / 2) 2 .
Интерес может также представлять тип функций, соответствующих точкам
поверхности (12) на ребрах (11) или на линии самопересечения. Из (12) следует,
что в точке 2 (рисунок 3) при xis  0 имеется дважды вырожденная критическая
точка, так что изолированные критические точки встречаются как справа,
так и слева от нее.
Согласно (11), получаем, что в точке 1 трижды вырожденная критическая
точка существует при xis  0 , а в точке 3 при xis  0 .
Обе левосторонние критические точки вырождены на кривой
Sl
(рисунок 3), а обе правосторонние критические точки на кривой S r . Линия
пересечения левосторонней и правосторонней поверхности (рисунок 1)
описывает функции с двумя дважды вырожденными критическими точками.
На этой линии k i2  0, а ki  (ki1 / 2) 2 , так что уравнение (3) принимает вид
2
2
 k1 

k1 
x  k x   i    xis2  i   0 ,
2
 2

4
is
1 2
i is
Рисунок 3.Разделение неморсовскими критическими точками
пространства управляющих параметров на три открытые области
и имеет кратные корни
xis8    k i1 / 2 , при k i1  0 ,
xis9   k i1 / 2 при k i1  0
.
Соответствующие значения потенциальной функции (6) изображены
на рисунке 4.
Итак, множество точек, в которых F ( xis ; ki1 , ki2 , ki3 ) имеет неморсовские
критические точки, разделяет пространство управляющих параметров R 3 на три
открытые области. Любая точка R 3 может быть аппроксимирована с любой
наперед заданной точностью последовательностью точек, полностью лежащих
в одной из этих областей. Это значит, что неморсовские функции могут быть
приближены с любой необходимой точностью морсовскими функциями.
Сепаратриса состоит из точек, характеризующих функции с дважды
вырожденными критическими точками, двух кривых, описывающих функции
с трижды вырожденными критическими точками, кривой, описывающей
функции с двумя дважды вырожденными критическими точками, и трех
поверхностей, описывающих функции с дважды вырожденными критическими
точками.
Исследование устойчивости этих стационарных состояний (5), (14), (15),
(17)—(20) проводится на основе разрабатываемого подхода, основанного
на методе функций Ляпунова.
Рисунок 4. Параметрическое представление в пространстве управляющих
параметров
Рассмотрим устойчивость стационарного состояния (5). Для этого
обозначим компоненты вектора антиградиента от вектор-функций Ляпунова
Vi (x) через:
 V1 ( x)
V ( x)
V ( x)
V ( x)
 0, 1
  x2 , 1
 0,....., 1
0


x

x

x

x
1
2
3
n

 V2 ( x)
V ( x)
V ( x)
V ( x)
 0, 2
 0, 2
  x3 ,....., 2
0


x

x

x

x
1
2
3
n

.........

 Vn 1 ( x)  0, Vn 1 ( x)  0, Vn 1 ( x)  0,....., Vn 1 ( x)   x
n
 x
x 2
x3
x n
1

1
1
1
 Vn ( x)
  x15  k11 x13  k12 x12  (k13  a n ) x1

5
3
2
 x1
 Vn ( x)
1
1
1
  x 25  k 21 x 23  k 22 x 22  (k 23  a n 1 ) x 2

5
3
2
 x 2
 V ( x)
1
1
1
 n
  x35  k 31 x33  k 32 x32  (k 33  a n  2 ) x3
5
3
2
 x3
.........

 Vn ( x)
1 5 1 1 3 1 2 2
3
 x   5 x n  3 k n x n  2 k n x n  (k n  a1 ) x n
n

(21)
Полная производная по времени от вектора-функций Ляпунова будет
равна:
V V dx
1
1
1
1
1

*
  x 22  x32 ,....., x n2  [ x15  k11 x13  k12 x12  (k13  a n ) x1 ] 2  [ x 25  k 21 x 23 
t
x dt
5
3
2
5
3
1
1
1
1
(22)
 k 22 x 22  (k 23  a n 1 ) x 2 ]2  [ x35  k 31 x33  k 32 x32  (k 33  a n  2 ) x3 ] 2 ,......,
2
5
3
2
1
1
1
 [ x n5  k n1 x n3  k n2 x n2  (k n3  a1 ) x n ] 2
5
3
2
Из (22) получаем, что полная производная по времени от компонентов
вектор-функций
Ляпунова
поэтому достаточное
условие
будет
знако-отрицательной
асимптотической
устойчивости
функцией,
системы
стационарного состояния (5) выполняется.
По компонентам вектора-градиента от вектор-функций Ляпунова (21)
строим вектор-функции Ляпунова (Vi ( x)  (Vi1 ( x),Vi 2 ( x),...,Vin ( x)) :
V 11( x)  0,
1
V12 ( x)   x 22 ,
2
V13 ( x)  0,
…,
V1n ( x)  0
V 21( x)  0,
V 22( x)  0,
1
V 23( x)   x32 ,
2
…,
V 2 n( x)  0,
…
…
….
…,
1
V n1,n( x)   xn2
2
V n1,1( x)  0, V n1, 2( x)  0,
V n1,3( x)  0,
Vn,1 ( x) 
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
x1  k1 x1  k1 x1  (k1  a n ) x12
30
12
6
2
Vn, 2 ( x) 
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
x2  k 2 x2  k 2 x2  (k 2  an1 ) x22
30
12
6
2
Vn,3 ( x) 
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
x3  k 3 x3  k 3 x3  (k 3  an2 ) x32
30
12
6
2
….
….
Vn,n ( x) 
….
….
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
xn  k n xn  k n xn  (k n  a1 ) xn2
30
12
6
2
Функцию Ляпунова в скалярной форме можем представить в виде суммы
компонентов вектор-функций
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
x1  k1 x1  k1 x1  (k1  a n ) x12 
x 2  k 2 x 2  k 2 x2  (k 2  a n 1  1) x22 
30
12
6
2
30
12
6
2
(23)
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
1 6 1 1 4 1 2 3 1 3
2
2

x3  k 3 x3  k 3 x3  (k 3  a n  2  1) x3 ,..., x n  k n x n  k n xn  (k n  a1  1) x n
30
12
6
2
30
12
6
2
V ( x) 
Для
определения
условия
положительной
или
отрицательной
определенности функций (23) воспользуемся леммой Морса из теории
катастроф [6].
Рассматриваемая система (3) находится в состоянии устойчивого
или неустойчивого равновесия, иначе говоря, находится в морсовских точках,
т. е система (3) находится в стационарных точках x s , где градиент функций
Ляпунова (потенциальной функции)  V  0 , и если Vij 
 2V ( x)
xi x j
0
,
xs
то в этих стационарных точках системы справедлива лемма Морса [6]
и гарантирует существование гладкой замены переменных, такой, что функция
Ляпунова (23) локально может быть представлена квадратичной формой
n
V ( x)   i xi2 ,
(24).
i 1
Здесь i — собственные значения матрицы Гесса [1]
Vij ( x s ) 
 2V ( x)
xi x j
(25).
xs
Положительная определенность функций Ляпунова будет определяться
знаками коэффициентов квадратичной формы (24) (i  0, i  1,...., n) , т. е знаками
собственных значений матрицы Гесса [6].
Следовательно,
необходимо
определить
матрицу
Гесса
в
точках
равновесия (5). Вычисляем матрицу Гесса для функций Ляпунова (23)
в стационарной точке (5).
Находим:
V ( x) 1 5 1 1 3 1 2 2
 x1  k1 x1  k1 x1  (k13  a n ) x1
x1
5
3
2
V ( x) 1 5 1 1 3 1 2 2
 x2  k 2 x2  k 2 x2  (k 23  a n1  1) x2
x2
5
3
2
V ( x) 1 5 1 1 3 1 2 2
 x3  k 3 x3  k 3 x3  (k 33  a n2  1) x3
x3
5
3
2
…
…
…
…
V ( x) 1 5 1 1 3 1 2 2
 xn  k n xn  k n xn  (k n3  a1  1) xn
xn
5
3
2
Вычисляем элементы матрицы Гесса:
  2V ( x)

 x1x1
  2V ( x)

 x 2 x 2
  2V ( x)

 x3 x 3
......
 2
  V ( x)
 x x
 n n

 x  k x  k x  (k  a n ),
 2V ( x)
 0, j  1, j  2,...., n
x1x j
 x  k x  k x 2  (k  a n 1  1),
 2V ( x)
 0, j  2, j  1,...., n
x 2 x j
 x34  k 31 x32  k 32 x3  (k 33  a n  2  1),
 2V ( x)
 0, j  3, j  1,...., n
x3 x j
4
1
1 2
1 1
4
2
1
2
2
2
2
1 1
2
2
3
1
3
2
......
 2V ( x)
 0, j  n, j  1,...., n  1
x n x j
 x n4  k n1 x n2  k n2 x n  (k n3  a1  1),
Находим собственные значения матриц Гесса в стационарной точке (5):
1  (k13  an )
3  (k 33  an2  1) ,
2  (k 23  an1  1)
….,
n  (k n3  a1  1)
По лемме Морса функцию Ляпунова (23) локально в окрестности
стационарного состояния (5) можно представить в виде квадратичной формы:
V ( x)  (k13  an ) x12  (k 23  an1  1) x22  (k33  an2  1) x32 ,....,(k n3  a1  1) xn2 (26).
Условия устойчивости стационарного состояния (5) будут определяться
системой неравенств
k13  a n  0
 3
k 2  a n 1  1  0
 3
k 3  a n  2  1  0
....

k n3  a1  1  0

(27)
Таким образом, показано, что система (1) за счет введения в закон
управления
трехпараметрических
структурно-устойчивых
отображений
приобретает свойства робастной устойчивости в широких пределах изменения
неопределенного
параметра
x1s  x2 s  ...  xns  0
является
a, i  1,..., n .
глобально
Оказывается,
что
асимптотически
состояние
устойчивым
при выполнений условий (27), т. е появляется возможность построить
устойчивую систему управления при любом изменении неопределенных
параметров a, i  1,..., n .
Список литературы:
1.
Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости — М.: Наука, 1966. —
540 с.
2.
Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости
системы управления. — Астана, 2011. — 352 с.
3.
Бейсенби М.А. Модели и методы системного анализа и управление
детерминированным хаосом в экономике. — Астана, 2011. — 201 с.
4.
Бесекерский В.А., Небылов А.В. Робастные системы автоматического
управления. — М.: Наука, 1983. — 239 с.
5.
Воронов И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 540 с.
6.
Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. — Т. 1. — М.: Мир, 1981.
7.
Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977.
8.
Мейлахс А.М. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях
неопределенности // Автом. телемех. — 1975. — № 2. — С. 182—184.
9.
Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.:
Наука 2002. — 303 с.
10. Томпсон Дж., Майкл Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. —
М.: Мир, 1985. — 254 с.
11. Rantzer A., Megretski A. A convex parametrization of robustly stabilizing
controllers // IEEE Trans. Autom. Control. — 1994. — V. 39. — No. 9. —
P. 1802—1808.
12. Tsypkin Ya.Z., Polyak B.T. High-gain robust control // Eur. J. Control. — 1999. —
V. 5. — No. 1. — P. 3—9.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
64
Размер файла
505 Кб
Теги
робастное, методов, система, функции, ляпунова, управления, устойчивость, потенциал, повышенных, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа