close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К теории интегральных уравнений криволинейных вибраторных антенн.

код для вставкиСкачать
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№3(86) Ч.2
УДК 621.396.6
К ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕНН
А.В.Сочилин, С.И.Эминов
FOR THE THEORY OF INTEGRAL EQUATIONS OF CURVED DIPOLE ANTENNAS
A.V.Sochilin, S.I.Eminov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, eminovsi@mail.ru
Разработана теория интегро-дифференциальных криволинейных вибраторных антенн на основе выделения главного
положительно-определенного оператора. Построен численный метод решения уравнений. На примерах продемонстрирована
высокая эффективность метода.
Ключевые слова: криволинейные вибраторы, интегро-дифференциальные уравнения
We developed a theory of integro-differential curved dipole antennas based on the allocation of the main positive definite
operator. The numerical method for the equation solution is evolved and its effectiveness is demonstrated through some examples.
Keywords: curved dipoles, integro-differential equations
верхностного тока. Переходя от плотности продольной
компоненты к полному току по формуле I   2aj,
как в [5], получим интегро-дифференциальное уравнение
Введение
Интегро-дифференциальное уравнение криволинейной вибраторной антенны впервые было получено в работе [1]. Интегральные уравнения криволинейных вибраторов исследовались также в работах
[2-4]. В этих работах ядро уравнения является приближенным непрерывным.
Интегральные уравнения с точным сингулярным уравнением для линейных вибраторов подробно
исследованы в работах авторов [5-6]. В основе этих
работ лежит выделение главного положительно определенного оператора и доказательство эквивалентности исходного уравнения к уравнению второго рода в
энергетическом пространстве.
Целью настоящей работы является обобщение
методов [5-6] на случай криволинейных вибраторов.
1
1
2
I (t )
S , t dt 
4
t

1

1
 
1
 0
I t kH  kH t e  et S , t dt  iH 
E  . (2)
4
 
1


Здесь e и et — орты, касательные к обра-

зующей вибратора в точках  и t,

S , t  
1 exp ikR
d,

kR

(3)
0

2
R  R0  4a2 sin 2 ,
2
1. Одномерное гиперсингулярное уравнение
(4)
R0  x  xt 2   y  yt 2  z  zt 2 , (5)
k — волновое число.
Ядро (3) имеет неинтегрируемую особенность.
При аналитическом выделении особенности воспользуемся интегралом
Рассмотрим криволинейный вибратор, образующая которого в пространстве описывается соотношениями
x  x, y  y, z  z, 1   1.
(1)
Вибратор предполагаем тонким, его радиус a
много меньше длины волны и длины антенны. Найдем коэффициент Ламе




1 1
1
1
d 
d 
~
 R

2
2 2
0
0 R0  a 
H    x2  y2  z2 .
В предположении, что вибратор тонкий, можно
пренебречь поперечной составляющей плотности по-

28
1  
1
2
2
ln a  a  R0   ln .
a  
R0 

(6)
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
После выделения особенности и несложных
преобразований получим одномерное интегродифференциальное гиперсингулярное уравнение
1
ричных элементов зависит эффективность решения
всей задачи.
3. Теория интегро-дифференциальных уравнений
1


1
1
2
I (t ) ln
dt 
I (t )
S , t dt 
2
t   t
4
t 1
4 ka 
1


1
1

1
1
Оператор А является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом
пространстве L2 1,1 и имеет плотную область определения. Положительная определенность означает,
что для любой функции u из области определения
D(A) оператора А справедливо неравенство
 Au, u  2u, u ,   0.
(14)
1
2
I (t )kH  ln
dt 
t
4 ka 

2
1
1

1
 0
I t S2, t dt  iH
E ,
4
 

(7)
1
Введем энергетическое пространство H A
симметричного положительно-определенного оператора А как гильбертово пространство со скалярным
произведением и нормой
где

1  exp ikR 1 
 ~ d 
 
kR
kR 
S1, t  

0
u, v   Au, v, u2   Au, u .
1 

ln ka  ka 2  kR0 2 ,
ka 

Теорема 1. Положительно определенный оператор имеет ограниченный обратный.
Доказательство. Существование обратного
оператора A1 следует из (14), так как однородное
уравнение Au  0 имеет лишь нулевое решение. Далее из неравенства (14), используя неравенство Коши—Буньяковского, получим
1
1
2
u  2  Au, u   2 Au u .



  exp ikR 1 
1
S2 , t   kH  kHt e  e  
 ~ d 

kR

kR 

0
 
1

kH  kH t e  e ln ka  ka2  kR0 2  
ka


 
1
1

kH kHt e  e ln
.
(8)
ka
kR0
Важно отметить, что в записи уравнения (8)
указан метод аналитического выделения особенности. Метод приоритетно использует вид расстояния
(4) между точкой наблюдения и точкой излучения.
Отсюда Au  2 u , поэтому обратный опера1
. Предложение доказано.
2
Мы не утверждаем, что обратный оператор определен
на всем пространстве L21,1, поэтому он рассматривается на области определения R A.
Отметим, что ограниченность обратного оператора является следствием положительной определенности. Для нашего конкретного гиперсингулярного оператора будет доказано более сильное утверждение, а именно вполне непрерывность обратного
оператора.
Теорема 2. Оператор, обратный к положительно определенному оператору А, определяется по формуле
тор ограничен и A1 
2. Одномерное уравнение в операторной форме
Уравнение (6) можно записать лаконично в
операторной форме
 AI   KI   e,
(9)
где  
1
, A обозначает главный оператор задачи
4ka
1
AI 
1 

1
1
I (t ) ln
dt 
 
t   t


1
 cos  t dtd, (10)

 
1
0
1
а интегральный оператор K — сумму трех остальных
операторов
K  L  M1  M 2,
1
LI 
1
I (t )kH 2 ln   t dt ,
2
4 ka

1
A1 f   1  f t  ln
(11)
1
1
2
I t 
S , t dt,
4
t 1

(12)
1
1
M 2I  
1
I t S2, t dt ,
4

t
dt (15)
2
2
1


t

1


1

t
1
и является вполне непрерывным в пространстве
L21,1 .
Доказательство. Формула (15) получена в работе [6]. Далее оператор A1 является интегральным
оператором, ядро которого имеет логарифмическую
особенность. Интегральные операторы с такими ядрами являются вполне непрерывными операторами в
пространстве L21,1 .
1
M1I 
№3(86) Ч.2
(13)
1

H E 0.
  
При решении уравнения (9) методом Галеркина или численно-аналитическим методом предстоит
вычисление матричных элементов этих четырех операторов. От эффективности способа вычисления матe  i
Поскольку оператор A1 является вполне непрерывным в пространстве L21,1 , то для любого
оператора В, ограниченного в пространстве L21,1 ,
29
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
оператор T  A 1 B вполне непрерывен в энергетическом пространстве H A .
Оператор К представлен в виде суммы интегральных операторов с непрерывными ядрами или с
ядрами, имеющими логарифмическую особенность.
Такие операторы являются ограниченными в пространстве L2  1,1 . Отсюда получаем теорему.
Теорема 3. Уравнение (9) эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода в энергетическом
пространстве H A . Если уравнение (9) имеет единственное решение, то приближенное решение, построенное методом Галеркина, сходится к точному решению в пространстве H A .
№3(86) Ч.2
В табл.1 приведены значения входного сопротивления в зависимости от длины плеча линейного вибратора l и соотношения l a (длина
плеча / радиус),
полученные для N  40 и
T   l  0,01.
В табл.2 показана зависимость входного сопротивления дугового полуволнового вибратора
 2R00  0,5 от кривизны R и параметра возбужде0
 



ния Т.
В табл.3 показана зависимость входного сопротивления спиральной вибраторной антенны от
длины при фиксированных параметрах спирали.
Характер этой зависимости согласуется с соответствующей зависимостью для линейного вибратора.
4. Результаты численных расчетов
Продемонстрируем эффективность метода на
примерах расчета вибраторных антенн различной
геометрии: линейных, дуговых и спиральных.
Таблица 1
Входное сопротивление линейной вибраторной антенны
Параметры
l / a  10
l /
0,01
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
Zвх , Ом
0,034 – 1943,99i
0,92 – 379,88i
4,45 – 170,74i
14,21 – 88,07i
42,28 – 35,03i
106,45 – 28,92i
112,03 – 98,57i
63,35 –112,19i
36,66 – 98,25i
23,85 – 83,18i
17,37 – 70,03i
14,64 – 58,26i
l / a  100
l / a  50
Zвх , Ом
0,058 – 4949,84i
1,50 – 961,02i
6,68 – 426,99i
18,11 – 217,77i
42,76 – 79,35i
100,39 + 44,13i
249,19 + 154,32i
547,30 + 67,08i
516,18 – 316,35i
263,11 – 378,96i
136,03 – 311,35i
79,26 – 239,34i
Zвх , Ом
0,0649 – 6440,41i
1,668 – 1245,85i
7,28 – 552,50i
19,05 – 282,12i
42,58 – 106,29i
92,34 + 48,04i
210,48 + 209,45i
517,68 + 325,28i
950,45 – 54,73i
620,25 – 551,76i
280,35 – 505,37i
139,91 – 377,96i
Таблица 2
Входное сопротивление дугового полуволнового вибратора
R0

0,1
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75

2R00
, T  0,1 ,
 0,5
120

ReZ, Ом
ImZ, Ом
27,84
38,04
57,02
46,59
71,40
49,56
78,64
50,36
82,68
50,58
85,15
50,65
86,76
50,65
87,86
50,64
88,66
50,63
89,24
50,62
89,69
50,69
90,04
50,59
90,31
50,58
90,54
50,57
ka 
30

2R00
, T  0,01 ,
 0,5
120

ReZ, Ом
ImZ, Ом
29,20
38,35
60,47
45,54
75,96
47,32
83,71
47,36
88,01
47,12
90,63
46,87
92,33
46,68
93,50
46,52
94,33
46,41
94,95
46,31
95,42
46,24
95,79
46,18
96,08
46,13
96,31
46,09
ka 
2015
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№3(86) Ч.2
Таблица 3
Входное сопротивление спиральной вибраторной антенны
R0  0

0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
b
H
R0
 0,5,
 0,1,
 120, T  0,01


a
ReZ, Ом
ImZ, Ом
16,78
–340,25
31,40
–182,27
59,79
–36,51
118,29
113,84
255,34
284,70
618,43
411,19
1129,37
–81,54
673,14
–641,63
295,81
–548,32
155,93
–398,56
102,66
–277,92
86,15
–177,70
92,97
–86,08
125,76
6,28
205,78
103,37
6.
5. Выводы
В работе путем выделения особенности получено одномерное интегро-дифференциальное уравнение. Доказано, что это уравнение эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода в энергетическом
пространстве главного положительно определенного
оператора. Развит численный метод решения. На
примерах показана эффективность метода как с точки
зрения скорости сходимости, так и времени расчета
на ЭВМ.
1.
2.
3.
4.
5.
b
R0
H
 0,5,
 0,1,
 60, T  0,01

a

ReZ, Ом
ImZ, Ом
15,72
–264,98
30,53
–140,86
61,66
–23,78
132,82
98,47
315,07
211,39
672,25
71,02
576,65
–392,33
275,36
–426,34
143,07
–336,41
89,42
–254,11
68,65
–185,87
66,47
–125,89
81,20
–69,31
120,79
–15,22
205,07
20,21
Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории дифракции //
Докл. РАН.2005. Т.403. №3. С.339-344.
References
1.
2.
3.
Mei K.K. On the integral equations of thin wire antennas //
IEEE Trans. 1965. V.AP–13. № 3. P.374-378.
Селин В.И. Об интегральных уравнениях тонких криволинейных проводников // Радиотехника. 1981. Т.36. №7.
С.74-78.
Варывдин В.С., Коломойцев Ф.И., Овсяников В.В. О
распределении тока и входном сопротивлении изогнутых
вибраторов конечной толщины // Известия вузов. Радиофизика. 1972. Т.15. №9. С. 1398-1406.
Рунов А.В., Подиночин В.Е., Назаров И.А. Об одной из
форм интегрального уравнения несимметричной криволинейной тонкой проволочной антенны // Радиотехника
и электроника. Минск: Вышейшая школа, 1977. Вып.7.
С.152-157.
Эминов С.И., Сочилин А.В. Численно-аналитический метод решения интегральных уравнений вибраторных антенн // Радиотехника и электроника. 2008. Т.53. №5.
С.553-558.
4.
5.
6.
31
Mei K.K. On the integral equations of thin wire antennas.
IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1965, V.
AP–13, no. 3, pp. 374-378.
Selin V.I. Ob integral'nykh uravneniiakh tonkikh
krivolineinykh provodnikov [On the integral equations of
thin curvilinear conductors]. Radiotekhnika – Radioengineering, 1981, vol. 36, no. 7, pp. 74-78.
Varyvdin V.S., Kolomoitsev F.I., Ovsianikov V.V. O raspredelenii toka i vkhodnom soprotivlenii izognutykh vibratorov
konechnoi tolshchiny [On electric current distribution and output resistance of folded dipoles with finite thickness]. Izvestiia
vysshikh uchebnykh zavedenii. Radiofizika – Radiophysics and
Quantum Electronics, 1972, vol. 15, no. 9, pp. 1398-1406.
Runov A.V., Podinochin V.E., Nazarov I.A. Ob odnoi iz
form integral'nogo uravneniia nesimmetrichnoi krivolineinoi
tonkoi provolochnoi antenny [On one type of integral equation for a thin wire curved monopole antenna]. Radiotekhnika
i elektronika − Journal of Communications Technology and
Electronics, 1977, iss. 7, pp. 152-157.
Eminov S.I., Sochilin A.V. Chislenno-analiticheskii metod
resheniia integral'nykh uravnenii vibratornykh antenn [A numerical-analytic method for solving integral equations of dipole antennas]. Radiotekhnika i elektronika – Journal of Communications Technology and Electronics, 2008, v.53, no.5, pp.523-528.
Eminov S.I. Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo
operatora i ego prilozheniia v teorii difraktsii [Analytical inversion of a hypersigular operator and its applications in the
theory of diffraction]. Doklady Akademii nauk, 2005, vol.
403, no. 3, pp. 339-344.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
457 Кб
Теги
уравнения, интегральная, антенны, вибраторные, теория, криволинейных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа