close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квадратурная формула типа Маркова с наименьшей оценкой остатка для одного класса функций.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2013, том 56, №8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, А.А.Шабозова*
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ТИПА МАРКОВА С НАИМЕНЬШЕЙ ОЦЕНКОЙ
ОСТАТКА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан,
*
Таджикский национальный университет
В работе для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, решается экстремальная задача отыскания наилучшей квадратурной формулы типа Маркова. Доказывается, что оптимальной формулой является классическая квадратурная формула трапеций и вычисляется её точная
оценка погрешности на заданном классе функций.
Ключевые слова: квадратурная формула типа Маркова – модуль непрерывности – погрешность.
В теории приближенного вычисления определенных интегралов экстремальная задача отыскания наилучшей квадратурной формулы на заданном классе функций является наиболее важной.
Напомним постановку общей экстремальной задачи для функции одной переменной [1, с.144-145].
Рассматривается квадратурная формула
b

n
f ( x )dx   pk f ( xk )  Rn ( f )
задаваемая векторами узлов
(1)
k 1
a
X  {xk  a  x1  x2  …  xn  b} и коэффициентов P  { pk }nk 1
Rn ( f )  Rn ( f  X  P) – погрешность формулы (1) на функции f ( x ) При фиксированных натуральных m  1 через A обозначим множество всех векторов ( X  P) для которых формула (1) имеет
смысл. Если M – некоторый класс заданных на отрезке [a b] интегрируемых в смысле Римана
функций f ( x ) то положим
Rn (M X  P)  sup{ Rn ( f  X  P)  f  M}
Требуется найти величину
n
(M)  inf{ Rn (M X  P)  ( X  P)  }
и указать вектор ( X 0  P0 ) из множества
(2)
 на котором достигается точная нижняя грань в (2), то
есть что
n
(M)  Rn (M X 0  P0 )
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063,Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
598
Математика
М.Ш.Шабозов, А.А.Шабозова
Квадратурная формула (1) с вектором узлов X 0   xk0  и коэффициентов P   pk0  дает
наименьшую на всём классе M погрешность среди формул, задаваемых множеством
векторов
( X  P) и в этом смысле является наилучшей для класса M . В этой заметке в качестве M будем
рассматривать класс H  [a b] функций f ( x ) для любых двух точек x x  [a b] , удовлетворяющих
условию
 f ( x)  f ( x)  ( x  x )
где ( ) – заданный модуль непрерывности, то есть непрерывная неубывающая полуаддитивная
функция, в нуле равная нулю. В частном случае, когда ( )  K 
(0    1 K  0) класс
H  [a b]  KH  [a b] есть класс Гельдера порядка  с константой K .
В работе [2], в частности, доказано, что среди всех квадратурных формул вида (1) наилучшей
квадратурной
формулой
является
формула
прямоугольников
с
узлами
xk0  a  (2k  1)(b  a)  (2n)(k  1 n) и коэффициентами pk  (b  a)  n(k  1 n) причём

n ( H )  2n
( b a )  (2 n )

( x )dx
0
В данной работе рассматривается задача об отыскании наилучшей для класса H  [a b] квадратурной формулы типа Маркова [1, с.156]
b
 f ( x)dx  p
0
n 1
f (a )   pk f ( xk )  pn f (b)  Rn ( f )
задаваемой
вектором
( X  P)
(3)
k 1
a
узлов
X  xk  a  x0  x1 
 xn  b
и
коэффициентов
P  { pk }nk 0  Таким образом , мы изучаем задачу отыскания наилучшей квадратурной формулы вида
(3) , когда заранее зафиксированы в качестве узлов концы промежутка: x0  a xn  b а узлы
x1 x2 
 xn1 и коэффициенты p0  p1
 pn следует выбрать оптимальным образом.
Сформулируем следующий основной результат работы.
Теорема 1. Среди квадратурных формул вида (3) наилучшей для класса H  [a b] является
формула трапеций
b

a
f ( x )dx 
b  a  f (a )  f (b) n 1


n 
2
k 1
k


f  a  (b  a )    Rn ( f )
n


(4)
При этом точная оценка погрешности квадратурной формулы (4) на всём классе H  [a b]
равна
599
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
n
H

2013, том 56, №8
[ a b ]   2n
( ba )  (2 n )

(t )dt
0
В частности,

n ( KH ) 
K (b  a ) 1
1


 1
(2n)
Пусть H 2 [a b] – класс функций f ( x ) определнных на отрезке [a b] и для любых точек
x x  t  [a b] удовлетворяющих условию
 f ( x  t )  f ( x  t )  2 f ( x)  2( t )
Нетрудно проверить, что H  [a b]  H 2 [a b] то есть класс H 2 [a b] шире, чем класс
H  [a b] Тем не менее справедлива следующая
Теорема 2. Среди всех квадратурных формул вида (3) с произвольными векторами узлов и
коэффициентов ( P X ) 
 наилучшей для класса H 2 [a b] является формула (4). При этом для
погрешности формулы (4) на классе функций H 2 [a b] имеет место равенство
En  H 2 [a b]  2n

( b a )  (2 n )

( x )dx
0
Заметим, что между классами H  [a b] и H 2 [a b] можно вставить промежуточный класс
H 2 [a b] 0    1 функций
f ( x ) определённых на отрезке [a b] и для любых точек
x x  t  [a b] , удовлетворяющих условию
 (1   ) f ( x  t )  (1   ) f ( x  t )  2 f ( x)  2( t )
Теорема
3.
Среди
всех
всевозможных
квадратурных
формул
типа
Маркова (3) единственной наилучшей формулой на классе функций H 2 [a b] при любых
 (0    1) является формула трапеций (4). При этом точная оценка погрешности квадратурной
формулы (4) на всём классе H 2 [a b] (0    1) равна

n 
H


2 
( ba )  (2 n )
 2n

( x )dx
0
Поступило 29.10.2012 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. – М.: Наука, 1988, 270 с.
2. Корнейчук Н.П. — Матем. заметки, 1968, т.3, 5, с. 565–576.
600
Математика
М.Ш.Шабозов, А.А.Шабозова
М.Ш.Шабозов, А.А.Шабозова*
ФОРМУЛАИ КВАДРАТУРИИ НАМУДИ МАРКОВ БО БАЊОИ БАЌИЯИ
ХУРДТАРИН БАРОИ ЯК СИНФИ ФУНКСИЯЊО
Институти математика ба номи А.Љўраеви Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон,
*Донишгоњи
миллии Тољикистон
Дар маќола барои синфи функсияњое, ки ба воситаи модули бефосилагї дода мешаванд,
масъалаи экстремалии ёфтани формулаи квадратурии бењтарини намуди Марков њал карда шудааст. Исбот карда шудааст, ки формулаи бењтарин ин формулаи квадратурии трапетсияњо буда, бањои аниќи он дар синфи додашуда њисоб карда мешавад.
Калимањои калидї: формулаи квадратурии бењтарини намуди Марков – модули бефосилагї –
хатогї.
M.Sh.Shabozov, A.A.Shabozova*
THE QUADRATURE FORMULA OF MARKOV TYPE WITH THE SMALLEST
ESTIMATION OF REMAINDER FOR ONE CLASS FUNCTIONS
A.Juraev Institute of mathematics, Academy of Sciences of the Republic Tajikistan,
*
Tajik National University
In the work for the classes of functions defined by the modules of continuity, the optimization problem is solved and where the search for the best quadrature formula of Markov type is done. It is proved that
the optimal formula is a classic quadrature formula of trapezium and its exact error estimate for a given class
of functions is calculated.
Key words: quadrature formula of Markov type – modulus of continuity – error.
601
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
413 Кб
Теги
остатки, типа, формула, оценкой, одного, наименьших, функции, класс, маркова, квадратурные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа