close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Касание плоских кривых.

код для вставкиСкачать
Раздел II. Математический анализ
предмета. В 1856 г. Ш. Брио и Т. Буке издали небольшой мемуар «Исследование функций мнимого переменного», являющийся по существу первым учебным пособием. Общие концепции в теории функции комплексного переменного начали вырабатываться в лекциях. С 1856 г. К. Вейерштрасс читал лекции о представлении функций сходящимися степенными рядами, а с 1861 г. – об
общей теории функций. В 1876 г. появилась специальное сочинение К. Вейерштрасса: «К теории
однозначных аналитических функций», а в 1880 г. «К учению о функциях», в которых его теория
аналитических функций приобрела известную завершенность.
Лекции Вейерштрасса послужили на много лет прообразом учебников по теории функций
комплексного переменного, которые начали появляться с тех пор довольно часто. Именно в его
лекциях был построен в основном современный стандарт строгости в математическом анализе
и выделена, ставшая традиционной, структура.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. М.: Просвещение, 1975.
2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: ОНТИ, 1937. Ч. 1.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
4. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры,
1950.
5. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / под ред. А. Н. Колмогорова и
А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1981.
6. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 1.
7. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т. 2.
8. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века. М.: Учпедгиз, 1963.
9. Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во МГУ, 1963. Ч. 2.
Н.Е. Ляхова
КАСАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Вопрос о касании плоских кривых, в том случае, когда абсциссы общих точек находятся из
уравнения вида Pn x
0 , где Pn x – некоторый многочлен, напрямую связан с вопросом
о кратности корней многочлена Pn x . В данной статье сформулированы соответствующие утверждения для случаев явного и неявного задания функций, графиками которых являются кривые,
а также показано применение этих утверждений при решении задач.
Если кривые, являющиеся графиками функций y = f(x) и y
x , имеют общую точку
M 0 x0 ; y0 , т.е. y0
M 0 x0 ; y0
f x0
x0
и касательные к указанным кривым проведенные в точке
не совпадают, то говорят, что кривые y = f(x) и y
x пересекаются в точке
M 0 x0 ; y0 .
На рисунке 1 приведен пример пересечения графиков функций.
Рис. 1
87
Вестник ТГПИ
Есте ственные науки
Условие пересечения имеет вид:
f(x 0 )
/
f (x 0 )
(x 0 ),
(1)
(x 0 ).
Углом между кривыми, имеющими определенные касательные в точке пересечения, понимают угол образованный этими касательными.
Если же кривые имеют общую точку M 0 x0 ; y0 и касательные в этой точке к обеим кривым совпадают, то говорят, что кривые касаются друг друга в точке M 0 x0 ; y0 .
На рисунках 2, 3, 4 и 5 приведены примеры касания графиков функций в их общей точке.
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
88
Раздел II. Математический анализ
Условие касания имеет вид:
f(x 0 )
(x 0 ),
f (x 0 ) =
(x 0 ).
(2)
Таким образом, общие точки графиков дифференцируемых функций можно разделить на
точки пересечения и точки касания.
Задача 1. При каком значении параметра а кривые, заданные уравнениями
и y
3x
2
x3
y
x 1
4 x a касаются друг друга?
Решение. Введем обозначения: f x
x3
x 1,
3x 2 4 x a . Тогда f x
x
3x 2 1 ,
6 x 4 . С учетом условия касания (2), делаем вывод: кривые касаются друг друга тогда и
x
только тогда, когда система
x 3 x 1 3 x 2 4 x a,
3x 2 1 6 x 4
имеет хотя бы одно решение.
Второе уравнение этой системы имеет единственный корень x 1 . Подставляя значение
x 1 в первое уравнение системы, найдем значение параметра a 2 , при котором x 1 является
корнем первого уравнения, а значит и решением системы.
Следовательно, при значении параметра a 2 , кривые касаются друг друга в их общей точке (1; 1).
При решении задач на касание кривых, бывает, полезна следующая теорема.
Теорема 1. Пусть две кривые заданы уравнениями y=f(x), y=
f x
x
Pn x , где Pn x – многочлен. Точка M 0 x0 ; y0 ,где y0
f x0
(x),
причем
x0 , явля-
ется точкой касания этих кривых тогда и только тогда, когда x0 является корнем не ниже второй
кратности многочлена Pn x .
Доказательство:
1. Пусть кривые y=f(x) и y=
(x) касаются друг друга в точке M 0 x0 ; y0 , тогда выполня-
ется условие касания
По условию теоремы f x
следует, что Pn x0
Т.к. x
0 и Pn x0
x
f(x 0 )
(x 0 ),
f (x 0 ) =
(x 0 ).
Pn x , тогда Pn x
1
x . Из условия касания
0.
x0 – корень многочлена Pn (x) , то он может быть записан в виде
Pn ( x) ( x x0 )Qn
где Qn
f x
1
x ,
x – многочлен, степень которого на единицу меньше степени многочлена Pn (x) . Тогда
Pn ( x) Qn
Из условия Pn x0
1
x
( x x0 )Qn
1
x .
0 , получим, что
89
Вестник ТГПИ
Есте ственные науки
Qn
1
x0
( x0
x0 )Qn
x0
1
0,
откуда
Qn
Следовательно, x
2. Пусть
x
x0
1
0.
x0 – корень многочлена Pn (x) не ниже второй кратности.
x0 – корень не ниже второй кратности многочлена Pn (x) . Тогда многочлен
представим в виде
( x x0 ) 2 Rn
Pn ( x)
где Rn
2
x ,
2
x – многочлен (n 2) -ой степени, и
Pn ( x)
Но в этом случае,
x
2( x x0 ) Rn
2
( x x0 ) 2 Rn
x
2
x .
x0 , очевидно, является решением системы
Pn x
0,
Pn x
0.
Отсюда и получаем условие касания рассматриваемых кривых в точке с абсциссой
f(x 0 )
(x 0 ),
f (x 0 ) =
(x 0 )
x
x0
.
Следовательно, кривые касаются друг друга в точке M 0 x0 ; y0 .
Задача 2. Найти уравнения общих касательных к графикам функций
y
x2 и y
x3 .
Решение
Уравнение касательной к графику функции
y
y
x 3 в точке с абсциссой x0 имеет вид
x03 3x02 x x0 .
(3)
Т. к. необходимо найти уравнение общей касательной к графикам функций
y
x 2 , то допустим, что эта касательная касается кривой y
y
x3 и
x 2 . При этом, абсцисса их точки
касания будет являться корнем второй кратности уравнения
x2
x03 3x02 x x0 ,
равносильного уравнению
x 2 3x02 x 2 x03
0.
Таким образом, касание будет иметь место тогда и только тогда, когда дискриминант
D 9 x04 8 x03
полученного квадратного уравнения будет равен нулю. Из этого условия, решая уравнение
9 x04 8 x03
получаем, что x0
90
0 или x0
8.
9
0,
Раздел II. Математический анализ
Подставляя найденные значения
к графикам функций
y
x2 и y
x0 в уравнение (3), находим уравнения общих касательных
x3 : y
0и
y
64
1024 .
x
27
729
Задача 3. Сколько различных общих точек с графиком функции y
имеет касательная к нему в точке с абсциссой x0
2 x 4 9 x 2 137 x 5
1,3 ?
Решение
Введем обозначение
2 x 4 9 x 2 137 x 5 .
f x
Тогда уравнение касательной в точке с абсциссой
y
f ( x0 )
x0 примет вид
f ( x0 )( x x0 ) .
Абсциссы общих точек графика функции у = f(x) и касательной находятся из уравнения
f x
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 ) .
Уравнение (4) можно представить в виде P x
0 , где P x
(4)
f x
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
– многочлен 4-ой степени.
Если бы нахождение уравнения касательной не приводило бы к громоздким вычислениям,
то задача бы решалась следующим образом:
По теореме 1
x0 – корень второй кратности многочлена P x , т.е. данный многочлен
представим в виде
P x
x x0
2
ax 2 bx c
и вопрос о количестве корней уравнения (4) сводился бы к выяснению количества корней квадратного трехчлена ax 2
bx c отличных от x0 , но при заданном x0
1,3 это приводит к гро-
моздким вычислениям.
Рассмотрим другой способ решения этой задачи. Уравнение (4) можно представить в виде
2 x4 9 x2
137
f
x0
x 5
Пусть х1, х2, х3, х4 – корни многочлена P x
f x0
f
x0 x0
0.
(5)
(действительные или комплексные). Тогда по
обобщенной теореме Виета о корнях алгебраического уравнения 4-ой степени, с учетом того, что
x1 x2 1,3 , получим систему:
2, 6 х3
х4
0,
(1,3) 2 2(1,3 х3 1,3 х4 ) х3 х4
9
,
2
которая равносильна системе:
х3
х4
2, 6,
х42 2, 6 х4 0,57 0.
.
(6)
Рассмотрим второе уравнение системы (6). Оно имеет D >0. С учетом значений его коэффициентов, делаем вывод, что уравнение имеет два различных действительных отрицательных
91
Вестник ТГПИ
Есте ственные науки
корня, сумма которых равна -2,6. Таким образом, система (6) имеет два решения, следовательно,
уравнение (5) имеет помимо
с
x0
1,3 еще два различных отрицательных корня, не совпадающих
x0 . Таким образом, график функции имеет с указанной касательной ровно 3 общие точки.
В случае, когда одна из кривых задана уравнением G(x, y) = 0, условия касания аналогичны
рассмотренному выше случаю.
Теорема 2. Пусть две кривые заданы уравнениями G(x, y) = 0 и y=f(x), где G(x, y) и f (x) –
многочлены двух и одной переменных соответственно. Пусть M 0 x0 ; y0 – общая точка этих кри/
вых, причем G у (x 0 ,y 0 )
0. Тогда, точка М 0 является точкой касания этих кривых тогда и толь-
ко тогда когда x0 – является корнем не ниже второй кратности многочлена Pn x
G x; f x .
Задача 4. Окружность касается параболы в точке А и пересекает еѐ в точках В и С. Доказать, что точка К – середина медианы АD треугольника АВС, лежит на оси параболы.
Решение
Будем решать задачу методом координат. Для удобства введѐм прямоугольную систему координат следующим образом: начало координат – вершина параболы, ось Оу – совпадает с осью
параболы, ось Ох – перпендикулярна оси Оу.
В заданной системе координат пусть рассматриваемые точки имеют координаты K (х0,у0),
А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3), окружность и парабола заданы соответственно уравнениями
рх 2 , где a, b, p, r – параметры.
Тогда решением системы уравнений
( х а ) 2 ( у b) 2
r2 и у
( х а ) 2 ( у b) 2
у
r2
(7)
рх 2
будут координаты точек А, В, С.
Подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение системы (7), получим уравнение
p 2 x 4 2 pbx 2 b 2
x 2 2ax a 2 r 2
0
Решением этого уравнения будут абсциссы точек А, В, С.
Так как А является точкой касания параболы с окружностью, то согласно теореме 2 х1 –
должно быть минимум корнем второй кратности многочлена, стоящего в левой части уравнения.
Но так как уравнение 4-ой степени, а х2 и х3 также являются его корнями, то х1 может быть лишь
корнем второй кратности.
Согласно обобщенной теореме Виета о корнях алгебраического уравнения произвольной
степени, коэффициент при
x3 – есть сумма корней уравнения, взятая с противоположным знаком, т.е.
2 x1
x2
x3
0.
(8)
Чтобы доказать, что точка K принадлежит оси Оу, достаточно показать, что еѐ абсцисса
x0
92
0 . Так как K – середина медианы AD, то
Раздел II. Математический анализ
х1 хD
,
2
x0
где
(9)
xD – абсцисса точки D. Но так как АD – медиана, то точка D – середина отрезка ВС, следова-
тельно,
х2
xD
х3
2
.
Подставляя последнее выражение в (9), получим
х2
х1
2 x1
2
x0
Учитывая (8), делаем вывод, что
х3
2
x2
4
x3
.
0 , т.е. точка K лежит на оси Оу, а значит на оси па-
x0
раболы.
Отметим, что теорема 2 останется в силе, если переменные x и y поменять местами.
Д.В. Тимошенко
К ТЕОРИИ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Естественно закрученные стержни являются ответственными элементами различных технических конструкций, подвергающихся значительным воздействиям, поэтому исследования их упругого поведения и изменения геометрии в результате различного рода воздействий являются
весьма актуальными. Успех таких исследований во многом зависит от достоверности используемых математических моделей, от того, с какой степенью точности они описывают реальные физические процессы при деформации исследуемых элементов.
При построении одномерной теории упругих стержней возникает необходимость обращения к уравнениям теории упругости. Это связано с тем, что получающаяся из условий равновесия
бесконечно малого элемента стержня при деформации концевыми нагрузками система шести
дифференциальных уравнений Кирхгофа
dМ 1
ds
dМ 2
ds
dМ 3
ds
2M 3
3М 2
0,
3M1
1М 3
Р
3
0,
1M 2
2М1
Р
2
0
1,
2,
является незамкнутой. Здесь
d 1
ds
d 2
ds
d 3
ds
3
3
0,
1 3
3 1
0,
2 1
1
0,
3
2
2
2
(1)
– вектор Дарбу оси стержня, Р – равнодействую-
щая концевых сил, М М 1 , М 2 , М 3 – вектор-момент внутренних сил,
1, , 2 , 3
– единич-
ный вектор вдоль концевой силы. Классическая теория упругих стержней Кирхгофа – Клебша исходит из предположения, что компоненты вектора-момента М пропорциональны соответствующим компонентам вектора Дарбу [1]:
М1
В1
1,
М2
В2
2,
М3
В3
3,
(2)
где Вi – диагональные элементы матрицы жѐсткостей стержня.
Использование соотношений (2) приводит к заметным погрешностям в исследовании деформаций стержней достаточно сложной конфигурации, особенно в тех случаях, когда длина
стержня лишь в несколько раз превышает диаметр его поперечного сечения [2–4]. Кроме того,
93
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
333 Кб
Теги
плоские, кривые, касания
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа