close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Компьютерный анализ устойчивости нелинейной системы управления вращением спутника.

код для вставкиСкачать
Раздел IV. Информатика
1. Brusilovsky, P. (1995) Intelligent tutoring systems for World-Wide Web. In: R. Holzapfel (ed.) Proceedings of Third International WWW Conference, Darmstadt, Darmstadt, April 10–14, 1995, Fraunhofer Institute for Computer Graphics. РР. 42–45.
2. Brusilovsky, P. (1996) Methods and techniques of adaptive hypermedia. In P. Brusilovsky and J. Vassileva
(eds.), Spec. Iss. on Adaptive Hypertext and Hypermedia, User Modeling and User-Adapted Interaction 6
(2–3), 87–129.
3. Brecht, B. J., McCalla, G. I., and Greer, J. E. (1989) Planning the content of instruction. In: D. Bierman, J.
Breuker and J. Sandberg (eds.) Proceedings of 4-th International Conference on AI and Education, Amsterdam, 24–26 May 1989, Amsterdam, IOS. РР. 32–41.
4. Nakabayashi, K., Maruyama, M., Kato, Y., Touhei, H., and Fukuhara, Y. (1997) Architecture of an intelligent tutoring system on the WWW. In: B. d. Boulay and R. Mizoguchi (eds.) Artificial Intelligence in Education: Knowledge and Media in Learning Systems. (Proceedings of AI-ED'97, World Conference on Artificial Intelligence in Education, Kobe, Japan, 18-22 August 1997) Amsterdam: IOS. РР. 39–46.
5. www.competentum.ru.
6. www.adaptolog.org.ru.
7. www.medeo.ru.
8. Атанов Г.А. Моделирование учебной предметной области, или предметная модель обучаемого. –
Educational Technology & Society 4(1) 2001. Р. 111–124.
9. Савинов Н.А Построение динамической немонотонной индуктивной модели обучаемого / Материалы IХ Международной школы-семинара. М.: МГИЭМ, 2001, 461 с.
10. Башмаков А.И., Башмаков И.А. Разработка компьютерных учебников и обучающих систем. М.:
Инфор.-издат. дом «Филинъ», 2003. 616 с.
Я.Е. Ромм, С.А. Катрич
КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЕМ СПУТНИКА
Описание общей схемы компьютерного анализа устойчивости. Пусть требуется исследовать устойчивость в смысле Ляпунова решения задачи Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в нормальной форме
dY
dt
F ( t, Y ) , Y ( t 0 ) Y 0 ,
y 1 ( t ), y 2 ( t ),  , y n ( t )
Y
где
Y
Y0
y 1 ( t 0 ), y 2 ( t 0 ),  , y n ( t 0 )
F ( t, Y )
Y (t ),
–
вектор
f 1 ( t , Y ), f 2 ( t , Y ),  , f n ( t , Y )
менных: независимой переменной
t
и
n
(1)
–
искомое
начальных
– заданная вектор-функция от
зависимых переменных
решение,
данных,
n 1
пере-
y 1 ( t ) , y 2 ( t ) , …, y n ( t ) .
Предполагается, что для системы (1) выполнены все условия существования и единственности решения
Y
Y (t )
на всей полупрямой
полнены для всех решений
Y
~
Y (t )
. Предполагается, что эти же условия вы-
с начальными условиями
0
где
t0 ,
~
Y0
Y0
b,
~
Y ( t 0 ) Y 0 , если только
(2)
b – некоторое постоянное число.
Здесь и в дальнейшем под нормой вектора
понимается каноническая норма вектора,
определенная как сумма модулей его координат.
185
Вестник ТГПИ
Пусть
Естествен ные науки
En
множество всех точек
~
Y (t )
~
t , y 1 , y 2 ,  , y n или t, Y . Пусть E n 1
~
t , Y ( t ) в n 1-мерном пространстве E n 1 , где
– пространство точек
1
t, Y ( t )
и
t
– всевозможные решения, получаемые из (2), при
На множестве
~
En
1
t0 ,
.
предполагаются выполненными условия:
F ( t , Y ) определена и непрерывно дифференцируема по t
~
Y ( t ) и всех Y Y ( t ) из (2).
~
2) На всем множестве точек из E n 1 выполнено условие Липшица
1) Функция
Y
~
F ( t, Y ) F ( t, Y )
t0 ,
при
L const .
,
(3)
C 0 , такая что
3) Существует константа
~
C 0 , Ft ( t ,Y )
Ft ( t ,Y )
~
L Y Y
на
C0
~
En
t ,Y ( t )
~
t ,Y ( t )
1
~
En
1.
(4)
Определение устойчивости по Ляпунову заимствуется из [1] с некоторыми упрощениями,
Y
допустимыми в рассматриваемых условиях. Решение
любого
~
Y0
сколь
угодно
Y0
влечет
малого
числа
~
Y t
Y t
0
Y (t )
Y0
0
влечет
~
lim Y t
t
t
Y t
0,
существует
t0 ,
. Решение
тически устойчиво (справа), если оно устойчиво и найдется
~
Y0
устойчиво (справа), если для
0
b , такое что
Y ( t ) асимпто-
Y
0,
0
, такое что
0 . Всюду ниже рассматривается устойчивость
справа (слева аналогично), которая для краткости называется просто устойчивостью.
Базовая схема предложенного способа компьютерного анализа устойчивости строится на
основе разностных методов приближенного решения ОДУ, в частности, ниже приводится пример
использования для этой цели метода Эйлера-Коши. Существенной особенностью при этом являет-
h : предполагается, что
, каково бы ни было i 0, 1,  ,
ся выбор шага численного интегрирования
t
t0 ,
t ti
1,
h
ti
1
t0
i 1
для каждого произвольного
,
(5)
t рассматривается как изменение правой границы промежутка
h h ( i ) на любом промежутке t0 , t , но шаг остается равномер-
при этом изменение переменной
t0 , t
. Иными словами,
ным внутри промежутка. Если
0 k
i, tk
1
tk
i 1 – номер заключительного шага на t 0 , t
, то при любом
k,
h.
В [2] на основе тейлоровских разложений невозмущенного решения
Коши (1) и возмущенного решения
Y
~
Y ( t ) , с начальными условиями
Y
Y ( t ) задачи
~
Y ( t 0 ) Y 0 , пока-
зано, что для разности между соответственными компонентами возмущенного и невозмущенного
186
Раздел IV. Информатика
решений для любого
~
y ji
t
из (5) имеет место равенство
h
d j
2
i
y ji
1
1
1
 0
где величины
qjk
суть
~
f j t  ,Y 
d j
O(h 2 )
~
y j0
h
d j qjk
2
i
i
y j0
1
k 1  k
q ji
1
,
(6)
и
~
~
f j t  1 ,Y  h F t  ,Y 
~y
y j
j
f j t  ,Y 
f j t  1 ,Y 
h F t  ,Y 
,
(7)
j 1, 2 , , n .
Соотношение (6) является базовым для формулируемых в рамках предложенной схемы условий устойчивости. Первое слагаемое правой части представляет собой главную часть роста разности между возмущенным и невозмущенным решениями (главную часть возмущения), поскольку
не содержит множителя
h.
h
d j qjk
2
i
i
В [2] доказывается, что
1
k 1  k
i
, для любого
t
q ji
0 при h
1
0 , что равносильно
из (5). Предельный переход в равенстве (6) влечет
~
yj (t )
lim
Pj i ~
yj0
i
yj (t )
yj0
j 1, 2 , , n ,
,
(8)
где
i
Pj i
1
 0
h
d j ,
2
(9)
при этом условия существования и единственности решения задачи Коши всегда обеспечивают
yj (t )
~
yj (t )
t
t0 ,
,
j 1, 2 , , n .
Соотношения (6)–(9) получаются на основе метода Эйлера-Коши с учетом остаточных членов тейлоровских разложений решений. Аналогично, в случае метода Эйлера, равенство (7) принимает вид
d
E
j
~
f j t  ,Y 
~
y
f j t  ,Y 
y j
j
Пусть
Pi
P1 i , P 2 i ,  , P n i
, где
Pj i
из (9),
.
j 1, 2 ,  , n .
Непосредственно
на основании (8) формулируются условия устойчивости в виде следующей теоремы.
Теорема. В условиях 1) – 3) для устойчивости по Ляпунову решения задачи (1) необходимо
0,
и достаточно, чтобы существовало
Y
~
Y (t )
при ограничении
0
lim Pi
~
Y0
Y0
C, C
b , такое, что одновременно для всех решений
выполняется условие
const
t
t0 ,
.
(10)
i
187
Вестник ТГПИ
Естествен ные науки
Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (10) и
нашлось
0,
0
, такое, что
0
~
Y0
0
Y0
lim
lim
Pi
t
i
0
влечет

0.
(11)
Условие (10) означает равномерную ограниченность бесконечных произведений
t, i
h
стремление к нулю этих произведений при t
в случае устойчивости, при этом
и
lim
Pi
i
связаны соотношениями (5). Условие (11) означает
в случае асимптотической устойчивости.
Условия (10), (11) реализуются программно. Для этого выполняется циклическое накопление частичных произведений
i
1
 0
h
d j
2
,
j 1, 2 ,  , n ,
поведение этих произведе-
ний будет определять характер устойчивости решения: если при неограниченном росте
t
будет
наблюдаться ограниченность произведений, это будет означать устойчивость, стремление к нулю
– асимптотическую устойчивость, неограниченность – неустойчивость. Такое моделирование составляет основу компьютерного анализа устойчивости.
Данный подход к оценке устойчивости отличается от методов качественной теории по построению и по способу программной реализации.
На практике бесконечные произведения не могут быть вычислены точно. Моделирующая
их поведение программа с необходимостью остановится на их приближении конечным числом
сомножителей. Возникает вопрос, как такое приближение отразится на достоверности оценки устойчивости. Поэтому необходимо исследовать поведение левых частей соотношений (10), (11)
в зависимости от количества сомножителей. Решение этого вопроса дано в [2]. Утверждение представленной выше теоремы переносится на случай частичных произведений
Pi
с некоторыми ого-
ворками, в частности, в формулировку теоремы добавляется, помимо требования существования
0 , требование существования номера i 0
вие
стве
Pi
C, C
Pi
C
const
i
i0
(шага
t
h 0 ), начиная с которого выполняется услоt0 ,
. Из предельного перехода в неравен-
с учетом (10) следует, что это условие достаточно для устойчивости решения
задачи (1). В [2] при естественных ограничениях показано, что замена предельных значений в выражении условий (10), (11) на их конечные приближения сохраняет достоверность оценки устойчивости.
В [2] исследована зависимость сконструированных условий устойчивости от погрешности
разностного метода, на основе которого эти условия построены, при этом рассматривались методы
Эйлера-Коши, Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса. Для всех этих методов обоснована возможность
программного моделирования устойчивости при помощи циклического накопления произведений
i
Pj i
1
 0
h
d j
2
, приближаемых по разностной схеме.
Ниже дается применение предложенного подхода для оценки устойчивости системы управления вращением спутника.
Описание математической модели нелинейной системы управления вращением спутника. Данная система описывается системой ОДУ следующего вида [3]:
188
Раздел IV. Информатика
d y1
2 y2
dt
d y2
2 y1
dt
d y3
y2
1 y3
динаты
y3, y4
2
y4
2
y4,
y1
dt
y3, y 4
u 2,
(12)
dt
d y4
где
u1,
y 3,
, координаты
y1 , y 2
– компоненты спин-вектора; коор-
– компоненты вспомогательного вектора единичной длины, возникающие при
переходе к инерциальной системе координат из системы, жестко связанной со спутником; управления
u1, u 2
– моменты, создаваемые двумя реактивными двигателями.
Законы управления
u1 y1, y 2 , y 3 , y 4
и
u 2 y1, y 2 , y 3, y 4
должны обеспечивать
стабилизацию вращения спутника вокруг неподвижной оси.
В [3] на основе метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР)
синтезируется автопилот, который обеспечивает эту стабилизацию. Математически это означает, что
гарантируется асимптотическая устойчивость движения спутника в заданной области.
По определению область изменения координат
ству
y3
2
y4
2
y 3 , y4
спутника удовлетворяет неравен-
1 , поэтому поведение этих координат рассматривается в указанной области.
Законы управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость, имеют вид [3]:
22
Bu1
12
T1
y2y3
13
24
где
B
T1
22
22
12
24
y3
1
T1
24
1
13
,
13
T1
2B
y3
22
,
12
T2
22
Bu 2
y1
12
22
2
y1y 4
24
24
T2
24 ,
12
и
13
22
y3
13
22
13
22
13
y3
24
T2
22
13
12
T2
24
12
T1
y4
y4
22
y2
y4
1
T1
12
1
1
24
12
2B
1
y1
T2
y4
T2
12
(13)
,
y2
(14)
y1 y 4
y2y3
2
,
– параметры, выбор которых производится из усло-
вий оптимизации системы в режиме малых отклонений по некоторому квадратичному критерию
качества, или, исходя из задания прямых показателей качества, например, времени и характера
затухания переходных процессов системы.
189
Вестник ТГПИ
Естествен ные науки
С помощью законов управления (13), (14) на основе метода АКАР синтезируется следующая линейная система [3]:
dx
dt
13
B
dy
dt
x
1
13
1
22
B
24
y,
B
(15)
24
x
12
y.
B
Условия устойчивости системы (15) выражаются в виде одновременных ограничений на
значения параметров:
0,
22
0,
24
0,
12
0.
13
(16)
При выполнении неравенств (16) представленные законы управления (13), (14) гарантируют
системе (12) асимптотическую устойчивость в целом по координатам
скую устойчивость в области
y3
2
y4
2
1 по координатам y 3
и
y1 , y 2
y4
и асимптотиче-
[3].
Программное моделирование устойчивости системы управления вращением спутника. Ниже проводится программное моделирование устойчивости решений системы (12) на основе
изложенного подхода. Ядром программных моделей является стандартная подпрограмма [2], реализующая циклические операции условий (10), (11). Результатом работы подпрограммы является
вывод значений нормы произведений
Pi . Динамика этих значений определяет характер устойчи-
вости в соответствии с представленной теоремой.
Моделирование имело следующие цели:
1) проверить совпадение результатов моделирования с результатами, представленными в [3],
и тем самым дополнительно подтвердить достоверность предложенного способа оценки устойчивости;
2) осуществить предполагаемую проверку не на основе линеаризации исходной системы
(12) в виде (15), а непосредственно на основе исходной системы (12), показав тем самым применимость предложенной схемы анализа устойчивости непосредственно к нелинейным системам без
вспомогательных преобразований;
3) дополнить результаты анализа устойчивости решений системы (12), изложенные в [3] на
основе линеаризации, программным анализом в тех случаях, когда линеаризация оставляет вопрос
открытым, – при нулевых действительных частях корней характеристического уравнения системы
(15) (критический случай по Ляпунову).
В рамках предложенного способа компьютерного анализа устойчивость системы управления вращением спутника проверялась:
1) при сочетании значений параметров, заведомо обеспечивающих ее асимптотическую устойчивость
22
0,
24
0,
12
0
и
13
0;
2) при сочетании значений параметров, приводящих к ее неустойчивости
22
0,
24
0,
12
0
и
13
0;
0,
12
0
и
13
0;
3) при нулевых значениях параметров
22
190
0,
24
Раздел IV. Информатика
действительные части корней характеристического уравнения системы (15) в этом случае равны
нулю и нельзя воспользоваться стандартными методами оценки устойчивости.
Для первого и второго случаев эксперимент проводился выборочно для значений парамет-
10 2 , 10 2
ров в диапазоне
с шагом дискретизации порядка 10 1 .
Конкретно результаты моделирования приводятся для двух наборов значений параметров
в каждом случае (в начале и конце диапазонов изменения), тенденции устойчивости в промежутках между выбранными значениями оказываются идентичными между собой. Теоретическим основанием этого утверждения служат условия устойчивости (16), соответственные синтезированной в [3] линейной системе (15). Кроме того, численный эксперимент проводился при вариациях
начальных данных с целью идентификации области устойчивости при выбранных значениях параметров.
Полученные результаты моделирования полностью согласуются с теоретическими оценками устойчивости рассматриваемой системы (12) для всех взятых наборов параметров и при всех
использованных вариациях начальных данных.
Численный эксперимент и результаты моделирования устойчивости системы управления вращением спутника. При
24
90 ,
90 ,
12
13
1,
22
100
24
1,
1,
12
10
13
и
22
90 ,
имеет место асимптотическая устойчивость. Это же под-
тверждает процесс изменения значений нормы вектора
Pi
при использовании метода Рунге-Кутта
для получения значений решений для начальных данных:
1)
t0
0 , y 10
1, y 2 0
1, y 30
0,6
2)
t0
0 , y 10
1, y 2 0
1, y 30
2
2
и
y 40
10
0,5 ;
3
и
2
2
y 40
10
3
.
Результаты моделирования сведены в табл. 1 в порядке следования начальных данных
Таблица 1
Результаты моделирования для случая асимптотической устойчивости
Норма произведения P
i
Норма произведения P
i
для первого набора
параметров
для второго набора
параметров
t
I
9.4E-0026
5.8E-0052
1.3E-0130
8.2E-0157
1.9E-0235
1.2E-0261
100.00
200.00
500.00
600.00
900.00
1000.00
II
5.5E-0023
3.4E-0049
7.8E-0128
4.8E-0154
1.1E-0232
6.8E-0259
Значения нормы произведений
Pi
I
3.4E-0028
6.5E-0056
4.5E-0139
8.7E-0167
3.2E-0222
6.1E-0250
II
1.2E-0025
2.3E-0053
1.5E-0136
3.0E-0164
2.1E-0247
4.1E-0275
монотонно убывают к нулю, что соответствует выпол-
нению условия (11), следовательно, означает асимптотическую устойчивость. Аналогичный результат наблюдается при любых вариациях начальных значений
творяющих
y 30
ров при условии
2
y 40
22
2
0,
y 10 , y 2 0
и
y 3 0 , y 4 0 , удовле-
1, а также при любых практически выбранных значениях парамет24
0,
12
0,
13
0.
191
Вестник ТГПИ
Естествен ные науки
В случае значений
100 ,
24
100 ,
12
2,
22
100
13
2,
24
12
2,
13
11
и
100 ,
22
имеет место неустойчивость:
Таблица 2
Результаты моделирования для случая неустойчивости
Норма произведения
t
Норма произведения
Pi
для первого набора параметров
I
II
5.5E+0000
5.9E+0000
6.8E+0000
7.5E+0000
2.0E+0001
9.2E+0000
6.5E+0001
1.1E+0001
3.3E+0002
1.4E+0001
4.9E+0002
3.2E+0001
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Норма вектора
Pi
Pi
для второго набора параметров
I
II
7.8E+0000
8.4E+0000
1.4E+0001
1.5E+0001
7.2E+0001
2.8E+0001
3.5E+0002
5.1E+0001
1.8E+0003
2.5E+0002
7.2E+0003
6.4E+0003
обнаруживает монотонный рост. Такой результат в соответствии с (10)
интерпретируется как неустойчивость. Аналогичный результат наблюдается при любом выборе
y 10 , y 2 0 , y 3 0
22
0,
24
2
y 40
0,
2
12
1
0,
и при всех апробированных значениях параметров из условия
13
0.
В табл. 3 приведены аналогичные результаты моделирования для случая значений параметров
22
0,
0,
24
12
0
и
0 , соответствующих нулевым действительным час-
13
тям корней характеристического уравнения системы (15).
Таблица 3
Результаты моделирования для случая устойчивости
Норма произведения
t
Pi
I
II
100.00
1.4E+0001
9.5E+0001
200.00
3.1E+0001
1.4E+0002
500.00
4.3E+0001
2.1E+0002
600.00
5.4E+0001
4.2E+0002
900.00
1.3E+0002
6.4E+0002
1000.00
1.5E+0002
4.3E+0002
Норма вектора
Pi
Эвклидова норма решений
I
1.7E+0000
1.7E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
1.7E+0000
1.7E+0000
не превосходит некоторого постоянного значения:
II
1.5E+0000
1.5E+0000
1.7E+0000
1.7E+0000
1.7E+0000
1.7E+0000
1.5E+0000
1.5E+0000
1.7E+0000
1.7E+0000
1.6E+0000
1.6E+0000
Pi
6,4 10 2 .
Подобный результат в соответствии с (10) интерпретируется как не асимптотическая устойчивость.
Таким образом, практическое использование предложенных критериев показало их пригодность для компьютерного анализа устойчивости. Аналогичные результаты практического применения критериев имели место для многочисленных систем нелинейных ОДУ [2].
192
Раздел IV. Информатика
БИБЛИОГРАФИЧЕСИКИЙ СПИСОК
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Москов. ун-та, 1998.
480 с.
2. Катрич С.А. Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений
нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов / Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. 217 с.
3. Синергетика: процессы самоорганизации и управления: Учеб. пособие / под общ. ред. А.А. Колесникова: в 2 ч. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. Ч. I. 360 с.
Я.Е. Ромм, С.С. Белоконова
ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ СХЕМА ПОИСКА ДАННЫХ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
НА ОСНОВЕ СОРТИРОВКИ
Проблема поиска, сбора и обработки информации принадлежит к числу основных задач
информатики. Ниже конструируются распараллеливаемые алгоритмы применения сортировки для
поиска и распознавания символов, слов и словосочетаний в тексте, а также для поиска объектов
различных типов.
Применяемые сортировки обладают взаимно однозначным соответствием входных и выходных индексов [1, 2]. Дополнительной составляющей схемы поиска является оператор локализации экстремальных элементов [1] вида:
j:=1;while j<= n do begin FOR L:=1 TO j-1 do if abs(e[j]-e[j-L])<=eps then goto 22; Writeln (' ',c[e[j]],'
',e[j]);
22: j:=j+1; end;
Присоединение к процедуре сортировки данного оператора влечет программную идентификацию всех локально минимальных элементов входного массива в окрестности радиуса eps , измеряемого целым числом последовательных индексов. Аналогично локализуются максимальные
элементы. Способ выявляет информацию, благодаря которой в дальнейшем идентифицируются не
только экстремумы, но и вся внутренняя структура локализованной окрестности. В случае числового массива оператор локализации минимумов осуществляет поиск заданного числа как нуля
абсолютной величины разности между текущим элементом массива и заданным искомым числом
[3]. Способ применим к числам любого типа, его можно осуществлять с точностью до заданной
границы погрешности. Осуществляется перенос способа на поиск слов в массиве строковых элементов [3, 4]. Входному строковому массиву c сопоставляется числовой массив из абсолютных
величин разностей ASCII-кода символа, стоящего на заданной позиции слова входного массива, и
ASCII-кода символа, указанного в маске поиска:
r i : abs ord c[i[k ]]
ord w ;
(1)
В (1) c – входной массив,
k – номер позиции, заданной в маске, i – номер элемента массива c , w – символ, заданный в маске, r[i ] – элемент сопоставляемого числового массива r .
Поиск символов происходит как поиск локальных минимумов, которые в случае совпадения с искомыми символами оказываются нулями. Используя обратную адресацию, по индексам идентифицированных нулей можно обратиться к элементам входного массива строковых элементов.
Схема поиска слов, содержащих заданный символ, переносится на поиск слов по комбинации нескольких символов. Для этого массиву слов сопоставляется числовой массив путем суммирования
абсолютных величин разностей ASCII-кода символа входного массива и символа «маски» поиска
n
с учетом соответствия позиций:
r[i ]
ord f [k[ j ]]
ord w[ j ] , где r[i] – числовое зна-
j 1
чение, сопоставленное i -му слову,
f – i -е слово, k[ j ] – номер позиции на которой расположе193
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
432 Кб
Теги
анализа, нелинейные, спутник, система, вращением, компьютерные, управления, устойчивость
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа