close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Кусочно-линейная функция цены дифференциальной игры с простыми движениями.

код для вставкиСкачать
Вестник ТГУ, т. 12. вып. 4, 2007
КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ИГРЫ С ПРОСТЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ 1
c
°
Л. Г. Шагалова
Рассматривается следующая дифференциальная игра. Пусть движение управляемой системы описывается уравнением
ẋ = f (u, v),
t ∈ [0, 1],
x ∈ Rn ,
u ∈ P ⊂ Rp ,
v ∈ Q ⊂ Rq ,
(1)
где t — время, x — фазовый вектор, u и v — управления игроков, P и Q — компакты, а
функция f : P × Q → Rn непрерывна и удовлетворяет условию
min max hs, f (u, v)i = max min hs, f (u, v)i = H(s).
u∈P v∈Q
v∈Q u∈P
Полагаем, что для непрерывных функций x(t) (0 6 t 6 1) задан функционал платы
¡
¢
x(·) −→ σ x(1) ,
(2)
(3)
где функция σ : Rn → R удовлетворяет условию Липшица. Известно [1], что в дифференциальной игре (1)–(3) для любой начальной позиции (t0 , x0 ) ∈ [0, 1]×Rn существует цена игры
w(t0 , x0 ). Функция цены w : [0, 1] × Rn → R является минимаксным (и/или вязкостным)
решением уравнения типа Гамильтона–Якоби
∂w(t, x)/∂t + H(∂w(t, x)/∂x = 0,
t ∈ (0, 1),
x ∈ Rn ,
(4)
удовлетворяющим краевому условию
w(1, x) = σ(x),
x ∈ Rn .
(5)
В случае, когда какая-либо из функций H(·) или σ(·) выпукла или вогнута, функцию
цены игры (1)–(3) можно выписать явно, используя известные формулы Хопфа. В общем
случае получить явную формулу для функции цены игры не удается. Поэтому полезным
является изучение структуры функции цены при предположении о кусочной линейности
гамильтониана H(·) и функции платы σ(·). Отметим, что гамильтониан H(·) будет кусочнолинейным, например, в случае, если компакты P и Q являются многогранниками.
В случае, когда фазовое пространство двумерно, разработан [5] конечный алгоритм построения точного кусочно-линейного решения уравнения (4)–(5), определяющего функцию
цены. В случае, когда размерность n фазового пространства равна трем, изучены элементарные задачи, из решений которых будет склеиваться функция цены игры.
Полученные результаты можно использовать для кусочно-линейной аппроксимации
кусочно-гладких решений уравнений Гамильтона-Якоби общего вида, в частности, для аппроксимации функций цены дифференциальных игр, в которых уравнения движения зависят не только от управлений игроков, но также от времени и фазовой переменной.
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 05-01-00609) и Программы Президента РФ «Ведущие научные школы» (НШ-8512.2006.1).
564
Вестник ТГУ, т. 12, вып. 4, 2007
ЛИТЕРАТУРА
1.
Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
2.
Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона–Якоби. М.: Наука, 1991.
3.
Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc.
1983. V. 277, № 1. P. 1–42.
4.
Subbotin A.I. Generalized Solutions of First Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective. Boston:
Birkhauser, 1995.
5.
Субботин А.И., Шагалова Л.Г. Кусочно-линейное решение задачи Коши для уравнения Гамильтона–
Якоби // Доклады РАН. 1992. Т. 325, № 5. C. 932–936.
Шагалова Любовь Геннадьевна
Институт математики и механики УрО РАН
Россия, Екатеринбург
e-mail: shag@imm.uran.ru
Поступила в редакцию 30 апреля 2007 г.
ЭФФЕКТЫ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В МОДЕЛИРОВАНИИ ВЕРТИКАЛЬНОГО
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВИЧ/СПИД 1
c
°
A. Shindiapin, Е. С. Жуковский
Вертикальной (или перинатальной) передачей ВИЧ-инфекции называют заражение
младенца от инфицированной матери во время беременности (через плаценту), при родах
(через контакт с кровью матери) или при грудном вскармливании (через материнское молоко). Из перечисленного наиболее вероятным является заражение во время родов. Без
специального лечения среднестатистический риск рождения ребенка с ВИЧ-инфекцией составляет 15-25% в Европе и США и 30-40% в Африке. Одним из главных достижений
профилактики ВИЧ-инфекции за последние несколько лет были разработки профилактических курсов лечения противовирусными препаратами (АЗТ (ретровир), невирапин (вирамун)), позволяющими снизить этот риск более чем на половину. Высокий риск вертикальной
передачи заставляет учитывать этот фактор при моделировании динамики распространения ВИЧ/СПИД. Воздействие вертикальной передачи ВИЧ особенно значимо в Африке
[1], чему способствуют бедность, малая грамотность, низкий уровень медицины. Модели
динамики эпидемии ВИЧ/СПИД, учитывающие вертикальную передачу, рассмотрены в
работах [2 – 4]. Исследователи отмечают существенное увеличение вероятности достижения
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 07-01-00305) и темплана № 1.6.07.
The work is partially supported by SIDA/SAREC – The Department for Research Cooperation at the Swedish
International Development Cooperation Agency.
565
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
475 Кб
Теги
цены, игры, линейная, кусочно, дифференциальной, простыми, функции, движения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа