close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К вопросу о физической интерпретации стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна.

код для вставкиСкачать
i
i
i
i
92
Гуцунаев Ц. И. и др. К вопросу о физической интерпретации . . .
УДК 530.12:531.51
К вопросу о физической интерпретации
стационарных аксиально-симметричных решений
уравнений Эйнштейна
Ц. И. Гуцунаев, А. А. Шайдеман, З. Э. А. Вайл,
С. Л. Эльсгольц
Кафедра теоретической физики
Российский университет дружбы народов
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье предпринята попытка физического анализа стационарных аксиальносимметричных решений уравнений Эйнштейна. Анализ базируется на использовании
релятивистских неинерциальных систем отсчёта.
Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, стационарные решения, неинерциальные системы отсчёта.
1.
Основные уравнения
Как известно (см., например, [1]), без ограничения общности метрику стационарного поля можно записать в виде
ds2 = f −1 e2γ dρ2 + dz 2 + ρ2 dϕ2 − f (dt − ωdϕ)2 ,
(1)
где ρ, ϕ, z, t — канонические координаты Вейля и время, соответственно, а метрические функции f (ρ, z), ω(ρ, z), γ(ρ, z) определяются из уравнений Эйнштейна
~
f ∆f = ∇f
∂γ
ρf −2
=
∂ρ
4
(
ρf −2
∂γ
=
∂z
2
∂f
∂ρ
2
f 4 ~ 2
− 2 ∇ω
,
ρ
2
−
∂f
∂z
2
2
~
~ f ∇ω
∇
ρ2
f4
− 2
ρ
"
∂ω
∂ρ
= 0,
2
−
∂ω
∂z
(2)
2 #)
,
∂f ∂f
f 4 ∂ω ∂ω
·
− 2 ·
·
.
∂ρ ∂z
ρ
∂ρ ∂z
~ задаются выражениями
Здесь операторы ∆ и ∇
∆≡
(3)
∂2
1 ∂
∂2
+
·
+
,
∂ρ2 ρ ∂ρ ∂z 2
∂
∂
~ ≡ρ
∇
~0
+ ~z0 ,
∂ρ
∂z
где ρ
~0 и ~z0 — единичные векторы.
Одно из решений уравнений (2) и (3) имеет вид (см., например, [2])
p
ρ2 + (z − z1 )2 · th V0
,
C1
p
ρ2 + (z − z1 )2
Φ = ΦE =
+ C2 ,
C1 · ch V0
p
ρ2 + (z − z1 )2 1
+ C3 ,
ω=ω=
ch V0
fE
1
1 q
γ = γE = ln fE − ln ρ2 + (z − z1 )2 + γ0 ,
2
2
f = fE =
z − z1 +
(4)
Статья поступила в редакцию 18 декабря 2007 г.
i
i
i
i
i
i
i
i
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1. 2008. с. 92–95
93
где z, V0 , C1 , C2 , C3 , γ0 — произвольные постоянные.
Решению (4) согласно (1) соответствует метрика
ds2E = C1 e2γ0 · p
dρ2 + dz 2
ρ2 dϕ2
+
−
fE
ρ2 + (z − z1 )2
p
− fE cdt −
2
ρ2 + (z − z1 )2
+ C3 dϕ . (5)
ch V0 · fE
Нетрудно видеть, что преобразование координат–времени
2C1 e
e−γ0
0
q
(z 0 − z10 )2 − c2 t0 2 ,
√
p
1 − th V0 z 0 − z10 + ct0
0
ln 0
,
· ϕ = ϕ 1 + th V0 −
2
z − z10 − ct0
2γ0
·ρ=ρ
2
2
4C1 e2γ0 · (z − z1 ) = (z 0 − z10 )2 − c2 t0 − ρ0 ,
√
1 + th V0 e−γ0 ct
C1
1 + th V0 1
1
·
·
C3 +
+
= ϕ0 ·
·
2
C1
2
C1
1 + th V0 ch V0
1
1
1
C1
1
z 0 − z10 + ct0
+
1−
·
C3 +
·
ln 0
,
2
2 ch V0 C1
1 + th V0 ch V0
z − z10 − ct0
(6)
где z10 — новая постоянная, переводит метрику (5) в метрику Минковского
2
2
2
2
2
ds2M = dρ0 + ρ0 dϕ0 + dz 0 − c2 dt0 .
(7)
Таким образом, метрика (5) стационарного евклидона описывает плоское
пространство–время.
Формулы обратного преобразования имеют вид
ρ0 = eγ0
p
2C1 µ− ,
−γ0
1
e
·ϕ
1
·
ϕ0 = √
1−
2 ch V0 C1
1 + th V0
0
z −
z10
=e
γ0
p
√
2C1 µ+ ch
C3 +
C1
1
·
+
1 + th V0 ch V0
√
1 − th V0 e−γ0 ct
+
·
,
2
C1
1 + th V0 e−γ0
·
×
2
C1
(8)
C1
1
·
1 + th V0 ch V0
C1
1
× ct − ϕ C3 +
·
1 + th V0 ch V0
× ct − ϕ C3 +
√
p
1 + th V0 e−γ0
0
γ0
ct = e
2C1 µ+ sh
·
×
2
C1
,
,
p
Здесь обозначено µ± = ρ2 + (z − z1 )2 ± (z − z1 ).
То обстоятельство, что пространство–время, описываемое метрикой (5), является плоским, послужило поводом назвать решение (4) стационарным евклидоном.
Евклидонные решения имеют ясную физическую интерпретацию, так как они
связаны с различными релятивистскими системами отсчёта в рамках СТО.
В дальнейшем штрихованную систему отсчёта (ρ0 , ϕ0 , z 0 , t0 ) будем называть
неподвижной, или инерциальной, системой отсчёта (ИСО), а (ρ, ϕ, z, t) — неинерциальной (НСО). Переход от одной к другой осуществляется по формулам (6)
или (8).
i
i
i
i
i
i
i
i
94
Гуцунаев Ц. И. и др. К вопросу о физической интерпретации . . .
2.
Стационарный евклидон
В случае стационарного евклидона, определяемого формулой (4), НСО в соответствии с формулами перехода (6) и (8) совершает сложное релятивистское
движение. Рассмотрим его. Для некоторой точки, неподвижной в НСО, имеем
ρ = ρ0 ,
µ0± =
ϕ = ϕ00 eγ0
z = z0 ,
q
p
1 + th V0 ,
ρ20 + (z0 − z1 )2 ± (z0 − z1 ).
(9)
Введём соответствующие обозначения
z10 = −
c2
,
a0
c2
a0 =
eγ0
q
,
ω0 =
2C1 µ0+
a0
1
1
·
·
.
c ch V0 1 + th V0
В инерциальной системе отсчёта (НСО) эта точка совершает движение согласно формулам (6) и (8) по закону
ρ0 = eγ0
q
2C1 µ0− = ρ00 = const,
a0 t 0
ω0 c
c
c
ln r
ϕ0 = ϕ00 +
a t 0 2 a t 0 ,
2a0
0
0
1+
−
c
c
s
r
1+
z0 =
c2
a0
1+
a t0 2
0
c
a t 0 2
0
+
(10)
−1 .
Таким образом, точка (9), неподвижная в НСО, в ИСО совершает движение
в z 0 -направлении со скоростью
V 0 (t0 ) =
dz 0
=r
dt0
a0 t0
a t0 2
0
1+
c
и ускорением
dz 0

d 
a0
0
r dt 0 
a0 = 0 
=r
= const.


dt
V 2
ρ00 ω0 2
1−
1−
c
c


Одновременно с этим она вращается вокруг оси z 0 с угловой скоростью
dϕ0
=r
dt0
ω0
a t0 2
0
1+
c
и угловым ускорением
dϕ0


d 
0
r dt 0 
= 0.

0
dt
V 2
1−
c


i
i
i
i
i
i
i
i
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1. 2008. с. 92–95
3.
95
Стационарные решения ОТО и НСО
Можно связать метрику (1) определённого стационарного аксиальносимметричного гравитационного поля f (ρ, z), ω(ρ, z), γ(ρ, z) с метрикой стационарного евклидона (5) в некоторой области пространства–времени:
p
1
1
ω(ρ, z)f (ρ, z)
·
,
=
ch V0 1 + th V0
ρ2 + (z − z1 )2 − (z − z1 )
z − z1 +
p
ρ2 + (z − z1 )2 · th V0
= C1 ,
f (ρ, z)
(11)
p
e2γ(ρ,z) ρ2 + (z − z1 )2
p
= e2γ0 .
z − z1 + ρ2 + (z − z1 )2 · th V0
При V0 → ∞, ω → ∞ формулы (11) переходят в статический случай.
В частности, этот метод позволяет глубже проникнуть в физическую интерпретацию таких важных решений, как решение Керра и Шварцшильда.
Литература
1. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, Х. Штефани, М. МакКаллум, Э. Херльт; под ред. Э. Шмутцера. — М.: Энергоиздат, 1980. — 416 с.
2. Гуцунаев Ц. И., Шайдеман А. А., Шувалов С. А. Физическая интерпретация
евклидонных решений уравнений Эйнштейна // Вестник РУДН: Серия Физика. — № 1(13). — 2005. — С. 80–85.
UDC 530.12:531.51
On Physical Interpretation of Stationary Vacuum Axially
Symmetric Solutions to the Einstein Equations
Ts. I. Gutsunaev, A. A. Shaideman, Z. E. A. Wael, S. L. El’sgolts’
Department of Theoretical Physics
Peoples’ Friendship University of Russia
6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
In this article we make an attempt of physical examination of stationary solutions of the
Einstein equations. This problem’s pursued with the use of relativistic non-inertial frames of
reference.
i
i
i
i
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
496 Кб
Теги
физическая, решение, симметричные, уравнения, вопрос, эйнштейн, стационарный, аксиальным, интерпретация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа