close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К вопросу о разрешимости задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптических систем.

код для вставкиСкачать
Естественные науки
УДК 517956
К ВОПРОСУ О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Е.А.Головко1, Г.А.Тренёва2
1
Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет,
664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1.
2
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,
664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
В работе исследуется вопрос о разрешимости задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических, по Петровскому, систем определенной структуры, содержащих младшие производные. Задача сводится к исследованию одного уравнения с частными производными второго порядка с помощью преобразования Фурье. Показано,
что наличие младших производных в системе, в отличие от одного уравнения эллиптического типа, существенно
влияет на разрешимость граничных задач.
Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: эллиптические системы; задача Дирихле; младшие производные; преобразование Фурье.
ON THE PROBLEM OF SOLVABILITY OF DIRICHLET PROBLEM FOR ONE CLASS OF MULTIDIMENSIONAL
ELLIPTIC SYSTEMS
E.A. Golovko, G.A. Treneva
Institute of Mathematics, Economics and Computer Science, Irkutsk State University,
1. C.Max St., Irkutsk, 664003.
National Research Irkutsk State Technical University,
83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The article examines the problem on the solvability of the Dirichlet problem in a semispace for elliptic (according to Petrovsky) systems of the definite structure, containing minor derivatives. The problem is reduced to the study of an equation with the partial derivatives of the second order with the help of the Fourier transform. It is shown that the presence of
minor derivatives in the system, unlike one elliptic equation, significantly affects the solvability of boundary-value problems.
3 sources.
Key words: elliptic systems; Dirichlet problem; minor derivatives; Fourier transform.
Важным разделом теории уравнений с частными
производными является теория краевых задач для
эллиптических уравнений и систем. Эллиптические по
Петровскому системы уравнений в частных производных второго порядка, не удовлетворяющие условию
сильной эллиптичности по Вишику, до настоящего
времени в прикладных задачах не возникали, хотя
сильно эллиптические системы с параметром встречаются в стационарной изотропной теории упругости.
Однако для математики исследование таких систем
представляет значительный интерес, что подчеркивалось ещё на третьем Всесоюзном математическом
съезде [1]. В настоящее время достаточно полно исследованы эллиптические системы с двумя независимыми переменными, а также сильно эллиптические
системы с любым числом независимых переменных.
Интересные результаты для не сильно эллиптических
систем с параметром получены в работах
А.И.Янушаускаса [2], Т.Н.Сыренной [3], Ш.Б.Халилова
[4] и др. Но в теории эллиптических систем ещё много
неясных вопросов. Одним из них является вопрос о
том, как влияет структура системы на разрешимость
задачи Дирихле.
В настоящей работе изучается влияние младших
производных на разрешимость задачи Дирихле для
системы определенной структуры.
Рассмотрим систему
∂u j
∂ n ∂ul
− L[u j ] + λ j
cl
+µ
= 0,
∑
∂x j l =1 ∂xl
∂xk
(1)
j = 1, n , k ∈ {1,..., n},
∂2
, cl > 0 – эллиптический оператор
∂xl2
l =1
второго порядка; λ j , µ – вещественные параметры;
n
где L = ∑ cl
u j ( x1 ,..., xn ), j = 1,...n, – неизвестные функции.
Введем обозначения
∂ul
(2)
.
∂xl
l =1
Продифференцируем каждое j -е уравнение сисn
H = ∑ cl
темы (1) по x j , умножим на c j и сложим результаты:
___________________________
1
Головко Елена Анатольевна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: (3952) 510408, e-mail: elenagolovko@mail.ru
Golovko Elena, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, tel.: (3952) 510408, e-mail: elena-golovko@mail.ru
2
Тренёва Галина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: (3952) 428296.
Treneva Galina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, tel.: (3952) 428296.
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (49) 2011
237
Естественные науки
n
∑ c (λ
j
j =1
j
− 1)
∂2 H
∂H
+µ
= 0.
∂xk
∂x 2j
Применим к последнему уравнению преобразование Фурье по переменным x1 ,..., xn −1 :
∂ 2 H n −1
cn (λn − 1) 2 − ∑ c j (λ j − 1)ξ j2 H + i µξ k H = 0,
∂xn
j =1
где H – преобразование Фурье функции H ; i –
мнимая единица.
Ограниченные на бесконечности решения этого
уравнения имеют вид
H = A(ξ1 , ..., ξ n −1 )e− hxn ,
где h – положительный корень уравнения
n −1
h 2 cn (λn − 1) − ∑ c j (λ j − 1)ξ j2 + i µξ k = 0.
(3)
(4)
ференцируемое в области D и стремящееся к нулю
на бесконечности решение системы (1).
Подставив решения (7) в граничные условия (8),
предварительно применив к ним преобразование Фурье по x1 ,..., xn −1 , однозначно определим все функции
Aj .
u j
∂ 2 u j
∂x
2
n
=
u j ⎛ n −1 2
⎞
∑ clξl + iµξk ⎟⎠ =
cn ⎜⎝ l =1
−
iξ j λ j
cn
Ae
− hxn
,
(5)
j = 1, n − 1 ,
∂ 2 un un ⎛ n −1 2
⎞
− ⎜ ∑ cl ξl + i µξ k ⎟ =
2
∂xn cn ⎝ l =1
⎠
(6)
−λ h
= n Ae − hxn .
cn
Однородная система, соответствующая системе
(5),(6), имеет решение
u~ j0 = A j (ξ1 , ... ,ξ n −1 )e − kxn ,
где k – положительный корень уравнения
n −1
k 2 cn = ∑ cl ξl2 + i µξ k ,
l =1
Aj (ξ1 ,...,ξ n −1 ) , j = 1, n – произвольные функции.
Ограниченные на бесконечности решения неоднородной системы (5),(6) можно представить в виде
λ j ⋅ iξ j ⋅ A − kxn − hxn
,
u j = u0j +
e −e
cn (k 2 − h 2 )
(
)
j = 1, n − 1 ,
(7)
λn hA
e− kxn − e− hxn .
cn (k 2 − h 2 )
Задача. Найти регулярное в полупространстве
D :{xn > 0} решение системы (1), удовлетворяющее
на границе этого полупространства условиям:
(
un = un0 +
uj
где
xn = 0
= fj ,
)
j = 1, n ,
(8)
f j ( x1 ,..., xn −1 ) – заданные достаточно гладкие
функции.
Под регулярным решением здесь понимается непрерывное вплоть до границы xn = 0 , дважды диф-
238
j = 1, n .
Для отыскания функции A(ξ1 ,...,ξ n −1 ) запишем равенство (2) в терминах преобразования Фурье. Учитывая равенство (3), получим
n −1
∂u
Ae − hxn = ∑ cl ⋅ iξl ⋅ ul + cn
.
∂xn
l =1
Подставим в последнее равенство выражения (7)
для ul :
j =1
Система (1) в терминах преобразования Фурье по
x1 ,..., xn −1 примет вид
= f j = Aj (ξ1 ,...,ξ n −1 ) ,
xn = 0
Ae − hxn
⎡ n −1
⎤
⎢ ∑ cl ⋅ iξl ⋅ fl − kcn f n −
⎥
l =1
⎢
⎥ e − kxn +
= n −1
⎢
λl ξl2 cl A
λn hkA ⎥
+ 2
⎢ −∑
2
2
2 ⎥
⎣ l =1 cn (k − h ) k − h ⎦
⎡ n −1 λl ξ l2 cl
λ h2 ⎤
+ ⎢∑
− 2 n 2 ⎥ Ae − hxn .
2
2
⎣ l =1 cn (k − h ) k − h ⎦
Из последнего равенства после преобразований
получим
n −1
n −1
⎡
⎤
A ⎢(1 − λn )∑ cl λl ξl2 + λn ∑ cl ξl2 + i µξ k λn ⎥ =
l =1
l =1
⎣
⎦
= g (ξ1 ,...,ξ n −1 ) ,
где g (ξ1 ,...,ξ n −1 ) =
(9)
⎛ n −1
⎞
= cn (k + h)(k + h(λn − 1)) ⎜ ∑ cl ⋅ iξl ⋅ fl − kcn f n ⎟ .
⎝ l =1
⎠
Пусть A(ξ1 ,...,ξ n −1 ) – преобразование Фурье некоторой функции ω , т.е. A = ω . Тогда, применив к
уравнению (9) обратное преобразование Фурье по
переменным ξ1 ,...,ξ n −1 , будем иметь
n −1
∑c
l =1
l
∂ 2ω
{λl (1 − λn ) + λn } −
∂xl2
∂ω
−λn µ
= F ( x1 ,..., xn −1 )
∂xk
.
(10)
Если для всех l = 1, n λl (1 − λn ) + λn ≡ 0 , то из
(10) получим уравнение
∂ω
(11)
−λn µ
= F ( x1 ,..., xn −1 ).
∂xk
При условии интегрируемости функции F по xk
оно имеет решение, зависящее от одной произвольной функции ( n − 2) переменных. Следовательно, и
задача (1), (8) в этом случае имеет решение, зависящее от одной произвольной функции. При этом приходится требовать повышенной гладкости от функций
f j из граничных условий (8).
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (49) 2011
Естественные науки
Если условия λl (1 − λn ) + λn ≡ 0 , l = 1, n не выполняются, то возможны различные случаи.
Утверждение 1. Если уравнение (10) эллиптично,
то задача (1), (8) разрешима и ее решение единственно.
Справедливость этого утверждения вытекает из
единственности решения уравнения (10) в этом случае [5].
Утверждение 2. Если уравнение (10) гиперболично, то однородная задача Дирихле для системы (1) не
имеет ограниченных на бесконечности решений.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим задачу Дирихле для системы (1) с однородными
граничными условиями
uj
xn = 0
= 0,
j = 1, n .
где B j – некоторые постоянные.
Разделяя переменные ω = X (η n −1 )ν (η1 ,...,η n − 2 ) ,
∂ν
= 0;
∂η j
n−2
∆ν + β 2ν + ∑ B j
j =1
∂ 2ω
j =1
2
j
∂ 2ω n −1 ∂ω
+∑
= 0.
2
j = m ∂η j
j =1 ∂η j
n −1
−∑
Разделим переменные
ω = X (η1 ,...,η m −1 ) Y (η m ,...,η n −1 ) , 2 < m < n − 2 , получим
два уравнения
m −1
∆X + β 2 X + ∑ B j
j =1
(12)
n−2
∑
1
Biηi
2 i =1
ν = φ (η1 ,...,η n − 2 ) e
первое из уравнений (11) приводится к виду
∆φ + γ 2φ = 0,
n−2
где γ 2 = β 2 − ∑
i =1
Bi2
, и имеет решение
2
⎛γ t
⎝ 2
φ = Pl (η1 ,...,ηn − 2 ) ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
n−4
−l −
2
2
−
m−1
∑
1
Biηi
2 i =1
, Y = ϕe
Заменой X = φ e
(13) приводятся к уравнениям
n−2
i =1
n−4
l+
2
⎛γ t
⎜⎜
⎝ 2
n −1
∑
1
Biηi
2 i =m
уравнения
∆φ + γ 12φ = 0 , γ 12 = β 2 − ∑ Biηi ;
i =1
n −1
∆ϕ + γ 22ϕ = 0, γ 22 = β 2 − ∑ Biηi ,
i=m
решения которых имеют вид
⎛γ t
φ = Pl1 (η1 ,...,η m −1 ) ⎜ 1 1
⎜ 2
⎝
⎛ γ 1 t1 ⎞
× J m −3 ⎜
⎟,
⎜ 2 ⎟
l1 +
2 ⎝
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
− l1 −
m −3
2
×
m −1
t1 = ∑ ηi2 ,
i =1
⎛γ t
ϕ = Pl2 (ηm ,...,η n −1 ) ⎜ 2 2
⎜ 2
⎝
⎛γ t ⎞
×J n−m−2 ⎜ 2 2 ⎟ ,
⎜ 2 ⎟
l2 +
2
⎝
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
− l2 −
n−m−2
2
×
n −1
×
n−4
l+
2
ном степени l , t = ∑ηi2 , J
−
t2 = ∑ηi2 .
⎛γ t ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ,
⎝ 2 ⎠
где Pl (η1 ,...,η n − 2 ) – однородный гармонический поли×J
(13)
∂Y
∆Y + β Y + ∑ B j
= 0.
∂η j
j =m
n −1
X ′′ + Bn −1 X ′ + β 2 X = 0.
Заменой неизвестной функции
−
∂X
= 0;
∂ηi
m −1
Тогда в уравнении (10) функция F ( x1 ,..., xn −1 ) = 0 .
Приведя его к каноническому виду, получим
n−2 2
∂ ω ∂ 2ω n −1
∂ω
− 2 + ∑ Bj
= 0,
∑
2
∂
ηj
∂
η
∂
η
j =1
j =1
j
n −1
придем к двум уравнениям:
m −1
∑ ∂η
⎞
⎟⎟ – функция
⎠
Бесселя первого рода.
Второе из уравнений (12) имеет ограниченные по
переменной η n −1 решения X = a cos βη n −1 + b sin βη n −1
только при условии Bn −1 = 0 . В противном случае это
уравнение, а следовательно, и однородная задача
Дирихле для системы (1) не имеют ограниченных на
бесконечности решений.
Утверждение 3. Если уравнение (10) ультрагиперболично, то однородная задача Дирихле для системы (1) не имеет ограниченных на бесконечности
решений.
Приведем уравнение (10) к каноническому виду
i =m
Таким образом, уравнения (13) не имеют ограниченных во всем пространстве переменных η1 ,...,η n −1
решений.
Утверждение 4. Если уравнение (10) параболично, однородная задача Дирихле для системы (1) не
имеет ограниченных на бесконечности решений.
Приведя уравнение (10) к каноническому виду, получим
∂ 2ω
∂ω
+B
= 0, m < n .
∑
2
∂η k
j =1 ∂η j
m
Возможны два случая:
a) k ∈ {1, 2,..., m}. Пусть для определенности
k = m . Разделяя переменные
ω = ν (η1 ,...,η m −1 ) ⋅ X (η m ) , получим уравнения
∆ν + β 2ν = 0 ,
X ′′ + BX ′ − β 2 X = 0 ,
решения которых имеют вид
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (49) 2011
239
Естественные науки
⎛β t ⎞
ν = Pl (η1 ,...,ηm −1 ) ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 ⎠
⎛β t ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ,
⎝ 2 ⎠
X = c1eν1ηm + c2 eν 2ηm ,
×J
(
l+
m−2
2
)
−l −
m−2
2
×
(14)
1
− B ± B 2 + 4β 2 .
2
Функция X (η m ) не является ограниченной. Следовательно, однородная задача Дирихле для системы
(1) и в этом случае не имеет ограниченных решений.
Разделяя
переменные
b)
k ∉ {1, 2,..., m}.
где ν 1,2 =
ω = ν (η1 ,...,η m ) ⋅ X (η k ) , получим
∆ν + β 2ν = 0, BX ′ − β 2 X = 0.
Первое из этих уравнений имеет стремящееся к
нулю на бесконечности решение вида (14), а второе –
ограниченных во всем пространстве переменных
η1 ,...,η n −1 решений не имеет.
Таким образом, справедлива
Теорема. Если λl (1 − λn ) + λn ≠ 0, l = 1, n , уравнение (10) эллиптично, то задача Дирихле (1), (8) имеет
единственное решение в классе дважды дифференцируемых в области D и стремящихся к нулю на бесконечности функций. Если же это уравнение гиперболично, ультрагиперболично или параболично, то однородная задача Дирихле для системы (1) ограниченных на бесконечности решений не имеет.
Библиографический список
4. Халилов Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных
1. Гельфанд И. М., Петровский И.Г., Шилов Г.В. Теория сисэллиптических по Петровскому систем уравнений в частных
тем дифференциальных уравнений // Труды третьего всепроизводных // Межд. конф. «Дифференциальные уравнесоюзного математического съезда. М.: Изд-во АН СССР,
ния и смежные вопросы», посвященная памяти
1958. Т. 3. С. 65–72.
И.Г.Петровского (Москва, 2007): сборник тезисов. С.136–137.
2. Янушаускас А. И. Граничные задачи для эллиптических
5. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир,
уравнений в частных производных и интегродифференци1964. 830 с.
альные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.
3. Сыренная Т.Н. О влиянии структуры эллиптической по
Петровскому системы на разрешимость задачи Дирихле в
шаре // Краевые задачи. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. С.54–59.
240
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (49) 2011
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
336 Кб
Теги
вопрос, эллиптическая, разрешимости, система, одного, класс, дирихле, задачи, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа