close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К теореме о неявной функции для отображений классов Липшица.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
www.volsu.ru
DOI: https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.4.4
УДК 517.51
ББК 22.161.5
К ТЕОРЕМЕ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
КЛАССОВ ЛИПШИЦА
Игорь Владимирович Журавлев
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа
и теории функций,
Волгоградский государственный университет
igor.zhuravlev@volsu.ru, matf@volsu.ru
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. Более сорока лет назад Ф. Кларк доказал теорему об обратной функции для липшицевых отображений, что позволило получить теорему
о неявной функции для этого класса отображений. Результаты, полученные в
этой работе, представляют собой теорему о неявной функции Ф. Кларка [1]
и при этом даны новые оценки постоянной Липшица ее решений.
Ключевые слова: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции, производная Кларка, липшицевы отображения, постоянная
Липшица.
Введение
Символом   обозначим единичный шар пространства R с центром в начале
координат, через  () или +  условимся обозначать шар в R с центром  радиуса
 > 0. Обозначим через M, линейное пространство  × -матриц с вещественными
элементами. Для произвольной матрицы  ∈ M, ее норму || определим равенством
|| =
sup |ℎ|.
© Журавлев И.В., 2016
|ℎ|=1, ℎ∈R
Рассмотрим  — область в R и локально липшицеву вектор-функцию  :  →
→ R . Для множества  , содержащегося в , символом (, ) обозначим точную
нижнюю границу тех чисел , для которых выполняется неравенство | (2 ) −  (1 )| ≤
≤ |2 − 1 |, 2 , 1 ∈ . Если  — точка дифференцируемости функции  (),  ∈  ,
то матрица Якоби функции  () в точке  обозначается  ′ ().
Пусть  ′ — множество всех точек дифференцируемости функции  (). Для точки
*
 ∈  символом  (* ) обозначим производную Кларка [1; 4] функции  () в точке
* — выпуклую оболочку множества всех матриц  ∈ M, , для которых найдется
66
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 4 (35)
МАТЕМАТИКА
такая сходящаяся к * последовательность  ∈  ′ ,  ∈ N, что  ′ ( ) →  при
 → ∞.
Пусть  — область в R × R и  :  → R − липшицева функция переменных  ∈ R и  ∈ R . Если (, ) — точка дифференцируемости функции  (, ), то
′ (, ) — матрица Якоби функции  (, ) относительно дифференцирования по переменной  при фиксированной переменной  и ′ (, ) — ее матрица Якоби относительно
дифференцирования по переменной  при фиксированной переменной .
Для каждой матрицы , принадлежащей производной Кларка  (, ), символом
 обозначим  × -матрицу, у которой столбец с номером , 1 ≤  ≤ , совпадает со
столбцом с номером  матрицы , а символом  обозначим  × -матрицу, у которой
столбец с номером  , 1 ≤  ≤ , совпадает со столбцом с номером  +  матрицы .
Полагаем   (, ) = { :  ∈  (, )} ,   (, ) = { :  ∈  (, )}.
Сформулируем и докажем основной результат работы. Эта теорема представляет
собой теорему о неявной функции Ф. Кларка [1] и при этом получены новые оценки
постоянной Липшица ее решений.
Теорема. Пусть  = 0 (1 ) ⊂ R ,  = 0 (2 ) ⊂ R и  :  × → R — отображение, удовлетворяющее условию Липшица в некоторой окрестности точки⃒ (0 , 0 ) и⃒
такое, что   (0 , 0 ) имеет максимальный ранг. Полагаем Δ =
max ⃒−1 ·  ⃒ ,
∈ (0 ,0 )
√
Ω = 8 1 + Δ2 . Тогда для каждого Δ* , Δ < Δ* , существует , 0 <  ≤ min{1 , 2 },
и единственное удовлетворяющее условию Липшица отображение  : 0 () →
→ 0 (Ω), для которого выполняются равенства
(0 ) = 0 ,  (, ()) =  (0 , 0 ),  ∈ 0 (),
и
|(2 ) − (1 )| ≤ Δ* |2 − 1 |, 2 , 1 ∈ 0 ().
При этом lim (, 0 ()) ≤ Δ.
→0+
Доказательство. Для каждого 0 < ε < 1 рассмотрим отображение Φε :  ×  → R ×
× R , определенное соотношением
Φε
(, ) → (,  ) = (, 0 + ε−1 ( (, ) −  (0 , 0 ))).
Производная Кларка Φε (0 , 0 ) отображения Φε (, ) — выпуклое компактное множество матриц
(︂
)︂



,
ε−1  ε−1 

где 
— нулевая  × -матрица,  — единичная  × -матрица и  ∈  (0 , 0 ).
В дальнейшем нам понадобится оценка сверху для
max
| −1 | .
 ∈Φε (0 ,0 )
(︂
)︂



Отметим, что для матрицы  =
, где  ∈  (0 , 0 ), ее обратε−1  ε−1 
(︂
)︂



ная матрица  −1 имеет вид
. В самом деле,
−−1  ε−1
(︂



−1
−1
ε  ε 
)︂
(︂
×



−1
−  ε−1
)︂
(︂
=



−1
−1
ε  − ε  
)︂
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 4 (35)
= + .
67
МАТЕМАТИКА
Пусть (, ) ∈ R × R . Тогда
⃒ −1
⃒
⃒
⃒
⃒ (, )⃒2 ≤ ||2 + ⃒−1 ·  ⃒2 ||2 + ε2 |−1 |2 ||2


и
где  =
max
∈ (0 ,0 )
√
⃒ −1 ⃒ √︁
⃒ ⃒ ≤ 1 + Δ2 + ε2 |−1 |2 ≤ 1 + Δ2 + ε2 2 ,
(1)

⃒ −1 ⃒
⃒ ⃒ — некоторая постоянная. Для дальнейшего существенно лишь

то, что  < ∞. Это можно доказать, например, воспользовавшись известным неравенством [3, с. 157]
⃒ −1 ⃒2
⃒ −1
⃒
|1 − 0 |
⃒ ⃒ ,
⃒ − −1 ⃒ ≤
⃒
⃒
1
0
−1 ⃒
1 − ⃒0
|1 − 0 | 0
⃒ −1 ⃒−1
⃒ ⃒ , где 1 , 2 ∈  (0 , 0 ), и покоторое выполняется при
условии
|
−

|
≤
1
0
0
⃒ −1 ⃒
казывает, что функция ⃒ ⃒ непрерывна, а значит и ограничена на компакте  (0 , 0 ).
Полагаем δ(ε) = √1+Δ12 +ε2 2 . Пользуясь (1) при выполнении условия
{︃
0 < ε ≤ ε0 = min
имеем
1
√
,
4 1 + Δ2
√
1 + Δ2

}︃
,
1
= δ(ε) >
1 + Δ 2 + ε2  2
√
1 − ε 1 + Δ2 + ε2 2
> δ(ε) − ε = √
≥
1 + Δ2 + ε2 2
√︀
1 − ε 2(1 + Δ2 )
1
1
≥ √︀
≥ √
= 2.
4 1 + Δ2
2(1 + Δ2 )
⃒ −1 ⃒−1
⃒ ⃒ ≥ √
(2)
Всюду в дальнейшем мы считаем, что
}︃
{︃
√
1
1
1 + Δ2
√
и= √
0 < ε ≤ ε0 = min
,
.

4 1 + Δ2
8 1 + Δ2
Покажем, что для любого единичного вектора  ∈ R+ найдется такой единичный
вектор  ∈ R+ , что для всех  ∈ Φε (0 , 0 ) выполняется
Для этого заметим, что
⟨,  ⟩ ≥ δ(ε).
(3)
(︂
)︂
min
min | | ≥ δ(ε). В самом деле, функция
 ∈Φε (0 ,0 )
||=1
| | непрерывна на компакте Φε (0 , 0 ) ×  , где  — единичная сфера с центром
в начале координат в R+ . По теореме Вейерштрасса найдется такой (0 , 0 ) ∈
∈ Φε (0 , 0 )× , что | | ≥ |0 0 | для всех (, ) ∈ Φε (0 , 0 )× . Тогда, пользуясь
(2), имеем
⃒ −1 ⃒−1 ⃒ −1 ⃒−1
⃒ ⃒ ≤ ⃒ ⃒ ≤
δ(ε) ≤
min
(4)
0
 ∈Φε (0 ,0 )
68
И.В. Журавлев. К теореме о неявной функции для отображений классов Липшица
МАТЕМАТИКА
⃒
⃒
(︂
)︂
⃒ −1 0 0 ⃒−1
⃒ = |0 0 | =
min | | .
≤ ⃒⃒0 ·
min
 ∈Φε (0 ,0 ) ||=1
|0 0 | ⃒
Пусть  ∈  . Выпуклое множество {  :  ∈ Φε (0 , 0 )} и шар 0+ (δ(ε)) не
пересекаются, поскольку из неравенства (4) следует | | ≥ δ(ε). По первой теореме
отделимости выпуклых множеств [2] найдется такой вектор  ∈ R , что
⟨, ⟩ ≤
sup
∈0+ (δ(ε))
Полагая  =

,
| |
inf
 ∈Φε (0 ,0 )
⟨,  ⟩ .
поделив (5) на | | , получаем δ(ε) =
sup
(5)
⟨, ⟩ ≤ ⟨,  ⟩ для
∈0+ (δ(ε))
всех  ∈ Φε (0 , 0 ), что и доказывает (3).
Производная Кларка произвольного липшицева в некоторой окрестности точки  ∈
∈ R отображения  : R → R обладает следующим замечательным свойством [1]:
для каждого ε* > 0 найдется такое * > 0, что условие  ∈  (* ) влечет включение
() ⊂ () + ε*  , , где  , — единичный шар в пространстве  ×  матриц.
Пользуясь этим, для каждого ε, 0 < ε < ε0 , выберем такое (ε) > 0, что из соотношения
+
ε
(, ) ∈ (
((ε)) следует Φε (, ) ⊂ Φε (0 , 0 ) + √+
 + (здесь  + —
0 ,0 )
единичный шар в пространстве ( + ) × ( + ) матриц).
Для любого единичного вектора  ∈ R+ найдется такой единичный вектор
 ∈ R+ , что для всех и  ∈ Φε (0 , 0 ) выполняется неравенство (3) ⟨,  ⟩ ≥ δ(ε).
+
Выбирая для произвольной матрицы 1 ∈ Φε (, ), (, ) ∈ (
((ε)), такую мат0 ,0 )
ε
√
рицу 0 ∈ Φε (0 , 0 ), что |1 − 0 | < + и пользуясь следствием неравенства
√
Коши — Буняковского | ⟨, (0 − 1 ) ⟩ | ≤  + |0 −1 |, имеем на основании (3),
⟨, 1 ⟩ ≥ ⟨, 0 ⟩ − ⟨, (0 − 1 ) ⟩ ≥ δ(ε) − ε.
(6)
+
Покажем, что если (2 , 2 ) и (1 , 1 ) лежат в (
((ε)), то
0 ,0 )
|Φε (2 , 2 ) − Φε (1 , 1 )| ≥ (δ(ε) − ε)|(2 , 2 ) − (1 , 1 )|.
−
Пусть  = (2 , 2 ),  = (1 , 1 ) и  = |−|
,  = | − |. Пусть Π — гиперплоскость,
перпендикулярная  и проходящая через  и пусть π(, ) — проекция R × R на Π.
Множество всех тех точек из  , в которых  (, ) не дифференцируема, имеет меру 0
и по теореме Фубини для почти всех * из Π∖π( ∩) отрезок [* , * +] пересекается
с  на множестве линейной меры 0. Выберем последовательность * ∈ Π ∖ π( ∩ ),
сходящуюся к . Тогда каждая из функций
Φε (* + ),  ∈ [0, ]
имеет на [0, ] производную Φε ′ (* + ) и
Φε (* )
−
Φε (* )
=
w
Φε ′ (* + ), где * = * + .
0
Выберем согласно (6) такой единичный вектор , что для всех  ∈ Φε (0 , 0 ) +
ε
+ √+
 + выполняется неравенство ⟨,  ⟩ ≥ δ(ε) − ε.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 4 (35)
69
МАТЕМАТИКА
Тогда
⟨, Φε (* )
−
Φε (* )⟩
=
w
⟨, Φε ′ (* + )⟩  ≥ (δ(ε) − ε) = (δ(ε) − ε)| − |.
0
Пользуясь неравенством Коши — Буняковского и переходя к пределу при  → ∞,
приходим к соотношению
|Φε () − Φε ()| ≥ (δ(ε) − ε)| − | ≥ 2| − |.
(7)
Лемма 1. Справедливы включения
+
+
Φε ((
(ε)) ⊃ (
((ε)),
0 ,0 )
0 ,0 )
(8)
+
+
Φε ((
(ε0 )) ⊃ (
((ε0 )),
0 ,0 )
0 ,0 )
0 < ε ≤ ε0 ,  =
√ 1
.
8 1+Δ2
Доказательство. Покажем справедливость первого соотношения из (8). Пусть
+
((ε)) и пусть (µ , µ ) — точка
(* ,  * ) — некоторая фиксированная точка из (
0 ,0 )
+
минимума функции |(* ,  * ) − Φε (, )|2 на (
((ε)). Предположим, что минимум
0 ,0 )
+
+
достигается на (
((ε)) — границе шара (
((ε)). Тогда |(µ , µ ) − (0 , 0 )| =
0 ,0 )
0 ,0 )
= (ε). Далее, в силу (7),
|Φε (µ , µ ) − Φε (0 , 0 )| ≥ 2(ε)
и
|(* ,  * ) − Φε (µ , µ )| ≤ |(* ,  * ) − Φε (0 , 0 )| = |(* ,  * ) − (0 , 0 )| < (ε).
Отсюда
(ε) > |(* ,  * ) − (0 , 0 )| = |(* ,  * ) − Φε (0 , 0 )| ≥
≥ |Φε (µ , µ ) − Φε (0 , 0 )| − |(* ,  * ) − Φε (µ , µ )| ≥
≥ 2(ε) − (ε) ≥ (ε).
Полученное противоречие означает, что минимум функции |(* ,  * ) − Φε (, )|2 достига+
ется внутри шара (
(ε). По теореме 2.6.6 из [1] это означает, что 0 содержится в
0 ,0 )
* *
множестве 2(( ,  )−Φε (µ , µ ))Φε (µ , µ ), но каждый элемент множества Φε (, ) —
невырожденная матрица и поэтому (* ,  * ) = Φε (µ , µ ). Итак, выполняется первое из
утверждений (8).
Покажем, что
+
+
(ε0 )) ⊃ (
((ε0 ))
Φε ((
0 ,0 )
0 ,0 )




для
)︂ Ψε : R × R → R × R — линейное отображение с матрицей
(︂ ε ≤ ε0. Пусть


. Из соотношения
 ( εε0 )
Φε (, ) = (0 , 0 ) + Ψε ∘ (Φε0 (, ) − (0 , 0 )),
70
(9)
И.В. Журавлев. К теореме о неявной функции для отображений классов Липшица
МАТЕМАТИКА
учитывая неравенство
ε0
ε
> 1, имеем
+
+
Φε ((
(ε0 )) = (0 , 0 ) + Ψε (Φε0 ((
(ε0 )) − (0 , 0 )) ⊃
0 ,0 )
0 ,0 )
)︀
(︀
⊃ (0 , 0 ) + Ψε (ε0 ) + ⊃ (0 , 0 ) + (ε0 ) + .
Лемма 1 доказана.
В дальнейшем полагаем
√
1
1 + Δ 2 + ε2  2
√
(ε) =
=
.
δ(ε) − ε
1 − ε 1 + Δ 2 + ε2  2
+
Для каждого ε, 0 < ε ≤ ε0 на шаре (
((ε0 )) определены функции
0 ,0 )
+
+
Φ−1
ε : (0 ,0 ) ((ε0 )) → (0 ,0 ) (ε0 ),
+
удовлетворяющие на (
((ε)), согласно (7), условию Липшица
0 ,0 )
−1
|Φ−1
ε (2 , 2 ) − Φε (1 , 1 )| ≤ (ε)|(2 , 2 ) − (1 , 1 )|.
(10)
Из (9) следует, что некоторому условию Липшица Φ−1
ε (,  ) удовлетворяют и на
Отображения Φε (, ) были определены так, что обратные к ним имеют
+
(
((ε0 )).
0 ,0 )
вид
 = ,  = Θε (,  ).
Уточним свойства функций Θε (,  ).
Лемма 2. Справедливы неравенства: √︁
((ε)2 − 1) |2 − 1 |2 + |2 − 1 |2 , (1 , 1 ),
1) |Θε (2 , 2 ) − Θε (1 , 1 )| ≤
+
(2 , 2 ) ∈ (
((ε));
0 ,0 )
2) |Θε (2 , 2 ) − Θε (1 , 1 )| ≤
√︃
(︂ )︂2
ε
2
2
≤ ((ε0 ) − 1) |2 − 1 | +
2 (ε0 )|2 − 1 |2 ,
ε0
+
((ε0 )).
(2 , 2 ), (1 , 1 ) ∈ (
0 ,0 )
Доказательство. Как следует из (10),
−1
2
2
|Φ−1
ε (2 , 2 ) − Φε (1 , 1 )| = |(2 , Θε (2 , 2 )) − (1 , Θε (1 , 1 ))| =
= |2 − 1 |2 + |Θε (2 , 2 ) − Θε (1 , 1 )|2 ≤ (ε)2 (|2 − 1 |2 + |2 − 1 |2 ).
Отсюда
√︁
|Θε (2 , 2 ) − Θε (1 , 1 )| ≤ ((ε)2 − 1)(|2 − 1 |2 + |2 − 1 |2 ,
+
(2 , 2 ), (1 , 1 ) ∈ (
((ε)).
0 ,0 )
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 4 (35)
71
МАТЕМАТИКА
Докажем утверждение 2). Согласно (7)
|Φε0 (2 , 2 ) − Φε0 (1 , 1 )|2 ≥ −2 (ε0 )|(2 , 2 ) − (1 , 1 )|2
или
(︂
1
ε0
)︂2
| (2 , 2 ) −  (1 , 1 )|2 + |2 − 1 |2 ≥ −2 (ε0 )(|2 − 1 |2 + |2 − 1 |2 ).
Умножая последнее неравенство на
(︀ ε0 )︀2
ε
(︁
(︀ )︀2 )︁
и прибавляя справа и слева 1 − εε0
×
× |2 − 1 |2 , получим
(︂ )︂2
1
|Φε (2 , 2 ) − Φε (1 , 1 )| =
| (2 , 2 ) −  (1 , 1 )|2 + |2 − 1 |2 ≥
ε
2
≥
(︂(︁
(︁ ε )︁2 )︂
(︁ ε )︁2
ε0 )︁2 −2
0
0
2
 (ε0 ) + 1 −
|2 − 1 | +
−2 (ε0 )|2 − 1 |2 .
ε
ε
ε
Сделаем в этом неравенстве замену переменных (, ) = Φ−1
ε (,  ) = (, Θε (,  )).
Получим
|2 − 1 |2 + |2 − 1 |2 ≥
≥
Отсюда
(︂(︁ )︁
ε 2
0
(︁ ε )︁2 )︂
0
 ( ε0 ) + 1 −
(|2 − 1 |2 +
ε
ε
(︁ ε )︁2
0
+
−2 (ε0 )|Θε (2 , 2 ) − Θε (1 , 1 )|2 .
ε
(︁ ε )︁2
0
ε
≥
−2
(1 − −2 (ε0 ))|2 − 1 |2 + |2 − 1 |2 ≥
(︁ ε )︁2
0
ε
−2 (ε0 )|Θε (2 , 2 ) − Θε (1 , 1 )|2
и
2
2
( (ε0 ) − 1)|2 − 1 | +
(︂
ε
ε0
)︂2
2 (ε0 )|2 − 1 |2 ≥
≥ |Θε (2 , 2 ) − Θε (1 , 1 )|2 .
Лемма 2 доказана.
Из соотношения
−1
(,  ) = Φε (Φ−1
ε (,  )) = (, 0 + ε ( (, Θε (,  )) −  (0 , 0 ))),
+
(,  ) ∈ (
((ε0 )),
0 ,0 )
следует, что
+
 (, Θε (,  )) =  (0 , 0 ) + ε( − 0 ), (,  ) ∈ (
((ε0 )).
0 ,0 )
72
И.В. Журавлев. К теореме о неявной функции для отображений классов Липшица
МАТЕМАТИКА
+
+
Полагаем ε () = Θε (, 0 ). Так как Φε ((
((ε0 ))) содержит шар (
((ε0 )),
0 ,0 )
0 ,0 )
то функция ε () определена на 0 ((ε0 )) и принимает значения в 0 ((ε0 )). Из
равенства  (, Θε (,  )) =  (0 , 0 ) + ε( − 0 ) следует, что
 (, ε ()) =  (0 , 0 ),  ∈ 0 ((ε0 )),
(11)
и так как (0 , 0 ) — неподвижная точка отображений Φε (, ), то
ε (0 ) = Θε (0 , 0 ) = 0 .
По лемме 2 функция ε () удовлетворяет условиям Липшица:
√︁
|ε (2 ) − ε (1 )| ≤ (ε)2 − 1|2 − 1 |, 2 , 1 ∈ 0 ((ε)),
√︁
|ε (2 ) − ε (1 )| ≤ (ε0 )2 − 1|2 − 1 |, 2 , 1 ∈ 0 ((ε0 )),
(12)
где
√
Δ2 + 2ε 1 + Δ2 + ε2 2 + ε2 (1 + Δ2 + 2 + ε2 2 )
√
.
1 − ε 1 + Δ2 + ε2 2
Покажем, что ε () не зависит от ε, 0 < ε ≤ ε0 . Если в некоторой точке  ∈
∈ 0 ((ε0 )) выполняется ε1 () ̸= ε0 (), то поскольку все Φε (, ), 0 < ε ≤ ε0
взаимно однозначны, то Φε0 (, ε1 ()) ̸= Φε0 (, ε0 ()). Но в силу (11) Φε1 (, ε1 ()) =
= (, 0 ) и Φε1 (, ε0 ()) = (, ε−1
1 ( (, ε0 (, 0 )) −  (0 , 0 )) = (, 0 ). Полагаем
() = ε0 (). Отображение  : 0 ((ε0 )) → 0 ((ε0 )) удовлетворяет равенству
 (, ()) =  (0 , 0 ),  ∈ 0 ((ε0 )), и единственно. В самом деле, если (, ) ∈
+
∈ 0 ((ε0 )) × 0 ((ε0 )) ⊂ (
((ε0 )) и  (, ) =  (, ()), то Φε0 (, ) =
0 ,0 )
= Φε0 (, ()), то есть  = ().
Для завершения доказательства отметим, {︁что пользуясь
(12)
каждого Δ* , Δ <
}︁ для√︀
√
1+Δ2
1
, что (ε)2 − 1 < Δ* ,
< Δ* , мы можем выбрать такое ε0 , ε0 ≤ min 4√1+Δ
2,

для всех ε, 0 < ε < ε0 . Затем, полагаем  = (ε0 ), Ω = (ε0 ) = /. Функция
 : 0 () → 0 (Ω) удовлетворяет всем заключениям теоремы и, как следует из
(12), lim (, 0 ()) ≤ Δ. Теорема доказана.
√︁
√︁
(ε)2 − 1 =
→0+
Из этой теоремы получаем следствие.
Следствие. Пусть  — область в R и отображение  :  → R — липшицево.
Если  (),  ∈  , имеет максимальный ранг, то существует такая окрестность
 точки , что  гомеоморфно на  , а отображение  −1 :  ( ) → R липшицево
на  ( ). При этом lim ( −1 ,  () ()) ≤ max |−1 | .
→0+
∈ ()
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. — М. : Наука, 1988. —
280 c.
2. Колмогоров, А.␣Н. Элементы теории функций и функционального анализа
/ А.␣Н. Колмогоров, С.␣В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 543 c.
3. Люстерник, Л.␣А. Элементы функционального анализа / Л.␣А. Люстерник, В.␣Н. Соболев. — М. : Наука, 1965. — 520 c.
4. Clarke, F. On the invers function theorem / F. Clarke // Pac. J. Math. — 1976. —
Vol. 64, № 1. — P. 97–102.
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 4 (35)
73
МАТЕМАТИКА
REFERENCES
1. Klark F. Optimizatsiya i nеgladkiy analiz [Optimization and Nonsmooth Analysis].
Moscow, Nauka Publ., 1988. 280 p.
2. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elеmеnty tеorii funktsiy i funktsionalnogo analiza
[Elements of the Function Theory and Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 543 p.
3. Lyustеrnik L.A., Sobolеv V.N. Elеmеnty funktsionalnogo analiza [Elements of
Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 520 p.
4. Clarke F. On the Invers Function Theorem. Pac. J. Math., 1976, vol. 64, no. 1, pp. 97102.
ON THE IMPLICIT FUNCTION THEOREM FOR LIPSCHITZ MAPPINGS
Igor Vladimirovich Zhuravlеv
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,
Department of Mathematical Analysis and Function Theory,
Volgograd State University
igor.zhuravlev@volsu.ru, matf@volsu.ru
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. New estimations for Lipschitz constant of solutions in the
Clarke’s implicit function theorem are proved.
Let  = 0 (1 ) ⊂ R ,  = 0 (2 ) ⊂ R and  :  × → R be a local
Lipschitz mapping in some neighbourhood of point (0 , 0 ). Let   (0 , 0 ) is of
maximal rank. Then for every Δ* , Δ < Δ* , there exist , 0 <  ≤ min{1 , 2 },
and a unique Lipschitz mapping  : 0 () → 0 (Ω) such that
(0 ) = 0 ,
 (, ()) =  (0 , 0 ),  ∈ 0 (),
and
|(2 ) − (1 )| ≤ Δ* |2 − 1 |, 2 , 1 ∈ 0 ().
Moreover, we have lim (, 0 ()) ≤ Δ.
→0+
Key words: the implicit function theorem, the inverse function theorem,
Clarke derivative, Lipschitz mappings, Lipschitz constant.
74
И.В. Журавлев. К теореме о неявной функции для отображений классов Липшица
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
377 Кб
Теги
классов, теорема, функции, неявное, отображений, липшиц
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа